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文档简介
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
第20练三角函数的图像与性质(精练)
【A组在基础中考查功底】
一、单选题
1.下列函数中,在上递增的偶函数是()
A.y=sinB.y=tan(-x)C.y=cos2尤D._y=|sinx|
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.
【详解】对于A:>=sin]为奇函数,故A错误;
对于B:y=tan(-x)为奇函数,故B错误;
对于c:y=cos2x为偶函数,但是函数在[o,最上单调递减,故C错误;
对于D:y=〃x)邛inx|,贝!j=忖11(-尤)|=|-sinx|=/(无),故y=&in,为偶函数,
且xe0微时y=kinx|=sinx,函数在上单调递增,故D正确;
故选:D
2.函数〃x)=cos2:-sin?★的最小正周期为()
兀
A.—B.兀C.4兀D.2冗
2
【答案】D
【分析】利用二倍角公式化简函数解析式,结合余弦函数的周期公式求其周期.
【详解】因为〃尤)=cos?鼻-sin?:=cos无,
所以函数的最小正周期T=2m
故选:D.
3.求函数/(x)=sinx+cos[x-t)的最大值()
A.73B.72C.2D.1
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简f(x),从而求得的最大值.
【详解】/(x)=sinx+cosfx--=sinx+^-cosx+—sinj;=—sinx+^-cosx=V3sinfx+—
6J22226J
所以,当x+$=2E+£,x=2E+£/wZ时f(x)取得最大值为6・
623
故选:A
4.若函数y=2sinx+a的最大值为—2,则。的值等于()
A.2B.-2C.0D.-4
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】由于一l<sinx<l,所以sinx=l时,y=2sinx+a取最大值,故2+〃=一2,所以a=-4,
故选:D
(兀兀]
5.若Iosina,cosa,tancz的大小顺序是()
A.cosactana<sinaB.tancr<cosa<sincr
C.cosavsinavtanaD.sincr<coscr<tancr
【答案】c
【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得Sina,cosatana在曰的取值范围,进而
得到sine,cosa,tana的大小顺序.
【详解】当0£(:,彳]时,^^<sina<1,0<cos6Z<,taner>1
142)22
贝!)0<cosa<——<sin<1<taner,贝!|cosa<sin。<taner
2
故选:C
6.设6e^0,,则sin9+cos夕的一个可能值是()
A.In2B.C.—D.1
27
【答案】B
【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得sine+cosOe(l,0],进而可求解.
【详解】由于sin6+cose=0sin,+又dek,所以0+
所以sin所以sin0+cos6e(1,忘],
喑(1,用,
故选:B
7.函数/(x)=sinx-lgx零点的个数()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】画出函数了=5也芯和y=lgx的图象,根据函数图象得到答案.
当0<x<l时,sinx>O,lg尤<0,两函数图象没有交点;
当IWxWlO时,两函数图象有3个交点;
当x>10时,lgx>12sinx,两函数图象没有交点,
综上,函数y=sinx和y=lgx的图象有3个交点,
所以,函数〃尤)=sinx-lgx零点的个数为3.
故选:C.
8.若0<a<2兀,且sinac],cosa<—,则a的取值范围是()
22
【答案】B
【分析】根据正余弦函数的取值范围,分别求解sina<:,cosa<Z再求解交集即可.
22
【详解】由sina<』,可得0<々<二或型<々<2兀;由cosa<正,可得火
266244
综上,。的取值范围是[K,与)
故选:B.
9.已知角x为斜三角形的内角,〃x)=Gtanx-3,则/⑴川的x的取值范围是()
A-[MB.[刮CD.
【答案】D
【分析】确定xe(0,3匕,兀),变换得到tanxzVL解得答案.
【详解】角x为斜三角形的内角,则尤唇兀],
/(x)=V3tanx—3>0,即tan%>6,故]£—|.
故选:D.
10.当川吟时,〃x)=4sin%+」一的最小值为()
sinx
A.5B.4C.2D.1
【答案】B
【分析】令t=sinx,由,可得r«0,l],利用基本不等式求解即可.
【详解】令f=sinx,由左€(0e,可得
所以口=4,当且仅当4/=1时,即f=2时取等.
t\tt26
故选:B.
二、多选题
11.下列各式正确的是()
.1.5乃37r57r
A.sin—<sm——B.cos——>cos——
2646
7",71.7171
C.tan——<sin—D.sin——<cos—
6655
【答案】ABD
【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】A中,因为sin”=sinB,由y=sinx在(0,彳]单调递增,所以sin:<sin竽,所
66262\2726
以A正确;
B中,因为cosL=-交,cosi=-且,显然一无〈一走,BPcos-^>cos-^,所以B正确:
42622246
C中,tan—=tan—,tan—>sin—,故tan—所以C错误;
666666
D中,因为cos£=sin著,在内y=sinx单调递增,所以sin/<cos£,所以D正确;
DiLx1乙)3D
故选:ABD.
12.函数〃x)=gsin2x+sin2MxeR),下列说法正确的是()
A.的最小正周期为2兀
B./(0)=0
1--\/21+^2
C.“X)的值域为
2'2
1+近1-72
D.〃力的值域为
2'2
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数,然后根据性质分别分析即可.
【详解】/(x)=sin2x+sin2x
1•c1八1
=—sin2x——cos2x+—
222
V2.(兀)1
=——sm2x——+—,
2I4j2
所以T=|=兀,
所以A不正确;
由/(O)=正sin12x0_C]+!=_^x立+工=0,
v72I4j2222
所以B正确;
因为XER,
所以T4sin(2x-£|41,
所以/(X)的值域为[工¥,匕卢〕,
所以C正确,D不正确,
故选:BC.
13.已知函数〃x)Tsinx|+gsx|,则下列结论正确的是()
A.〃尤)的最小正周期为兀
B.〃尤)的值域为[1,拒]
C.〃尤)的图象是轴对称图形
D.的图象是中心对称图形
【答案】BC
【分析】对选项A,根据9为“X)的周期,故A错误,对选项B,xe。,外时,lWf(x)w6,再结合周
期即可判断B正确,对选项C,根据了("为偶函数,即可判断C正确,对选项D,根据〃力的值域为[1,V2],
即可判断D错误.
71兀
【详解】对选项A,尤+:卜sinfx+^1+cosL+-|=|cosx|+|sinx|=f(%),
22
所以|■为的周期,故A错误.
71
对选项B,当xe呜时,/(x)=sinx+cosx=A/2sinX+—
因为一小,所以匹Wsin[x+P71]wl,
24
因为李为A*)的周期,所以〃x)的值域为[1,0],故B正确.
对选项C,函数〃x)=binx|+kosx|的定义域为R,
/(-x)=|sin(-x)|+1cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=/(x),
所以/")为偶函数,关于y轴对称,即/(%)的图象是轴对称图形,故c正确.
对选项D,因为〃尤)的值域为[1,0],所以〃尤)的图象不是中心对称图形,
故D错误.
故选:BC
三、填空题
14.函数y=3+2cos[2x+(]的最小值是.
【答案】1
【分析】根据三角函数的有界性求出最小值.
JT-TTITC\
【详解】当2彳+方=兀+2kjt,左£Z时,艮口x——+防i,左£Z时,cosI2x+I取得最小值为—1,此时
y=3+2cos[2x+|^取得最小值为1
故答案为:1
15.函数y=sin(2x+;)在xe。g上的值域为.
【答案】[0』
【分析】根据给定区间,求出函数相位的范围,再利用正弦函数性质求解作答.
71717T冗
【详解】xe[0,y],则2x+§e[§,n],于是sin(2x+§)e[0,1],
所以所求值域为[0』.
故答案为:[0川
16.函数>=吧注的定义域为________.
COSx+1
【答案】{x|xw万+2k/c,kGz}
【分析】求出cosx+1/0的解后可得函数的定义域.
【详解】由题设可得cosx+lwO,故XW万+2左万,左eZ,
故函数的定义域为卜忖卢乃+2人肛ZeZ}.
故答案为:{x|xw^+2br/eZ}.
17.函数y=sir?%-cosx的最大值为
【答案】7
4
【分析】化简函数解析式,结合换元法、二次函数的性质求得函数的最大值.
【详解】函数y=sii?X-COSX=-COS2X-COSX+1,令,=8SX,tG[—1,1],
则产-/一+1=_卜+]_[+»,卷[-1,1],所以当时,函数取得最大值为
I2424
故答案沏|
18.求/(x)=J1-夜cosg-x)的定义域.
【答案】2%T+?,&ez}
【解析】将定义域问题转化为求cosll^dw9,然后将g-x看成一个整体,利用余弦函数的图象即可
得到关于x的不等式组,求解即可得到函数"%)的定义域.
【详解】解:要使函数有意义,则l-&cos(,小0,即cos(?尤)亭
由余弦函数的图象得,£+2左万+万,
424
解得,-彳+lk7l<X<^+2k7T,(左£Z),
故函数的定义域是卜-=+20W尤V?+2标,(左eZ“.
故答案为:卜-千+2日WxW(+2左肛(ZeZ):.
【点睛】本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式,利用三角函数的图象求解关于0X+9的正余弦,
正切的不等式,是十分重要的,一般的将0X+。看做一个整体,利用函数的图象与直线y=〃,利用数形结
合方法求解.当然,本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解,但此处采用一种通性通法来求
解,更具有一般性.
19.函数/(无)=12sin2尤-cos2耳的值域为
【答案】[0,3]
【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域.
【详解】因为Ax)=|2sin2x—cos2x|=|2sin2x—(1—2sin2x)|=|4sin2x—1|,
又OWsinOwi,所以-l〈4sin2x-l<3,贝!J0VRsin?W3,
即函数/(x)的值域为[0,3].
故答案为:[0,3].
20.满足sin%,g且tan尤..1的x的取值范围为.
【答案】2k?r+—7r,2k7r+—7r\,keZ
L42)
【分析】首先分别求出两个不等式的解,之后取公共部分即可得结果.
【详解】由sin%,,可得2左万+*»<%«2左》+及二左£2,
266
JIJI
由tanx..l可得k"■一<x<kjr-\——,keZ,
42
53
取公共部分得2k兀+—兀<x<2k7i+—7i,keZ,
42
-、
故答案为:2k7r-^-57i,2k7r+-37i\,kEZ.
【点睛】该题考查的是有关三角形函数的问题,涉及到的知识点有已知三角函数的取值范围求角的范围,
属于基础题目.
21.函数y=sinxTsinH的值域是.
【答案】[-2,0]
0,sinx20
【分析】由题可得了=?..八,然后结合正弦函数的值域即得.
2sinx,sinx<0
0,sinx>0
[详解]Vy=sinx-|sinx|=
2sinx,sinx<0y
所以sin%之0时,y=0,当sinxvO时,y=2sinxe[-2,0),
所以函数丫=5位X一匝11乂的值域是[-2,0].
故答案为:
【B组在综合中考查能力】
一、单选题
1.下列函数中,不是周期函数的是()
A.y=sinx-lB.y=sin2x
C.y=|sinx|D.j=sin|x|
【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质可判断A的正误,利用二倍角公式结合正弦函数的性质可判断B的正误,利
用周期函数的定义可判断C的正误,利用反证法可判断D的正误.
【详解】对于选项A:
y=/(x)=sinx-l,故其最小正周期为亍=2n,故A正确.
对于选项B:
所以最小正周期为才=2兀;
对于选项C:
y=f(x)=\sin^,
则/(x+7t)=|sin(x+7t)|=|-sinx|=|sinx\=f{x),
所以y=Mnx|是周期函数;
对于选项D:
y=f(x)=sin\x\,假设函数y=/(x)是周期函数,
因为当GO时,y=/(x)=sinx,由正弦函数的性质可得〃x)的最小正周期为2元,
但/(-1)=sin-1=1"畔)=sing,
这与/(x)的最小正周期为2%矛盾,故〃x)不是周期函数,故D错误.
故选:D.
2.函数〃x)=cosx-&sinx在0,g的最大值是()
A.2B.0C.1D.百
【答案】C
【分析】由已知可得〃%)=28$、+三].根据%的范围以及余弦函数的单调性,即可得出答案.
【详解】由已知可得,〃x)=2x:cosx-^sinx=2cos|+
[22)I
因为OWx」,所以+等.
2336
jr57r
又》=8$尤在上单调递减,
3o
所以,当x+三/即X=O时,函数取得最大值〃O)=2cosg=l.
故选:C.
3.已知"x)=3sinx_8cos2;,若外力<〃6)恒成立,贝Usin,=()
4
D.
5
【答案】A
【分析】若/(力〈/伊)恒成立,即/(夕)=/(42由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简/(%),求出
/(力3,此时sin(e+°)=l,贝!|6=5一。+2而,由诱导公式即可得出答案.
【详解】/(A:)=3sinx-8cos2=3sinx-8-^+(^S-=3sinx-4cosx-4=5sin(x+^)-4,
其中tan0=-3,cos0=|,所以当sin(x+0)=l时,/(x)^=1.
若恒成立,贝1]/(,)=/(力2=1,
此时sin(夕+o)=1,贝!|夕+夕=]+2E,即6=]—0+2E,
sin8=sin—0+2EJ=cos^?=—.
故选:A.
二、多选题
4.已知向量o=(1,百)出=(cos6,sine)(e£[0,兀D,则()
TT
A.若。方,则6=wB.a,b的最小值为T
6
C.|可能成立D.|〃-6|的最大值为3
【答案】BC
【分析】根据向量的数量积公式即可判断选项A、B;当夕6=0时,则有|a+b1=1”们判断选项C;将卜-匕
转化为三角函数的最值问题即可求解,判断选项D.
【详解】对于A,若ab,贝!Jsin。一石cosO=2sinN-^|=0.又。由0,汨,,。=方,故A错误;.
对于B,a-b=cos0+y/3sin0=2sin^0+^,又6©[0,兀],当6=兀时,sin[d+£]=-g,{a-b^n=-1,
故B正确;
5兀
对于C,由选项B可知,当6=L时,小。=0,贝!||〃+6|=|〃一人故C正确;
O
对于D,旧一5|="1-COS6)2+(6-sin6)=^/5-2cos^-2A/3sin^=J5-4sinf+"^j,
当6=兀时,sin[e+《j=-g,\a-b\nm=yfl,故D错误.
故选:BC.
5.已知/(x)=cos(sinx),则下列选项中正确的是()
A./(x)=/(x+7t)B.关于了=兀轴对称
C./⑺关于g,o]中心对称D.7(》)的值域为[-周
【答案】AB
【分析】根据函数的周期性,对称性逐项检验即可判断ABC,利用正余弦函数的性质可判断D.
【详解】A中,因为〃x)=cos(sinx),所以4x+7i)=cos[sin(x+7i)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(x),所
以A正确;
B中,由A可得/(x+兀)=/(%),/(-x+7i)=cos[sin(-x+TC)]=cos(sinx)=〃尤),所以/(x+7i)=/(-X+TI),
所以可得了=兀是函数的对称轴,所以B正确;
C中因为fjx+兀]一coslsinjx+nl.coslcosx)而/兀/一.)ssin^-x^=cos(cosx)=+,
L中,囚yyj1A+—।—cossiniA+—i—cos〈cosxj,injji-—xi—c(
jr
所以对称轴为X=5,所以C不正确;
D中,因为sinxe[-Ll],所以〃尤)e[cos(sin1),1],所以D不正确
故选:AB.
三、填空题
6.函数y=sin[巳+x)cos仁-x)的最大值为____________.
【答案】工+必
24
[分析]根据两角和与差的正余弦公式展开sin+x:cos[-1即可得出y=gsin2x+¥,即可得出
答案.
1_1.]।|7L।.7L7V1
【详A解t】因为sin~+x=sm-cosx+cos-sinx_osx+—sinx9
16J66=2C2
(兀、兀.兀.J31
cos——x=cos—cosx+sin—sinx=—cosx+—sinx,
16J6622
所以,y=^-(cosx+sinxj^sinx+^3cosxj=^A/3sin2x+\/3cos2x+4sinxcosx)=—sin2x+—.
)24
TTTT
所以,当2x=—+2fai,左£Z,即%=—+时,
24
函数有最大值为L+1.
24
故答案为:工+9
24
7.函数y=sin2x+2sinx的最大值为.
【答案】巫之6
22
【分析】首先求得y',设cosx=fe[-l/],/⑺=4/+2”2,得出V的单调区间,即可得出最大值.
【详解】y'=2cos2%+2cosx=2(2cos2x-1)+2cosx=4cos2A:+2COSX-2,
设cosx—t[-1,1]f/(t)-4/+2t-2,
令/⑴=0,得r=g或/=一1,
所以当re时,/(0<0,
TTJT
即在(-乃+2kjt,--+2既)和(1+2for,it+2kji)(k£Z)上>单调递减,
当re(g,l)时,/(0>0,
即在(-三+2版皆+2瓦)(左eZ)上,y单调递增,
又因为f(一兀+2版)=0,*+2喻=当,
所以y的最大值为更,
2
故答案为:空.
2
8.方程sin7Lx=:x的解的个数是.
【答案】7
【分析】根据题意可知,在同一坐标系下分别画出y=sin口和y的图象,找出两函数图象交点个数即
可.
【详解】由正弦函数值域可得sin7txe[T,l],
又因为当尤=4时,y=Jx=l;
4
所以,分别画出>=sinxt和y=;x在尤e[-4,4]上的图象如下图所示:
根据图像并根据其对称性可知,在xw[T,4]上两函数图象共有7个交点;
由函数与方程可知,方程sinnx=9x有7个解.
故答案为:7
fsinx,sinx>cosx
9.对于函数/(x)=.,给出下列四个命题:
[cosx,sin尤<cosx
①该函数的值域为
②当且仅当x=2EMeZ)时,该函数取得最大值1;
③该函数是以2兀为最小正周期的周期函数;
37r
④当且仅当2E+7I<X<2EH(左eZ)时,/(%)<0.
2
上述命题中,假命题的序号是.
【答案】①②
【分析】作出函数/'(x)的图象,利用图象逐项判断,可得出合适的选项.
fsinx,sinx>cos%
【详解】因为“无)=.,
[cosx,sinx<cosx
对于③,当sin龙之cos%时,/(x+27i)=sin(x+27i)=sinx,
当sinxvcos尤时,/(X+2K)=COS(^+27I)=COSX,所以,函数/(%)为周期函数,
作出函数/(力的图象(图中实线)如下图所示:
结合图形可知,函数/(%)的最小正周期为2兀,③对;
对于①,由图可知,函数〃尤)的值域为-与1,①错;
对于②,由图可知,当且仅当x=2析或无=2E+与左eZ)时,函数”X)取得最大值1,②错;
3冗
对于④,由图可知,当且仅当2析+无<尤<2也+耳(左eZ)时,〃x)<0,④对.
故答案为:①②.
【C组在创新中考查思维】
一、单选题
1.函数“X)=4sin]尤-卜-1|的所有零点之和为()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【分析】令〃、)=。两个解为零点,将零点问题转换成g(x)=4sin]x,〃(x)=|x-[两个函数的交点问题,
作图即可求出零点,且g(x)和〃(力的图象关于x=l对称,零点也关于x=l,即可求出所有零点之和.
【详解】令八无)=0,得4sin9=|x-l|,解得了=一3或x=5,即为零点,
令g(x)=4sin]x,/?(%)=|x-l|,
7=@=4
g(元)的周期n,对称轴x=l+4匕4eZ,且的对称轴x=l,
2
显然,“X)在(0,1)和(1,2)上各存在一个零点,
g(5)=4sinN=4=/z⑸=|5-1|,飘4)=3>g(4)=0,在(4,5)上两函数必存在一个交点,
/(x)在(4,5]上有两个零点,同理/(x)在[-3,-2)上存在两个零点,
所以在[-3,5]上存在6个零点,
因为g(x)和h{x}关于x=1对称,则f(x)零点关于x=1对称,
所以Ax)的所有零点之和为6x1=6.
故选:C
2.已知〃x)=cos2x-asinx,若存在正整数〃,使函数y=在区间(0,加r)内有2023个零点,则实数。
所有可能的值为()
A.1B.-1C.0D.1或一1
【答案】B
【分析】根据题意令sinx位分析可得关于t的方程2产+必-1=0有两个不相等的实根,结合韦达定理可得
a=-;,分类讨论。出的分布,结合正弦函数分析判断.
【详解】令/(%)=cos2x-^sinx=l-2sin2x-〃sinx=0,
令sinx=,«-1』,则1-2y-成=0,即2/+办_1=0,
*.*A="—4x2x(-1)=a?+8>0,
则关于t的方程2*+成-1=0有两个不相等的实根,设为小%令小%
可得。+,2=-=-5<。,则有:
1.若。<一1<0<,2<1,艮|Jsin%=。<一1和sinx=/2e(0,l),
结合正弦函数图象可知:sinxie(O,l)在(2E,2E+#卜=*)内有两个不相等的实数根,sinxfv-1无
实数根,
故对任意正整数n,y=〃x)在(0,即)内有偶数个零点,不合题意;
2.若一1<。<0<1<12,即sin尤=。G(-l,0)^Dsinx=r2>1,
结合正弦函数图象可知:sinx=^>1无实数根,sinx="e(-1,0)在(2E+兀,2E+2祖鹿N*)内有两个不相
等的实数根,
故对任意正整数n,^=/(尤)在(。,而)内有偶数个零点,不合题意;
3.若-1<%<0<,2<1,即sin%=.G(-l,0)^nsinx=Z2G(0,1),
结合正弦函数图象可知:sinxfe(O,l)在(2航,2E+#(AeN*)内有两个不相等的实数根,sinxf«-1,0)
在(2桁+兀,2也+2祖上"*)内有两个不相等的实数根,
故对任意正整数n,y=/(x)在(0,"兀)内有偶数个零点,不合题意;
4.若.=-1,。2=J,即sinx=-l和sinx=ge(0,l),
结合正弦函数图象可知:$山》=;在(2加2也+#,eN*)内有两个不相等的实数根,sinx=-l在
(2E+兀,2E+2劝,eN*)内有且仅有一个实数根,
①对任意正奇数n,y=/(x)在(0,⑺内有3、9+2=等1个零点,
由题意可得胃3^4-1=2023,解得〃=340425e叶,不合题意;
②对任意正偶数n,丫=〃尤)在(0,师)内有3?33个零点,
4046
由题意可得三=2023,解得〃=节eN*,不合题意;
5.若4=一;,,2=1,即sinx=—;和sinx=l,
结合正弦函数图象可知:sinx=l在(2配2析+矶4eN*)内有且仅有一个实数根,sinx=-g在
(2E+兀,2E+2劝,eN*)内有两个不相等的实数根,
①对任意正奇数n,y=〃x)在(0,即)内有3x、l+l=浮个零点,
3〃一1
由题意可得方一二2023,解得〃=1349GN*,符合题意;
②对任意正偶数n,>=〃彳)在(0,河)内有3?^g个零点,
4046
由题意可得言=2023,解得”=沫比N*,不合题意;
综上所述:当%〃=1349时,符合题意.
此时-~|=-;+1=;,解得
故选:B.
二、填空题
3.已知函数/(x)=|cos2x|+l.给出下列四个结论:
①/(尤)的最小正周期是兀;
②f。)的一条对称轴方程为;
4
-9兀-
③若函数8⑴=/⑴+仅强即在区间0,—上有5个零点,从小到大依次记为和马,不,又,天,则
O
%+2(%+毛+/)+毛=5兀;
■JT1
④存在实数。,使得对任意修wR,都存在国,马€--,0且工产々,满足4(xJ=/O)+kr(A=l,2).
L6Jf(m)
其中所有正确结论的序号是
【答案】②③
'9兀一
【分析】画出函数图像,可判断①②,对于③,转化为了=-6与y=/(x)在xe0,—上交点问题,数形结
_O
兀3
合得到5个根的对称性,从而得到答案;对于④,xe--,0时,/(x)=|cos2x|+l单调递增,且/(x)e-,2,
_6J
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