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文档简介

八年级数学上册期末复习压轴题9个必考点

【考点1压轴小题•三角形中求线段与角的值】....................................................1

【考点2压轴小题•三角形中多结论问题】........................................................9

【考点3压轴小题•三角形中最值问题】.........................................................25

【考点4压轴小题•三角形中的分类讨论思想】..................................................34

【考点5压轴小题•新定义及规律】.............................................................41

【考点6压轴小题•整式与分式求值1.........................................................................................44

【考点7压轴小题•分式方程解的情况】.........................................................47

【考点8压轴大题•三角形综合题】.............................................................51

【考点9压轴大题•坐标与三角形综合题】.......................................................68

【考点1压轴小题•三角形中求线段与角的值】

1.(2023秋•武昌区期末)如图,△48C中,/B4C=6Q°,点、D是AABC外一点、,△BCD是等边三角形,

AB

过点。分别作/以/C的垂线,垂足分别为E,F,若CF=3BE,则:大的值为()

A.7B.-C.—D.~

5T1

【分析】过点8作3GL/C于点G,过点C作于点从可求出/NC〃=30°,再由

60°,得/2。"+/。。尸=180°-NACH-NBCD=90°,根据。尸_1。尸得/。。尸+/。。歹=90°,进

而得/BCH=/CDF,由此可证△BC7/和△a)尸全等,则同理△BCGgZVJBE(44S),则

CG=BE,设8E=x,则CG=2E=x,BH=CF=3x,设4H=a,AG=b,贝U/3=N〃+2H=a+3x,AC=

AG+CG^b+x,由/4CH=30°得4c=24H,即6+x=2a,则6=2a-x,在RtZX/BG中,求出//8G=

第1页共89页

3a7a

30°,得4S=24G,即〃+3x=2b,进而得a+3x=2(2tz-x),由此可得久二三,b=2a-x=~,进而

14a10aAB

得45=3x+a=wa,AC=b+x=-,据此可求出77的值.

33jtlG/

【解答】解:过点5作5G_1_/C于点G,过点。作于点X,如图所示:

VZBAC=60°,CHLAB,

:.ZACH=30°,

・・・△BCD为等边三角形,

AZBCD=60°,BC=CD,

:.ZBCH+ZDCF=180°-ZACH-Z5CZ)=180°-30°-60°=90°,

■:DFLCF,

:.ZDCF+ZCDF=90°,

JZBCH=ZCDFf

XVZ)F±CF,CHIAB,

:・NBHC=CFD=90°,

在△BS和△CD/中,

ZBHC=CFD=90°

乙BCH=乙CDF

BC=CD

:.ABCH^/\CDF(AAS),

:.BH=CF,

同理:ABCGQADBE(AAS),

I.CG=BE,

设BE=x,贝!JCG=BE=x,

♦;CF=3BE,

:.BH=CF=3x,

设4H=a,AG=b,

第2页共89页

贝5H=a+3x,AC=AG+CG=b+x,

在RtZUC”中,NACH=30°,

:・AC=2AH,

即b+x=2q,

=

••b''2ci~XJ

在RtZUBG中,ZBAC=60°,

:.ZABG=30°,

:.AB=2AG,

即a+3x=26,

a+3x=2(2a-x),

3a

•'•x=

.7a

••b'='2a~x—5,

3a14a7a3a

.'.AB=3x+a=3X—+a=AC=b+x=--\--=2a,

AB—7

*----5——-

••AC-^-5-

故选:A.

2.(2023秋•咸安区期末)如图,等边△/8C的边长为3,点尸是NC边上的一个动点,过点P作尸

于点。,延长C8至点。,使得8。=/尸,连接尸0交于点£,则的长为()

A.1B.-C.2D.-

【分析】过点尸作尸尸〃8C交N8于点R则先证明△4EP是等边三角形,则尸尸=/尸=

111

BQ,再证明△FEPg/\AE'0,得FE=BE=5BF,由尸。_LN3于点。,得FD=AD=5AF,贝!]=5

3

(AF+BF)=-.

【解答】解:过点尸作P尸〃8C交48于点R则/EP尸=/。,

•.•△/8C是边长为3的等边三角形,

第3页共89页

/.=AABC=ZC=60°,AB=3,

:・NAFP=NABC=60°,ZAPF=ZC=60°,

JZA=ZAFP=ZAPFf

・•・△/"是等边三角形,

:・FP=AP,

•;BQ=AP,

:,FP=B@,

在△庄尸和△5EQ中,

(乙FEP=乙BEQ

]乙EPF=“,

=BQ

:.△FEP/ABEQ(AAS),

1

•:FE=BE=3BF,

・・/D_L/8于点。,

1

:.FD=AD=-AF9

113

:.DE=FD+FE=~^AF+BF)=~AB=

故选:B.

3.(2023秋•竹山县期末)如图,△48C中,点。在5C上,ZACB=15°,NBAC=NADC=60,AE

_L5C于E,于RAE、C尸相交于点G.DC=m,AF=n,则线段EG的长为()

1111

C”产D.+-pn

第4页共89页

【分析】利用44s证明产GgZiCED可得%再根据含30°角的直角三角形的性质可求得

11

FG=DF=-m,进而可求CG=CF-■?=〃一下,再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解.

【解答】解:・:/ACB=75°,ZBAC=60°,

/.ZABC=1SO°-ZACB-NB4c=45°

VZADC=60°,

AZADB^nO0,

:・/DAC=NADB-NACB=120°-75°=45°,

又・.・W_L4。,

/.ZAFC=ZCFD=90°,ZACF=ZDAC=45°,

:・AF=CF,

'CCFLAD,AELBC,

:.ZCDF+ZDCF=ZCGE+ZDCF=90°,

:.ZCDF=ZCGE,

又•:/CGE=/AGF,

:.ZAGF=/CDF,

;在/G和中,

NAFC=/CFD,NAGF=NCDF,AF=CF,

:AAFG会ACFD(AAS),

:・CF=AF=n,

在RtZkCFZ)中,ZCFD=90°,NFCD=30°,

11

/.DF=-CZ)=­m,

1

:・FG=DF=-mf

1

:.CG=CF-FG=n-^m,

在RtZiCGE中,ZAEC=90°,NFCD=30°,

111

:.EG=-CG=^n--^n.

故选:A.

4.(2023秋•沙市区期末)如图,在四边形45CD中,AB=AD=12,BC=DC,ZA=60°,点E在4D

第5页共89页

上,连接5。,CE相交于点尸,CE//AB.若CE=9,则CF的长为()

A.4B.5C.6D.7

【分析】连接4C,先证明△ZBC/ZXZQC(SSS),根据全等三角形的性质可得NA4C=NC4。,根据

平行线的性质可得NB/C=N/CE,进一步可得NC/O=N/CE,可得EA=EC=9,根据Z

BAD=60°,可知△48。是等边三角形,从而可知△EFD是等边三角形,可知E尸=QE=3,根据。尸=

CE-EF求解即可.

【解答】解:连接4C,

U:AB=AD=\2,BC=DC,

在和△4。。中,

(AB=AD

\BC=CD,

14c=AC

:.AABC^^ADC(SSS),

;・/BAC=NCAD,

•:CE"AB,

:.NBAC=NACE,

;・NCAD=NACE,

:.EA=EC,

•:CE=9,

・・・4E=9,

・・・KD=12-9=3,

':AB=AD,ZBAD=60°,

・•・△45。是等边三角形,

AZABD=ZADB=60°,

■:CE//AB,

:.ZEFD=ZABD=60°,ZFED=ZBAD=60°,

第6页共89页

••.△EED是等边三角形,

:・EF=ED=3,

:.CF=CE-EF=9-3=6,

故选:C.

5.(2023秋•甘井子区校级期末)△/3C在中,边4B,/C的垂直平分线相交于尸点,若

33

Z-AEB=—Z-EAC=-a,则NBAE是()

A.-aB.aC.90。-5aD.90°-a

【分析】连接4P延长5P交4。于。,根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得

BAP,NACP=NCAP,根据三角形内角和即可求出NA4E.

【解答】解:连接BPCP,

*.*Z.AEB=-Z.EAC—万口,

/.ZEAC=a,

9:/AEB=/EAC+NACE,

Z-ACE=Z.AEB—Z-EAC=

•・•点尸是45,ZC的垂直平分线的交点,

:.PA=PB=PC,

第7页共89页

11

:・NABP=NBAP,ZACP=ZCAP=a,乙CBP=Z-BCP=Z71CP—ZJICB=a——a=-a,

设/ABP=/BAE=x,

13

/./.ABC—Z-ABP—Z.BPC=x——a,Z-BAC=匕BAP—Z.PAC=汽+5a,

VZABC+ZACB+ZBAC=1SO°,

11

/.x——a+%+a+5a=180°,

1

/.x=90°——a,

1

即NB/E=90。-5a.

故选:C.

6.(2023秋•老河口市期末)如图,在△ZSC中,/BAC=30°,4。平分NA4C,点E在的延长线上,

ZCAE=75°,若CE=R4+4C,则N5的度数为.

【分析】延长。到O,使得40=45,连接OE,求出NA4£=NO4£=105°,证明△4OE四△45E,

然后根据角度关系求得3/3+30。=180°求出N8的度数即可.

【解答】解:延长C4到。,使得49=48,连接。E,

O

VZBAC=30°,NCAE=75°,

:・/BAE=75°+30°=105°,NCUE=180°-75°=105°,

・•・/BAE=NOAE,

在/\AOE和△/BE中,

(AO=AB

\/.BAE=/,OAE,

kAE=AE

:.LAOE咨LABE(SAS),

第8页共89页

Z.NB=/O,

\'CE=BA+AC,

:.CE=AO+AC=OC,

:./O=NCEO,

,ZOCE+ZO+ZOEC=ZB+ZBAC+ZB+ZB=18O°,

故3/2+30°=180°,

:.ZB=50°,

故答案为:50°

【考点2压轴小题•三角形中多结论问题】

1.(2023秋•武汉期末)如图,△/BC是等腰直角三角形,将直角三角形的直角顶点。放在8c的中

点上,转动4DEF,设分别交/C,8/的延长线于点£,G,连EG,有下列结论:①/尸G£=

135°;②若NC=5,BG=8,则C£=3;③EF=2DG;©2SABDG=SMBE2s^DE,其中正确的结论

有几个?()

【分析】①连接4D,根据等腰直角三角形得/DL3C,AD=CD=BD,ZACB=ZB=45a,ZCAD=

1/2A4c=45°,先证△ECD和△G4D全等得CE=/G,DE=DG,进而得△EDG为等腰直角三角形,

则NEGD=45°,据此可求出/尸GE的度数,进而可对结论①进行判断;

②由/C=5得4B=4C=5,再由8G=8得4G=BG-4B=3,然后根据CE=NG可对结论②进行判断;

③在RtZ\DE尸中,/尸不一定是30°,因此斯=2£>E不一定成立,再根据。E=OG可对结论③进行

判断;

④根据点。为2c的中点得“C=2S"BD,再根据△ECO且△G4D得S«DE=S4DG,然后由SABDG=

SUBD+S“DG,得SABDG=SMBD+SMDE,进而得2s△B0G=2Suao+2s△CDE,由此可对结论④进行判断,

综上所述即可得出答案.

第9页共89页

【解答】解:①连接4。,如图所示:

是等腰直角三角形,点。为底边的中点,

1

:.AD1.BC,AD=CD=BD,NACB=NB=45°,ZCAD=~ZBAC=45°,

.,.Zl+Z3=90°,

VZEDF=90°,

,N2+N3=90°,

AZ1=Z2,

VZACB=45°,

/.ZECD=180°-ZACB=135°,

VZGAD=ZGAE+ZCAD=900+45°=135°,

:・NGAD=NECD,

在△EC。和△G/Z)中,

(Z-GAD=乙ECD

]AD=CD,

tzl=Z.2

△ECD之LGAD(ASA),

:・CE=AG,DE=DG,

・・・丛EDG为等腰直角三角形,

:・/EGD=45°,

:・/FGE=1800-NEGD=180°-45°=135°,

故结论①正确;

•・ZC=5,

'.AB—AC=5,

,:BG=8,

第10页共89页

:,AG=BG-AB=8-5=3,

•;CE=AG,

:・CE=3,

故结论②正确;

在Rt△。石尸中,N尸不一定等于30°,

:.EF=2DE不一定成立,

•:DE=DG,

:.EF=2DG不一定成立,

故结论③不正确;

丁点。为的中点,

:・S丛ABC=2S^ABD,

AECDmAGAD,

:・SM:DE=S44DG,

又•'S丛BDG=S>AB小SAADG,

:・SABDG=S“Biy¥SACDE,

2s丛BDG=2SAABN2s丛CDE,

2SABDG=S4BG?SACDE,

故结论④正确.

综上所述:正确的结论是①②④,共3个.

故选:B.

2.(2024•罗湖区校级模拟)如图,在△45C中,AC=BC,N5=30°,。为的中点,P为CD上一点,

E为5c延长线上一点,且PA=PE.有下列结论:®ZPAD+ZPEC=3G°;②△尸为等边三角形;

CE—CP

③PD=2;④S四边形4ECP=SA/Ba其中正确的结论是()

A.①②③④B.①②C.①②④D.③④

第11页共89页

【分析】连接2P,由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①;由三角形内角和定理可求/

PEA=ZPAE=60°,可判断②;过点/作4F_LBC,在上截取CG=CP,由“&4S”可证△「'AC

g作点P关于N8的对称点P,连接PA,P'。,根据对称性质即可判断③;过点/作

AFLBC,在2C上截取CG=CP,由三角形的面积的和差关系可判断④.

【解答】解:如图,连接BP,

•:AC=BC,ZABC=30°,点。是的中点,

:.NCAB=NABC=3Q°,AD=BD,CDLAB,ZACD^ZBCD^60°,

;.CD是AB的中垂线,

:.AP=BP,J.AP=PE,

:.AP=PB=PE

:.NPAB=APBA,NPEB=NPBE,

:.ZPBA+ZPBE=ZPAB+ZPEB,

:.ZABC=ZPAD+ZPEC^30°,

故①正确;

•:PA=PE,

:./PAE=NPEA,

ZABC=ZPAD+ZPEC=30°,

/.ZPAE=ZPEA=60°,

...△P/E是等边三角形,

故②正确;

如图,作点尸关于48的对称点P,连接PA,P'D,

:.AP=AP',ZPAD=ZP'AD,

第12页共89页

E

:.AE=AP,

:.AE=AP',

VZCAD=ZCAP+ZPAD=30°,

:.2ZCAP+2ZPAD=60°,

:./CAP+/PAD+/P'AD=600-APAC,

:・/P'AC=NEAC,

':AC=AC,

・・・△2'AC^/\ZEAC("S),

:.CP'=CE,

,:点P、P'关于对称,即OPLAB,且尸D=PD,

9CCDLAB,

:・C、P、D、P'共线,

:・CE=CP'=CP+PD+DPr=CP+2PD,

CE-CP

:.PD=---.

故③正确;

过点4作45C,在5C上截取CG=C尸,

,:CG=CP,ZBCD=60°,

AACPG是等边三角形,

:.ZCGP=ZPCG=60°,

;・/ECP=NGPB=T20°,且EP=PB,/PEB=/PBE,

:AMCEQABGE(AAS),

:.CE=GB,

第13页共89页

:.AC=BC=BG+CG=EC+CP,

VZABC=3Q°,AFLBM,

1

:.AF=~AB=AD,

1111

・:S“CB=2CBXAF=2(EC+CP)XAF=-ECXAF+~CPXAD^S四边形/ECP

四边形故④正确・

所以其中正确的结论是①②③④.

故选:A.

3.(2023秋•十堰期末)如图,在△N3C中,ZBCA=90°,CA=CB,川9为边3c边上的中线,CG_LNZ>

于G,交AB于F,过点2作3c的垂线交CG于点E.有下列结论:①△4DC丝△(7班;②DF=EF;

③厂为EG的中点;④/ADC=/BDF;⑤6为。尸的中点.其中正确的结论有()个.

D

A.4B.3C.2D.1

【分析】①由条件可知NECD+N/。C=N£1+NECD=90°,可得NE=N4DC,再结合条件即可证明

△ADCgACEB;@®BE=CD=BD,结合条件可证明48跖0△8。尸,则有/E=尸=//DC,

EF=DF,可得/ADC=/BDF;③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得。尸>FG,结合防=

DF,可知尸不可能为EG中点.⑤假设G为CF的中点,先证明△DG尸注△Z)GC(S4S),可得。尸=

DC,即可证明NFD8=90°,进而可得/E=90°,此与NE8C=90°相矛盾,即可作答.

【解答】解:VZBC4=90°,CGLAD,

:.ZECD+ZADC=ZE+ZECD=90

第14页共89页

・・・/E=ZADCf

■:BE2BC,

:.ZEBC=ZACD=90°,

在△4DC和△C£3中,

(Z.ACD=Z-CBE

\z-ADC=Z.E,

14c=BC

:,△ADC/ACEB(AAS),故①正确;

・・,。为5。中点,

:・BE=CD=BD,

•:AC=BC,ZACB=90°,

;・NDBF=45°=/EBF,

在△BEF和△力卯中,

(BE=BD

\z.DBF=Z.EBF,

(BF=BF

:•△BEF"ABDF("S),

:・/E=/BDF,EF=DF,故②正确;

又,:AE=Z.ADC,

:.ZADC=ZBDFf故④正确;

在RtZ\Z)/G中,DF>FG,

■:EF=DF,

:.EF>FG,

・••月不是石G的中点,故③不正确;

假设G为CF的中点,

:.GF=GC,

,:GD=GD,ZDGF=ZDGC=90°,

:•△DGFQXDGC(SAS),

:.DF=DC,

•:CD=BD,

:・DF=BD,

第15页共89页

■:NBDF=45°,

/.ZBDF=45°=ZBFD,

:.NFDB=90°,

,//E=/BDF,

—90°,此与/EBC=90°相矛盾,

故假设错误,即G不是C尸的中点,故⑤错误,

即正确的有①②④,正确的为3个,

故选:B.

4.(2023秋•荆门期末)如图,△/2C中,4B=AC,BD平分/4BC交4c于点G,DM〃台C交N/2C的

外角平分线于点交48、NC于点尸、E,下列结论:

①S/VIBG:S&BCG=AB:BC;

②FD=EC;

③EC=EF+DG;

1

@CE=-MD.

其中正确的结论有()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【分析】由角平分线的性质得出G8=GN,再根据三角形面积公式即可证得SA^BG:S^BCG=AB:BC;

由等腰三角形的判定,易得△AD尸与是等腰三角形,尸是等腰三角形,继而可得FM=Z)F=

1

BF=EC;由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半,即可证得CE=/D.

【解答】解:①如图,过点G作G0,8c于。,GNLAB于N,

第16页共89页

平分N4BC,

/.GQ=GN,

11

S“BG=]4B・GN,SMCG=产。GQ,

:・S"BG:S4BCG=AB:BC,

・••①正确,符合题意;

②•:DM〃BC,

:.ZMBH=ZM,ND=/CBD,

•;BM平分/ABH,BD平分/ABC,

:・/M=/MBF,/D=/ABD,

:・BF=FM=FD,

•:AB=AC,

:.NABC=/C,

■:DM〃BC,

:./AFE=/AEF,

;・AF=AE,

:.BF=CE,

:・FD=EC,

・••②正确,符合题意;

③ZC与ZBGC的大小不确定,

・・・OE不一定等于DG,

■:EC=DF=EF+DE,

・・・EC不一定等于EF+DG,

・••③错误,不符合题意;

④・・,8。平分N4BC,氏位是N4BC的外角平分线,

第17页共89页

11

/./MBF=ZMBH=-ZABH,ZABD=ZCBD=~ZABC,

11

:.ZMBD=NMBF+NABD=-(ZABH+ZABC)=~x180°=90°,

":FM=DF,

1

:.BF=­MD,

1

:.CE=~MD,

...④正确,符合题意.

故选:B.

5.(2024秋•靳春县期末)如图,△48C中,/ABC、NFC的角平分线AP、CP交于点P,延长A4、

BC,PMLBE于M,PN1BF于N,则下列结论:①NP平分NENC;(2)ZABC+2ZAPC=180°;③/

BAC=2/BPC;④S*AC=SAMAP+SANCP.其中正确结论的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】过点P作尸DL/C于。,根据角平分线的判定定理和性质定理判断①;证明RtZVMM乌口△

PAD,根据全等三角形的性质得出判断②;根据三角形的外角性质判断③;根据全等

三角形的性质判断④.

【解答】解:①过点P作尸于。,

•.•尸8平分N/8C,PC平分NFCA,PMX.BE,PNLBF,PDLAC,

:.PM=PN,PN=PD,

:.PM=PD,

■:PMLBE,PDLAC,

尸平分/E/C,故①正确;

@":PMLAB,PNLBC,

:.ZABC+900+ZMPN+900=360°,

ZABC+ZMPN=1SO°,

第18页共89页

在RtZXP/M和RtAP/D中,

(PM=PD

{PA=PA'

...RtAP/AfgRtAP/D(HL),

:.ZAPM=NAPD,

同理:RtZXPCD丝RtZXPCNqHL),

:.NCPD=ZCPN,

:.ZMPN=2ZAPC,

:.ZABC+2ZAPC=18O°,②正确;

③平分NZ2C,CP平分/斤G4,

1

ZACF=ZABC+ZBAC=2ZPCF,ZPCF=~ZABC+ZBPC,

:.NBAC=2NBPC,③正确;

④由②可知RtZVMA/gRtZV5/。(HL),RtAPCD^RtAPCTV(ffl),

:,S“PD=SAMAP,SACPD=S&NCP,

:•S&PAC=SAMA/S^CP,故④正确,

故选:D.

6.(2023秋•丹江口市期末)如图,在△48C中,ZABC=45°,过点C作CD_L/8于点。,过点3作

于点连接儿Q,过点。作DAaM),交8M于点N.C。与相交于点£,若点E是CD

的中点,则下列结论:①AC=BE;②DM=DN;@ZAMD=45°;④NE=3ME.其中正确的有()

个.

BC

第19页共89页

A.4B.3C.2D.1

【分析】证明△5QC是等腰直角三角形,从而证明也△CEM,ABDNQACDM,根据全等三角形

的性质即可证明结论,证明△DW是等腰直角三角形,可得乙4〃。=45°,LDEF咨ACEM(AAS),

可得MN=2MF=4ME,即可证明结论.

【解答】证:9:CDLAB,BMLAC,

:.ZBDE=ZCME=90°,

ZDEB=NMEC,

:.ZDBE=NDCA,

VZABC=45°,CDLAB,

・・・ABDC是等腰直角三角形,

:,BD=CD,

■:/BDE=/CDA,NDBE=NDCA,

:•△BDE咨ACDA(ASA),

:.BE=AC,

VZBDC=ZNDM=90°,

・•・ZBDN=ZCDM,

9:ZDBN=ZDCM,BD=CD,

:.△BDN"MDM(ASA),

:.DM=DN,

•:/NDM=90°,

・・・4DNM是等腰直角三角形,

:・/DMN=A5°,

AZAMD=45°,

故①②③正确,

过点。作。尸_L〃N于点R则NDFE=NCME=90°,

":DN±MD,DN=DM,

:.MN=2FM=2FN,

丁点E是CD的中点,

:.DE=CE,

第20页共89页

ZDEF=ZCEM,ZDFE=ACME,

MDEFm4CEM(AAS),

:.ME=EF,

:.MN=2MF=4ME,

:.NE=3ME,

故④正确,

本题选:A.

7.(2023秋•和平区期末)如图,在△NBC中,NA4c和N/2C的平分线/E,2尸交于点/,4E交BC于

点、E,BF交AC于点、F,连接/C.过点/作ZDJ_3C于点。,若lD=h,AB=c,AC=b,BC=a,现给

出以下结论:

①NACI=/BCI;

@ZBIC=90°+/BAC;

S/^ABC

④当N/G9=60°时,AF+BE=AB;

a+b—c

⑤当N/C2=90°时,h=---;

其中,正确结论的个数是()

A.2B.3C.4D.5

【分析】作/GL/C于点G,IHLAB于点、H,由角平分线的性质得7F=7H,ID=IH,所以m=JD,则

^11

CI平分/ACB,所以//C7=/BC7,可判断①正确;由N/3C=5/48C,ZICB=~ZACB,可推导出

第21页共89页

11

Z5/C=180°--(180°-NBAC)=90°+-ZBAC^90°+NBAC,可判断②错误;由IF=IH=ID=

1111

h,AB=c,BC=a,AC=b,得S4ABC=S^ABJ+SABCI^S4ACI=《AB・IH+3BC・ID+靖(3・IF=动

"2.S/\ARCS/\ARC

(a+b+c),贝"7=丰,可判断③错误:在N3上截取连接〃,当N/C2=60°

a+b+ca+fb+c0J

时,可证明乙4历=180°-(NIAB+/IBA)=120°,则N4F=/8/£=180°-NAIB=6Q°,可证明

AAIL^AAIF,则N4tt=N4F=60°,所以NBIL=/BIE=60°,再证明丝△Affi,得BL=BE,

贝l|/尸+七&=/1+以二/8可判断④正确;当N/C5=90°时,则四边形7DCG是正方形,所以CG=CD

=ID=h,可证明RtAAIG咨RtAAIH,得4G=4H,再证明Rt/XBZD丝RtZ\5/〃,得BD=BH,可证明h=

a+b-c-、

可判断⑤正确,于是得到问题的答案.

【解答】解:如图1,作/GL4C于点G,出,/8于点凡

•:AE平分NA4C交BC于点E,

:.IF=IH,

・.,5/平分N4B。交4。于点R/D工BC于点D,

:.ID=IH,

:,IF=ID,

・・・点/在N/CB的平分线上,

・・・C7平分N/C5,

・•・/AC/=ZBCL

故①正确;

11

ZIBC=5/ABC,ZICB=-AACB,

1

AZ5/C=180°-QIBC+/ICB)=180°一](NABC+/ACB),

VZABC+ZACB^1SO°-ABAC,

11

AZ5/C=180°--(180°-ABAC)=90°+-Z^C^90°+ABAC,

故②错误;

•:IF=IH=ID=h,AB=c,BC=a,AC=b,

1111

:•S4BC=S4B广SABCZMCI=~^B•IH+^C・ID+《iC・IF=厘(〃+6+c),

.2s△/BCSgBC

,a+b+c丰a+b+c

第22页共89页

故③错误;

如图2,在45上截取4£=4F,连接〃,

VZACB=60°,

AZBAC+ZABC=1SO°-ZACB=120°,

11

*.*ZIAB=-ABAC,/IBA=~ZABC,

11

/.ZIAB+ZIBA=~(ZBAC+ZABC)=-x120°=60°,

・・・NZ由=180°-(/L4B+/IBA)=180°-60°=120°,

AZAIF=ZBIE=180°-ZAIB=1SO°-120°=60°,

在和△43中,

(AL=AF

\^LAI=Z.FAl,

VAI=AI

:.AAIL^AAIF(SAS),

AZAIL=ZAIF=60°,

AZBIL=ZAIB-ZAIL=120°-60°=60°,

・•・/BIL=/BIE,

在△57L和由中,

(乙BIL=ABIE

\BI=BI,

(乙LBI=乙EBI

:.ABIL^ABIE(ASA),

:・BL=BE,

:.AF+BE=AL+BL=AB,

故④正确;

如图3,ZACB=90°,

作/G_L4C于点G,IH_LAB于点H,则N4G/=N4H/=NBH/=NBD[=90°,

VZIGC=ZIDC=ZDCG=90°,

・・・四边形/DCG是矩形,

•:IG=ID=IH,

・・・四边形〃)CG是正方形,

第23页共89页

:.CG=CD=ID=h,

在RtZU/G和RtAAIH中,

(AI=AI

UG=IH'

;.RtZU/G取RtZU/H(HL),

:.AG=AH,

在RtAS/D和RtABIH中,

(BI=BI

\ID=IH'

:.RtABID咨Rt/XBIHqHL),

:.BD=BH,

:.CG+CD=2h=BC+AC-AG-BD=BC+AC-(AH+BH)=BC+AC-AB=a+b-c,

a+b—c

/.h=--------

故⑤正确,

故选:B.

A

BED

图3

ED

图1

第24页共89页

【考点3压轴小题•三角形中最值问题】

1.(2024•武威二模)如图,等腰直角△NBC中,ZACB=90°,AC=BC=4,M为中点.点。为射

线BC上的一个动点,以4D为直角边向右上方构造等腰直角/DAE=90;连接瓦/在。点

的运动过程中,EN长度的最小值是.

【分析】连接2瓦过点放作MGL2E于点G,过点/作/K,48交AD的延长线于点K,可得△/肪

是等腰直角三角形.根据△/£>£是等腰直角三角形,从而证明△ADKga/EB,得NABE=/K=45。

可得△8MG是等腰直角三角形,可求得MG的长,当ME=MG时,儿化的值最小,进而可得近的最小

值.

【解答】解:如图,连接BE,过点M作MGL3E于点G,过点/作/KL/8交8。的延长线于点K,

,:AC=BC,ZACB^90°,

ZABC=45°,

:.ZK=45°,

C./XAKB是等腰直角三角形.

1/LADE是等腰直角三角形,

:.ZKAD+/DAB=ZBAE+ZDAB=90°,

二/KAD=NBAE,

在AADK和△4E5中,

(AD=AE

\z.KAD=/.BAE,

(4K=AB

:.AADK冬LAEB(SAS),

:.ZABE=ZK=45°,

•••4BMG是等腰直角三角形,

第25页共89页

ZC=2C=4,

:.AB=A也

■:M为AB中点,

:.MG=BG=2,/BGM=90°,

.•.当时,ME■的值最小,

:.ME=BE=2.

故答案为:2.

2.(2023秋•东西湖区期末)如图,在等腰△N8C中,AB=AC,ZA=45°,D、£两点分别是边NC、AB

上的动点,且式2E=24D,将线段0E绕点。顺时针旋转45°得到线段。R连接2R当线段2尸最短

时,/ABF=0.

【分析】在CD上截取。河=4£,连接尸四,CF,作点8关于C尸的对称点M连接CMBN,先证明△

ADE咨LMFD,得到40=松,ZA=ZDMF^45°,当2、足N三点共线时,2AF=AF+?VF的值最小,

最小值为8N,此时AF最小,再证明△8CN为等腰直角三角形,可得NC3N=45°即可解答.

【解答】解:在CZ)上截取连接*0,CF,作点8关于C尸的对称点N,连接CMBN,

第26页共89页

B

N

VZA=45°,NEDF=45。,-AED=/EDM=NEDF+NFDM,

:.ZAED=ZFDM,

:,DE=DF,

:.AADEQAMFD(SAS),

:.AD=FM,ZA=ZDMF=45°,

9:AB=AC,

:.AE+BE=AD+CD,

•:BE=2AD,

:.CD=AE+AD.

■:CD=DM+CM,

:・CM=AD,

:.FM=CM,

:.NMCF=/MFC,

VZDMF=45°,

AZFCM=ZMFC=22.5°,

・・・/点在射线。尸上运动,

•・•点5与点N的关于。户对称,

:・BF=NF,CN=BC,

:.BF+FN=2BF^BN,

当B、F、N三点共线时,5/+W=2B/的值最小,即此时8月最小,最小值为BN,

VZA=45°,AB=BC,

:・NACB=NABC=67.5°,

・・・ZBCF=ZACB-ZFC

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