七年级数学专练：相交线（含答案）

第五章相交线与平行线

5.1相交线

1.邻补角

（1）定义：两个角有一条，它们的另一条边互为反向,具有这种关系的两个角，

互为邻补角.

（2）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成对邻补角.

2.对顶角

（1）定义:两个角有一个公共的，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，

具有这种关系的两个角，互为对顶角.

（2）性质：对顶角.但相等的角不一定是对顶角.

3.垂线与垂线段

（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90。时，这两条直线互相垂直，其中的一

条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做垂足.符号：如

（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°.垂线是一条直线，不可度量长度.

（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，

垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上.

（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有条直线与己知直线垂直（基本事实）.“有

且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直

线外.

（5）垂线的画法

一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与己知直线重合；

二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；学-科网

三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.

（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短.

（7）点到直线的距离的定义

直线外一点到这条直线的垂线段的,叫做点到直线的距离.

4.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角

定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的,具有这种位置关系的一对角叫做

同位角.

位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F”.

（2）内错角

定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的,具有这种位置关系的一对角叫做内

错角.

位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z”.

（3）同旁内角

定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内

角.位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”.

K知识参考答案：

1.（1）公共边，延长线（2）四2.（1）顶点（2）相等3.（1）垂线（4）一（6）垂线段（7）长度

4.（1）同侧（2）两侧（3）同一旁

K—重点邻补角与对顶角的有关概念和计算

K—难点同位角、内错角、同旁内角的判断

K—易错垂线的画法，识别同位角、内错角、同旁内角

、对顶角和邻补角的有关计算

1.补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180。，

位置上有一条公共边.互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补

角有两个，但一个角的补角可以有很多个.

2.识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个

角的两边是否分别互为反向延长线.两条直线相交形成两对对顶角.

【例1】如图，直线AC和直线相交于点。，若Nl+/2=90。，则/30C的度数是

B

A.100°B.115°D.145°

【答案】C

【解析】VZ1=Z2,Zl+Z2=90°,.\Z1=Z2=45O,/.ZBOC=135°,故选C.

【例2】如图，直线AB,CO交于点O,OB平分/DOE,。尸是NBOC的平分线.

(1)说明：ZAOC=ZBOE；

(2)若NAOC=46。，求/EOF的度数；

(3)若NEOE=30。，求NAOC的度数.

【解析】(1)'：OB^ZDOE,：.ZBOE=ZBOD,

VZAOC=ZBOD,：.ZAOC=ZBOE；

(2)VZAOC=46°,AZBOC=1800-ZAOC=134°,ZBOE=46°,

；。产是/8。。的平分线，

1

：.ZBOF=_ZBOC=6T,

2

：.ZEOF=ZBOF-ZBOE=21°；

(3)设NAOC=a,则N20E=a,

VZEOF=30°,：.ZBOF=a+30°,

•：OF^ZBOC的平分线，；.ZBOC=2ZBOF=2a+60°,

.-.a=180°-(2ct+60°),."40°,ZAOC=40°.

【例3】如图，将长方形纸片折叠，使点A落在点4处，BC为折痕，8。是NA7JE的平分线，试求

ZCBD的度数.

【答案】NCBD=90°.

【解析】因为点A折叠后落到点4处，所以

ZABC=ZA'BC.又因为BD是NA3E的平分线，

所以NA，BD=NEBD,

所以NC3D=ZCBA'+ZDBA'=\zABA'+NEBA')=1x180°=90°,

22

即/C2D的度数是90°.

二、垂线的定义与垂线段的性质

1.垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角.

2.线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故

这一点不能在直线上.

3.垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂

线段的长度，是一个数量.

【例4］己知：点尸是直线MN外一点，点A、B、C是直线上三点，分别连接尸4PB、PC.

(1)通过测量的方法，比较PA,PB、PC的大小，直接用“>”连接；

(2)在直线上能否找到一点D,使的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD,并说明它的

理论依据；如果没有，请说明理由.

n

(2)过点P作尸则尸。最短(垂线段最短).

【名师点睛】本题考查的是垂线段最短，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解答此题

的关键.

【例5】如图，直线48与CD相交于。，OF,分别是NAOE,NBOE的平分线.

(1)写出4DOE的补角；

(2)若NBOE=62。,求/A。。和NE。尸的度数；

(3)试问射线。。与。尸之间有什么特殊的位置关系？为什么？

【懿】(1)ZCOE,ZAOD,ZBOC；(2)ZAOD=149°,ZEOF=59°；(3)OD±OF,理由见解析.

【解析】(1)NOOE的补角为：ZCOE,ZAOD,ZBOC.

(2)•.,。£)是48。石的平分线，ZBOE=62°,

1

：.ZBOD=_ZBOE=31°,

2

ZAOD=180°-ZBO£>=149°,

ZAOE=1SO°-ZBOE=11S°.

又OF是ZAOE的平分线，

1

ZEOF=_ZAOE=59°.

2

(3)ODLOF,理由如下：

,：OF,。。分别是NAOE,/BOE的平分线，

1111

/.ZDOF=ZDOE+ZEOF=_ZBOE+_ZEOA=_(NBOE+NEOA)=_xl80°=90°,

2222

：.OD±OF.

【名师点睛】本题主要考查角平分线的、补角、垂线的定义及角的计算.解题的关键要根据已知条件并

结合图形应用相关定义、性质进行求解.

三、同位角、内错角、同旁内角的识别

1.识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于

F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型.

2.在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的

直线为截线，另两边所在的直线为被截线.

3.这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、

同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两

条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

［例6］如图，已知/ZMB=65。，Z1=ZC.

(1)在图中画出NZM8的对顶角；

(2)写出N1的同位角；

(3)写出/C的同旁内角.

1

dR

【解析】(1)如图，/G4”即为所求；

7

彳’B'i

t'

：Vf

(2)Z1的同位角是ND4B；

(3)/C的同旁内角是和/AOC.

【名师点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角,解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内

角及对顶角的定义.

i.邻补角是

A.和为180。的两个角

B.有公共顶点且互补的两个角

C.有一条公共边且互补的两个角

D.有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角

2.如图，经过直线/外一点A画/的垂线，能画出

A.1条B.2条C.3条D.4条

3.如图，04,08,/1=35。，则N2的度数是

A.35°B.45°D.70°

4.如图，下列说法不正确的是

A.N1和N2是同旁内角B.N1和N3是对顶角

C.N3和N4是同位角D./I和N4是内错角

5.下列说法正确的是

A.一个角的补角一定比这个角大

B.一个角的余角一定比这个角小

C.一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上

D.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角

6.如图，三条直线a,6,c相交于点。，则/1+/2+N3等于

a

3

A.90°B.120°C.180°D.360°

7.如图，OM1NP,ONLNP,所以ON与OM重合，理由是

a

A.两点确定一条直线

B.同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.过一点只能作一直线

D.垂线段最短

8.如图，OALOC,OBLOD,下面结论中，其中说法正确的是

B

on

®ZAOB=ZCOD；®ZAOB+ZCOD=90°；®ZBOC+ZAOD=180°；④ZAOC-ZCOD=ZBOC.

A.①②③B,①②④

C.①③④D.②③④

9.如图，直线A3、C。被直线即所截，则N3的同旁内角是________

E

4

10.如图，AB、CD相交于点。，OE是NAOC的平分线，NBOD=70。,ZEOF=65°,则NA。尸的度数为

D

11.如图，直线AB,CD相交于点。，ZEOC=10°,。4平分/EOC,则

12.如图，直线A8、。相交于点O,Z1=Z2,若乙4。£=150。，则/A。。的度数为度.

13.如图，一条南北走向的公路经过A、B两地,一辆汽车从A地往B地行驶，C是公路AB外侧的建筑物.

北

A

B

①汽车从A地行驶到B地后，一位乘客说：“我感觉我们离C地的距离由远到近，又由近到远了.

这位乘客的说法正确吗？（填“正确”或“错误”）；

0如果汽车行驶到。点时，离C点的距离最近，请在图中指出。点的位置，并写出你的依据.

14.如图，点A,O,B在同一条直线上，ZBOC=40°,射线。C,射线。£）,射线OE平分/AOC.求

NOOE的大小.

E

B

15.如图，直线AB与CO相交于点。，OE±AB,OFLCD,。尸是N80C的平分线.

(1)请写出图中所有/EOC的补角；

(2)如果NPOC：NEOC=2：5.求NBOF的度数.

16.如图，直线A3、C。相交于点O,OE把/80D分成两部分.

(1)图中/AOC的对顶角为.,NBOE的补角为.

(2)若NAOC=75。，5.ZBOE：ZEOD=1：4,求NAOE的度数.

17.如图，直线AB,8相交于点O,EOLAB,垂足为点O,ZBOD=50°,则/COE=

E,

D

A.130°B.140°

C.50°D.40°

18.火车站，码头分别位于A,B两点，直线a,。分别表示铁路与河流.

(1)从火车站到码头怎样走最近?

(2)从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由.

19.如图，已知直线砂1与A8交于点与交于点O,OG平分「若/COM=120。，1ZCOF.

2

(1)求/fOG的度数；

(2)写出一个与NBOG互为同位角的角;

(3)求的度数.

20.(2018金华)如图，的同位角可以是

A

A.Z1

C.Z3

21.（2018贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是

A.N1和N2

C.N2和N4

22.（2018邵阳）如图所示，直线A—8相交于点O,已知NAOQ=160。，则N30C的大小为

A.20°

C.70°D.160°

23.（2018益阳）如图，直线A3、8相交于点。EOLCD.下列说法错误的是

A.ZAOD=ZBOCB.ZAOE+ZBOD=90°

C.ZAOC=ZAOED.ZAOZ)+ZBOD=180°

1.【答案】D

【解析】A、和为180。的两个角只有大小关系，没有位置关系，所以不一定是邻补角，错误;

B、两个角只有公共顶点和大小关系，没有两边关系，错误；

C、另一边的关系不明确，不能确定为邻补角，错误；

D、符合邻补角的定义，正确.

故选D.

【点睛】此题主要考查了邻补角的定义，正确记忆邻补角定义中的重要条件是关键.

2.【答案】A

【解析】因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选A.

【点睛】本题考查学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况，熟记过直线外一点有且

只有一条直线与已知直线垂直是解答问题的关键.

3.【答案】C

【解析】••匕41。5,.•.乙绚3=90。，所以N2+N1=0。，•.21=35。，二/2=55。,故选C.

4.【答案】A

【解析】A.Z1和/2是邻补角，故此选项错误；

B.Z1和N3是对顶角，此选项正确；

C.Z3和Z4是同位角，此选项正确；

D.Z1和Z4是内错角，此选项正确；

故诜A.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握该知识点是本题解题的关

键.

5.【答案】C

【解析】A、若一个角是钝角，则它的补角小于这个角，原说法错误；

B、如果这个角是45。，则它的余角与之相等，原说法错误；

C、根据补角的定义可知一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上，原说法正确；

D、有公共顶点并且两边分别都在同一条直线上的两个角是对顶角，原说法错误.

故选

C.6.【答

案】C

【解析】如图，VZ3=Z4,••.Nl+/2+N3=/l+/2+N4=180°.故选C.

4°

1-?

---------------------

7.【答案】B

【解析】因为OMLNP,ONLNP,所以直线ON与0M重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且

只有一条直线与已知直线垂直，故选B.

8.【答案】C

t解析】OB1OD,

...40040A90',

乙4OB-/BOC=/COI>-/BOC=9。。,

：.Z.4OB=ZCOD,故①正确；

COD不一定等于90。，故②错误；

ZBOC-Z.4(?Z)=90s-Z.4(?3-90s-Z.4<95=180o,故③正确;

乙AOC-RCOD=乙40。-乙40B=4B0C,故④正确；

综上所述，说法正确的是①③④.

故冼C.

9.【答案】Z2

【解析】与N3都在直线AB、CO之间，且它们都在直线EP的同旁，；./3的同旁内角是N2,

故答案为：Z2.学-科网

10.【答案】30°

【解析】：/AOC与/8。。是对顶角，NBOD=70。,：.ZAOC=70°,".'OE^^ZAOC,：.ZAOE=

1ZAOC=35°,：.ZAOF=ZEOF-ZAOE=65o-35o=30°,故答案为：30°.

2

11.【答案】35。

【解析】•?ZEOC=70°,0A平分NEOC,，NAOC=1/EOC=)'70。=35°,：.ZBOD=ZAOC=35°,

22

故答案为：35°.

12.【答案】60

【解析】ZAOE=150°,.,.Z2=180°-150°=30°,VZ1=Z2,AZBOC=Z1+Z2=60°,,：ZAOD

N8OC是对顶角，/.ZAOD=ZBOC=60°,故答案为：60°.

13.【解析】(1)正确.

(2)过点C作垂足为D,则点。就是离点C距离最近的点，依据：垂线段最短.

北

力.

D<

14.【解析】•••ZBOC=40°,

ZAOC=1800-ZBOC=140°.

•.•射线OE平分/AOC,

1

ZEOC=ZAOC=1Q°.

2

:射线OC_L射线OQ,/.ZCOD=90°,

ZDOE=ZDOC+ZCOE=160°.

15.t解析】（1）/EOD,乙4OF.

■：OE1AB,OFlCD,：.乙4OE="OF=9G,：2EO1-乙iOD=4DOF-/AQD,即：A0D=乙4OF,

,.•NEOC-NEODM80。，.•.44QF-/EOC=180。，.,.NEOD,44万都是/£。。的补角，故答案为:

4E0D,乙4。尸.

（2）;OP是N5OC的平分线,

：.ZPOC=ZPOB,

,/ZPOC：Z£t?c=2：5,

,2

ZPOC=90°x--------=20°,

2+2+5

二/尸。5=20°.

'/NDOF=9