人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称（4个易错点）

第十三章轴对称（易错点）

【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】

例题：已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为8cm和3cm,则它的周长为

cm.

【变式训练】

1.若的三边长分别为10-0,7,6,当旗C为等腰三角形时，则。的值为.

2.用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的

L5倍，则它的底边长为cm.

【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形的一个角的度数是36。，则它的底角的度数是.

【变式训练】

1.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20。，则这个等腰三角形的顶角度数是.

2.在AABC中，AB=AC,NBAC=100。，点。在边上（不与3、C重合），连接AD,若ABD

是等腰三角形，则一ADC的度数为.

【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】

例题：已知RtA4BC中，ZC=90°,AC=3,3C=4,若—ABC沿射线8C方向平移机个单位得到

DEF,顶点A,B,C分别与顶点。，E,R对应，若以点A,D,E为顶点的三角形是等腰

三角形，则机的值是..

【变式训练】

1.在RCABC中，ZACB=90°,ZA=3O°,AB=12,D、E分别是边8C、A3上的动点•将ABDE

沿直线DE翻折，使点3的对应点£恰好落在边AC卜.•若△AE?是等腰三角形，则的长是

【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为

（）

A.7B.11C.7或11D.无法确定

【变式训练】

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，那么这个三角形的顶角为（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

2.在ABC中，AB^AC,8是A8边上的高，ZACD=3Q°,则4=.

3.在ABC中，AB=AC,AC上的中线8。把三角形的周长分成24和30两部分，则底边BC的

长为

第十三章轴对称（易错点）

答案全解全析

易错专练

【易错一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】

例题：已知ABC是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为8cm和3cm,则它的周长为

cm.

【答案】19

【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为3cm,底边长为8cm时；②当等腰三角形

的腰长为8cm,底边长为3cm时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案.

【详解】解：①当等腰三角形的腰长为3cm,底边长为8cm时，

3+3=6<8,

二不能构成三角形；

②当等腰三角形的腰长为8cm,底边长为3cm时，

3+8=11>8,

■■■能构成三角形，

AfiC的周长为3+8+8=19cm；

综上所述，ABC的周长为19cm

故答案为：19.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两

边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

【变式训练】

1.若的三边长分别为10-。，7,6,当旗C为等腰三角形时，贝门的值为.

【答案】3或4##4或3

【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当10j=6时，当10-〃=7时，再结合三角形三

边关系检验即可.

【详解】解：：ABC为等腰三角形，

当10-。=6时，

解得（2=4,

，三边长为6,6,7

6+6>7,

•••符合三角形三边的条件，

当10-0=7时，

解得。=3,

...三边长为7,7,6

6+7>7,

•••符合三角形三边的条件，

。的值为4和3.

故答案为：4和3.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用

所学知识求解是解决本题的关键.

2.用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的

L5倍，则它的底边长为cm.

【答案】12或7

【分析】可设一边为xcm,则另一边为L5xcm,然后分X为腰和底两种情况，表示出周长，解

出X,再利用三角形三边关系进行验证即可.

【详解】解：设一边为xcm,则另一边为L5xcm,

①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm,1.5xcm,

由题意可列方程：x+x+1.5x=28,

解得x=8,

此时三角形的三边长分别为：8cm、8cm和12cm,满足三角形三边之间的关系，符合题意；

②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、i.5xcm、1.5xcm,

由题意可列方程：x+1.5x+1.5x=28,

解得：x=7,

此时三角形的三边长分别为：7cm、10.5cm、10.5cm,满足三角形的三边之间的关系，符合题

思；

/.这个三角形的底边长为12cm或7cm.

故答案为：12或7.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是

解题的关键.

【易错二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形的一个角的度数是36。，则它的底角的度数是.

【答案】36。或72。

【分析】分36。的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解.

【详解】解：当36。的角是底角时，则底角为36。，

当36。的角是顶角时，则底角为3180。-36。）=72。，

故答案为：36。或72。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关

键.

【变式训练】

1.等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20。，则这个等腰三角形的顶角度数是.

【答案】44。或80。或140。

【分析】设另一个角是x,表示出一个角是2x-20。，然后分①x是顶角，2x-20。是底角，②x

是底角，2》-20。是顶角，③x与2》-20。都是底角根据三角形的内角和等于180。与等腰三角形

两底角相等列出方程求解即可.

【详解】解：设另一个角是x,表示出一个角是2x-20。，

①x是顶角，2x-20。是底角时，％+2（2彳-20。）=180。，

解得x=44。，

所以，顶角是44。；

②x是底角，2x-20。是顶角时，2%+（2>20。）=180。，

解得x=50。，

所以，顶角是2x50°-20°=80°；

③x与2了-20。都是底角时，x=2x-20°,

解得x=20。，

所以，顶角是18。°-20°x2=140°；

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44。或80。或140。.

故答案为：44。或80。或140。.

【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况

讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错.

2.在AABC中，AB^AC,N&lC=100。，点。在边上（不与3、C重合），连接AD,若―/幽

是等腰三角形，则NADC的度数为.

【答案】80。或110。

【分析】在AABC中，根据AB=AC,ZB4C=100°,得至1]48=/。=（180。—100。）+2=40°,再根

据ABD是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案.

【详解】解：如图所示，

在ABC中，

VAB^AC,ZE4c=100。，

NB=NC=(180°-100°)+2=40°,

若一/的是等腰三角形，

①当BD=A£＞时，

Zfi=ZS4D=40°,

ZADC=N3+/BAD=80。,

②当S4=BD时，

ZBAD=ZBDA,

ABAD=(180°-40°)2=70°,

ZADC=ZB+Z.BAD=110°,

综上所述80。或110。.

【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出

的腰.

【易错三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】

例题：已知RdABC中，ZC=90°,AC=3,3C=4,若ABC沿射线3C方向平移机个单位得到

DEF,顶点A,B,C分别与顶点。，E,R对应，若以点A,D,E为顶点的三角形是等腰

三角形，则机的值是..

25

【答案】等或5或8

O

【分析】分AD=DE,AE=AD=m,AE=DE三种情况进行讨论求解即可.

【详解】解：•••"=90。,AC=3,BC=4,

•*-AS=V32+42=5-

ABC沿射线8C方向平移m个单位得到DEF,

AD=BE=CF=m,DE=AB=5,DF=AC=3,EF=BC=4,

点A,D,E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况

①当时：如图，此时机=5；

在RtACE中，AE2=AC2+CE2,即：=9+（4-m）2,

解得：%=§25;

O

③当AE=D6时，如图:

此时A石=45,

*.*ZACB=9Q0,

：.BC=CE=49

/.m=BE=BC+CE=8；

25

综上：m=-^，5或8；

o

故答案为：;或5或8.

o

【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质.根据题意，准确的画图，利

用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

【变式训练】

1.在RtZ\ABC中，NACB=90。，ZA=30°,AB^12,。、E分别是边BC、48上的动点•将△89E

沿直线OE翻折，使点B的对应点笈恰好落在边AC上•若△W2T是等腰三角形，则08的长是

【答案】6或60-6或。

【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当=时，△&£■》是等

腰三角形；当AE=3石时，△4£笈是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理

进行计算，即可得到CB'的值.

【详解】解：“=90。，ZA=30°,AB=6=\2,

.-.ZB=60°,BC=6,

分三种情况讨论：

①如图所示，当点。与点C重合时，ZB=ZCB'E=6O°,

(D)Cr'

ZA=30°,

.-.ZAEB'=30o,

:.ZA=ZAEB',

AB'=EB',即是等腰三角形，

此时，CB'=BC=6；

②如图所示，当=时，是等腰三角形，

C8"

ZAB'E=15°,

由折叠可得，ZDB'E=ZABC=60。,

ZDB'C=45°,

又ZC=90°,

OC?是等腰直角三角形，

^CB'=x=DC,则3D=6—x=£>3',

RtDC9中，x2+x2=(6-x)2,

解得占=6夜-6,々=-6及-6(舍去)，

:.CB'=6近-6;

③如图所示，当点夕与点C重合时，NB=NDCE=60。，

OF)a

:.ZEB'A=30°=ZA,

:.AE^B'E,即△>!£&是等腰三角形，

此时CB，=0,

综上所述，当是等腰三角形时，C£的值是6或6&-6或。.

故答案为：6或6夜-6或。.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综

合应用，解决问题的关键是依据△A£B'是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意

方程思想的运用.

【易错四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】

例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分，则此三角形的底边长为

()

A.7B.11C.7或11D.无法确定

【答案】C

【分析】根据题意作出图形，设AD=OC=x,BC=y,然后分两种情况列出方程组求解，再根

据三角形的三边关系判断即可求解.

【详解】解：如图所示，

根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：AD=DC=^AC=^AB.

可设AD=DC=x,BC=y,

AB=2x.

x+2x=15\x+2x=12

由题意得:y+X=U或]y+x=15

x=5fx=4

解得:7或1n-

y=7[y=U

当［（%:—57时'即此时等腰三角形的三边为1。，此7,

10+7>10,符合三角形的三边关系,

此情况成立；

当二口时，即此时等腰三角形的三边为8,8,U,

8+8>11,符合三角形的三边关系，

，此情况成立.

综上可知这个等腰三角形的底边长是7或11.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质.利用分类讨论

的思想是解题关键.

【变式训练】

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，那么这个三角形的顶角为（）

A.45°B.90°C.135°D.135°或45°

【答案】D

【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形

时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【详解】如图1,三角形是锐角三角时，

图I

,/ZACD=45°,

顶角ZA=90°-45°=45°；

如图2,三角形是钝角时,

产-----------

图2

ZACD=45°,

：.顶角ABAC=45°+90°=135°,

综上所述，顶角等于45。或135。.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观.

2.在AABC中，AB^AC,