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文档简介
八年级数学上册期末复习压轴题9个必考点
【考点1压轴小题•三角形中求线段与角的值】....................................................1
【考点2压轴小题•三角形中多结论问题】........................................................9
【考点3压轴小题•三角形中最值问题】.........................................................25
【考点4压轴小题•三角形中的分类讨论思想】..................................................34
【考点5压轴小题•新定义及规律】.............................................................41
【考点6压轴小题•整式与分式求值1.........................................................................................44
【考点7压轴小题•分式方程解的情况】.........................................................47
【考点8压轴大题•三角形综合题】.............................................................51
【考点9压轴大题•坐标与三角形综合题】.......................................................68
【考点1压轴小题•三角形中求线段与角的值】
1.(2023秋•武昌区期末)如图,△48C中,/B4C=6Q°,点、D是AABC外一点、,△BCD是等边三角形,
AB
过点。分别作/以/C的垂线,垂足分别为E,F,若CF=3BE,则:大的值为()
A.7B.-C.—D.~
5T1
【分析】过点8作3GL/C于点G,过点C作于点从可求出/NC〃=30°,再由
60°,得/2。"+/。。尸=180°-NACH-NBCD=90°,根据。尸_1。尸得/。。尸+/。。歹=90°,进
而得/BCH=/CDF,由此可证△BC7/和△a)尸全等,则同理△BCGgZVJBE(44S),则
CG=BE,设8E=x,则CG=2E=x,BH=CF=3x,设4H=a,AG=b,贝U/3=N〃+2H=a+3x,AC=
AG+CG^b+x,由/4CH=30°得4c=24H,即6+x=2a,则6=2a-x,在RtZX/BG中,求出//8G=
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3a7a
30°,得4S=24G,即〃+3x=2b,进而得a+3x=2(2tz-x),由此可得久二三,b=2a-x=~,进而
14a10aAB
得45=3x+a=wa,AC=b+x=-,据此可求出77的值.
33jtlG/
【解答】解:过点5作5G_1_/C于点G,过点。作于点X,如图所示:
VZBAC=60°,CHLAB,
:.ZACH=30°,
・・・△BCD为等边三角形,
AZBCD=60°,BC=CD,
:.ZBCH+ZDCF=180°-ZACH-Z5CZ)=180°-30°-60°=90°,
■:DFLCF,
:.ZDCF+ZCDF=90°,
JZBCH=ZCDFf
XVZ)F±CF,CHIAB,
:・NBHC=CFD=90°,
在△BS和△CD/中,
ZBHC=CFD=90°
乙BCH=乙CDF
BC=CD
:.ABCH^/\CDF(AAS),
:.BH=CF,
同理:ABCGQADBE(AAS),
I.CG=BE,
设BE=x,贝!JCG=BE=x,
♦;CF=3BE,
:.BH=CF=3x,
设4H=a,AG=b,
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贝5H=a+3x,AC=AG+CG=b+x,
在RtZUC”中,NACH=30°,
:・AC=2AH,
即b+x=2q,
=
••b''2ci~XJ
在RtZUBG中,ZBAC=60°,
:.ZABG=30°,
:.AB=2AG,
即a+3x=26,
a+3x=2(2a-x),
3a
•'•x=
.7a
••b'='2a~x—5,
3a14a7a3a
.'.AB=3x+a=3X—+a=AC=b+x=--\--=2a,
AB—7
*----5——-
••AC-^-5-
故选:A.
2.(2023秋•咸安区期末)如图,等边△/8C的边长为3,点尸是NC边上的一个动点,过点P作尸
于点。,延长C8至点。,使得8。=/尸,连接尸0交于点£,则的长为()
A.1B.-C.2D.-
【分析】过点尸作尸尸〃8C交N8于点R则先证明△4EP是等边三角形,则尸尸=/尸=
111
BQ,再证明△FEPg/\AE'0,得FE=BE=5BF,由尸。_LN3于点。,得FD=AD=5AF,贝!]=5
3
(AF+BF)=-.
【解答】解:过点尸作P尸〃8C交48于点R则/EP尸=/。,
•.•△/8C是边长为3的等边三角形,
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/.=AABC=ZC=60°,AB=3,
:・NAFP=NABC=60°,ZAPF=ZC=60°,
JZA=ZAFP=ZAPFf
・•・△/"是等边三角形,
:・FP=AP,
•;BQ=AP,
:,FP=B@,
在△庄尸和△5EQ中,
(乙FEP=乙BEQ
]乙EPF=“,
=BQ
:.△FEP/ABEQ(AAS),
1
•:FE=BE=3BF,
・・/D_L/8于点。,
1
:.FD=AD=-AF9
113
:.DE=FD+FE=~^AF+BF)=~AB=
故选:B.
3.(2023秋•竹山县期末)如图,△48C中,点。在5C上,ZACB=15°,NBAC=NADC=60,AE
_L5C于E,于RAE、C尸相交于点G.DC=m,AF=n,则线段EG的长为()
1111
C”产D.+-pn
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【分析】利用44s证明产GgZiCED可得%再根据含30°角的直角三角形的性质可求得
11
FG=DF=-m,进而可求CG=CF-■?=〃一下,再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解.
【解答】解:・:/ACB=75°,ZBAC=60°,
/.ZABC=1SO°-ZACB-NB4c=45°
VZADC=60°,
AZADB^nO0,
:・/DAC=NADB-NACB=120°-75°=45°,
又・.・W_L4。,
/.ZAFC=ZCFD=90°,ZACF=ZDAC=45°,
:・AF=CF,
'CCFLAD,AELBC,
:.ZCDF+ZDCF=ZCGE+ZDCF=90°,
:.ZCDF=ZCGE,
又•:/CGE=/AGF,
:.ZAGF=/CDF,
;在/G和中,
NAFC=/CFD,NAGF=NCDF,AF=CF,
:AAFG会ACFD(AAS),
:・CF=AF=n,
在RtZkCFZ)中,ZCFD=90°,NFCD=30°,
11
/.DF=-CZ)=m,
1
:・FG=DF=-mf
1
:.CG=CF-FG=n-^m,
在RtZiCGE中,ZAEC=90°,NFCD=30°,
111
:.EG=-CG=^n--^n.
故选:A.
4.(2023秋•沙市区期末)如图,在四边形45CD中,AB=AD=12,BC=DC,ZA=60°,点E在4D
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上,连接5。,CE相交于点尸,CE//AB.若CE=9,则CF的长为()
A.4B.5C.6D.7
【分析】连接4C,先证明△ZBC/ZXZQC(SSS),根据全等三角形的性质可得NA4C=NC4。,根据
平行线的性质可得NB/C=N/CE,进一步可得NC/O=N/CE,可得EA=EC=9,根据Z
BAD=60°,可知△48。是等边三角形,从而可知△EFD是等边三角形,可知E尸=QE=3,根据。尸=
CE-EF求解即可.
【解答】解:连接4C,
U:AB=AD=\2,BC=DC,
在和△4。。中,
(AB=AD
\BC=CD,
14c=AC
:.AABC^^ADC(SSS),
;・/BAC=NCAD,
•:CE"AB,
:.NBAC=NACE,
;・NCAD=NACE,
:.EA=EC,
•:CE=9,
・・・4E=9,
・・・KD=12-9=3,
':AB=AD,ZBAD=60°,
・•・△45。是等边三角形,
AZABD=ZADB=60°,
■:CE//AB,
:.ZEFD=ZABD=60°,ZFED=ZBAD=60°,
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••.△EED是等边三角形,
:・EF=ED=3,
:.CF=CE-EF=9-3=6,
故选:C.
5.(2023秋•甘井子区校级期末)△/3C在中,边4B,/C的垂直平分线相交于尸点,若
33
Z-AEB=—Z-EAC=-a,则NBAE是()
A.-aB.aC.90。-5aD.90°-a
【分析】连接4P延长5P交4。于。,根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得
BAP,NACP=NCAP,根据三角形内角和即可求出NA4E.
【解答】解:连接BPCP,
*.*Z.AEB=-Z.EAC—万口,
/.ZEAC=a,
9:/AEB=/EAC+NACE,
Z-ACE=Z.AEB—Z-EAC=
•・•点尸是45,ZC的垂直平分线的交点,
:.PA=PB=PC,
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11
:・NABP=NBAP,ZACP=ZCAP=a,乙CBP=Z-BCP=Z71CP—ZJICB=a——a=-a,
设/ABP=/BAE=x,
13
/./.ABC—Z-ABP—Z.BPC=x——a,Z-BAC=匕BAP—Z.PAC=汽+5a,
VZABC+ZACB+ZBAC=1SO°,
11
/.x——a+%+a+5a=180°,
1
/.x=90°——a,
1
即NB/E=90。-5a.
故选:C.
6.(2023秋•老河口市期末)如图,在△ZSC中,/BAC=30°,4。平分NA4C,点E在的延长线上,
ZCAE=75°,若CE=R4+4C,则N5的度数为.
【分析】延长。到O,使得40=45,连接OE,求出NA4£=NO4£=105°,证明△4OE四△45E,
然后根据角度关系求得3/3+30。=180°求出N8的度数即可.
【解答】解:延长C4到。,使得49=48,连接。E,
O
八
VZBAC=30°,NCAE=75°,
:・/BAE=75°+30°=105°,NCUE=180°-75°=105°,
・•・/BAE=NOAE,
在/\AOE和△/BE中,
(AO=AB
\/.BAE=/,OAE,
kAE=AE
:.LAOE咨LABE(SAS),
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Z.NB=/O,
\'CE=BA+AC,
:.CE=AO+AC=OC,
:./O=NCEO,
,ZOCE+ZO+ZOEC=ZB+ZBAC+ZB+ZB=18O°,
故3/2+30°=180°,
:.ZB=50°,
故答案为:50°
【考点2压轴小题•三角形中多结论问题】
1.(2023秋•武汉期末)如图,△/BC是等腰直角三角形,将直角三角形的直角顶点。放在8c的中
点上,转动4DEF,设分别交/C,8/的延长线于点£,G,连EG,有下列结论:①/尸G£=
135°;②若NC=5,BG=8,则C£=3;③EF=2DG;©2SABDG=SMBE2s^DE,其中正确的结论
有几个?()
【分析】①连接4D,根据等腰直角三角形得/DL3C,AD=CD=BD,ZACB=ZB=45a,ZCAD=
1/2A4c=45°,先证△ECD和△G4D全等得CE=/G,DE=DG,进而得△EDG为等腰直角三角形,
则NEGD=45°,据此可求出/尸GE的度数,进而可对结论①进行判断;
②由/C=5得4B=4C=5,再由8G=8得4G=BG-4B=3,然后根据CE=NG可对结论②进行判断;
③在RtZ\DE尸中,/尸不一定是30°,因此斯=2£>E不一定成立,再根据。E=OG可对结论③进行
判断;
④根据点。为2c的中点得“C=2S"BD,再根据△ECO且△G4D得S«DE=S4DG,然后由SABDG=
SUBD+S“DG,得SABDG=SMBD+SMDE,进而得2s△B0G=2Suao+2s△CDE,由此可对结论④进行判断,
综上所述即可得出答案.
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【解答】解:①连接4。,如图所示:
是等腰直角三角形,点。为底边的中点,
1
:.AD1.BC,AD=CD=BD,NACB=NB=45°,ZCAD=~ZBAC=45°,
.,.Zl+Z3=90°,
VZEDF=90°,
,N2+N3=90°,
AZ1=Z2,
VZACB=45°,
/.ZECD=180°-ZACB=135°,
VZGAD=ZGAE+ZCAD=900+45°=135°,
:・NGAD=NECD,
在△EC。和△G/Z)中,
(Z-GAD=乙ECD
]AD=CD,
tzl=Z.2
△ECD之LGAD(ASA),
:・CE=AG,DE=DG,
・・・丛EDG为等腰直角三角形,
:・/EGD=45°,
:・/FGE=1800-NEGD=180°-45°=135°,
故结论①正确;
•・ZC=5,
'.AB—AC=5,
,:BG=8,
第10页共89页
:,AG=BG-AB=8-5=3,
•;CE=AG,
:・CE=3,
故结论②正确;
在Rt△。石尸中,N尸不一定等于30°,
:.EF=2DE不一定成立,
•:DE=DG,
:.EF=2DG不一定成立,
故结论③不正确;
丁点。为的中点,
:・S丛ABC=2S^ABD,
AECDmAGAD,
:・SM:DE=S44DG,
又•'S丛BDG=S>AB小SAADG,
:・SABDG=S“Biy¥SACDE,
2s丛BDG=2SAABN2s丛CDE,
2SABDG=S4BG?SACDE,
故结论④正确.
综上所述:正确的结论是①②④,共3个.
故选:B.
2.(2024•罗湖区校级模拟)如图,在△45C中,AC=BC,N5=30°,。为的中点,P为CD上一点,
E为5c延长线上一点,且PA=PE.有下列结论:®ZPAD+ZPEC=3G°;②△尸为等边三角形;
CE—CP
③PD=2;④S四边形4ECP=SA/Ba其中正确的结论是()
A.①②③④B.①②C.①②④D.③④
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【分析】连接2P,由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①;由三角形内角和定理可求/
PEA=ZPAE=60°,可判断②;过点/作4F_LBC,在上截取CG=CP,由“&4S”可证△「'AC
g作点P关于N8的对称点P,连接PA,P'。,根据对称性质即可判断③;过点/作
AFLBC,在2C上截取CG=CP,由三角形的面积的和差关系可判断④.
【解答】解:如图,连接BP,
•:AC=BC,ZABC=30°,点。是的中点,
:.NCAB=NABC=3Q°,AD=BD,CDLAB,ZACD^ZBCD^60°,
;.CD是AB的中垂线,
:.AP=BP,J.AP=PE,
:.AP=PB=PE
:.NPAB=APBA,NPEB=NPBE,
:.ZPBA+ZPBE=ZPAB+ZPEB,
:.ZABC=ZPAD+ZPEC^30°,
故①正确;
•:PA=PE,
:./PAE=NPEA,
ZABC=ZPAD+ZPEC=30°,
/.ZPAE=ZPEA=60°,
...△P/E是等边三角形,
故②正确;
如图,作点尸关于48的对称点P,连接PA,P'D,
:.AP=AP',ZPAD=ZP'AD,
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E
:.AE=AP,
:.AE=AP',
VZCAD=ZCAP+ZPAD=30°,
:.2ZCAP+2ZPAD=60°,
:./CAP+/PAD+/P'AD=600-APAC,
:・/P'AC=NEAC,
':AC=AC,
・・・△2'AC^/\ZEAC("S),
:.CP'=CE,
,:点P、P'关于对称,即OPLAB,且尸D=PD,
9CCDLAB,
:・C、P、D、P'共线,
:・CE=CP'=CP+PD+DPr=CP+2PD,
CE-CP
:.PD=---.
故③正确;
过点4作45C,在5C上截取CG=C尸,
,:CG=CP,ZBCD=60°,
AACPG是等边三角形,
:.ZCGP=ZPCG=60°,
;・/ECP=NGPB=T20°,且EP=PB,/PEB=/PBE,
:AMCEQABGE(AAS),
:.CE=GB,
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:.AC=BC=BG+CG=EC+CP,
VZABC=3Q°,AFLBM,
1
:.AF=~AB=AD,
1111
・:S“CB=2CBXAF=2(EC+CP)XAF=-ECXAF+~CPXAD^S四边形/ECP
四边形故④正确・
所以其中正确的结论是①②③④.
故选:A.
3.(2023秋•十堰期末)如图,在△N3C中,ZBCA=90°,CA=CB,川9为边3c边上的中线,CG_LNZ>
于G,交AB于F,过点2作3c的垂线交CG于点E.有下列结论:①△4DC丝△(7班;②DF=EF;
③厂为EG的中点;④/ADC=/BDF;⑤6为。尸的中点.其中正确的结论有()个.
D
A.4B.3C.2D.1
【分析】①由条件可知NECD+N/。C=N£1+NECD=90°,可得NE=N4DC,再结合条件即可证明
△ADCgACEB;@®BE=CD=BD,结合条件可证明48跖0△8。尸,则有/E=尸=//DC,
EF=DF,可得/ADC=/BDF;③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得。尸>FG,结合防=
DF,可知尸不可能为EG中点.⑤假设G为CF的中点,先证明△DG尸注△Z)GC(S4S),可得。尸=
DC,即可证明NFD8=90°,进而可得/E=90°,此与NE8C=90°相矛盾,即可作答.
【解答】解:VZBC4=90°,CGLAD,
:.ZECD+ZADC=ZE+ZECD=90
第14页共89页
・・・/E=ZADCf
■:BE2BC,
:.ZEBC=ZACD=90°,
在△4DC和△C£3中,
(Z.ACD=Z-CBE
\z-ADC=Z.E,
14c=BC
:,△ADC/ACEB(AAS),故①正确;
・・,。为5。中点,
:・BE=CD=BD,
•:AC=BC,ZACB=90°,
;・NDBF=45°=/EBF,
在△BEF和△力卯中,
(BE=BD
\z.DBF=Z.EBF,
(BF=BF
:•△BEF"ABDF("S),
:・/E=/BDF,EF=DF,故②正确;
又,:AE=Z.ADC,
:.ZADC=ZBDFf故④正确;
在RtZ\Z)/G中,DF>FG,
■:EF=DF,
:.EF>FG,
・••月不是石G的中点,故③不正确;
假设G为CF的中点,
:.GF=GC,
,:GD=GD,ZDGF=ZDGC=90°,
:•△DGFQXDGC(SAS),
:.DF=DC,
•:CD=BD,
:・DF=BD,
第15页共89页
■:NBDF=45°,
/.ZBDF=45°=ZBFD,
:.NFDB=90°,
,//E=/BDF,
—90°,此与/EBC=90°相矛盾,
故假设错误,即G不是C尸的中点,故⑤错误,
即正确的有①②④,正确的为3个,
故选:B.
4.(2023秋•荆门期末)如图,△/2C中,4B=AC,BD平分/4BC交4c于点G,DM〃台C交N/2C的
外角平分线于点交48、NC于点尸、E,下列结论:
①S/VIBG:S&BCG=AB:BC;
②FD=EC;
③EC=EF+DG;
1
@CE=-MD.
其中正确的结论有()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
【分析】由角平分线的性质得出G8=GN,再根据三角形面积公式即可证得SA^BG:S^BCG=AB:BC;
由等腰三角形的判定,易得△AD尸与是等腰三角形,尸是等腰三角形,继而可得FM=Z)F=
1
BF=EC;由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半,即可证得CE=/D.
【解答】解:①如图,过点G作G0,8c于。,GNLAB于N,
第16页共89页
平分N4BC,
/.GQ=GN,
11
S“BG=]4B・GN,SMCG=产。GQ,
:・S"BG:S4BCG=AB:BC,
・••①正确,符合题意;
②•:DM〃BC,
:.ZMBH=ZM,ND=/CBD,
•;BM平分/ABH,BD平分/ABC,
:・/M=/MBF,/D=/ABD,
:・BF=FM=FD,
•:AB=AC,
:.NABC=/C,
■:DM〃BC,
:./AFE=/AEF,
;・AF=AE,
:.BF=CE,
:・FD=EC,
・••②正确,符合题意;
③ZC与ZBGC的大小不确定,
・・・OE不一定等于DG,
■:EC=DF=EF+DE,
・・・EC不一定等于EF+DG,
・••③错误,不符合题意;
④・・,8。平分N4BC,氏位是N4BC的外角平分线,
第17页共89页
11
/./MBF=ZMBH=-ZABH,ZABD=ZCBD=~ZABC,
11
:.ZMBD=NMBF+NABD=-(ZABH+ZABC)=~x180°=90°,
":FM=DF,
1
:.BF=MD,
1
:.CE=~MD,
...④正确,符合题意.
故选:B.
5.(2024秋•靳春县期末)如图,△48C中,/ABC、NFC的角平分线AP、CP交于点P,延长A4、
BC,PMLBE于M,PN1BF于N,则下列结论:①NP平分NENC;(2)ZABC+2ZAPC=180°;③/
BAC=2/BPC;④S*AC=SAMAP+SANCP.其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】过点P作尸DL/C于。,根据角平分线的判定定理和性质定理判断①;证明RtZVMM乌口△
PAD,根据全等三角形的性质得出判断②;根据三角形的外角性质判断③;根据全等
三角形的性质判断④.
【解答】解:①过点P作尸于。,
•.•尸8平分N/8C,PC平分NFCA,PMX.BE,PNLBF,PDLAC,
:.PM=PN,PN=PD,
:.PM=PD,
■:PMLBE,PDLAC,
尸平分/E/C,故①正确;
@":PMLAB,PNLBC,
:.ZABC+900+ZMPN+900=360°,
ZABC+ZMPN=1SO°,
第18页共89页
在RtZXP/M和RtAP/D中,
(PM=PD
{PA=PA'
...RtAP/AfgRtAP/D(HL),
:.ZAPM=NAPD,
同理:RtZXPCD丝RtZXPCNqHL),
:.NCPD=ZCPN,
:.ZMPN=2ZAPC,
:.ZABC+2ZAPC=18O°,②正确;
③平分NZ2C,CP平分/斤G4,
1
ZACF=ZABC+ZBAC=2ZPCF,ZPCF=~ZABC+ZBPC,
:.NBAC=2NBPC,③正确;
④由②可知RtZVMA/gRtZV5/。(HL),RtAPCD^RtAPCTV(ffl),
:,S“PD=SAMAP,SACPD=S&NCP,
:•S&PAC=SAMA/S^CP,故④正确,
故选:D.
6.(2023秋•丹江口市期末)如图,在△48C中,ZABC=45°,过点C作CD_L/8于点。,过点3作
于点连接儿Q,过点。作DAaM),交8M于点N.C。与相交于点£,若点E是CD
的中点,则下列结论:①AC=BE;②DM=DN;@ZAMD=45°;④NE=3ME.其中正确的有()
个.
BC
第19页共89页
A.4B.3C.2D.1
【分析】证明△5QC是等腰直角三角形,从而证明也△CEM,ABDNQACDM,根据全等三角形
的性质即可证明结论,证明△DW是等腰直角三角形,可得乙4〃。=45°,LDEF咨ACEM(AAS),
可得MN=2MF=4ME,即可证明结论.
【解答】证:9:CDLAB,BMLAC,
:.ZBDE=ZCME=90°,
ZDEB=NMEC,
:.ZDBE=NDCA,
VZABC=45°,CDLAB,
・・・ABDC是等腰直角三角形,
:,BD=CD,
■:/BDE=/CDA,NDBE=NDCA,
:•△BDE咨ACDA(ASA),
:.BE=AC,
VZBDC=ZNDM=90°,
・•・ZBDN=ZCDM,
9:ZDBN=ZDCM,BD=CD,
:.△BDN"MDM(ASA),
:.DM=DN,
•:/NDM=90°,
・・・4DNM是等腰直角三角形,
:・/DMN=A5°,
AZAMD=45°,
故①②③正确,
过点。作。尸_L〃N于点R则NDFE=NCME=90°,
":DN±MD,DN=DM,
:.MN=2FM=2FN,
丁点E是CD的中点,
:.DE=CE,
第20页共89页
ZDEF=ZCEM,ZDFE=ACME,
MDEFm4CEM(AAS),
:.ME=EF,
:.MN=2MF=4ME,
:.NE=3ME,
故④正确,
本题选:A.
7.(2023秋•和平区期末)如图,在△NBC中,NA4c和N/2C的平分线/E,2尸交于点/,4E交BC于
点、E,BF交AC于点、F,连接/C.过点/作ZDJ_3C于点。,若lD=h,AB=c,AC=b,BC=a,现给
出以下结论:
①NACI=/BCI;
@ZBIC=90°+/BAC;
S/^ABC
③
④当N/G9=60°时,AF+BE=AB;
a+b—c
⑤当N/C2=90°时,h=---;
其中,正确结论的个数是()
A.2B.3C.4D.5
【分析】作/GL/C于点G,IHLAB于点、H,由角平分线的性质得7F=7H,ID=IH,所以m=JD,则
^11
CI平分/ACB,所以//C7=/BC7,可判断①正确;由N/3C=5/48C,ZICB=~ZACB,可推导出
第21页共89页
11
Z5/C=180°--(180°-NBAC)=90°+-ZBAC^90°+NBAC,可判断②错误;由IF=IH=ID=
1111
h,AB=c,BC=a,AC=b,得S4ABC=S^ABJ+SABCI^S4ACI=《AB・IH+3BC・ID+靖(3・IF=动
"2.S/\ARCS/\ARC
(a+b+c),贝"7=丰,可判断③错误:在N3上截取连接〃,当N/C2=60°
a+b+ca+fb+c0J
时,可证明乙4历=180°-(NIAB+/IBA)=120°,则N4F=/8/£=180°-NAIB=6Q°,可证明
AAIL^AAIF,则N4tt=N4F=60°,所以NBIL=/BIE=60°,再证明丝△Affi,得BL=BE,
贝l|/尸+七&=/1+以二/8可判断④正确;当N/C5=90°时,则四边形7DCG是正方形,所以CG=CD
=ID=h,可证明RtAAIG咨RtAAIH,得4G=4H,再证明Rt/XBZD丝RtZ\5/〃,得BD=BH,可证明h=
a+b-c-、
可判断⑤正确,于是得到问题的答案.
【解答】解:如图1,作/GL4C于点G,出,/8于点凡
•:AE平分NA4C交BC于点E,
:.IF=IH,
・.,5/平分N4B。交4。于点R/D工BC于点D,
:.ID=IH,
:,IF=ID,
・・・点/在N/CB的平分线上,
・・・C7平分N/C5,
・•・/AC/=ZBCL
故①正确;
11
ZIBC=5/ABC,ZICB=-AACB,
1
AZ5/C=180°-QIBC+/ICB)=180°一](NABC+/ACB),
VZABC+ZACB^1SO°-ABAC,
11
AZ5/C=180°--(180°-ABAC)=90°+-Z^C^90°+ABAC,
故②错误;
•:IF=IH=ID=h,AB=c,BC=a,AC=b,
1111
:•S4BC=S4B广SABCZMCI=~^B•IH+^C・ID+《iC・IF=厘(〃+6+c),
.2s△/BCSgBC
,a+b+c丰a+b+c
第22页共89页
故③错误;
如图2,在45上截取4£=4F,连接〃,
VZACB=60°,
AZBAC+ZABC=1SO°-ZACB=120°,
11
*.*ZIAB=-ABAC,/IBA=~ZABC,
11
/.ZIAB+ZIBA=~(ZBAC+ZABC)=-x120°=60°,
・・・NZ由=180°-(/L4B+/IBA)=180°-60°=120°,
AZAIF=ZBIE=180°-ZAIB=1SO°-120°=60°,
在和△43中,
(AL=AF
\^LAI=Z.FAl,
VAI=AI
:.AAIL^AAIF(SAS),
AZAIL=ZAIF=60°,
AZBIL=ZAIB-ZAIL=120°-60°=60°,
・•・/BIL=/BIE,
在△57L和由中,
(乙BIL=ABIE
\BI=BI,
(乙LBI=乙EBI
:.ABIL^ABIE(ASA),
:・BL=BE,
:.AF+BE=AL+BL=AB,
故④正确;
如图3,ZACB=90°,
作/G_L4C于点G,IH_LAB于点H,则N4G/=N4H/=NBH/=NBD[=90°,
VZIGC=ZIDC=ZDCG=90°,
・・・四边形/DCG是矩形,
•:IG=ID=IH,
・・・四边形〃)CG是正方形,
第23页共89页
:.CG=CD=ID=h,
在RtZU/G和RtAAIH中,
(AI=AI
UG=IH'
;.RtZU/G取RtZU/H(HL),
:.AG=AH,
在RtAS/D和RtABIH中,
(BI=BI
\ID=IH'
:.RtABID咨Rt/XBIHqHL),
:.BD=BH,
:.CG+CD=2h=BC+AC-AG-BD=BC+AC-(AH+BH)=BC+AC-AB=a+b-c,
a+b—c
/.h=--------
故⑤正确,
故选:B.
A
BED
图3
ED
图1
第24页共89页
【考点3压轴小题•三角形中最值问题】
1.(2024•武威二模)如图,等腰直角△NBC中,ZACB=90°,AC=BC=4,M为中点.点。为射
线BC上的一个动点,以4D为直角边向右上方构造等腰直角/DAE=90;连接瓦/在。点
的运动过程中,EN长度的最小值是.
【分析】连接2瓦过点放作MGL2E于点G,过点/作/K,48交AD的延长线于点K,可得△/肪
是等腰直角三角形.根据△/£>£是等腰直角三角形,从而证明△ADKga/EB,得NABE=/K=45。
可得△8MG是等腰直角三角形,可求得MG的长,当ME=MG时,儿化的值最小,进而可得近的最小
值.
【解答】解:如图,连接BE,过点M作MGL3E于点G,过点/作/KL/8交8。的延长线于点K,
,:AC=BC,ZACB^90°,
ZABC=45°,
:.ZK=45°,
C./XAKB是等腰直角三角形.
1/LADE是等腰直角三角形,
:.ZKAD+/DAB=ZBAE+ZDAB=90°,
二/KAD=NBAE,
在AADK和△4E5中,
(AD=AE
\z.KAD=/.BAE,
(4K=AB
:.AADK冬LAEB(SAS),
:.ZABE=ZK=45°,
•••4BMG是等腰直角三角形,
第25页共89页
ZC=2C=4,
:.AB=A也
■:M为AB中点,
:.MG=BG=2,/BGM=90°,
.•.当时,ME■的值最小,
:.ME=BE=2.
故答案为:2.
2.(2023秋•东西湖区期末)如图,在等腰△N8C中,AB=AC,ZA=45°,D、£两点分别是边NC、AB
上的动点,且式2E=24D,将线段0E绕点。顺时针旋转45°得到线段。R连接2R当线段2尸最短
时,/ABF=0.
【分析】在CD上截取。河=4£,连接尸四,CF,作点8关于C尸的对称点M连接CMBN,先证明△
ADE咨LMFD,得到40=松,ZA=ZDMF^45°,当2、足N三点共线时,2AF=AF+?VF的值最小,
最小值为8N,此时AF最小,再证明△8CN为等腰直角三角形,可得NC3N=45°即可解答.
【解答】解:在CZ)上截取连接*0,CF,作点8关于C尸的对称点N,连接CMBN,
第26页共89页
B
N
VZA=45°,NEDF=45。,-AED=/EDM=NEDF+NFDM,
:.ZAED=ZFDM,
:,DE=DF,
:.AADEQAMFD(SAS),
:.AD=FM,ZA=ZDMF=45°,
9:AB=AC,
:.AE+BE=AD+CD,
•:BE=2AD,
:.CD=AE+AD.
■:CD=DM+CM,
:・CM=AD,
:.FM=CM,
:.NMCF=/MFC,
VZDMF=45°,
AZFCM=ZMFC=22.5°,
・・・/点在射线。尸上运动,
•・•点5与点N的关于。户对称,
:・BF=NF,CN=BC,
:.BF+FN=2BF^BN,
当B、F、N三点共线时,5/+W=2B/的值最小,即此时8月最小,最小值为BN,
VZA=45°,AB=BC,
:・NACB=NABC=67.5°,
・・・ZBCF=ZACB-ZFC
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