人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：随机变量的数字特征（学生版+解析）

第04讲随机变量的数字特征

01学习目标

课程标准学习目标

通过具体实例，了解离散型随机变量的概

1.理解离散型随机变量的数字特征的意义.

念，理解离散型随机变量分布列及其数字特

2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.

征（均值、方差）.

02思维导图

求离散型随机变■的均值

均值性质的应用

离散型随机变■的方差与标准差

离散型随机变■的均值,方差的性质

＜两点分布的均值与方差

离散型随机变■的方差、标准差

随机变量的数字特征题型-二项分布的均值与方差

特殊分布的数字特征—、超几何分布的均值与方差

实际问题中的均值问题

均值方差在生活决策中的应用

均值方差中的递推问题

均值方差中的最值问题

03知识清单

知识点01离散型随机变量的均值

1.离散型随机变量的均值的概念

（1）一般地，若离散型随机变量x的分布列为

・・・・・・

XX\X2Xi

……

PPiP2PiPn

则称E（X）xipi+x2P2H------------------------------£七Pj为随机变量X的均值或数学期望.

/=1

【解读】均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率,

反映了随机变量取值的平均水平.

⑵均值的性质

设X的分布列为尸(Xxj)pi,il,2,n.

①ECX+b)E(X)+b.

②E(aX)aE(X).

③E(aX+b)aE(X)+b.

【即学即练1】若随机变量X的分布列为

X146

P0.550.30.15

则E(X)等于()

AlB.-C.4.5D.2.65

3

知识点02离散型随机变量的方差、标准差

(1)定义①。(X)(xi—E(X))%+(X-E(X))2p+...+(x-E(X))(Xi-E(X))2

22ni=lPi

为随机变量X的方差，有时也记为%r(X),并称J5面为随机变量X的标准差，记为c(X).

②公式：D(X)fxlpi~(E(X))3

i=l

(2)方差的性质

①离散型随机变量X加上一个常数6,仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，

方差保持不变，即。(X+b)D(X).而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的/倍，即

D(aX)a2D(X).

一般地，可以证明下面的结论不成立：D(aX+6)a2D(X).

②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离

散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越圜集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.

【解读】

1.随机变量的线性关系

若X是随机变量，YaX+b,a,b是常数，则V也是随机变量.

2.判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用p,K),〃，2,“及pi+p2+…+p“l检验.

3.均值与方差的四个常用性质

(l)E(k)k,D(k)0,其中％为常数.

(2)E(XI+X2)E(XD+E(X2).

(3)D(X)E(X2)-(E(X))2.

(4)若XI,X2相互独立，则E(XIX2)E(XI>E(X2).

【即学即练2】牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02,设发

病牛的头数为X,则。(㈤等于.

知识点03特殊分布的数字特征

(1)两点分布

若X〜3(1,p),则E(X)p,D(X)p(l-p)；

(2)二项分布

若X〜B(n,p),则E(X)〃p,D(X)np(l—p).

(3)超几何分布

HM

若禺散型随机变量X服从超几何分布(N,M,11),则有若X~H(N,M,n),则改为不尸

【即学即练31某运动员投篮命中率为p0.6,则

①投篮1次时命中次数X的数学期望为；

②重复5次投篮时，命中次数丫的数学期望为.

'P______________

04

题型01求离散型随机变量的均值

【典例1](23-24高二下•浙江•期中)从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人

数的均值为()

36一9_

A.-B.—C.—D.2

255

【变式1】(23-24高二下•天津•期中)随机变量X的分布列如下：其中瓦。成等差数列，若尸(X2O)=[

则E(X)=()

X-202

pabc

312

A.—B.—C.一D.1

223

【变式2]（23-24高二下•河南开封•期末）一批产品中次品率为5%,随机抽取

则E（X）=（）

A.0.05B.0.5C.0.95D.0.095

【变式3](23-24高二上•全国•课时练习)某班举行了一次“心有灵犀"的活动，教师把一张写有成语的纸条

出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对

成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1

次，得分之和X的均值（）

A.0.9B.0.8

C.1.2D.1.1

【变式4］（23-24高二下•内蒙古赤峰•期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球

2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X,则石（X）=（）

469

A.—B.—C.—D.2

555

题型02均值性质的应用

【典例2］（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期末）已知随机变量X的分布列如下:

X-101

111

P———

236

设y=2x+i,则y的数学期望召（y）的值是（）

【变式1】（23-24高二下•山东枣庄•期中）随机变量X的概率分布为

X124

P0.40.3a

则E（5X+4）等于（）

A.5B.15C.45D.与。有关

【变式2】（23-24高二下•安徽•期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取

1件,设抽取的次品数为在则E（5J+1）=（）

A.2B.1C.3D.4

【变式3】（2024高二上•全国•专题练习）已知随机变量X的分布列为

且y=oX+3,若矶y）=—2,贝/等于（）

5

A.—3B.-2C.—D.3

3

【变式4）（24-25高二下•全国•课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若E（3X+4）=5,则a+）=

()

X-10a2

51J_

Pb

1244

题型03离散型随机变量的方差与标准差

【典例3］（24-25高二下•全国•课后作业）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地

向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X,则。（X）=.

IIII1II1I

-4-3-2-101234x

【变式1】已知随机变量x的分布列如下表（其中。为常数）则下列计算结果正确的是（）

X0123

P0.2a0.40.1

A.a=0.2B.P（X<l）=0.7C.E（X）=1.4D.£>（X）=6.3

【变式2】（23-24高二上•辽宁辽阳•期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次

能射中的概率为彳，记小明射击2次的得分为X,则。（X）=（）

8162026

A.—B.■-C.—D.—

9999

【变式3】（24-25高二下•全国•课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对

工期的影响如下表所示.

降水量XXv3OO300<X<700700<X<900X>900

工期延误天数y02610

若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0,7,0.9,则工期

延误天数y的数学期望是,工期延误天数y的方差为.

题型04方差的性质

【典例4］（23-24高二下•江苏无锡•期中）已知随机变量X的分布列如下，则O（3X+2）=.

X1234

p0.10.20.30.4

【变式1】（24-25高二下•全国,课后作业）已知随机变量X的分布列为

X-2-1012

P0.10.2a2a0.4

则b(5X+l)=,

【变式2】（23-24高二下•新疆,期中）（多选）已知E（X）=3,D（2X-1）=8,则（）

A.E（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.D（X）=2D.D（X）=4

【变式3】（24-25高二下,全国,课后作业）（多选）已知随机变量J的分布列为

k

P^=k）=C3［J*=0,1,2,3.若〃=2J+1,贝l］（）

A.随机变量4的均值为1B.随机变量〃的均值为2

C.随机变量占的方差为3D.随机变量〃的方差为三

题型05两点分布的均值与方差

【典例5］（23-24高二下•内蒙古,期末）若X服从0-1分布，且尸（X=0）=3尸（X=l）,则E（X）=（）

A.0.75B.1.25C.0.25D.0.5

【变式1］（23-24高二下•四川遂宁•阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且尸（X=1）=0.7,设y=2X-1,

那么。（丫）的值是（）

A.0.84B.0.7C.0.4D.0.3

【变式2】3.（23-24高三上•陕西西安•开学考试）已知随机变量。.服从两点分布，且尸侑=1）=口（7=1,2）,

若。＜0＜。2＜1，则下列判断正确的是（）

A.风立）＜。值）B.E©）＞E值）

C.E侑）＜£＞信）D.。㈤＞。（务）

【变式3】（23-24高二下•河南•期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为记该同学

在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量X,则。（2X+3）=.

【变式4】（2024高二下•全国•专题练习）若某事件A发生的概率为。（0＜p＜l）,则事件A在一次试验中发

生的次数X的方差的最大值为.

题型06二项分布的均值与方差

【典例6】2.（23-24高二下.广西南宁•期末）已知随机变量X~B（3,p）,0＜p＜l,且E（X）=3D（X）,则。=

()

112

A.B.—C.—D.一

4323

【变式1］（23-24高二下•辽宁大连•期末）己知随机变量X:且y=3X+4,则。"）=（）

A.1B.2C.3D.9

【变式2］（23-24高二下・北京海淀•期末）小明投篮3次，每次投中的概率为0.8,且每次投篮互不影响，

若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X,则（）

A.E（X）=2.4B.E（X）=4.8C.D（X）=0.48D.D（X）=0.96

Q

【变式3）（23-24高二下•山东临沂•期末）随机变量*~若E（X）=1,D（X）=-,则P（X=3）=（）

1313

A.——B.—C.—D.-----

166464256

【变式4］（23-24高二下•安徽•期末）已知随机变量X~N（/id）,Y~2（6,必，且尸（XW4）=1,E（X）=E（K）,

则0=（）

1211

A.-B.-C.-D.一

3342

题型07超几何分布的均值与方差

【典例7】（23-24高二下•河南信阳・期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太

湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中

随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X,则E（X）=（）

223

A.-B.-C.1D.-

532

【变式11（23-24高二下•吉林长春•阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心"

出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）

3354

A.-B.—C.-D.一

5443

【变式2】）（22-23高二下•江苏连云港•阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机

抽取3件进行检测，记取到的正品数为X,则下列结论正确的是（）

41

A.£（2X-1）=-B.D（X）=-

Q

C.E（X）=1D.D（2X-1）=-

【变式3](23-24高二下•浙江•期中)一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球,

其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的

个数为XI,期望方差分别为E(Xj,O(Xj；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为

X2,期望和方差分别为E(X?),0(X2),则下列判断正确的是()

A.E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2)B,E(Xl)=E(X2),D(X1)>D(X2)

c.D.E(xJ<

E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2)E(X2),D(X1)<D(X2)

题型08实际问题中的均值问题

【典例8](24-25高二上•黑龙江齐齐哈尔•期中)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日为了

解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700

名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],

(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

⑴从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；

⑵为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在

(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3

人，记日平均阅读时间在。4,16]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望和方差；

⑶以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P(A)表示这10名学生中恰有

女名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中％=0,1,2,10.当尸仔)最大时，写出左的值.(写

出证明)

【变式1】(23-24高二下・天津北辰•阶段练习)2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度

最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学

相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜

21

的概率为乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立.

(1)求甲以3:1的比分获胜的概率；

(2)设X表示比赛结束时进行的总局数，求X的分布列及数学期望.

【变式2】(23-24高二下•广西贵港•期末)某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考

生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会.考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参

加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继

续参加考试.若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败.甲决定参加考试，直

至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为;，每次参加面试通过的概率均为g,且每

次考试是否通过相互独立.

(1)求甲在一年内考试失败的概率；

⑵求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望.

【变式3】(23-24高二下・贵州遵义・期中)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛.某科技

公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，

共测试了1000个问题，测试结果如下表.

回答正确回答错误

问题中存在语法错误100300

问题中没有语法错误700100

结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解

决下列问题.

⑴测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；

(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X,求X的分

布列与数学期望.

题型09均值方差在生活决策中的应用

【典例9](23-24高二下•安徽蚌埠•阶段练习)在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据

甲地过去70年的气象记录所绘制的每年的高温天数(若某天气温达到35回及以上，则称之为高温天)的频

率分布直方图.若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年.假设每年是否为高温年相互独立，

以这70年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.

O9频率/组距

O8

O7

O6

O5

O4

O3

O2

O1

o\510152025高温天数

⑴求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；

⑵某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带

来的损失，该同学现在有两种方案选择.方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会

减少8000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为7000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年

的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞.

【变式1】（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽

取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的

概率均为Q75,且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.

⑴记选手甲正确作答的题目的个数为X,乙正确作答的题目个数为y,求X,丫概率分布；

（2）结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀.

【变式2】（23-24高二下，甘肃临夏•期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农

民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱

药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.

⑴若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；

⑵已知每箱药材的利润如表：

等级上等药材中等药材普通药材

利润（元/箱）40002000-1200

今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需

要的人力成本增加，每增加机箱，成本相应增加（1000"-20001n7〃）元，假设你为该农户决策，你觉得目前

应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.

【变式3】（23-24高二下•重庆九龙坡•期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机

抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：[0,200）,[200,400）,[400,600）,...,[1000,1200]

（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图:

⑴若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽

样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身

达人的概率;

⑵为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.

方案一：每满800元可立减100元；

方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中

2

奖2次打8折，中奖3次打7折.

若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.

题型10均值方差中的递推问题

【典例10]（23-24高二下•江西南昌•阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮

球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毯子，

互相传递测试.

⑴已知某位学生定点投篮投中的概率为：，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；

（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毯子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出

者都等可能将毯子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n

次甲踢到建子的概率为匕，则片=L

①证明：数列]与为等比数列；

②比较第人次与第左+2优eN+）次踢到毯子者是甲的可能性大小.

【变式1]（23-24高二下•河北邢台・期中）"布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息

的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通

道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过"次随机选择后到达2号仓的概率为匕，已知该粒子

的初始位置在2号仓.

⑴求耳透;

（2）证明数歹!]｛匕-是等比数列，并求数列仍,｝的通项公式；

⑶粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为X,求X的分布列与数学期望.

【变式2】（23-24高二下•广东广州•期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球.现

从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复"次这样的操作.记甲口袋中黑球个数为x“，

恰有1个黑球的概率为P.，恰有2个黑球的概率为qn.

（1）求Pr%与P*%;

⑵设an=pn+2qn,求证：数列｛%-1｝是等比数列；

⑶求X”的数学期望E（X“）（用〃表示）.

题型11均值方差中的最值问题

【典例11】（23-24高二下•广东梅州•阶段练习）假设某同学每次投篮命中的概率均为

2

⑴若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；

⑵该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投〃5eN+，〃V33）个球，若这〃个球都投进，则训练结束，否

则额外再投100-3〃个.试问〃为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？

【变式11（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，

负者得。分，平局双方均得。分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知

每局比赛中，甲获胜的概率为。，乙获胜的概率为％,双方平局概率为c,Ca+b+c=l,a>0,b>0,c>0）,

且每局比赛结果相互独立.

⑴若a=b=c=；,求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率.

（2）若c=0,若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值.

【变式2】（2024・广东广州•模拟预测）小张参加某项专业能力考试.该考试有A,B,C三类问题，考生可

以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答

正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题

全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答A,B,C三类问题的概率分别为B，。3,

且每个问题的回答结果相互独立.

（1）若小张按照A在先，3次之，C最后的顺序回答问题，记X为小张的累计答题数目，求X的分布列；

（2）小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；

⑶设。<。3<0<月<1，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.

jiff强化训练

一、单选题

1.（2024高二下•全国・专题练习）某射手射击所得环数&的分布列如下：

J78910

pXo.i0.3y

若0.l,羽成等差数列,则石（1）=（）

A.7.3B.8.9C.9D.9.4

2.（23-24高二下•山东东营•期末）已知一批产品的次品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回

地抽取70次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用丫元与抽到的次品数X有关，且y=iox+3OO,则

。（丫）二（）

A.97B.98C.99D.100

3.（23-24高二下•黑龙江牡丹江•阶段练习）已知随机变量X满足E（2X+3）=7,Q（2X+3）=16,则下列选项

正确的是（）

713

A.E（X）=—,D（X）=—B.石（X）=2,D（X）=4

22

7

C.石（X）=2,D（X）=8D.石（X）=],D（X）=8

4.（23-24高二下•湖北武汉・期末）若随机变量XB（M,0.4）,且D（X）=1.2,贝lj,X=4）的值为（）

A.2x0.44B.3x0.44C.2x06D.3x06

21

5.（23-24高二下•甘肃庆阳・期末）若X是离散型随机变量，P（X=%1）=-,P（X=%2）=-,又已知

42

E（X）=£,£＞（X）=X，则上-切的值为（）

39

77

A.-B.1C.2D.-

93

6.（23-24高二下•安徽淮南•期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且

有4个形状、大小均相同的入口1,2,3,4,其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的.现让一个机

器狗从点。出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原

路返回到出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，

且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（）

7.（23-24高二下•辽宁沈阳•期中）设随机变量X~B（6,p）,若E（X）42,则D（X）的最大值为（）

A.4B.3

8.（23-24高二下•广东广州•期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数6出。3aM（例如

1?

01001）,其中以（4二1,2,3,4,5）出现0的概率为出现1的概率为记乂=%+4+。3+。4+。5，则当程

序运行一次时，下列说法正确的是（）

/25

A.P（X=1）=——B.£（%）=-

v7243v73

C.£>（x）=JD.五位二进制数10100与10001出现的概率相同

二、多选题

9.（23-24高二下•甘肃临夏•期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（）

X0124

]_]_1

Pa

663

117

A.a=-B.P（X<2）=-C.E（X）=2D.D（X）=-

10.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•期末）已知随机变量X：满足X8（4,p），且尸（X=0）=普，且X+F=l,

81

则（）

41

A.£（x）=-B.£（y）=--

3o

C.O（X）=|D.D（y）=|

11.（23-24高二下•江苏泰州•阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取

3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出

一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（）

A.E（X）=2E（X）B.P（|Z-5|<1）=|

2

C.E（Z）=4D.Z）（Z）=-

三、填空题

12.（23-24高二下•宁夏吴忠•阶段练习）已知随机变量X的分布列为P（X=k）=ak+b[k=1,2,3）.又X的均

值矶X）=3,则a+6=一

13.（23-24高二下•重庆•阶段练习）如图，一个质点在随机外力作用下，从原点0出发，每隔1秒等可能的

向左或向右移动一个单位，移动"次之后的质点位于X“，则E（X“）=.

-2-1012

14.(23-24高二下•黑龙江大庆•期末)全期望公式与卜)=X=x*(X=%)是条件数学期望的一个非

常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔

一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设X为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式

可得E(X)=J(l+E(x))+Jxl,解得E(X)=：,其中1+E(x)表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数

6o5

期望仍为E(X),加上之前投的一次总次数为1+E(x).参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有

三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；

如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白

鼠达到安全区所需的时间为X,则E(X)=分钟.

四、解答题

15.(23-24高二下•山东枣庄•期中)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，8品牌7台，如果从中

随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X.

⑴求X的分布列；

⑵求X的均值和方差.

16.(23-24高二下•河北石家庄•期末)某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特

组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、8两名学生进入趣味运动比赛

的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，

其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A同学获胜的

概率均为；，且各场比赛的结果相互独立.

⑴求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；

(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X,求X的分布列及数学期望.

17.(23-24高二下•天津滨海新,期末)某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯,

组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下：

决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持

平，则并列为冠军；

如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答

题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3回0,则不需再答第4轮了；

21

设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是,，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是5,每

轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

⑴在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X

的分布列及数学期望；

⑵求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率.

18.（23-24高二下•北京通州•期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场

的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个

销售周期内的销售情况，得下表：

销售量

销售周期个数3吨4吨5吨

市场

甲343

乙253

⑴从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；

（2）以市场销售量的频率代替销售量的概率.设X（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求

随机变量X概率分布列；

⑶在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进“吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知

该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元.以销售利润的期望作为决策的

依据，判断〃=7与〃=8应选用哪一个.

19.（23-24高二下•河南漠河•阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体

员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中1■是男性，:是女性.

⑴当N=10时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

⑵我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，

从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作月，在二项分布

中，即男性员工的人数X213,|）男性员工恰有2人的概率记作舄.那么当N至少为多少时，我们可以在

误差不超过0.001（即片-1V0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布（参考数据:同它24.04）

第04讲随机变量的数字特征

学