人教版八年级数学上册期末压轴必考复习及练习题（含答案解析）

八年级数学上册期末复习压轴题9个必考点

【考点1压轴小题•三角形中求线段与角的值】....................................................1

【考点2压轴小题•三角形中多结论问题】........................................................9

【考点3压轴小题•三角形中最值问题】.........................................................25

【考点4压轴小题•三角形中的分类讨论思想】..................................................34

【考点5压轴小题•新定义及规律】.............................................................41

【考点6压轴小题•整式与分式求值1.........................................................................................44

【考点7压轴小题•分式方程解的情况】.........................................................47

【考点8压轴大题•三角形综合题】.............................................................51

【考点9压轴大题•坐标与三角形综合题】.......................................................68

【考点1压轴小题•三角形中求线段与角的值】

1.（2023秋•武昌区期末）如图，△48C中，/B4C=6Q°,点、D是AABC外一点、,△BCD是等边三角形,

AB

过点。分别作/以/C的垂线，垂足分别为E,F,若CF=3BE,则:大的值为（）

A.7B.-C.—D.~

5T1

【分析】过点8作3GL/C于点G,过点C作于点从可求出/NC〃=30°,再由

60°,得/2。"+/。。尸=180°-NACH-NBCD=90°,根据。尸_1。尸得/。。尸+/。。歹=90°,进

而得/BCH=/CDF,由此可证△BC7/和△a)尸全等，则同理△BCGgZVJBE(44S),则

CG=BE,设8E=x,则CG=2E=x,BH=CF=3x,设4H=a,AG=b,贝U/3=N〃+2H=a+3x,AC=

AG+CG^b+x,由/4CH=30°得4c=24H,即6+x=2a,则6=2a-x,在RtZX/BG中，求出//8G=

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3a7a

30°,得4S=24G,即〃+3x=2b,进而得a+3x=2(2tz-x),由此可得久二三，b=2a-x=~,进而

14a10aAB

得45=3x+a=wa,AC=b+x=-,据此可求出77的值.

33jtlG/

【解答】解：过点5作5G_1_/C于点G,过点。作于点X,如图所示:

VZBAC=60°,CHLAB,

：.ZACH=30°,

・・・△BCD为等边三角形,

AZBCD=60°,BC=CD,

：.ZBCH+ZDCF=180°-ZACH-Z5CZ)=180°-30°-60°=90°,

■:DFLCF,

：.ZDCF+ZCDF=90°,

JZBCH=ZCDFf

XVZ)F±CF,CHIAB,

:・NBHC=CFD=90°,

在△BS和△CD/中，

ZBHC=CFD=90°

乙BCH=乙CDF

BC=CD

：.ABCH^/\CDF(AAS),

：.BH=CF,

同理：ABCGQADBE(AAS),

I.CG=BE,

设BE=x,贝！JCG=BE=x,

♦；CF=3BE,

：.BH=CF=3x,

设4H=a,AG=b,

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贝5H=a+3x,AC=AG+CG=b+x,

在RtZUC”中，NACH=30°,

：・AC=2AH,

即b+x=2q,

=

••b''2ci~XJ

在RtZUBG中，ZBAC=60°，

：.ZABG=30°，

：.AB=2AG,

即a+3x=26,

a+3x=2(2a-x)，

3a

•'•x=

.7a

••b'='2a~x—5,

3a14a7a3a

.'.AB=3x+a=3X—+a=AC=b+x=--\--=2a,

AB—7

*----5——-

••AC-^-5-

故选：A.

2.（2023秋•咸安区期末）如图，等边△/8C的边长为3,点尸是NC边上的一个动点，过点P作尸

于点。，延长C8至点。，使得8。=/尸，连接尸0交于点£,则的长为（）

A.1B.-C.2D.-

【分析】过点尸作尸尸〃8C交N8于点R则先证明△4EP是等边三角形，则尸尸=/尸=

111

BQ,再证明△FEPg/\AE'0,得FE=BE=5BF,由尸。_LN3于点。，得FD=AD=5AF,贝！］=5

3

（AF+BF）=-.

【解答】解：过点尸作P尸〃8C交48于点R则/EP尸=/。，

•.•△/8C是边长为3的等边三角形,

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/.=AABC=ZC=60°,AB=3,

:・NAFP=NABC=60°,ZAPF=ZC=60°,

JZA=ZAFP=ZAPFf

・•・△/"是等边三角形，

:・FP=AP,

•;BQ=AP,

:,FP=B@,

在△庄尸和△5EQ中，

(乙FEP=乙BEQ

］乙EPF=“,

=BQ

:.△FEP/ABEQ(AAS),

1

•:FE=BE=3BF,

・・/D_L/8于点。，

1

：.FD=AD=-AF9

113

：.DE=FD+FE=~^AF+BF)=~AB=

故选：B.

3.（2023秋•竹山县期末）如图，△48C中，点。在5C上，ZACB=15°,NBAC=NADC=60,AE

_L5C于E,于RAE、C尸相交于点G.DC=m,AF=n,则线段EG的长为（）

1111

C”产D.+-pn

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【分析】利用44s证明产GgZiCED可得%再根据含30°角的直角三角形的性质可求得

11

FG=DF=-m,进而可求CG=CF-■?=〃一下，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解.

【解答】解：・：/ACB=75°,ZBAC=60°,

/.ZABC=1SO°-ZACB-NB4c=45°

VZADC=60°,

AZADB^nO0,

:・/DAC=NADB-NACB=120°-75°=45°,

又・.・W_L4。，

/.ZAFC=ZCFD=90°,ZACF=ZDAC=45°,

：・AF=CF,

'CCFLAD,AELBC,

：.ZCDF+ZDCF=ZCGE+ZDCF=90°,

：.ZCDF=ZCGE,

又•：/CGE=/AGF,

：.ZAGF=/CDF,

;在/G和中，

NAFC=/CFD,NAGF=NCDF,AF=CF,

:AAFG会ACFD(AAS),

:・CF=AF=n,

在RtZkCFZ)中，ZCFD=90°,NFCD=30°,

11

/.DF=-CZ)=­m,

1

:・FG=DF=-mf

1

：.CG=CF-FG=n-^m,

在RtZiCGE中，ZAEC=90°,NFCD=30°,

111

：.EG=-CG=^n--^n.

故选：A.

4.(2023秋•沙市区期末)如图，在四边形45CD中，AB=AD=12,BC=DC,ZA=60°,点E在4D

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上，连接5。，CE相交于点尸，CE//AB.若CE=9,则CF的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】连接4C,先证明△ZBC/ZXZQC(SSS),根据全等三角形的性质可得NA4C=NC4。，根据

平行线的性质可得NB/C=N/CE,进一步可得NC/O=N/CE,可得EA=EC=9,根据Z

BAD=60°,可知△48。是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知E尸=QE=3,根据。尸=

CE-EF求解即可.

【解答】解：连接4C,

U：AB=AD=\2,BC=DC,

在和△4。。中，

(AB=AD

\BC=CD,

14c=AC

：.AABC^^ADC(SSS),

；・/BAC=NCAD,

•:CE"AB,

：.NBAC=NACE,

；・NCAD=NACE,

：.EA=EC,

•：CE=9,

・・・4E=9,

・・・KD=12-9=3,

'：AB=AD,ZBAD=60°,

・•・△45。是等边三角形，

AZABD=ZADB=60°,

■:CE//AB,

：.ZEFD=ZABD=60°,ZFED=ZBAD=60°,

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••.△EED是等边三角形，

:・EF=ED=3,

：.CF=CE-EF=9-3=6,

故选：C.

5.（2023秋•甘井子区校级期末）△/3C在中，边4B,/C的垂直平分线相交于尸点，若

33

Z-AEB=—Z-EAC=-a,则NBAE是（）

A.-aB.aC.90。-5aD.90°-a

【分析】连接4P延长5P交4。于。，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得

BAP,NACP=NCAP,根据三角形内角和即可求出NA4E.

【解答】解：连接BPCP,

*.*Z.AEB=-Z.EAC—万口，

/.ZEAC=a,

9：/AEB=/EAC+NACE,

Z-ACE=Z.AEB—Z-EAC=

•・•点尸是45,ZC的垂直平分线的交点,

：.PA=PB=PC,

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11

：・NABP=NBAP,ZACP=ZCAP=a,乙CBP=Z-BCP=Z71CP—ZJICB=a——a=-a,

设/ABP=/BAE=x,

13

/./.ABC—Z-ABP—Z.BPC=x——a,Z-BAC=匕BAP—Z.PAC=汽+5a,

VZABC+ZACB+ZBAC=1SO°,

11

/.x——a+%+a+5a=180°,

1

/.x=90°——a,

1

即NB/E=90。-5a.

故选：C.

6.(2023秋•老河口市期末)如图，在△ZSC中，/BAC=30°,4。平分NA4C,点E在的延长线上,

ZCAE=75°,若CE=R4+4C,则N5的度数为.

【分析】延长。到O,使得40=45,连接OE,求出NA4£=NO4£=105°,证明△4OE四△45E,

然后根据角度关系求得3/3+30。=180°求出N8的度数即可.

【解答】解：延长C4到。，使得49=48,连接。E,

O

八

VZBAC=30°,NCAE=75°,

:・/BAE=75°+30°=105°,NCUE=180°-75°=105°,

・•・/BAE=NOAE,

在/\AOE和△/BE中，

(AO=AB

\/.BAE=/,OAE,

kAE=AE

:.LAOE咨LABE(SAS),

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Z.NB=/O,

\'CE=BA+AC,

：.CE=AO+AC=OC,

：./O=NCEO,

，ZOCE+ZO+ZOEC=ZB+ZBAC+ZB+ZB=18O°,

故3/2+30°=180°,

：.ZB=50°,

故答案为：50°

【考点2压轴小题•三角形中多结论问题】

1.（2023秋•武汉期末）如图，△/BC是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点。放在8c的中

点上，转动4DEF,设分别交/C,8/的延长线于点£,G,连EG,有下列结论：①/尸G£=

135°；②若NC=5,BG=8,则C£=3；③EF=2DG；©2SABDG=SMBE2s^DE，其中正确的结论

有几个？（）

【分析】①连接4D,根据等腰直角三角形得/DL3C,AD=CD=BD,ZACB=ZB=45a,ZCAD=

1/2A4c=45°,先证△ECD和△G4D全等得CE=/G,DE=DG,进而得△EDG为等腰直角三角形，

则NEGD=45°,据此可求出/尸GE的度数，进而可对结论①进行判断；

②由/C=5得4B=4C=5,再由8G=8得4G=BG-4B=3,然后根据CE=NG可对结论②进行判断；

③在RtZ\DE尸中，/尸不一定是30°,因此斯=2£>E不一定成立，再根据。E=OG可对结论③进行

判断；

④根据点。为2c的中点得“C=2S"BD，再根据△ECO且△G4D得S«DE=S4DG，然后由SABDG=

SUBD+S“DG，得SABDG=SMBD+SMDE，进而得2s△B0G=2Suao+2s△CDE，由此可对结论④进行判断,

综上所述即可得出答案.

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【解答】解：①连接4。，如图所示:

是等腰直角三角形，点。为底边的中点，

1

：.AD1.BC,AD=CD=BD,NACB=NB=45°,ZCAD=~ZBAC=45°,

.,.Zl+Z3=90°,

VZEDF=90°,

，N2+N3=90°,

AZ1=Z2,

VZACB=45°,

/.ZECD=180°-ZACB=135°,

VZGAD=ZGAE+ZCAD=900+45°=135°,

:・NGAD=NECD,

在△EC。和△G/Z)中，

(Z-GAD=乙ECD

]AD=CD,

tzl=Z.2

△ECD之LGAD(ASA),

:・CE=AG,DE=DG,

・・・丛EDG为等腰直角三角形，

:・/EGD=45°,

:・/FGE=1800-NEGD=180°-45°=135°,

故结论①正确；

•・ZC=5,

'.AB—AC=5,

,:BG=8,

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:,AG=BG-AB=8-5=3,

•；CE=AG,

:・CE=3,

故结论②正确；

在Rt△。石尸中，N尸不一定等于30°,

：.EF=2DE不一定成立，

•:DE=DG,

：.EF=2DG不一定成立，

故结论③不正确；

丁点。为的中点，

:・S丛ABC=2S^ABD，

AECDmAGAD,

:・SM：DE=S44DG，

又•'S丛BDG=S>AB小SAADG，

:・SABDG=S“Biy¥SACDE，

2s丛BDG=2SAABN2s丛CDE，

2SABDG=S4BG?SACDE，

故结论④正确.

综上所述：正确的结论是①②④，共3个.

故选：B.

2.（2024•罗湖区校级模拟）如图，在△45C中，AC=BC,N5=30°,。为的中点，P为CD上一点,

E为5c延长线上一点，且PA=PE.有下列结论：®ZPAD+ZPEC=3G°；②△尸为等边三角形;

CE—CP

③PD=2；④S四边形4ECP=SA/Ba其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①②C.①②④D.③④

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【分析】连接2P，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求/

PEA=ZPAE=60°,可判断②；过点/作4F_LBC,在上截取CG=CP,由“&4S”可证△「'AC

g作点P关于N8的对称点P,连接PA,P'。，根据对称性质即可判断③；过点/作

AFLBC,在2C上截取CG=CP,由三角形的面积的和差关系可判断④.

【解答】解：如图，连接BP,

•:AC=BC,ZABC=30°,点。是的中点，

:.NCAB=NABC=3Q°,AD=BD,CDLAB,ZACD^ZBCD^60°,

；.CD是AB的中垂线，

：.AP=BP,J.AP=PE,

:.AP=PB=PE

：.NPAB=APBA,NPEB=NPBE,

：.ZPBA+ZPBE=ZPAB+ZPEB,

：.ZABC=ZPAD+ZPEC^30°,

故①正确；

•：PA=PE,

：./PAE=NPEA,

ZABC=ZPAD+ZPEC=30°,

/.ZPAE=ZPEA=60°,

...△P/E是等边三角形，

故②正确；

如图，作点尸关于48的对称点P,连接PA,P'D,

：.AP=AP',ZPAD=ZP'AD,

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E

：.AE=AP,

：.AE=AP',

VZCAD=ZCAP+ZPAD=30°,

：.2ZCAP+2ZPAD=60°,

:./CAP+/PAD+/P'AD=600-APAC,

:・/P'AC=NEAC,

'：AC=AC,

・・・△2'AC^/\ZEAC("S),

：.CP'=CE,

,:点P、P'关于对称，即OPLAB,且尸D=PD,

9CCDLAB,

:・C、P、D、P'共线，

:・CE=CP'=CP+PD+DPr=CP+2PD,

CE-CP

：.PD=---.

故③正确；

过点4作45C,在5C上截取CG=C尸，

,:CG=CP,ZBCD=60°,

AACPG是等边三角形，

：.ZCGP=ZPCG=60°,

；・/ECP=NGPB=T20°,且EP=PB,/PEB=/PBE,

:AMCEQABGE(AAS),

:.CE=GB,

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：.AC=BC=BG+CG=EC+CP,

VZABC=3Q°,AFLBM,

1

：.AF=~AB=AD,

1111

・：S“CB=2CBXAF=2（EC+CP）XAF=-ECXAF+~CPXAD^S四边形/ECP

四边形故④正确・

所以其中正确的结论是①②③④.

故选：A.

3.（2023秋•十堰期末）如图，在△N3C中，ZBCA=90°,CA=CB,川9为边3c边上的中线，CG_LNZ>

于G,交AB于F,过点2作3c的垂线交CG于点E.有下列结论：①△4DC丝△（7班；②DF=EF；

③厂为EG的中点；④/ADC=/BDF；⑤6为。尸的中点.其中正确的结论有（）个.

D

A.4B.3C.2D.1

【分析】①由条件可知NECD+N/。C=N£1+NECD=90°,可得NE=N4DC,再结合条件即可证明

△ADCgACEB；@®BE=CD=BD,结合条件可证明48跖0△8。尸，则有/E=尸=//DC,

EF=DF,可得/ADC=/BDF；③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得。尸>FG,结合防=

DF,可知尸不可能为EG中点.⑤假设G为CF的中点，先证明△DG尸注△Z）GC（S4S）,可得。尸=

DC,即可证明NFD8=90°,进而可得/E=90°,此与NE8C=90°相矛盾，即可作答.

【解答】解：VZBC4=90°,CGLAD,

：.ZECD+ZADC=ZE+ZECD=90

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・・・/E=ZADCf

■:BE2BC,

：.ZEBC=ZACD=90°,

在△4DC和△C£3中，

(Z.ACD=Z-CBE

\z-ADC=Z.E,

14c=BC

:,△ADC/ACEB(AAS),故①正确;

・・,。为5。中点，

:・BE=CD=BD,

•：AC=BC,ZACB=90°,

；・NDBF=45°=/EBF,

在△BEF和△力卯中，

(BE=BD

\z.DBF=Z.EBF,

(BF=BF

:•△BEF"ABDF("S),

:・/E=/BDF,EF=DF,故②正确；

又,:AE=Z.ADC,

：.ZADC=ZBDFf故④正确；

在RtZ\Z)/G中，DF>FG,

■:EF=DF,

：.EF>FG,

・••月不是石G的中点，故③不正确；

假设G为CF的中点，

：.GF=GC,

,:GD=GD,ZDGF=ZDGC=90°,

:•△DGFQXDGC(SAS),

:.DF=DC,

•:CD=BD,

:・DF=BD,

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■:NBDF=45°,

/.ZBDF=45°=ZBFD,

:.NFDB=90°,

,//E=/BDF,

—90°,此与/EBC=90°相矛盾，

故假设错误，即G不是C尸的中点，故⑤错误，

即正确的有①②④，正确的为3个，

故选：B.

4.（2023秋•荆门期末）如图，△/2C中，4B=AC,BD平分/4BC交4c于点G,DM〃台C交N/2C的

外角平分线于点交48、NC于点尸、E,下列结论：

①S/VIBG：S&BCG=AB：BC；

②FD=EC；

③EC=EF+DG；

1

@CE=-MD.

其中正确的结论有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【分析】由角平分线的性质得出G8=GN,再根据三角形面积公式即可证得SA^BG：S^BCG=AB：BC；

由等腰三角形的判定，易得△AD尸与是等腰三角形，尸是等腰三角形，继而可得FM=Z）F=

1

BF=EC；由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，即可证得CE=/D.

【解答】解：①如图，过点G作G0,8c于。，GNLAB于N,

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平分N4BC,

/.GQ=GN,

11

S“BG=]4B・GN,SMCG=产。GQ,

:・S"BG：S4BCG=AB：BC,

・••①正确，符合题意；

②•：DM〃BC,

：.ZMBH=ZM,ND=/CBD,

•；BM平分/ABH,BD平分/ABC,

:・/M=/MBF,/D=/ABD,

：・BF=FM=FD,

•：AB=AC,

：.NABC=/C,

■:DM〃BC,

：./AFE=/AEF,

；・AF=AE,

：.BF=CE,

:・FD=EC,

・••②正确，符合题意；

③ZC与ZBGC的大小不确定，

・・・OE不一定等于DG,

■:EC=DF=EF+DE,

・・・EC不一定等于EF+DG,

・••③错误，不符合题意；

④・・,8。平分N4BC,氏位是N4BC的外角平分线,

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11

/./MBF=ZMBH=-ZABH,ZABD=ZCBD=~ZABC,

11

：.ZMBD=NMBF+NABD=-(ZABH+ZABC)=~x180°=90°,

"：FM=DF,

1

：.BF=­MD,

1

：.CE=~MD,

...④正确，符合题意.

故选：B.

5.（2024秋•靳春县期末）如图，△48C中，/ABC、NFC的角平分线AP、CP交于点P,延长A4、

BC,PMLBE于M,PN1BF于N,则下列结论：①NP平分NENC；（2）ZABC+2ZAPC=180°；③/

BAC=2/BPC；④S*AC=SAMAP+SANCP.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】过点P作尸DL/C于。，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明RtZVMM乌口△

PAD,根据全等三角形的性质得出判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等

三角形的性质判断④.

【解答】解：①过点P作尸于。，

•.•尸8平分N/8C,PC平分NFCA,PMX.BE,PNLBF,PDLAC,

:.PM=PN,PN=PD,

：.PM=PD,

■:PMLBE,PDLAC,

尸平分/E/C,故①正确；

@"：PMLAB,PNLBC,

：.ZABC+900+ZMPN+900=360°,

ZABC+ZMPN=1SO°,

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在RtZXP/M和RtAP/D中，

(PM=PD

{PA=PA'

...RtAP/AfgRtAP/D(HL),

：.ZAPM=NAPD,

同理：RtZXPCD丝RtZXPCNqHL),

：.NCPD=ZCPN,

：.ZMPN=2ZAPC,

：.ZABC+2ZAPC=18O°,②正确；

③平分NZ2C,CP平分/斤G4,

1

ZACF=ZABC+ZBAC=2ZPCF,ZPCF=~ZABC+ZBPC,

:.NBAC=2NBPC,③正确；

④由②可知RtZVMA/gRtZV5/。(HL),RtAPCD^RtAPCTV(ffl),

：，S“PD=SAMAP，SACPD=S&NCP，

:•S&PAC=SAMA/S^CP，故④正确，

故选：D.

6.（2023秋•丹江口市期末）如图，在△48C中，ZABC=45°,过点C作CD_L/8于点。，过点3作

于点连接儿Q,过点。作DAaM）,交8M于点N.C。与相交于点£,若点E是CD

的中点，则下列结论：①AC=BE；②DM=DN；@ZAMD=45°；④NE=3ME.其中正确的有（）

个.

BC

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A.4B.3C.2D.1

【分析】证明△5QC是等腰直角三角形，从而证明也△CEM,ABDNQACDM,根据全等三角形

的性质即可证明结论，证明△DW是等腰直角三角形，可得乙4〃。=45°,LDEF咨ACEM(AAS),

可得MN=2MF=4ME,即可证明结论.

【解答】证：9：CDLAB,BMLAC,

：.ZBDE=ZCME=90°,

ZDEB=NMEC,

：.ZDBE=NDCA,

VZABC=45°,CDLAB,

・・・ABDC是等腰直角三角形，

:,BD=CD,

■:/BDE=/CDA,NDBE=NDCA,

:•△BDE咨ACDA(ASA),

：.BE=AC,

VZBDC=ZNDM=90°,

・•・ZBDN=ZCDM,

9：ZDBN=ZDCM,BD=CD,

：.△BDN"MDM(ASA),

：.DM=DN,

•:/NDM=90°,

・・・4DNM是等腰直角三角形，

:・/DMN=A5°,

AZAMD=45°,

故①②③正确，

过点。作。尸_L〃N于点R则NDFE=NCME=90°,

"：DN±MD,DN=DM,

：.MN=2FM=2FN,

丁点E是CD的中点，

：.DE=CE,

第20页共89页

ZDEF=ZCEM,ZDFE=ACME,

MDEFm4CEM(AAS),

：.ME=EF,

:.MN=2MF=4ME,

:.NE=3ME,

故④正确，

本题选：A.

7.（2023秋•和平区期末）如图，在△NBC中，NA4c和N/2C的平分线/E,2尸交于点/,4E交BC于

点、E,BF交AC于点、F,连接/C.过点/作ZDJ_3C于点。，若lD=h,AB=c,AC=b,BC=a,现给

出以下结论：

①NACI=/BCI；

@ZBIC=90°+/BAC；

S/^ABC

③

④当N/G9=60°时，AF+BE=AB；

a+b—c

⑤当N/C2=90°时，h=---；

其中，正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】作/GL/C于点G,IHLAB于点、H,由角平分线的性质得7F=7H,ID=IH,所以m=JD,则

^11

CI平分/ACB,所以//C7=/BC7,可判断①正确；由N/3C=5/48C,ZICB=~ZACB,可推导出

第21页共89页

11

Z5/C=180°--(180°-NBAC)=90°+-ZBAC^90°+NBAC,可判断②错误；由IF=IH=ID=

1111

h,AB=c,BC=a,AC=b,得S4ABC=S^ABJ+SABCI^S4ACI=《AB・IH+3BC・ID+靖(3・IF=动

"2.S/\ARCS/\ARC

(a+b+c)，贝"7=丰,可判断③错误：在N3上截取连接〃，当N/C2=60°

a+b+ca+fb+c0J

时，可证明乙4历=180°-(NIAB+/IBA)=120°,则N4F=/8/£=180°-NAIB=6Q°,可证明

AAIL^AAIF,则N4tt=N4F=60°,所以NBIL=/BIE=60°,再证明丝△Affi,得BL=BE,

贝l|/尸+七&=/1+以二/8可判断④正确；当N/C5=90°时，则四边形7DCG是正方形，所以CG=CD

=ID=h,可证明RtAAIG咨RtAAIH,得4G=4H,再证明Rt/XBZD丝RtZ\5/〃，得BD=BH,可证明h=

a+b-c-、

可判断⑤正确，于是得到问题的答案.

【解答】解：如图1,作/GL4C于点G,出，/8于点凡

•:AE平分NA4C交BC于点E,

：.IF=IH,

・.,5/平分N4B。交4。于点R/D工BC于点D,

：.ID=IH,

：,IF=ID,

・・・点/在N/CB的平分线上，

・・・C7平分N/C5,

・•・/AC/=ZBCL

故①正确；

11

ZIBC=5/ABC,ZICB=-AACB,

1

AZ5/C=180°-QIBC+/ICB)=180°一］(NABC+/ACB),

VZABC+ZACB^1SO°-ABAC,

11

AZ5/C=180°--(180°-ABAC)=90°+-Z^C^90°+ABAC,

故②错误；

•：IF=IH=ID=h,AB=c,BC=a,AC=b,

1111

:•S4BC=S4B广SABCZMCI=~^B•IH+^C・ID+《iC・IF=厘(〃+6+c)，

.2s△/BCSgBC

,a+b+c丰a+b+c

第22页共89页

故③错误；

如图2,在45上截取4£=4F,连接〃，

VZACB=60°,

AZBAC+ZABC=1SO°-ZACB=120°,

11

*.*ZIAB=-ABAC,/IBA=~ZABC,

11

/.ZIAB+ZIBA=~(ZBAC+ZABC)=-x120°=60°,

・・・NZ由=180°-(/L4B+/IBA)=180°-60°=120°,

AZAIF=ZBIE=180°-ZAIB=1SO°-120°=60°,

在和△43中，

(AL=AF

\^LAI=Z.FAl,

VAI=AI

：.AAIL^AAIF(SAS),

AZAIL=ZAIF=60°,

AZBIL=ZAIB-ZAIL=120°-60°=60°,

・•・/BIL=/BIE,

在△57L和由中，

(乙BIL=ABIE

\BI=BI,

(乙LBI=乙EBI

：.ABIL^ABIE(ASA),

:・BL=BE,

：.AF+BE=AL+BL=AB,

故④正确；

如图3,ZACB=90°,

作/G_L4C于点G,IH_LAB于点H,则N4G/=N4H/=NBH/=NBD[=90°,

VZIGC=ZIDC=ZDCG=90°,

・・・四边形/DCG是矩形，

•：IG=ID=IH,

・・・四边形〃)CG是正方形，

第23页共89页

:.CG=CD=ID=h,

在RtZU/G和RtAAIH中,

(AI=AI

UG=IH'

；.RtZU/G取RtZU/H(HL),

：.AG=AH,

在RtAS/D和RtABIH中,

(BI=BI

\ID=IH'

:.RtABID咨Rt/XBIHqHL),

：.BD=BH,

：.CG+CD=2h=BC+AC-AG-BD=BC+AC-(AH+BH)=BC+AC-AB=a+b-c,

a+b—c

/.h=--------

故⑤正确,

故选：B.

A

BED

图3

ED

图1

第24页共89页

【考点3压轴小题•三角形中最值问题】

1.(2024•武威二模)如图，等腰直角△NBC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M为中点.点。为射

线BC上的一个动点，以4D为直角边向右上方构造等腰直角/DAE=90；连接瓦/在。点

的运动过程中，EN长度的最小值是.

【分析】连接2瓦过点放作MGL2E于点G,过点/作/K,48交AD的延长线于点K,可得△/肪

是等腰直角三角形.根据△/£>£是等腰直角三角形，从而证明△ADKga/EB,得NABE=/K=45。

可得△8MG是等腰直角三角形，可求得MG的长，当ME=MG时，儿化的值最小，进而可得近的最小

值.

【解答】解：如图，连接BE,过点M作MGL3E于点G,过点/作/KL/8交8。的延长线于点K,

,:AC=BC,ZACB^90°,

ZABC=45°,

：.ZK=45°,

C./XAKB是等腰直角三角形.

1/LADE是等腰直角三角形,

：.ZKAD+/DAB=ZBAE+ZDAB=90°,

二/KAD=NBAE,

在AADK和△4E5中，

(AD=AE

\z.KAD=/.BAE,

(4K=AB

:.AADK冬LAEB(SAS),

：.ZABE=ZK=45°,

•••4BMG是等腰直角三角形，

第25页共89页

ZC=2C=4,

:.AB=A也

■：M为AB中点，

：.MG=BG=2,/BGM=90°,

.•.当时，ME■的值最小,

：.ME=BE=2.

故答案为：2.

2.（2023秋•东西湖区期末）如图，在等腰△N8C中，AB=AC,ZA=45°,D、£两点分别是边NC、AB

上的动点，且式2E=24D,将线段0E绕点。顺时针旋转45°得到线段。R连接2R当线段2尸最短

时，/ABF=0.

【分析】在CD上截取。河=4£,连接尸四，CF,作点8关于C尸的对称点M连接CMBN,先证明△

ADE咨LMFD,得到40=松，ZA=ZDMF^45°,当2、足N三点共线时，2AF=AF+?VF的值最小,

最小值为8N,此时AF最小，再证明△8CN为等腰直角三角形，可得NC3N=45°即可解答.

【解答】解：在CZ）上截取连接*0,CF,作点8关于C尸的对称点N,连接CMBN,

第26页共89页

B

N

VZA=45°,NEDF=45。,-AED=/EDM=NEDF+NFDM,

：.ZAED=ZFDM,

:,DE=DF,

:.AADEQAMFD(SAS),

：.AD=FM,ZA=ZDMF=45°,

9：AB=AC,

：.AE+BE=AD+CD,

•:BE=2AD,

：.CD=AE+AD.

■:CD=DM+CM,

:・CM=AD,

：.FM=CM,

：.NMCF=/MFC,

VZDMF=45°,

AZFCM=ZMFC=22.5°,

・・・/点在射线。尸上运动，

•・•点5与点N的关于。户对称，

:・BF=NF,CN=BC,

：.BF+FN=2BF^BN,

当B、F、N三点共线时，5/+W=2B/的值最小，即此时8月最小，最小值为BN,

VZA=45°,AB=BC,

：・NACB=NABC=67.5°,

・・・ZBCF=ZACB-ZFC