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文档简介
专题突破卷09奇偶性、对称性与周期性
题型预策
奇
偶对称轴
性
对称中心
,
对
称奇偶性,对称性与周期性的相互转化
性
与比大小
周
解不等式
期
性
结合导数
1.对称轴
1.定义在R上的奇函数/(x)满足/'(2-x)=/(x),且/(x)在区间上是增函数,给出下列三个命题:
①/⑴的图象关于点⑵0)对称;
②/(x)在区间口,2]上是减函数;
③〃50)=2
其中所有真命题的序号是.
【答案】①②
【分析】根据给定条件,结合赋值法推理判断①;利用奇函数性质、函数对称性推理判断②;导出函数的
周期,计算判断③作答.
【详解】因为“X)是R上的奇函数,则〃2-x)=/(x)=-f(T),即/(2-x)+/(-x)=0,
从而/(2+x)+〃x)=0,即有/(2+x)+“2-x)=0,因此/(x)的图象关于点(2,0)对称,①是真命题;
因为/(x)是R上的奇函数,且在区间[7,0]上是增函数,则/(x)在区间[0,1]上是增函数,
由〃2-x)=/(x)知,函数/(x)的图象关于直线x=l对称,因此/(x)在区间[1,2]上是减函数,②是真命题;
由〃2+x)+/(x)=0知,/(2+%)=-/«-则f(4+x)=-〃2+x)M〃x),即/(x)是周期为4的函数,
因此〃50)=〃4X12+2)=/⑵=-/(0)=0,③是假命题,
所以所有真命题的序号是①②
故答案为:①②
2.已知函数的定义域为R,>=〃x-4)-l是偶函数,当xW-4时,/(X)=(X+4)2-2,则不等式
〃3x-5)>/(2x-4)的解集为.
【答案】(一st)u(l,+s)
【分析】分析可知函数/(x)的图象关于直线x=-4对称,且该函数[-4,+8)上单调递增,由
/(3工-5)>〃2》-4)可得出关于工的不等式,解之即可.
【详解】因为函数/(无)的定义域为R,V=/(x-4)-l是偶函数,
贝iJ〃r-4)7=〃x-4)-l,即/(一x-4)=/(x-4),
所以,函数〃》)的图象关于直线x=-4对称,
当xV-4时,/(X)=(X+4)2-2,则函数/(x)在(7,-4]上单调递减,
故函数”X)在卜4,+8)上单调递增,
因为/(3x-5)>/(2x-4),则为-5+4|>|2x-4+4|,gp|3x-l|>2|x|,
即(3天一1『>4/,gp(x-l)(5x-l)>o,解得x<g或X>1,
因此不等式〃3-5)>〃2》-4)的解集为[-巴!N(1,+«0.
故答案为:
3.设函数〃x)的定义域为R,/(-x)=/(x),/(x)=/(2-x),当xe[O,l]时,3(x)=x1则函数
g(X)=|cOS7u|-“X)在区间[-1,或上零点的个数为()
A.4B.5C.6D.7
【答案】D
3
【分析】分析函数/(x)的性质,结合塞函数的图象,作出/*)在[T2]上的图象,再作出>=|cosm|在[-1,/
上的图象,求出两图象的交点个数作答.
【详解】由/Qx)=/(x),得/(x)的图象关于了轴对称,由〃x)=〃2-x),得的图象关于直线》=1对
称,
令g(x)=|cos7tx|-〃x)=0,得|cos*=/(x),函数了=|cos同是周期为1的偶函数,当xe[o,l]时,
f(x)=x3,
在同一坐标系内作出函数了=/(x)在[-1,2]上的图象,函数V=|cos7tx|在[-l,]]上的图象,如图,
3
观察图象知,函数y=/(x)与y=|cos?tr|的图象在上的交点有7个,
所以函数8(无)=m。5温|-〃%)在区间[-1,寸上零点的个数为7.
故选:D
XEXXGOO
4.(多选)若函数/(x)满足VR,/(+2)=/(2-),且V%i,x2[2,+),
/UH)%,贝()
xx-x2
A.〃x+2)为偶函数B./(0)</(3)
C.f(-a2+a+l)>f^D.若〃用)>/(3),贝ijl〈加<3
【答案】AC
【分析】先由函数的对称性可找到对称轴x=2,即可判断A选项;再由题找到函数的单调性,利用单调性
比较函数值的大小,可判定BCD选项.
【详解】由题意可得了(无)的图象关于直线x=2对称,且/'(x)在[2,+8)上单调递增,
则〃x)在(-叫2)上单调递减,且〃x+2)的图象关于直线x=0对称,
由偶函数图象的特征得A正确.
结合函数/'(X)的单调性和/(X)图象的对称性得,距离x=2越近,函数值越小,10-2|>|3-2],所以B不
正确.
对C,|-a2+a+l-2|=|a2-a+l|=+---=,所以C正确.
对D,若〃机)>八3),则直线x=,”距离直线x=2更远,即帆-2|>1,解得〃?>3或机<1,所以D不正确.
故选:AC.
5.函数〃x)=x(m-x)满足/(2-x)=f(x),且在区间可上的值域是[-3』,则坐标(。8)所表示的点在
A.线段40和线段2c上B.线段4D和线段。。上
C.线段A8和线段DC上D.线段NC和线段上
【答案】B
【分析】根据函数的对称性,可得函数的对称轴,结合二次函数的性质,可得函数解析式并画出图象,根
据值域,可得的取值范围,可得答案.
【详解】••,函数小)=蛔_力满足
故函数的图象关于直线x=l对称,且开口向上下,
所以,机=2,/(x)=x(2-x).
再根据〃T)=-3=/(3),/(1)=1,画出函数〃x)的图象,
如图所示:
且当。=一1时,1<Z><3;-l<aVl时,b=3,
故坐标(凡6)所表示的点在图中的线段ND和线段DC上,
故选:B.
2.对称中心
6.(多选)已知定义在R上的函数y=满足=-/(X),且/[x+j为奇函数,=
/(0)=2.下列说法正确的是()
A.3是函数y=/(x)的一个周期
B.函数了=/(%)的图象关于直线x对称
C.函数>=/(》)是偶函数
2023
D.=
左=1
【答案】ACD
【分析】根据/£|=-/(x)可得〃x-3)=/(x)即可确定周期求解选项A;根据/。+皆为奇函数,可
得了,x+=一/1+可求解选项B;根据题设条件可得/(-x)=/(x)即可求解选项C;利用函数的周
期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A,因为=
所以/1x-♦£|=一/1-|j=〃x),B|J/(x-3)=/(x),
所以3是函数y=/(x)的一个周期,A正确;
对B,因为/卜+雪为奇函数,所以/
所以函数歹二/(力的图象关于点[jo]中心对称,B错误;
对c,因为/卜工+[卜-/1+:1,
所以V"+
即小+g]=-/(X)=,即f(-x)=/(X),
所以函数y=/(x)是偶函数,c正确;
对D,/(1)=/(-1)=-1,/(2)=/(-1)=-1,/(3)=/(0)=2
所以/。)+/(2)+〃3)=0,
2023
所以£/㈤=[/(1)+/(2)+/(3)]+[/(4)+”5)+/(6)]+[/(2020)+/(2021)+/(2022)]+/(2023)
1=1
=/(2023)=/(1)=-1,D正确;
故选:ACD.
7.(多选)函数Ax)是定义在R上的奇函数,且在(-2,2)上单调递增,g(x)=〃x-2)也是奇函数,则()
A.函数"X)是周期为4的周期函数
B.函数g(x)是周期为2的周期函数
C.函数/(x)的图像关于点(4,0)对称
D.g(2),g0,g(5)大小关系为g(5)<g(2)<gg;
【答案】ACD
【分析】A选项,根据与g(x)均是定义在R上的奇函数,得到"了+2)=/。-2),得到“X)是周期为4
的周期函数;C选项,根据Ax)的周期及对称性得到C正确;B选项,由g(x)=/(x-2)及/(X)的周期得到
g(x)的周期;D选项,根据对称性及周期得到g(2)=/(0)=0,g0=/(Jg⑸=/(-1),结合/(x)在(-2,2)上单
调递增,比较出大小关系,D正确.
【详解】A选项,由题意得—/(x),g(-x)=-g(x),
又g(x)=/(x-2),所以/(-%-2)=-f(x-2),
又/(幻是定义在R上的奇函数,所以/(-x-2)=-/(X+2),
即/(x+2)=/(x-2),
所以函数/(x)周期为4,故A正确,B错误;
C选项,因为/(x)的图像关于点(0,0)对称,周期为4,
所以函数/(X)的图像关于点(4,0)对称,故C正确;
由g(x)=/(x-2),得g(x+4)=/(x+2)=/(x+2-4)=/(x-2)=g(x),
即函数g(x)是周期为4的周期函数,故B错误.
D选项,因为是定义在R上的奇函数,所以/(。)=0,
由g(2)=/(2-2)=/(0)=0^(1]=/[|-2]=/⑸=那-2)=/(3)=/(3-4)=/(-I),
且/(x)在(-2,2)上单调递增,得所以g⑸<g(2)<g]£|,故D正确.
故选:ACD.
8.(多选)已知定义在R上的函数y=/(x)满足条件/(x+l)=-/(x),且函数>=为奇函数,则下
列说法中正确的是()
A.函数〃x)是周期函数
B.函数“X)为R上的偶函数
C.函数“X)的图象关于点(TO)对称
D.函数为R上的单调函数
【答案】AC
【分析】由题可得〃x+2)=〃x)即可判断A;由y=〃x-l)为奇函数可得〃-x-l)+〃x-l)=0,即可
判断B;由/C-2)、/(》一2)=/@)可得〃一无)=一,(力,即可判断C;根据/(x)为R上的奇
函数,结合单调函数的定义即可判断D.
【详解】A选项,由/(x+1)=—/(",得/(x+2)=—/(x+l)=/(x),即7=2,故A正确;
B选项,因为产/(x-l)为奇函数,1),
用x-1换x,W/(-x)=-/(x-2),又〃x-2)="x),
所以/(r)=-〃x),即函数为R上的奇函数,故B错误;
C选项,因为V=/(xT)为奇函数,
所以〃*1)-=+=
则y=〃x)的图象关于点(-1,0)对称,故c正确;
D选项,因为函数/(X)为R上的奇函数,其图象关于原点对称,
函数/(X)在(-8,0)和(0,+8)的单调性相同,
但函数/(x)在R上不一定为单调函数,故D错误.
故选:AC.
9.设函数〃无)的定义域为R,且〃x+2)是奇函数,则〃x)图像()
A.关于点(2,0)中心对称B.关于点(-2,0)中心对称
C.关于直线x=2对称D.关于直线x=-2对称
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质,结合对称性,即可得出答案.
【详解】因为〃尤+2)为奇函数,所以〃x+2)=_〃_x+2),
所以函数7'(x)图象关于点(2,0)中心对称.
故选:A.
10.已知函数>=/(x+l)为奇函数,则函数>=/(x)+l的图象()
A.关于点(1,1)对称B.关于点(1,-1)对称
C.关于点(-U)对称D.关于点对称
【答案】A
【分析】根据V=〃x+1)为奇函数,得到y=〃x)关于(1,0)对称,进而得到答案.
【详解】函数y=/(x+i)为奇函数,图像关于(o,o)对称,
则函数>=/(》)关于(1,。)对称,
所以函数y=/(x)+i的图象关于(1,1)对称.
故选:A.
11.已知函数对任意xeR都有/(x)=-/(x+2),且函数/(x+1)的图象关于(-1,0)对称,当
时,/(x)=tanx.则下列结论正确的是()
A.函数V=的图象关于点/O)(keZ)对称
B.函数>=/(x)的图象关于直线》=2左(丘2)对称
C.函数了=|/(x)|的最小正周期为2
D.当xe[2,3]时,/(x)=tan(x-2)
【答案】C
【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于(0,0)对称,结合xe[T,l]时,〃x)=taiw,即可画出
函数的图象,由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数〃x)对任意xeR都有〃x)=—〃x+2),即〃同=-〃、+2)=[-/(尤+4)]=/"(%+4)恒
成立,所以〃无)的周期为4.
因为函数/(x+1)的图象关于(TO)对称,所以将V=/(x+l)的图象向右平移一个单位,得到V=/(x)的图
象,所以y=/(x)的图象关于(0,0)对称,
故/(X+2)=/(x)=/(-X),因此/(X)的图象关于X=1对称,
设xe[l,3],则
因为函数〃x)对任意xeR都有〃x)=-〃x+2)
所以/'(x)=-/(x-2)=-tan(x-2),
tanx,-l<x<l,
所以/(》)=所以选项D错误.
-tan(x-2),l<x<3,
作出>=/(')的图象如图所示:
y
tanl人〔二Y
O156x
-tanl
由图象可知,函数>=/(x)的图象关于点(2左,0)小eZ)中心对称,关于直线x=2左+1(丘Z)对称,故A,B
错误;
对于C:函数y=|/(x)|的图象可以看成v=/(x)的图象X轴上方的图象保留,把X轴下方的图象翻折到X轴
上方,所以函数y=|/(x)|的最小正周期为2.故C正确.
故选:C
3.奇偶性,对称性与周期性的相互转化
12.(多选)设函数/⑴的定义域为R,“X-刍为奇函数,“x+刍为偶函数,当x/*中时,
乙乙乙乙
/(x)=cosx,则下列结论正确的是()
57r1
A./(y)=-jB.〃X)在(3兀,4兀)上为减函数
C.点(4三7r,0)是函数“X)的一个对称中心D.方程〃x)-lgx=0仅有3个实数解
【答案】CD
【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质,并判断选项ABC;作出函数了=/(x),y=lgx的部分
图象,数形结合判断D作答.
【详解】函数/(x)的定义域为R,由/(X-])为奇函数,得即=
J।Ji
由/1(X+万)为偶函数,^f(-x+-)=f(x+-),即/(-X+7T)=/(X),贝l]/(—X+兀)=-/(一X—兀),
即“x+2兀)=一〃尤),于是fS+4兀)=-“x+2兀)=/(x),函数/(X)是周期为4兀的周期函数,
当xe[一时,y(x)=cosx,
对于A,/(y)=/(^+2K)=-/(^)=-COS=0,A错误;
对于B,函数仆)在[。0]上单调递增,由/(-x-7i)=-/(x),知函数/(x)图象关于点(一/,0)对称,
则函数•/'(X)在[r,T上单调递增,即有函数/(X)在[-兀⑼上单调递增,因此“X)在(3兀,4兀)上单调递增,B
错误;
对于C,由/(x+27t)=-/(x)及/(-x+7t)=/(x),得/(x+27t)=-/(-X+7C),即“X+3兀)=-/(-x),
因此函数/(幻图象关于点(三,0)对称,c正确;
对于D,当时,0"(x)41,由函数/(x)图象关于点(1,0)对称,
元冗冗
知当xe[-3三,-手时,T"(x)W0,贝|]当3it时,-1</«<1,
由/(r+兀)=/(x),知函数/(x)图象关于直线x=g对称,贝I]当x*,为时,-1</(%)<1,
兀
于是当xe[-3拳拳5it时,T"(x)41,而函数〃工)的周期是4兀,因此函数AX)在R上的值域为
方程〃x)-Igx=0,即〃x)=Igx,因此/(x)-lgx=0的根即为函数y=/(x)与y=Igx图象交点的横坐标,
在同一坐标系内作出函数y=/(x)与y=lgx的部分图象,如图,
而当了2万时,/(x)<l,lgx>l,即函数了=/(尤)与y=lgx图象在(万,+⑼无公共点,
所以方程/(x)Tgx=0仅有3个实数解,D正确.
故选:CD
【点睛】结论点睛:函数V=/(x)的定义域为。,VXGD,
(1)存在常数a,6使得/(%)+f(2a-x)^2bf(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)图象关于点(。,b)对
称.
(2)存在常数a使得/«="2a-x)of(a+x)=/(a-x),贝|函数y=图象关于直线x=a对称.
13.(多选)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且g(x)+/(-r+2)=lJ(x)-g(x+l)=l,若y=/(x)的
图象关于直线x=l对称,则以下说法正确的是()
A.g(x)为奇函数B.g(-1)=0
C.WxeR,f(x)=f(x+4)D.若/(x)的值域为[加,"],则/(x)+g(x)=加+M-1
【答案】BCD
【分析】由g(x)+/(-x+2)=l得g(x+l)+/(l-x)=l,与〃x)-g(x+l)=l联立得〃x)+/(l-x)=2,再结
合了=/(幻的图象关于直线x=l对称,可得丁=/(x)的周期、奇偶性、对称中心,可依次验证各选项正误.
【详解】g(x)+/(-x+2)=1,g(x+1)+/(I-x)=1,
/(x)-g(x+l)=l,.-./(x)+/(l-x)=2,
•••/(x)关于X=1对称,.1/(l-X)=/(I+x),
•■•/(^)+/(l+^)=2,.-./(x+l)+/(2+x)=2,:.f(x)=f(2+x),
/(%)=/(%+4),故C正确;
・・・/(•0关于工=1对称,:/(刈=/(27),:./0)=/(-外,;./。)为偶函数,
:g(x)+/(-x+2)=l,.•.g(x)+/(x)=l,Ag(-x)+/(-x)=l,Ag(-x)+/(%)=1,;.g(x)=g(-x),.1g(x)
为偶函数,故A错误;
•■•/(x)+/(l-x)=2,/(x)图象关于点中心对称,
.,.存在一对最小值点与最大值点也关于对称,:.m+M=2
g(x)+f(x)=l=m+M-i,故D正确;
13
由/(x)+/(l—x)=2得〃])=1,又7=2,所以
由g(x)+/(x)=l得g33)=1,所以g(一e3=0,故B正确;
故选:BCD
【点睛】关键点点睛:对含有/(x),g(x)混合关系的抽象函数,要探求/(无),g(x)性质首先要消去一个函数
只剩下另一下函数,消去其中一个函数的方法就是对x进行合理的赋值,组成方程组消去一个函数,再考查
剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用,解决该问题应该注
意的事项:
(1)赋值法使用,注意和题目条件作联系;
(2)转化过程要以相关定义为目的,不断转变.
14.(多选)定义在R上的函数/(x)满足〃l+x)=/(l-x)+2x,函数〃3x+2)的图象关于(0,1)对称,则
()
A.的图象关于(2,1)对称B.4是“X)的一个周期
2023
C./(o)=-lD.2/(左)=1011x2023
k=\
【答案】ACD
【分析】由函数〃3x+2)的图象关于(0,1)对称,可得/(2-x)+/(2+x)=2,即可判断A;先求出g(x)最小
正周期为4,再推出由〃x+4)=/(x)+4可判断B;令x=l,求出/(0)=-1可判断C;求出
g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=-4,可判断D.
【详解】对于A,由函数〃3x+2)的图象关于(0,1)对称,可推得/(-3x+2)+〃3x+2)=2,
令3x等价于x,则3(2-x)+/(2+x)=2,/(x)的图象关于(2,1)对称,所以A正确.
对于B,令g(x)=/(x)-x由/(2-x)+/(2+x)=2,/(2-x)-(2-x)+/(2+x)-(2+x)=-2,
所以,g(2-x)+g(2+x)=-2,所以g(x)关于(2,-1)对称.
由/(l+x)=/(l-x)+2x,所以/(l+x)-(l+x)=/(l-x)-(l-x),
所以,g(l+x)=g(l-x),所以,g(x)关于X=1对称.
令X等价于X-1,则g(x)=g(2-x),
又因为g(2-x)=-2-g(2+x),所以g(x)=-2-g(2+x)
令x等价于x+2,g(x+2)=-2-g(4+x)
所以g(x)=-2-g(2+x)=-2-[-2-g(4+x)]=g(4+jc),
所以可得出g(x)最小正周期为4.
/(x+4)-x-4=/(x)-x,/(x+4)=/(x)+4,所以4不是/⑶的周期,所以B错误.
对于C,令x=l,则/(2)=/(0)+2=1,所以,所以C正确.
对于D,因为g(x)图象关于(2,-1)对称,所以g(2)=-l,g(l)+g(3)=-2
因为〃0)=T,g(0)=/(0)-0=-l,因为g(x)最小正周期为4,
所以g(4)=g(0)=-l,所以g⑴+g⑵+g(3)+g⑷=一4,
g(l)+g(2)+…+g(2023)=-4x505+g⑴+g(2)+g(3)=-2023,
2023202320232023(1+2023)
有E7㈤=逐的+=-2023+——'----------1=1011x2023,选项D正确.
k=lk=\k=\2
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:令g(x)=/(x)-x是解题的关键,通过研究g(x)的对称性和周期性得到/(x)的性质,
即可求解.
15.(多选)已知定义在R上的函数/⑴满足〃x+2)+/(x)=0,且y=/(2-x)为偶函数,则下列说法一定
正确的是()
A.函数/⑴的周期为2
B.函数Ax)的图象关于直线x=2对称
C.函数/(x)为偶函数
D.函数/(x)的图象关于点(3,0)对称
【答案】BCD
【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断A、B;借助变量替换的方法,结合偶函数的定义及对称性
意义判断C、D.
【详解】对于选项A:因为/(x+2)+/(x)=0,则/(x+4)+/(x+2)=0,
可得/(x+4)=/(x),所以函数/*)的周期为4,故A错误;
对于选项B:因为>=/(2-x)为偶函数,则/(2-x)=〃2+x),
所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;
对于选项C:因为函数,(x)的图象关于直线x=2对称,贝U/(-》)=/(4+无),
由函数/(X)的周期为4,可得f(r)=〃4+x)=/(x),
所以函数/(x)为偶函数,故C正确;
对于选项D:因为〃-x)=〃x),>/(x+2)+/(x)=0,可得〃x+2)+/(-x)=0,
又因为函数/(x)的周期为4,贝|/。+6)+/(-刈=0,
所以函数/(x)的图象关于点(3,0)对称,D正确;
故选:BCD.
16.设函数〃x)的定义域为R,/(2x+l)为奇函数,1(x+2)为偶函数,当xe[0,l]时,f(x)=a*+b.若
/(0)+/(3)=-1,则()
A.b=~\B./(2023)=-1
C.为偶函数D./(X)的图象关于g,0卜寸称
【答案】C
【分析】根据〃2x+l)为奇函数,〃x+2)为偶函数,求出函数“X)的周期,并结合〃0)+〃3)=-1求出
a,6的值,即可判断A;由〃x)的周期可求出/(2023)即可判断B;/(x+2)为偶函数得
“r+2)="x+2),结合了(无)的周期即可判断C;由〃0)+〃1)=-1片0即可判断口.
【详解】["(2x+l)为奇函数,.•./(_2x+l)=-〃2x+l),
令x=0,则〃1)=0;用x替换2尤,则f(f+l)=-/(x+l),
又•.•〃x+2)为偶函数,.•.〃-x+2)=〃x+2),
令尤=1,则/(3)=/(1)=0;用x+1替换x,则/(一x+l)=/(3+x),
.•./(x+3)=-+用替换x,则/(x+2)=-/(x),
・・•/(x+4)=-f(x+i)=f(x),则〃x)的一个周期为4,
/f((0l))=+a/(+3b)=0l+Z)=-r解得f1a6==2-2
故A错误;
/(2023)=/(505x4+3)=/(3)=0,故B错误;
由〃T+2)=/(X+2),得〃f)=/(x+4)=〃x),得/(x)为偶函数,故C正确;
•.・xe[0,l]时,/(x)=2-2,.•./(())+/⑴=-1*0,不关于}寸称,故D错误,
故选:C.
17.已知〃x)是定义在R上的函数,满足/(x-4)=/(-x),且满足〃3x-l)为奇函数,则下列说法一定
正确的是()
A.函数图象关于直线x=l对称B.函数/(x)的周期为2
C.函数“X)图象关于点,;可中心对称D.7(2023)=0
【答案】D
【分析】由/(x-4)=/(-x)易得/(x)图象关于直线x=-2对称,再由〃3x-l)为奇函数,得到〃x)图象
关于(TO)对称,进而结合得到f(-2+x)=-/(x),有函数的周期为4判断.
【详解】解:因为〃x)满足/(x-4)=/(-x),所以/[-2+(》-2)]=/[-2-(x-2)],
所以函数〃x)图象关于直线x=-2对称,
因为〃3尤-1)为奇函数,
所以/(一3x-l)=-〃3x-l),Bp/(-3x-l)+/(3x-l)=O,
则函数/(x)图象关于(TO)对称,贝!1/(一2+耳=一/(尤),
令x=0得-1)=0,
由止2+x)=_/(x),得/(-4+x)=〃x),
所以函数/'(X)的周期为4,
所以〃2023)="505x4+3)=〃3)==0,
故选:D
4.比大小
18.已知函数y=/(x)在(0,4)上单调递增,且y=〃x+4)是偶函数,则()
A./(2)</(3)</(7)B./(7)</(2)</(3)
C./(2)</(7)</(3)D.〃3)〈/⑺<〃2)
【答案】B
【分析】根据题意得到函数.y=/(x)关于x=4对称,所以/(7)=/(1),结合单调性,即可求解.
【详解】由函数y=〃x+4)是偶函数,可得函数j=/(x+4)关于x=0对称,
所以函数V=〃x)关于x=4对称,所以〃7)=〃1),
因为函数y=/(x)在(0,4)上单调递增,且1<2<3,所以〃7)<〃2)<〃3).
故选:B.
19.已知函数/(x+1)是偶函数,当1<再<工2时,"(々)-/(%)]仁-再)20恒成立,设
。6=/(2),c=/(3),则。,b,。的大小关系为()
A.b<a<cB.c<b<a
C.b<c<aD.a<b<c
【答案】A
【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质,结合函数的对称性即可求解.
【详解】因为1<玉<三时,[/(%)-/(网)]口2-xjzo恒成立,
所以〃制“(网),
所以/(X)在(1,+8)上单调递增,
因为〃X+1)是偶函数,
所以/(X)的图象关于x=l对称,
因为。=/(-'=/§),6=/(2),c=〃3),
因为2<g<3,
所以/⑵</(1)</(3),即/⑵</(-1)</(3),
所以
故选:A.
20.定义域为R的函数/(x)满足"2-x)=/(2+x),且当天<马<2时,卜-f)>0恒成立,
(5\
设。=/⑴,Z)=/(lnlO),c=f3a,则“,b,。的大小关系为()
I
A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c
【答案】B
【分析】根据题意,求得函数的对称性以及单调性,结合对数函数以及指数函数的单调性,求得3,lnl0,3?
的大小关系,可得答案.
【详解】因为函数/'(x)满足〃2-x)=〃2+x),所以函数的图象关于直线x=2成轴对称,
因为当再<%<2时,x2-%i>0,由[/(%2)-〃再)]优一再)>0,则〃%2)-/(占)>0,即/@2)>/(占),
所以在(-叫2)上单调递增,则〃x)在(2,+8)上单调递减,
由。=-1)=〃4一1)=〃3),
由e2<10<2S<e3,根据函数尸Inx在(0,+8)上单调递增,贝i]2<lnl0<3;
由1<:,根据函数>=3,在R上单调递增,则3<3丸
由函数/(x)在(2,+8)上单调递减,则/>10)>〃3)>/产,即b>a>c.
故选:B.
21.已知〃x)是定义在R上的函数,且为奇函数,〃x+2)为偶函数,当x«0,2]时,
11
〃x)=/+i,若。=/01),z,=/(iog2n),c=/(2),则a,b,c的大小关系为()
A.b>c>aB.b<a<c
C.a>c>bD.a>b>c
【答案】D
【分析】根据给定条件,利用奇偶函数定义探求出函数/(x)的周期性,及在[-2,2]上的单调性即可判断作答.
【详解】由/(x)-l为奇函数,得=即一x)=2-/(x),
又由〃x+2)为偶函数,得/(t+2)=〃x+2),即〃f)=〃x+4),
于是〃x+4)=2-即〃x+8)=2-〃x+4)=2-[2-7'(HbAx),因此〃x)的周期为8,
又当xe[0,2]时,/(x)=x2+l,则/(x)在[0,2]上单调递增,
由/(-x)=2-/(x),得/(%)的图象关于点(0,1)成中心对称,则函数/(x)在[-2,0]上单调递增,
因此函数/(x)在[-2,2]上单调递增,由/(-x+2)=/(x+2),得“X)的图象关于直线x=2对称,
。=/(11)=/(3)=/(I),3<log21K4,b=/(log2ll)=/(4-log211)=/(log2?),
c=/(211)=/(0),显然0<log2s<1,即有/(0)</(k)g2S)</(l),即a>b>c,
所以a,b,c的大小关系为。>b>c.
故选:D
【点睛】结论点睛:函数V=/(x)的定义域为。,Vxe。,
(1)存在常数a,6使得/(%)+f(2a-x)^2bf(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)图象关于点(a,b)对
称.
(2)存在常数a使得/«="2a-x)of(a+x)=/(a-x),贝|函数y=图象关于直线x=a对称.
22.定义在R上函数V=/(x)满足以下条件:①函数V=/(x)图像关于x=l轴对称,②对任意
国,”(-8川,当x产4时都有〃再)一〃")<0,则〃0),/日,〃3)的大小关系为()
xi~x2)
A./Q^>/(0)>/(3)B./(3)>/(0)>/^
C./[|^>/(3)>/(0)D./QA/C”。)
【答案】B
【分析】根据已知条件判断函数单调性,利用单调性比较函数值大小.
【详解】解:•••函数y=〃x)图像关于x=i对称,且对任意再,尤24-8,1],
当X产9时都有-<0,
X[-x2
.•.y=f(x)在(7,1],上单调递减,在[1,+8)单调递增,
/⑼=〃2),
.・/(3)>/(0)>/[1].
故选:B.
5.解不等式
23.(2023・江苏•统考二模)(多选)己知函数V=〃x)(xeR)的图象是连续不间断的,函数y=的
图象关于点(1,1)对称,在区间(1,+s)上单调递增.若〃〃?cos0+4cos"2)+〃-4cos2。)>2对任意
ITJT
-,T恒成立,则下列选项中加的可能取值有()
l_42J
A.272-4B.2-272C.72-2D.72-4
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数4%)为R上单调递增,进而得至!J加cose+4cos6-2〉4cos2夕,
利用参变分离和夕的取值范围求出加的取值范围,进而求解.
【详解】由函数V=/(x-l)的图象关于点(1」)对称且在区间(1,+8)上单调递增可得,函数y=/(x)(xeR)
的图象关于(0,1)对称,函数A%)为R上单调递增,
由/(mcos3+4cos0-2)+/(-4cos26)〉2可得,
f(mcos0+4cos0-2)+f(-4cos2^)>/(-4cos26^)+/(4cos26^),
也艮|jf[mcos0+4cos0-2)>/(4cos2^),
贝lj有mcos0+4cos0-2>4cos29T亘成立,即mcos0>4cos20-4cos6+2
因为,所以cose£[0,〕E],
[42」L,2」
当cos。=0时,得到0>-2恒成立;
、[,巾[-4cos26+2-4cos°8cos2^-4cos^-22.
当cosOwO时,则有加>-----------------=-----------------=o8cosn6-----------4,
cos0cos0cos0
B2
4COS<9=RG(0,^-],贝勤=8-:-4,
2F)
因为函数歹=8/7-4在(0,+s)上单调递增,且此(0,学],
所以Nmax=2亚-4,贝!b">2应-4,所以BC适合题意,AD不合题意.
故选:BC.
24.(2023•西藏林芝•统考二模)已知定义在R上的函数〃x)在(-叫2]上单调递减,且〃x+2)为偶函数,
则不等式〃xT)>/(2x)的解集为()
A.[哈一■|]u(6,+co)B.(一0°,-1)1^1,+co]
Q(-别D/一闫
【答案】D
【分析】由f(x+2)为偶函数求得函数对称轴,再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】•••函数/(x+2)为偶函数,.•.〃-x+2)=f(x+2),gp/(2-x)=/(2+x),
二函数〃x)的图象关于直线x=2对称,
又••.函数/(x)定义域为R,在区间(-咫2]上单调递减,
二函数/(x)在区间(2,+8)上单调递增,
.•.由/口-1)>〃2》)得,h-1)-2|>|2-2],解得xe"£|.
故选:D.
25.已知函数"X)的定义域为R,/(x-1)的图象关于点(1,0)对称,/(3)=0,且对任意的再巧©(-双0),
x尸3,满足"/)一/(改)<0,则不等式+。的解集为()
x2-xl
A.(-oo,l]u[2,+co)B.[-4,-l]u[0,l]
C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co)
【答案】C
【分析】首先根据/(x-l)的图象关于点(1,0)对称,得出(x)是定义在R上的奇函数,由对任意的X1,
%e(-8,0),占二%,满足"马)一"%)<0,得出〃x)在(-8,0)上单调递减,然后根据奇函数的对称性和
x2-Xx
单调性的性质,求解即可.
【详解】•."(xT)的图象关于点£0)对称,的图象关于点(0,0)对称,f(x)是定义在R上的奇函数,
・•・对任意的X],x,e(-8,0),X产3,满足/02)一)(花)<0,,/。)在(-8,0)上单调递减,所以/(刈在(0,+8)
x2-Xx
上也单调递减,
又/(3)=0所以〃-3)=0,且〃0)=0,
所以当xe(-8,-3)u(O,3)时,/(x)>0;当xe(-3,0)。(3,+8)时,/(x)<0,
所以由(/1)、小/+1、"。可得[\_3x<—x1+<0l,<。或f[。x-—1>0,3或1=°,
解得-4Mx<-1或lVx<2,即不等式(xT/(x+l"0的解集为[-4,-1卜口,2].
故选:C.
26.已知函数/(x)=^\+—^+1+」^,则不等式/(2x+3)>/(/)的解集为()
/十/44X1
A.(-2,1)口(1,+8)B.(-l,l)U(3,+»)
C.(一川U(3,+⑹D.(-3,1)U(3,+8)
【答案】B
【分析】确定函数/(X)的图象关于(1,1)中心对称,〃x)在(1,+⑹上单调递减,且不等式转化为
2x+3<r<1或/<I<2X+3或1<2X+3<X2,解得答案.
【详解】依题意,xwl,〃x)=上二+二,
'/4x-4x-1
1/-\1—X1^x+lz^x+l
故/(l+x)+f(l-x)=——+1+-+------+1———+------+2=2,
、)\)41-4x41r-4x41-44-4X1
故函数/(x)的图象关于(14)中心对称,
1?1
当X>1时,y=——^=—―7,^=1+—;单调递减,
2+24-4x-1
故〃X)在(1,欣)上单调递减,M/(x)=^1-+-^o-+l+—1>1,
N十N什441
函数“X)的图象关于(1,1)中心对称,/(X)在(-8,1)上单调递减,/(%)<!,
而〃2》+3)>/华),故2工+3</<1或Y<1<2X+3^41<2X+3<X2,
解得T<x<l或x>3,故所求不等式的解集为(-U)U(3,+8),
故选:B.
27.已知函数/⑴的定义域为R,其导函数为/'(X),若/(T-3x)为奇函数,/(3x+l)为偶函数,记
g(x)=/'(x),
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