辽宁省点石联考2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（解析版）

2024-2025学年度上学期高二年级期末考试

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有

一项是符合题目要求的）

____11

1.已知空间向量“8=（1，％"）,/°=（一3,2,1）（其中加＞o,，＞0）,若方，就，贝“2加+"最小

值是（）

124

A—B.-C.2D.一

.333

【答案】D

【解析】

【分析】由方，*得2加+〃=3,利用基本不等式即可求解.

【详解】因为方=（1,私〃），*=（—3,2,1）且方,衣，则冠.太=0，

所以1x（-3）+加x2+〃xl=0,即2加+〃=3,

一11；x（2加+=；x[2+冽+14

所以二---H—=^-x（2+2）=j,

2mn3\2mnJ3\n2m）

当且仅当n=2m=：3时等号成立.

2

故选：D.

2.国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进

行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变,

则不同的方法种数为（）

A.84B.120C.504D.720

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【答案】C

【解析】

【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可.

【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为

AJ=9x8x7=504.

故选：C.

3.已知两条直线4：（。一1）%+歹一1=0和4：2x+ay+l=0,若4〃右，则4与4之间的距离为（）

B.V2D.372

【答案】A

【解析】

【分析】先利用两直线平行求得a=2,然后代入两平行线距离公式求解即可.

【详解】4：一l）x+y—1=0和I?：2x+ciy+1=0,

ax(a-1)=2

由4〃，2可得＜解得a=2,

Ix(a-l)w-2

此时4：x+y-l-Q,Z2：2》+2>+1=0即》+了+—=0,

所以4与4之间的距离为3V2.

V2-4

故选：A

4.在棱长为2的正方体48co-Z/CC中，M,N分别是棱CD,的中点，则异面直线4N与4M

所成角的余弦值为（）

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V5475275

A.B.

105155

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量方法求解即可.

【详解】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为在棱长为2的正方体4BCD-4B1G2中，M,N分别是棱CD,4D的中点,

可知口（0,0,0）,£＞（0,0,2）,4（2,0,0）,4（2,0,2）,4（2,2,0）,C（0,2,2）,N（l,0,2）,M（0,l,2）,

所以丽=（—1,0,2）,5^7=（-2,-1,2）,

KE丽.瓦法6275

所以cosA[N,BXM=1j=-r=―宰=--,

RN忸MJ5xj95

所以异面直线&N与B、M所成角的余弦值为手.

故选：D.

5.已知抛物线歹2=2"的焦点为尸（1,0）,尸为抛物线上一点，若4（2,1）,贝|]归/|+忸司的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据焦点F（l,0）求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得.

【详解】因为抛物线r=2"的焦点为F（l,0）,则々=1，得0=2,

所以抛物线的方程为「=4x,令x=2,则^=±2也，

设过产作抛物线准线的垂线于点£可得|PF|=|P5|,贝！J|P/|+|PF|=|R4|+|P8|.

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故点4（2,1）在抛物线内部，过点/作抛物线准线的垂线交抛物线于点尸，此时|/训+归厂|取得最小值，最

小值为5+y=3.

6.已知离散型随机变量X的分布列如下，若E（12X+2）=9,则。（X）=（）

X-10a2

££

Pb

644

111315549

A——B.——C.-----D.——

.1212144144

【答案】C

【解析】

7

【分析】由概率之和为1可得6=；,再借助期望的性质计算可得E（X）小则可得。=1,最后计算方差

即可得.

【详解】由题意知工+6+工+工=1,解得6=1，

6443

因为E（12X+2）=12E（X）+2=9,则£（才）=工,

则£（X）=-1x-+0x—FQX—i-2x———解得a=1,

634412

则£>(X)=g

13611491251289155

=—X--------1-_X--------1——X--------1--------=-------.

6144314441444144144

故选：C.

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7.某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮

用碳酸饮料的统计结果如下：学校有J的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为工，

每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为工.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学

9

生肥胖的概率为（）

1137

A.-B.—C.-D.—

42412

【答案】A

【解析】

【分析】设相应事件,根据题意利用全概率公式运算求解即可.

【详解】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件4则尸（2）=7，「（/）=］，

设“学生肥胖”为事件比则尸（可么）=；,P（5|^）=|,

由全概率公式可得尸（8）=尸（Z）尸（8忸）+尸（彳）尸（8g）=ix|+|x|=l,

所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为J.

4

故选：A

8.如图，尸。,平面45CQ,ADVCD,AB//CD,PQHCD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,

—►1—►

点M为2。的中点，若。N=§0C,则N到平面CPW的距离为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.

【详解】因为PDJ_平面48CD,ADLCD,易知N。，CD,尸。两两垂直,

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以。为原点，分别以方，DC-赤的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意得。(0,2,0),*0,0,2),0(0,1,2),Af(1,1,1).

所以两=。』,—1),PC=(0,2,-2),QC=(0,1-2),

n-PM=0x+y-z=0

设〃1=(x,y,z)为平面CPM的法向量，贝卜x

^-PC=02y-2z=0

不妨设z=l,可得)=(0,1,1),

由0N=；QC,得NC='1℃='|(0,l,-2)=(0,|"，-g],

DJJ\JJ

\NC-n]

<J_=也

则N到平面CPM的距离为d=11

N3亚3

故选：B

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.假设/,8是两个事件，且P(7)=g,P(5)=|,P(B\A)=P{B),则()

A.0(叫=|B.P(疝)=|

c.P(A\B)=^

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求解判断AC,根据独立事件概率乘法公式求解判断

B,利用概率的基本性质求解判断D.

_1_11

【详解】因为尸(7)=5，P(B)=~,所以P(/)=],0(8)=1，

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P（AB），।、，、

对于选项A,因为「伍㈤=尢］P（B\A）=P（B）,

所以「（4B）=P（Z）P（8）=L错误；

8

对于选项B,因为P（45）=P（/）P（B）,所以事件/与3相互独立，

所以/与方相互独立，所以尸（Z万）=尸（2）尸（万）=5X4=9,正确；

对于选项C,因为P（川町=,谓）=尸（/）,所以尸（/忸）=g,正确;

对于选项D,P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---—>D正确.

2488

故选：BCD.

10.现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（）

A.4个男学生排在一起，有1440种不同的排法

B.老师站在最中间，有1440种不同的排法

C.4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法

D.2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用捆绑法排列判断A,特殊元素优先安排（即先安排都是排中间然后再在两边安排学生求解判

断B,用插空法（男生插入时需先先安排男生甲）求解判断C,先任选一名男学生和一名女学生站两位老师

中间，把这四人捆绑后进行排列求解判断D.

【详解】选项A：4个男学生排在一起共有A：A：A：=2880种站法，则有2880种不同的排法，故A错误;

选项B：老师站在最中间共有A；A：=1440种站法，则有1440种不同的排法，故B正确；

选项C：先排老师和女学生，共有A：种站法，再排男学生甲，有C；种站法，最后排剩余的3名男学生有A：

种站法，

所以共有A：C；A；=24x3x24=1728种不同的站法，故C正确；

选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有C；C；A；种站法，两名老师的站法有A；种，

再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有A；种站法，

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所以共有C；C；A；A；A；=2x4x2x2x120=3840种不同的站法.故D正确.

故选：BCD.

11.已知圆C：（x—=1与直线x+.y+l=0交于M,N两点，点p为线段"N的中点，。为坐标

原点，直线OP的斜率为-g,圆。与x轴交于A,B两点，点。是圆C上异于A,B的任意一点，直线Q4QB

分别交/:x=-4于R,S两点，则下列说法正确的是（）

A.a=2

B.线段4W的长度为J5

C.zWON的面积为注

D.当点0变化时，以超为直径的圆过圆C内的一定点卜4+G,o）

【答案】BD

【解析】

【分析】确定直线。尸的方程，联立直线方程解出尸点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算。

判断A；根据点到直线的距离公式、弦长公式判断BC；设。/方程，含参表示。方程，求出坐标，

从而求出以RS为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.

【详解】如图

->

X

y=-x-lx=——

2

选项A：由题知直线。户的方程为y=-则由＜1，得《，即P3,

一X

因为点尸为线段4W的中点，所以上W_LPC,即加V•kpc=-1X-2-=-1,所以a=—2,故A错误;

。+一

2

15

选项B：由a=—2,得圆心。（一2,0）,所以。到直线x+y+l=0距离为［==",所以

亚-2

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|ACV|=2^1-2=也,故B正确；

选项c：因为。到直线x+y+i=o的距离为也，的长度为血，所以S^ON==又也义母==,

2222

故C错误；

选项D：由圆。与龙轴交于48两点，得4(—3,0),5(-1,0),

不妨设直线。4的方程为>=左(x+3),其中左w0,在直线"的方程中，令x=—4,可得R(-4,-k),

因为则直线。的方程为y=—：(》+1),直线。8的方程中，令x=—4,3

可得y=—,即点

Kk

S

(

3—公、%+3丫

设线段&S的中点为E,则尸-4,,圆的半径的平方为

v2k)

、2

3-k92小3丫

所以以线段&S为直径的圆的方程为(x+4『+J-即

2kJ

/\223—左2

(x+4)+y---------歹-3=0,

K

(X+4)2-3=0

V=-4+

由<y=0，解得<,因此，当点。变化时，以超为直径的圆恒过圆C内的定点

J=O

—3<x<—1

(-4+73,0),故D正确;

故选：BD

【点睛】关键点点睛：选项D解题的关键是设直线的方程为歹=k(x+3),则直线的方程为

](3-左2、(“24Q丫

j=——(x+1),由左表示RS中点尸-4,^—,圆的半径的平方为--,得以线段&S为直径的

k、){2k)I2左J

圆的方程，可得以RS为直径的圆恒过圆C内的定点.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.(》+了)5(——的展开式中，》3y4的系数是.(用数字作答)

【答案1-5

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【解析】

【分析】把式子(x+v)5(x2-j2)整理成(x+y『(x-田，根据通项整理后得

CW.x+CgX3_y3•(->)=-5x3j4,从而求解.

【详解】由(x+y)5(七一/)=(工+好(x+y)(x-y)=(x+y)6)—y),

而(x+y)6的展开式的通项为4+1=C"6-y,

3434

则在(X+(X-y)的展开式中，含XJ的项为C72y4.X+氏/丁.(_田=_5xJ；,

故//的系数是—5.

故答案为：-5.

13.已知抛物线C：j?=4x的焦点为尸，过直线/：x-y+2=0上的点尸作抛物线C的两条切线

PN,切点分别为M,N,则|下初|+|四|的最小值为.

【答案】5

【解析】

【分析】设PQo，yo)，”(久1，为)，/V(x2,y2),求出切线0M,PN的方程，然后求出直线"N的方程，与抛

物线联立，最后运用韦达定理表示出|四|+|冲|,利用二次函数的性质求出最小值.

【详解】由条件可知F(l,0),设P(%o，yo)，MOi，yD，/v(x2,y2)>则|列!|=再+1,|网|=%+1，

再设切线PM的方程为x=m1(y-yl)+xl,联立方程组尸:㈣"一")+』,

J=4%

整理得/—4叫y+4加0—4玉=0,由A=16加：—4(4叫凹―4xJ=0,且了；=4西，可得吗=/，

则切线W的方程为工=5(N—乃)+汨，即x=3了-X].由切线过点POo，yo),可得玉)=3%)-X].

同理，切线PN的方程为,由切线PN过点P(x(),yo),可得%=会为,

则直线的方程为％)y=2(Xo+x),联立方程组(?"=2("°+"),整理得2JV+4%=0,

=4%

可得%+%=2%，%%=4%，

则

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+2=("+R-2必当+

\FM\+\FN\=XY+X2+2=2

22

=^-2X0+2=(X0+2)-2X0+2=(X0+1)+5>5,当且仅当x0=T时，等号成立，故|四|+|冲|的

最小值为5.

22

14.已知双曲线C：二―5=1(6Z>0,b>0)的左、右焦点分别为£(-c,0),F2(C,0),直线/：

ab

bx+什-bc=O与。相交于点若|〃制'8|"用|,则离心率e的取值范围为.

【答案】

【分析】根据双曲线的定义,

到不等式|阿|>8性名|中即可求解.

【详解】如图，双曲线C的焦点为FM—c,0),月(c,0),渐近线方程为y=±^x,

a

因为直线/的斜率左=-2,则直线/与双曲线c的一条渐近线平行，且过点外,

a

设直线/与双曲线C的另一条渐近线相交于点N,

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可知/NOF?=/NF?。,tanZNOF=—,cosZNFO=—,sinZNFO=—,

2a2c2c

因为|班|—I四|=2Q,BP\MF^\=\MF^2a,

且…，黑」艮产覆]谓产

22Q212

-a3a+c^\MF\>^\MF^,

2a-R|=2a

3a2+02S（c2—a2\.,c211在c-\/77母的[、「V77

即J“十c2△______L,解得-W—，所以e=—W^—，又e〉1l,所以l<eW^—.

2a~2aa-7a77

故答案为：jl，浮]

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个

白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球.

（1）先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率;

（2）将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X,求X的分布列及期

望值.

17

【答案】（1）—

24

（2）分布列见解析，E（X}=—

'710

【解析】

【分析】（1）设事件/为“取出的是红球“，事件用为“取到甲袋”，事件与为“取到乙袋”，根据条件概率及

相互独立事件的概率公式计算可得；

（2）依题意可得X的可能取值为0」,2,3,求出所对应的概率，列出分布列即可.

【小问1详解】

设事件/为“取出的是红球"，事件用为“取到甲袋”，事件为为“取到乙袋”，则P（4）=P（52）=g，

9q

尸（川4）="P（花2）="

[2]317

贝I].尸（z）=尸（/团+尸（2鸟）=尸（4）尸（山口+尸区）尸（/忸2）=5*§+5*7=五.

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【小问2详解】

合为一袋后，有7个红球和3个白球，则X的取值范围为{0,1,2,3},

C°C31

P(x=o)=-m=—

\)C120

7

P(X=1)=

罟40

°（X=2）=胃福

C3co7

o(X=3)=匕2=，

')C：。24

则分布列为

X0123

17217

P

120404024

1721721

所以=Ox---Fix---i-2x---F3X——二——.

1712040402410

2

16.已知抛物线C：y^lpx(夕〉0)经过点P。,％)(J0>0),F为焦点,且归刊=2.

（i）求c的方程及汽;

（2）设。为原点，过尸作斜率不为0的直线/交C于M,N两点，直线x=-l分别交直线。河，ON于/,

B证明：以为直径的圆经过x轴上的两个定点.

2

【答案】（1）y=4x,y0=2

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的定义可得。=2,代入抛物线方程即可得汽；

（2）设直线/的方程为了=町+1,联立方程利用韦达定理可得圆的方程，令＞=0运算求解即可.

【小问1详解】

因为抛物线C：y2=2px（0〉0）经过点尸为抛物线的焦点，且|尸尸|=2,

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所以由抛物线的定义，可得,+1=2,解得。=2,所以j?=4x,

又因为尸的横坐标为1,

所以y；=4x1=4,解得为=±2,

又％)〉0，所以为=2.

【小问2详解】

因为直线/的斜率不为0,焦点坐标为(1,0),

设直线/的方程为》=叼+1.

与抛物线方程「=4x联立可得y2-4my-4=0.故%+%=4加，%必=-4.

11yl+%11

可得一+—=人上=一冽，—=%一必屈〃U=厢77,

必必必必必必必必4

C2\(2\

设M多%'N/则koM=—,k0N=——,

I47%必

4

可得直线。河的方程为歹=—x.

44

与x=—1联立，可得Z—1,----同理可得5-1,一一

Iyj【y2j

'22'22I_____

易知以48为直径的圆的圆心坐标为-1,-----------=(-1,2m),圆的半径为--------=2\m~+1,

I必为J必为

则圆的方程为(x+丁+(y—2加了=4"+1).

令y=0,整理可得一+2彳_3=0，解得占=-3,x2=1

即以NB为直径的圆经过x轴上的两个定点(-3,0),(1,0).

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17.如图甲，已知正方形48CD的边长为4,E,产分别为/D,3C的中点，沿跖将长方形£尸。折起,

与平面/AFE形成60°的二面角，如图乙所示，点M在线段上且不与点43重合.

（1）若直线与由/,D,E三点所确定的平面相交，交点为N,CE1MF,求的长度及此时点N

到平面CDM的距离;

——►3—►

（2）若AM=—AB,求平面与平面CE尸所成角的正弦值.

4

7

【答案】（1）5，距离为•

⑵乎

【解析】

…FHMB

【分析】（1）取中点/f,证明得tanNB阳=tan/〃F5,及---=----，设=求出/〃，过

EFFB

N悴NTIDE千T,所以NT_L平面CDEF,即NT的长度为点N到平面CDEF的距离，进而得到答案;

（2）建立空间直角坐标系，根据面面角的法向量求法求解即可.

【小问1详解】

由题意可知，EF1.CF,EF1BF，CFCBF=F,CF,AFu平面CF5,

所以EEL平面CEB,同理可得EEL平面

因为二面角C—£尸—8为60。，所以NDE4=NCFB=60°,

所以由题意得△与△Q鸣是全等的等边三角形，

如图，取3尸中点连接C8,则CH_L3F,由所，平面CF5,又CHu平面CF5,所以CHLEF,

N

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又EFCBF=F,所以CH，平面48尸£,所以

因为CE_LMF,CEcCH=C,CE,CHu平面CEH,所以“，平面C£〃，所以MF_LEH,

-FHMB

所以tan/FE/f=tan/〃F5,——=——

EFFB

14-t77

设=则一=——，t==,所以的长度为一.

4222

过N作NT工DE于T,则由EE_L平面得EF上NT,所以NT_L平面CDE产，即NT的长度为点

N到平面CDE尸的距离，

7

因为空•二空，所以NA_2,所以M4=14,NE=16,NT=NEsin60°=8百，

NEEF~-=*7

NA+24

所以点N到平面CDEF的距离为8次.

【小问2详解】

如图，取/£的中点为。，连接。。，OH,

由（1）得/DE4=60°,OE=—DE=1,OD_LAE,OD=V3>

2

因为OH〃EF,EFLDE,所以O7/J_Q£,又OHLAE,AE,OEu平面4B£>，

AECWE=E,

所以。H_L平面NED,因为ODu平面/££）,所以O£>_LO〃，所以直线。“，OD,OE两两垂直,

则以O为坐标原点，OA，OH，砺的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示,

则£»（0,0,⑹，£（—1,0,0）,厂（—1,4,0）,C（0,4,V3）,M（1,3,0）,

则加=（—1,0,—行），W=（2,3,0）,反=（1,4,8），FC=（l,0,V3）,

----»—»

EM-n-2x+3K=0

设平面的法向量方=（%i，yi，zi）,贝叶—,一}，

•％=再+4yl+y/3zl=0

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5

令必=2,贝ij%]=—3,4=，所以〃1=-3,2,-

设平面C跖的法向量%二（工2，%/2）,

EC-n=x+4y+也z?二0

则《222

FC-n2=x2+V3Z2=0

令Z2=l,则%2=-G，徐2=0,所以〃2二卜6,0,1),

।——4^/3

I——I"1."31

所以COS〃],%二|一||一|=广——

11H-hl2x^4

3

设平面MEC与平面CE尸所成的角为

综上所述，平面MEC与平面CEF所成角的正弦值为运

4

18.某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零

件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：

零件直径（单位：厘米）[1.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件个数1025302510

已知零件的直径可视为服从正态分布〃，/分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同

一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.

参考数据：V0.052«0.228；若随机变量4〜N（〃,b2）,则—（；•<J<〃+cr）它0.6827,

P（/z-2cr<^</z+2cr）~0.9545,P（//-3cr<<//+3cr）~0.9973.

（1）试估计这批零件直径在［1.044,1.5］的概率；

（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间［L2,1.4）内的零件个数为Z,求Z的

分布列及数学期望；

（3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器

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生产的零件的次品率为0.3,乙机器生产的零件的次品率为0.2,现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这

个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.

【答案】(1)0.47725

（2）分布列见解析，1

9

(3)

11

【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出〃,再根据正态分布曲线的对称性计算概率;

（2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案；

（3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可.

【小问1详解】

由平均数与方差的计算公式分别得

1

--------X(10x1.1+25x1.3+30x1.5+25x1.7+10x1.9)

100

1

----x[10x(1.1+1.9)+25x(13+1.7)+30x1.5]—xl50=1.5

100100

er2^^X[10X(1.1-1.5)2+25X(1.3-1.5)2+30X(1.5-1.5)2+25X(1.7-1.5)2+10X(1.9-1.5)2]

1

----x[10x0.16+25x0.04+30x0+25x0.04+10x0.16]=—x5.2=0.052.

100100

故〃=1.5,/=0.052.

设J表示零件直径，贝"〜即J〜N(1.5,0.052).

则—2cr<《<〃+2cr)=P(1.5—2x0.228<^<1.5+2x0.228)=0.9545,

2P(1.044<^<1.5)=0.9545,即P(1.044<^<1.5)=0.47725.

【小问2详解】

由题意知，这批零件直径在[1.2,1.4)的概率为1.

Z的取值范围为｛0,1,2,3,4卜,

81

则P(Z=0)=C：

256

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P(Z=2)=Cj1

P(Z=3)=C：3।T

尸(Z=4)=C：

因此可得Z的分布列为

Z01234

81272731

P

2566412864256

因为Z服从二项分布，则Z的数学期望E（z）=4x^=1.

【小问3详解】

设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件4抽取的零件为乙机器生产”记为事件4,

“抽取的零件为次品”记为事件B,

则尸（4）=：,尸（4）=；，尸（叫4）=03,尸（阳4）=02,

3111

则尸（8）=尸（4）尸（5|4）+尸（力2）尸（3|，2）=^X0-3+4义02=茄，

3

P(4B)尸(4)尸⑻4)4*03

尸（4忸）=9

P(B)p(5)1111

40

9

所以这个零件是甲机器生产的概率为一.

22

xy1

19.已知椭圆C：—+—=1（。＞6〉0）的右焦点为尸（G,0）,且点。1,三在。上.

/b2

\7

（1）求。的方程;

（2）若M（—1,0）,N（l,0）,点尸为C上一点.设直线PM与。的另一个交点为点8,直线PN与。的另

一个交点为点D设同7=4砺，PN=\ND,证明：当点尸在C上运动时，4+%为定值・

（3）若经过圆。：/+/=5上一动点6作。的两条切线，切点分别记为R,S,直线GR,GS分别与圆

。相交于异于点G的两点.求AO&S的面积的取值范围.

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【答案】(1)—+v2=l

4.

4

（2）证明见解析（3）j,l

【解析】

【分析】（1）根据焦点坐标和1,七得到方程组，求出/=4,/=1,得到椭圆方程；

（2）设P（Xo，%），设直线尸加的方程为x=（y-1，直线尸N的方程为》=町+1,联立椭圆方程，得到

两根之积，根据PM=4而，丽=22A©得至U4=（『十；卜；,4=（川,从而表达出4+4,

计算可得出结果；

（3）设点及（&,%），S（x4,y4）,当直线G&的斜率存在时，设直线G&的方程为〉=k（x—演）+为，联

立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：A=0,求得GR的方程，检验直线G&的斜率不存在，也满足

G火的方程；同理可得直线GS的方程，由两点确定一条直线可得&S的方程，联立直线&S和椭圆方程，

运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和

对勾函数的单调性，可得所求范围.

【小问1详解】

由题意知，c=