人教版2025年湖南长沙九年级数学下册开学摸底考试（含答案解析）

2025学年九年级数学下学期开学摸底考

（湖南长沙专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

±o写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版九年级上下册全部。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的）

1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四

幅作品分别代表“立春”,“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别.根据轴对称图形和中心对称图

形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图

形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意;

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，

故选：D.

2.由8个大小相同的立方块搭成的几何体如图所示，其主视图为（）

【答案】B

【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，得出相应视图的形状是正确判断

的前提.根据简单组合体三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可.

【详解】解：从正面看，共三层，底层是三个小正方形，中间是一个小正方形，上面也是一

个小正方形.

故选：B

3.下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（）

⑴/+6-3=0

(2)(x-2)(x+2)=x?+4x-1

(3)ax2+a2x=3

,3

(4)x2+——5=0

x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是

否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)

是整式方程；(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者

为是一元二次方程.

【详解】解：(1)符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；

(2)由已知方程得到4x+3=0,属于一元一次方程，不是一元二次方程；

(3)方程二次项系数可能为0,不是一元二次方程；

(4)不是整式方程，不是一元二次方程.

•••是一元二次方程是(1),共有1个，

故选：A.

O

4.对于反比例函数>=—,下列说法不正确的是()

x

A.这个函数的图象分布在第一、三象限

B.点(2,4)在这个函数图象上

C.若图象上有两点4(国,“)，B(x2,y2),且在>马，则弘

D.当x>0时，N随x的增大而减小

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当上>0,双曲线的两支分别位于第一、三象

限，在每一象限内y随X的增大而减小进行分析即可.

Q

【详解】解：A.反比例函数y=2中的〃=8>0,这个函数的图象分布在第一、三象限，故该

选项正确，不符合题意；

B.点(2,4)在这个函数图象上，故该选项正确，不符合题意；

C.选项没有说明两点在同一象限，所以不正确，符合题意；

D.当x>0时，V随尤的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；

故选：C.

5.若/(-4,%),3(-3,%),。(1,%)为二次函数，=/+4>5的图象上的三点,则%,%的

大小关系是()

A.yt<y2<y3B.%<%<%

c.%<%<为D.“<%<%

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足

其解析式是解题的关键.分别代入/(-4,%),8(-3,%),C(1,%)到y=x?+4x-5求出力、

%、%的值，再比较大小即可得出结论.

2

【详解】解：代入/(一4,%)到了=/+4x-5得，J1=(-4)+4X(-4)-5,

同理可得：%=-8,%=0,

*.*—8<—5<0,

%<%<%•

故选：B.

6.下列语句：①三角形的内心到三角形各边的距离相等；②在同圆或等圆中，相等的弦所

对的圆周角相等；③过平面内三点可以作一个圆；④经过半径并且垂直于这条半径的直线

是圆的切线；⑤相等的圆心角所对的弧相等.其中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了二角形内心，圆的基础知识的综合，根据二角形的内心的性质，弧、弦、

圆心角等知识的理解，图形结合分析即可求解.

【详解】解：①三角形的内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得三角形内心到

三角形各边的距离相等，正确；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，圆周角不一定相等，如图所示，

Q

S

在。。中，弦42=弦4。，弦48对应的圆周角为乙4c8,弦4。对应的圆周角为44ED,

根据图示可得，NACB芋NAED,故②错误；

③过平面内不在同一直线的三点可以作一个圆，故③错误；

④经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故④错误；

⑤相等的圆心角所对的弧相等，如图所示，

ZAOB=/COD,《旦靠片小,故⑤错误.

综上所述，正确的有①，共1个，

故选：A.

7.如图所示，△NBC的顶点是正方形网格的格点，贝心山/的值为（）

回

B.

m1（7

【答案】D

【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理.取格点。，连接C。，根据勾

股定理的逆定理可证得N/DC=90。，进而根据正弦的定义，即可求解.

【详解】解：如图，取格点。，连接C。，

根据题意得：AD=V22+22=2V2，=71r仔=而，CD=Vl2+12=V2，

AD-+CD2=AC1，

NADC=90°,

—人旦涔g

Vio5

故选：D.

8.如图，。是△4BC边N8上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（）

B.ZADC=ZACB

-ADCD

i--------------------D.AC2=AD-AB

•ACBC

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解,

本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理.

【详解】解：A、•.•//=//,/ACD=/B,

.-.AACD^Z\ABC,不符合题意,

B、VZA=ZA,ZADC=ZACB,

.-.AACD^AABC,不符合题意,

C、根据奖=会无法得到△ZCQS捻BC,符合题意,

TiCnC

D>-：AC2=AD-AB,

.ACAB

“茄一就'

又ZA=ZA，

.-./\ACD^/\ABC,不符合题意,

故选：C.

9.如图，在△/8C中，CB=CA,/4CS=90。，点。在边5c上（与点8,C不重合），四

边形4DE尸为正方形，过点尸作尸G，。，交C4的延长线于点G,连接EB,交OE于点

Q.下列结论:

@AC=FG；②SAEB：S四边形CBFG=1：2；③NABC=NABF；(4)AD2FQ-AC,其中结论

正确的序号是（）

A.①②③④B.①③④C.②④D.②③④

【答案】A

【分析】由正方形的性质得出/E4D=90。，AD=AF=EF,证出/C4D=/4FG,由44s

证明△尸G/GA/C。，得出/C=/G,①正确；证明四边形C89G是矩形，得出

丛取8=3四・/3=；5四边形©6阳，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出

NABC=/ABF,③正确；证出A/CDSAEE。，得出对应边成比例，得出

AD-FE=AD2=FQ-AC,④正确.

【详解】解：•••四边形/OE尸为正方形，

ZFAD=90°,AD=AF=EF,

：.ACAD+AFAG=9Q°,

■：FGLCA,

NG=90°=NACB,

ACAD=ZAFG,

'NG=NC

在AFG/和A/CD中，\^AFG-ACAD,

AF=AD

.­.^FGA^ACD(AAS),

：.AC=FG,故①正确;

:BC=AC,

.■.FG=BC,

VZACB=90°,FGLCA,

：,FG〃BC,

・•・四边形C5尸G是矩形，

/.ZC5F=90°,

S.FAB=*FB.FG=^smcBFC,故②正确；

VCA=CB,ZC=ZCBF=90°f

.・"ABC=/ABF=45。,故③正确；

vZFQE=ZDQB=ZADGZ^=ZC=90°,

AACDS八FEQ,

,-.AC:AD=FE:FQ,

.■.AD-FE=AD1=FQ-AC,故④正确；

・•・正确的有①②③④.

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相

似的判定和性质等知识.利用数形结合的思想是解答本题的关键.

10.如图，二次函数了=0^+历；+。的图象过点（-1,0）和（加,0）,有以下结论：①abc<。；

@4a+c<2b；③2=1-■-；（4）am2+（2a+b}m+a+b+c<0⑤,加+司="，-4ac.其

cm

中正确的是（）

B.①②③④⑤

D.①②③⑤

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断①；根据尤=-2

时，”0即可判断②；根据冽是方程办2+云+,=0的根，结合两根之积-加=工即可判

断③；根据两根之和T+加=-2可得/“代入。加2+（^2a+b}m+a+b+c即可判断，

a

根据抛物线与X轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断⑤，熟练掌握二次函数的

图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键.

【详解】•••抛物线开口向下，

QV0,

•・・抛物线交歹轴于正半轴，

・•・c〉0,

>0,

2a

6〉0,

abc<0,故①正确，

%=—2时，y<0,

.•・4。-2b+c<0,即4。+。<26,故②正确，

••・二次函数歹二"？+bx+c的图象过点（-1,0）和（加,0）,

1c

—Ixm=—,am9+bm+c=0,

a

amb1八

・•.——+—+—=0

ccm

.•--=1--,故③正确，

cm

,b

,/-1+m=----,

a

・••-a+am=-b,

am=a—b,

am2+(2a+b^m+a+b+c

=am2+bm+c+lam+a+b

=2a-2b+a+b

=3a-b<0,故④正确,

-b+yjb1-4ac

当ax2+Ax+c=0时,x=------------

2a

又・.•图象过点（-1,0）和（见o）,

,当。/+乐+。=0时，玉=-1,x2=m,

•­\am+a\=yjb2-4ac,故⑤正确，

综上①②③④⑤正确，

故选：B.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.如图，在平面直角坐标系中，已知△N8C与SE尸是以原点。为位似中心的位似图形,

且。尸=3OC,贝必4BC与ADEF的面积之比是.

【答案】1:9

【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面

积比为相似比的平方是解题的关键.

根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可.

【详解】解：•・•。尸=3OC,

OC:OF=OC:3OC=1:3,

^ABC与ADEF是以原点O为位似中心的位似图形，

AB-.DE=OC:OF=\:3,

ABC-SDEF=AB-:DE"=1:9,

故答案为：1:9.

12.将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已知原来的两个圆锥母线长

分别为“C=3,AB=4,新几何体的最大横截面圆的半径/。=2,则新几何体的表面积

【答案】1471

【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式，5恻=%〃，据此即可求解.

【详解】解：由图可知：新几何体的表面积=7x2x3+乃x2x4=14万，

故答案为：14%

2

13.如图，过反比例函数y=、(x>0)图象上的一点A作了轴的平行线交反比例函数

y=；(x>0)于点5.连接。4、0B.若Z/°B=3,则左的值为.

【答案】-4

【分析】本题考查了反比例函数的上的几何意义，令48交x轴于C,由题意可

S“℃=；x|2|=l,求出邑COB=2,即可得解.

【详解】解：如图：令48交x轴于C,

2

•・,点A在反比例函数歹=一(％>0)上,且45〃歹轴,

・••S“oc=；x|2|二l,

S丛AOB=3

.c_c_c_7

,•U^COB-°AAOBQ"OC一乙，

.，冏=2，

rk<0,

•*•k——4,

故答案为：-4.

14.下列四个小题中，正确的有个（填个数）

①把人「［根号外的因式移入根号内的结果是G；

Va

②若x=0是方程（加一2）x?+3x+m2+2加一8=0的解，则机的值为2或一4；

③一元二次方程优/+（3加+l）x+3=0.不论“取何值，方程都有实数根;

④己知：A=,则/的值为!.

a+ba+cc+b2

【答案】1

【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求

值.根据二次根式的性质，一元二次方程的解，根与系数的关系，分式的化简求值求解即可

判断.

【详解】解：①把％m根号外的因式移入根号内的结果是-片：①的说法错误；

Va

②若x=0是方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的角%

•••加2+2加一8=0,解得加二2或一4；

即冽的值为2或-4；②的说法正确；

③一元二次方程mx2+（3m+l）x+3=0,

A=（3m+1）2-12m=（3m-l）2>0,加w0,

当mwO时，方程都有实数根；③的说法错误;

④当a+6+c=0时，

'：b+c=-a,a+c=-b,a+b=-C,

,abc

：.A=---=---=---=-1A；

b+ca+ca+b

当a+6+cwO时,

/a+b+ca+b+c1..........„

=(b+c)+(a+c)+(a+6)=2(a+b+c)=2'④的说法卒自坛；

综上，只有②的说法正确，共1个；

故答案为：1.

15.如图，在矩形48CD中，48=6,4D=4,E是48的中点，连接OE,尸是边C。上

一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点C落在。E上的点。处，当△OPC'与△4DE相

似时，CP=____.

【分析】本题考查矩形，相似三角形，折叠，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性

质，相似三角形的判定和性质，根据题意，求出2C,AE=BE=3,根据勾股定理求出。E

的值，根据折叠的性质，可得设PC=PC'=x,则£>P=6-x,分类讨论：当NOCP=90。；

当NQPU=90。时，根据相似三角形的判定和性质，求出CP,即可.

【详解】解：••・四边形"88是矩形，

4B=BC=6,ZADC=NC=/4=90°,

一；E是4B的中点

AE=BE=3,

--DE=y)AD2+AE2=5>

•••沿过点P的直线将矩形折叠，使点C落在。E上的点C处，

：.PC=PC,

设PC=PC'=x,则。P=6-x,

当ZDCP=90°,

；"DC'P=NA=9Q。,

■.■DC\\AB,

ZPDC=NAED,

AADESACPD,

PDPC

,•瓦―布‘

6—x_x

54

8

x——；

3

当NQR7=90。时，

/.ZDPC=ZA=90°f

•；NPDC=/AED,

AEADS^DPC',

DPPC

,,瓦―IK'

6-x_x

‘亍二"

24

x——；

7

故答案为：18或24

16.如图，点尸在以NV为直径的半圆上运动（点M在点N左侧，点尸不与点M、N重

合），于点。，NE平令■ZMNP,交PM于点、E,交PQ于点、H.给出下面四个结论:

①NPMN=2QPN；

②△PW是等腰三角形；

③当南=2的，MV=4时，△2£〃的面积为事；

③tanNPMN，"3.

C/^EPN

上述结论中，正确结论的序号有.

【答案】①②③

【分析】先由直径所对的圆周角是直角得到/™N+/PM0=9O。，再由尸。，儿W得到

AQPN+ZPNM=90°,从而确定①正确；由①的推理过程及的平分NM7VP,得到

4PEN=NQHN,再由对顶角相等，等量代换即可确定NP£»=NP/组，由等腰三角形的判

定即可确定②正确；由丽=2而，作出图形，得至U/PMN=30°,ZPNM=60°,由含30。

的直角三角形性质及勾股定理求出相关线段长，再由等边三角形的判定得到△2以?是等边

三角形，再由角平分线及三角函数进而求出等边三角形边长，过点女作垂足为

A,如图所示，求出的高即可得到其面积；由相似三角形的判定得到

APNESAQNH,由相似性质确定山"=丝=sinNQPN=sinZPMN*tanZPMN即可得

到答案.

【详解】解：.•,MN是。。的直径，

NMPN=90°,贝I]NPMN+2PNM=90°,

PQ1MN,

...ZPQN=90°,贝iJNQPN+/P2W=90。，

ZPMN=ZQPN,故①正确；

ZMPN=90°,

:"PEN+NPNE=90°,

■：NPQN=90°,

ZQHN+ZQNH=90°,

•・,NE平分/MNP,

/.ZPNE=ZQNH,

/PEN=AQHN,

•・.ZPHE=ZQHN,

ZPEH=ZPHE,即△尸跖•为等腰三角形，故②正确;

PM=2PN＞如图所示：

ZPMN=30°,ZPNM=60°,

MOQN

在RtAPW中，MN=4,NPMN=30°,贝I|PN=LJW=2,

2

由勾股定理可得=1必/2_尸解=24，

由②知是等腰三角形，由①知"MN=ZQPN=30°,

NMPQ=60°,即4PEH是等边三角形，

•「NE平分ZMNP,

ZPNE=-ZMNP=30°,

2

o

在RtABPM中,PN=2,ZPNE=30°,则PE=PN-tan3()o=一6,

3

：,PH=PE=-y/3,

3

过点H作HALPE,垂足为A,如图所示:

NHAE=90°,

在Rt△尸/”中，ZAPH=60°,贝1|出=尸//・5出60。=亚x@=l,

32

=gPE,9=gx：Gxl=g,故③正确；

如图所示：

NE平分/MNP,

ZPNE=ZQNH,

ZEPN=ZHQN=90°,

:APNES八QNH,

.C^HQN_QN

丽，

由①可知N™N=NQPN,

在RMPQN中，C^-=^=sinZQPN=sinZPMNtanZPMN,故⑷错误.

C&EPNPN~

综上所述，正确结论的序号有①②③，

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查几何综合，综合性特别强，难度很大，涉及圆周角定理、互余、角平分线

定义、等腰三角形的判定与性质、含30。的直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定

与性质、三角函数、三角形面积公式及相似三角的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性

质，根据所要求解的问题，准确构造辅助线是解决问题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题6分）计算：

(l)|V2-2|-6sin45°+V18-

（2）2sin30°+|cos60°-1卜4tan45°+我

【答案】（D-2-V2

⑵-；

【分析】（1）首先计算负整数指数幕，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后

计算加减.

（2）首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后计算加减.

【详解】（1）解：|V2-2|-6sin45°+Vi8-^1j

5

=2-V2-6x—+3A/2-4

2

=2-V2-3A/2+3A/2-4

=-2-V2;

（2）解：2sin30°+|cos600-1|-4tan45°+^8

=2x-+--1-4x1+2

22

=1+1-4+2

2

_1

.T

【点睛】此题考查了负整数指数幕，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式的性质，立方

根等计算，解题的关键是掌握以上运算法则.

18.（本题6分）阅读理解，并解决问题：

在数学活动课上，陶老师给出了这样一道题：“解方程：3（x+2）=（x+2『.”如下是小明和

小亮两位同学的做法.

小明：

解：3（x+2）=（x+2）2

两边同时除以（x+2）,得3=x+2,

解，得x=1.

小亮：

解：3（x+2）=（x+2『

移项，得3（x+2）-（x+2『=0,

提取公因式，得（x+2）（3-x+2）=0,

贝l]x+2=0或3-x+2=0,

解，得占=-2,x2=5.

任务一：小亮解方程的方法为;

任务二：小明与小亮的解题过程是否正确？若不正确，请你写出正确的解答过程；

任务三：你认为你的解法体现的数学思想是.

【答案】任务一：因式分解法；

任务二：小明与小亮的解法均不正确，过程见解析

任务三：转化思想

【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键.

根据因式分解法解一元二次方程.

【详解】解：任务一：因式分解法；

任务二：小明与小亮的解法均不正确；

正确的解法为:解：3（X+2）=（X+2）2,

移项，得3（x+2）-（X+2）2=0,

提取公因式，得（x+2）（3-x-2）=0,则x+2=0,或3-x-2=0,

解，得&=-2,x2=1.

任务三：转化思想

19.（本题6分）如图，在平行四边形48co中，AB=3,8C=4,连接3D,在8c上取一

点E,使得BE=AB,连接ZE交AD于点R点G是AD上一点，S.GD=^BD,连接EG.

B

E

⑴求证：ABEGSABCD；

9

(2)若2G=5,求尸G的长.

【答案】(1)证明见解析；

(2)尸G的长为2"7.

【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，掌握相关知识是

解题的关键.

⑴由——4,八建得g3,贝嘿《由畋得言《即可由

—=—，且NEBG=ACBD,证明ABEGSA8cZ>；

BCBD

FGRF3

(2)由相似三角形的性质得票===：,NBEG=ZC,则EG〃CD,,由平行四边形的性质得

CDnC4

FG3FGFG3

AB=CD,AB〃CD,所以亲=：,EG〃AB,则△跖求得音=嗜=j即可求解.

【详解】(1)证明：・••45=3,80=4,55=/民

:.BE=3,

BE_3

…3。一4'

•・•GD=1BD,

4

13

:.BG=BD—GD=BD—BD=BD,

44

BG_3

…BD~4'

•「BE=BG且“BG=/CBD,

BCBD

4BEGS△BCD；

(2)解：・"BEGSABCD,

EG=BE=3

CDBC4

/.EG//CD,

•・•四边形/BCD是平行四边形,

，AB=CD,AB〃CD,

,.珠=QG〃AB,

:AEFGS^AFB,

FGEG_3

FB-AB-4

4

：.FB=—FG,

3

BG=-,

2

479

/.BG=FB+FG=-FG+FG=-FG=-

332f

27

:.FG=——

14

27

."G的长为4

20.（本题8分）如图，一次函数了=。尤+方的图象与无轴交于点/（4,0）,与y轴交于点3,

与反比例函数>=々左>0）的图象交于点C,D.若震=；，BC=3AC.

⑴求一次函数和反比例函数的表达式；

⑵求AOCD的面积.

【答案】⑴了=-2X+8）=9

X

（2）8

【分析】本题考查了反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题、平行线分

线段成比例定理、反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面

积计算的方法是解题的关键.

（1）根据A、5点的坐标，求出的解析式，再通过比例关系解出C点的坐标，可得反

比例函数表达式；

（2）过点。作DFJL〉轴于点R列方程求出点。的坐标，再根据

S^OCD~S^AOB~S^BOD~S^COA即可求出的面积.

【详解】⑴解：•••4(4,0),

...CM=4,

BO2

又.•石

1

/.OB=8,

.-.5(0,8).

■.■A,8两点在直线y=◎+△上,

4。+6=0

b=8

Q=-2

解得

b=8

二•一次函数的表达式为＞=-2x+8.

:./\ACEsUBO,

CEAEAC1

OBOAAB4'

CE=2,AE=\,

OE=3,

.•.C(3,2),

•・・点C在反比例函数y=左＞0)的图象上,

「"=3x2=6,

・••反比例函数的表达式为y=9.

X

y——2,x+8

(2)由(1)建立方程组,6

y=-

IX

x=3

解得2

=2

如图，过点。作轴于点尸，则。尸=1,

=-OAOB---OBDF---0ACE

222

=1X4X8--X8X1--X4X2

222

=8.

21.(本题8分)聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；

B：七巧板；C：调查活动；D-.无字证明；E：数学园地设计.拟了解学生最喜爱的特色数

学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计

图.根据以上信息，解答下列问题：

A:测量

B:七巧板

C:调查活动

D:无字证明

E:数学园地设计

(1)补全统计图1(要求在条形图上方注明人数);

(2)图2中扇形E的圆心角度数为一度;

⑶甲、乙两同学决定从1,B,C,。四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中

同一类特色数学作业的概率.

【答案】（1）见解析.

⑵54・

（3）见解析.

【分析】（1）通过3的占比计算总人数，进一步算出E组人数；

（2）计算E组的人数占比，用周角360。计算扇形的角度；

（3）根据题意，用列表法（或树状图）列出所有等可能结果，计算概率；

【详解】（1）

ABCDE项目

总人数=36-30%=120,E类人数=120-30-30-36-6=18

（2）E的占比=而*100%=15%

••・扇形E的圆心角度数=360。x15%=54°；

(3)

ABCD

AAAABACAD

BBABBBCBD

CCACBCCCD

DDADBDCDD

41

共有16种可能结果，其中选同一类的结果数为4,故概率为。=：.

164

【点睛】本题考查数据统计的条形图及扇形图、概率的计算；理解条形图、扇形的统计意义,

会应用列表法或树状图工具是解题的关键.

22.（本题9分）如图，在。。中，弦5C1Q4于点，点厂是CD上一点，NF交。。于点

E,过点E作。。的切线交于点〃

A

⑴求证：EH=FH.

⑵若点C为今的中点，40=2,。。=1,求EH的长度.

【答案】（1）见解析

1

4

【分析】（1）连结OE.根据等腰三角形的性质得到乙4=/0E/,根据切线的性质得到

OEVEH,得到NOEA+ZAEH=90°,结合NN+ZAFD=90。和NAFD=ZHFE可得

ZHFE^AAEH,再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；

（2）连结0c交NE于连结NC,由点C为我的中点，得到蠢?=防，求得

ZAOC=ZEOC,推出。C垂直平分跖于点/，根据垂径定理得到分=於，BD=CD,

可求得NC4E=NBC4,AF=CF,根据勾股定理求得CD的长，设。尸=x,贝U

/尸=2&-x，根据勾股定理求得》的值，连接。以，再设£〃=>,贝IJ

（5Y

OH』+（+>=32+/,解得了的值即可得到结论.

【详解】（1）证明：连结。£.

ZA=ZOEA,

•・•必与。。相切于点E,

0E1EH,

.-.ZOEA+ZAEH=90°,

在RM4D9中，

ZA+ZAFD=90°,

/.ZAFD=/AEH,

又•・・NAFD=NHFE,

NHFE=ZAEH,

/.EH=FH.

(2)解：连结OC交4E于连结ZC,

A

,・,点。为薪的中点，

:.AC=EC^

ZAOC=ZEOC,

.：。。垂直平分/月于点〃，

,10A工BC,

:.AB=AC^BD=CD,

:.BC=AE^AB=EC

ZCAE=NBCA,

AAF=CF,

•:前=凝，

DC=-BC=-AE=AM,

22

•；AD=2,OD=l,

OC=OA=AD+OD=3,

在RtaOOC中，

CD=sloC2-OD2=732-l2=2V2，

设DF=x,贝!|/尸=。歹=2亚一工，

在RM4Db中，

X2+22=（2V2-X）2,

解得：尤=巫，

2

连接。〃，

（历丫

设E7/=y,则O7/2=]2+——+y=32+^2,

I2）

解得：>="也，

’4

.-.£■//=1^1.

4

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂径定理，切线的性质，线段垂

直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.

23.（本题9分）为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了

寻找古树的活动.如图，古树直立于水平面，为测量古树力B的高度，小明从古树底端8

点出发，沿水平方向行走了30米到达点C,然后沿斜坡CD前进，到达坡顶。点处，

DC=BC,在点。处放置测角仪，测角仪支架DE的高度为0.8米.在点E处测得古树顶端

/点的仰角N/E尸为15°（点/、B、C、D、E在同一平面内），斜坡CD的坡度i=3:4.（参

考数据：sinl5°«0.26,cosl5°«0.97,tanl5°«0.27）

（1）求斜坡CD的高；

（2）求古树的高力B.（结果保留一位小数）

【答案】（1）18米

⑵33.4米

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出

直角三角形是解答此题的关键.

（1）过点石作风/，48与点〃，延长切交8c于G,根据斜坡CD的坡度i=3:4可设

GO=3无，则CG=4无，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出

结论；

(2)由矩形的判定定理得出四边形EG5M是矩形，故可得出EM=3G,BM=EG,再由

锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论.

【详解】(1)解：过点E作瓦与点M,延长交5c于G,

•••斜坡CD的坡度，=3:4,5C==30米，

.•.设DG=3x米，则CG=4x米，

在RMCDG中，

222

•••DG+CG=DC,即(3x)2+(4X)2=3()2,

解得x=6,

，DG=18米，CG=24米，

答：斜坡CD的高为18米；

(2)解：EM±AB,AB1BG,EG±BG,

••・四边形EG3M是矩形，

EG=£O+OG=0.8+18=18.8米，BG=BC+CG=24+30=54^,

.•.EM=3G=64米，RW=EG=18.8米，

在RM4EM中，

AM=EM-tanl5。a54x0.27=14.58米，

48=/M+AW=14.58+18.8。33.4米，

答：古树的高AB约为33.4米.

24.(本题10分)已知A,B,C,。为0。上的四个点，连接42,AC,AD,BC,

BD,CD,AB=AC＜，4DC=45°.

（1）如图1,求证：BC为。。的直径；

⑵如图2,在直线3D上取点E,使得点E在4D的垂直平分线上，连接NE并延长交。。

于点方.

①求证：AF=BD；

②过点。作尸于点/，连接四并延长交直线40于点N,连接CN.在点。运动

的过程中，点N的位置会随之变化，当A,。，。不在同一条直线上时，N/NC的度数是

否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出4NC的度数.

【答案】（1）证明见解析

⑵①证明见解析；②当点。位于函上时，NANC=135°；当点。位于碗上时，

ZANC=45°

【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得乙4c2=N/2C=45。，再根据三角形内

角和求出/B/C=90。，即可得证；

（2）①连接CF,根据同弧或等弧所对的圆周角相等得/D=/F=//8C=//C3=45。，

=根据垂直平分线的性质得=证明AC//WA/8O（AAS）,再根据全等三

角形的性质即可得证；

②分三种情况：当点。位于诙上时；当点。位于旗上时；当点。位于凝上时，分别求

出NNNC的度数即可.

【详解】（1）证明：//QC=45°,

:.NABC=/ADC=45°,

-■AB=AC'

ZACB=NABC=45°,

ABAC=180°-ZACB-ZABC=180°-45°-45°=90°,

・•.3C为。。的直径；

(2)①证明：连接CF,

•；彘=余’

ND=/F=/ABC=NACB=45。,AB=AC,

•・•点E在AD的垂直平分线上，

••・AE=DE,

.•"FAD=/D=45°=/ABC,

-CD=CD^

ZDAC=ZDBC,

/.ZABC+ZDBC=ZFAD+ADAC,^ZABD=ZCAF,

在AC4F和△45。中，

ZCAF=/ABD

<AF=AD,

CA=AB

.-.△C4^A^7)(AAS),

・•・AF=BD；

②解：连接4。并延长交。。于点。，连接尸

当点。位于函上时，

•••OMLAF,

・•.AM=MF,

在/和ANMA中,

ZBFM=ZNAM

<FM=AM,

ZBMF=ANMA

.•.△WF%M£4（ASA）,

BM=NM,

••・05二。。，

；.OM为ASCN的中位线，

：.CN=WM,

vOA=OQ,AM=FM,

为/。的中位线，

,.FQ=2OM,

：.CN=FQ,

vAB=AC,0B=0C,

AOAC=-ZBAC=-x90°=45°,

22

450=ZFAD=/FAQ+ZQAD,45°=AQAC=ZQAD+ZDAC,

・•.NFAQ=/DAC,

：,FQ=CD,

：,CN=CD,

・•./DNC=/ADC=45。,

/ANC=180。—/DNC=180。—45。=135°；

当点。位于旗上时,

•••OMLAF,

・♦.AM=MF,

OA=OQ,

・•・OM为AAFQ的中位线,

：.FQ=2OM,

VZFAD+ZMAN=1SO°,NMFB+NACB=180。,

.•"MFB=/MAN,

在/和ANMA中，

,/MFB=AMAN

<FM=AM,

ZBMF=ANMA

.,.△BMF均NMAMK,

：.BM=NM,

••・OB=OC,

；.OM为△BCN的中位线，

:.CN=20M,

；,CN=FQ,

•・•ZFAQ=/FAD+ZQAD=45°+ZQAD,ZDAC=ZQAC+ZQAD=45°+ZQAD,

ZFAQ=ZDAC,

：.FQ=CD,

:.CN=CD,

•，ZANC=ZADC=45°；

当点。位于前上时,

•・•OMYAF,

•••AM=MF,

•.eOA=OQ,

OM为L4FQ的中位线,

；.FQ=2OM,

•••AMAN=ZEAD=45°=/AFB,

在/和ANMA中，

,/MFB=AMAN

<FM=AM,

ZBMF=ANMA

.,.△BMF均NMAMK,

：.BM=NM,

••・OB=OC,

；.OM为△BCN的中位线，

:.CN=20M,

；,CN=FQ,

,-CF=CF

・•./FAC=/FBC,

vZDBC=/DBF+ZFBC=45°+ZFBC,/FAQ=ZQAC+ZFAC=45°+/FAC,

・♦.ZDBC=ZFAQ,

；.FQ=CD,

:,CN=CD,

；,/ANC=NADC=45。；

综上所述，当点。位于函上时，ZANC=13