奇偶性、对称性与周期性-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷09奇偶性、对称性与周期性

题型预策

奇

偶对称轴

性

对称中心

，

对

称奇偶性，对称性与周期性的相互转化

性

与比大小

周

解不等式

期

性

结合导数

1.对称轴

1.定义在R上的奇函数/(x)满足/'(2-x)=/(x),且/(x)在区间上是增函数，给出下列三个命题：

①/⑴的图象关于点⑵0)对称；

②/(x)在区间口,2］上是减函数；

③〃50)=2

其中所有真命题的序号是.

【答案】①②

【分析】根据给定条件，结合赋值法推理判断①；利用奇函数性质、函数对称性推理判断②；导出函数的

周期，计算判断③作答.

【详解】因为“X)是R上的奇函数，则〃2-x)=/(x)=-f(T),即/(2-x)+/(-x)=0,

从而/(2+x)+〃x)=0,即有/(2+x)+“2-x)=0,因此/(x)的图象关于点(2,0)对称，①是真命题;

因为/(x)是R上的奇函数，且在区间［7,0］上是增函数，则/(x)在区间［0,1］上是增函数，

由〃2-x)=/(x)知，函数/(x)的图象关于直线x=l对称，因此/(x)在区间［1,2］上是减函数，②是真命题;

由〃2+x)+/(x)=0知，/(2+%)=-/«-则f(4+x)=-〃2+x)M〃x),即/(x)是周期为4的函数，

因此〃50)=〃4X12+2)=/⑵=-/(0)=0,③是假命题，

所以所有真命题的序号是①②

故答案为：①②

2.已知函数的定义域为R,>=〃x-4)-l是偶函数，当xW-4时，/(X)=(X+4)2-2,则不等式

〃3x-5)>/(2x-4)的解集为.

【答案】(一st)u(l,+s)

【分析】分析可知函数/(x)的图象关于直线x=-4对称，且该函数［-4,+8)上单调递增，由

/(3工-5)>〃2》-4)可得出关于工的不等式，解之即可.

【详解】因为函数/(无)的定义域为R，V=/(x-4)-l是偶函数，

贝iJ〃r-4)7=〃x-4)-l,即/(一x-4)=/(x-4),

所以，函数〃》)的图象关于直线x=-4对称，

当xV-4时,/(X)=(X+4)2-2,则函数/(x)在(7,-4］上单调递减,

故函数”X)在卜4,+8)上单调递增，

因为/(3x-5)>/(2x-4),则为-5+4|>|2x-4+4|,gp|3x-l|>2|x|,

即(3天一1『>4/,gp(x-l)(5x-l)>o,解得x<g或X>1,

因此不等式〃3-5)>〃2》-4)的解集为［-巴!N(1,+«0.

故答案为：

3.设函数〃x)的定义域为R,/(-x)=/(x),/(x)=/(2-x),当xe［O,l］时，3(x)=x1则函数

g(X)=|cOS7u|-“X)在区间［-1,或上零点的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

3

【分析】分析函数/(x)的性质，结合塞函数的图象，作出/*)在［T2］上的图象，再作出>=|cosm|在［-1,/

上的图象，求出两图象的交点个数作答.

【详解】由/Qx)=/(x),得/(x)的图象关于了轴对称，由〃x)=〃2-x),得的图象关于直线》=1对

称，

令g(x)=|cos7tx|-〃x)=0,得|cos*=/(x),函数了=|cos同是周期为1的偶函数，当xe［o,l］时，

f(x)=x3,

在同一坐标系内作出函数了=/(x)在［-1,2］上的图象，函数V=|cos7tx|在［-l,］］上的图象，如图，

3

观察图象知，函数y=/(x)与y=|cos?tr|的图象在上的交点有7个，

所以函数8(无)=m。5温|-〃%)在区间［-1,寸上零点的个数为7.

故选：D

XEXXGOO

4.(多选)若函数/(x)满足VR,/(+2)=/(2-),且V%i，x2［2,+),

/UH)%,贝()

xx-x2

A.〃x+2)为偶函数B./(0)</(3)

C.f(-a2+a+l)>f^D.若〃用)>/(3),贝ijl〈加<3

【答案】AC

【分析】先由函数的对称性可找到对称轴x=2,即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性

比较函数值的大小，可判定BCD选项.

【详解】由题意可得了(无)的图象关于直线x=2对称，且/'(x)在［2,+8)上单调递增，

则〃x)在(-叫2)上单调递减，且〃x+2)的图象关于直线x=0对称，

由偶函数图象的特征得A正确.

结合函数/'（X）的单调性和/（X）图象的对称性得，距离x=2越近，函数值越小，10-2|>|3-2],所以B不

正确.

对C,|-a2+a+l-2|=|a2-a+l|=+---=,所以C正确.

对D,若〃机）>八3）,则直线x=，”距离直线x=2更远，即帆-2|>1,解得〃?>3或机<1,所以D不正确.

故选：AC.

5.函数〃x）=x（m-x）满足/（2-x）=f（x）,且在区间可上的值域是[-3』,则坐标（。8）所表示的点在

A.线段40和线段2c上B.线段4D和线段。。上

C.线段A8和线段DC上D.线段NC和线段上

【答案】B

【分析】根据函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得函数解析式并画出图象，根

据值域，可得的取值范围，可得答案.

【详解】••,函数小）=蛔_力满足

故函数的图象关于直线x=l对称，且开口向上下，

所以，机=2,/（x）=x（2-x）.

再根据〃T）=-3=/（3）,/（1）=1,画出函数〃x）的图象，

如图所示:

且当。=一1时，1<Z><3；-l<aVl时，b=3,

故坐标(凡6)所表示的点在图中的线段ND和线段DC上,

故选：B.

2.对称中心

6.(多选)已知定义在R上的函数y=满足=-/(X),且/[x+j为奇函数，=

/(0)=2.下列说法正确的是()

A.3是函数y=/(x)的一个周期

B.函数了=/(%)的图象关于直线x对称

C.函数>=/(》)是偶函数

2023

D.=

左=1

【答案】ACD

【分析】根据/£|=-/(x)可得〃x-3)=/(x)即可确定周期求解选项A；根据/。+皆为奇函数，可

得了，x+=一/1+可求解选项B；根据题设条件可得/(-x)=/(x)即可求解选项C；利用函数的周

期性和函数值可求解选项D.

【详解】对A,因为=

所以/1x-♦£|=一/1-|j=〃x),B|J/(x-3)=/(x),

所以3是函数y=/(x)的一个周期，A正确;

对B,因为/卜+雪为奇函数，所以/

所以函数歹二/(力的图象关于点［jo］中心对称，B错误;

对c,因为/卜工+［卜-/1+:1,

所以V"+

即小+g］=-/(X)=,即f(-x)=/(X),

所以函数y=/(x)是偶函数，c正确;

对D,/(1)=/(-1)=-1,/(2)=/(-1)=-1,/(3)=/(0)=2

所以/。)+/(2)+〃3)=0,

2023

所以£/㈤=[/(1)+/(2)+/(3)]+[/(4)+”5)+/(6)]+[/(2020)+/(2021)+/(2022)]+/(2023)

1=1

=/(2023)=/(1)=-1,D正确；

故选:ACD.

7.(多选)函数Ax)是定义在R上的奇函数，且在(-2,2)上单调递增，g(x)=〃x-2)也是奇函数，则()

A.函数"X)是周期为4的周期函数

B.函数g(x)是周期为2的周期函数

C.函数/(x)的图像关于点(4,0)对称

D.g(2),g0,g(5)大小关系为g(5)<g(2)<gg；

【答案】ACD

【分析】A选项，根据与g(x)均是定义在R上的奇函数，得到"了+2)=/。-2),得到“X)是周期为4

的周期函数；C选项，根据Ax)的周期及对称性得到C正确；B选项，由g(x)=/(x-2)及/(X)的周期得到

g(x)的周期；D选项，根据对称性及周期得到g(2)=/(0)=0,g0=/(Jg⑸=/(-1),结合/(x)在(-2,2)上单

调递增，比较出大小关系，D正确.

【详解】A选项，由题意得—/(x),g(-x)=-g(x),

又g(x)=/(x-2),所以/(-%-2)=-f(x-2),

又/(幻是定义在R上的奇函数，所以/(-x-2)=-/(X+2),

即/(x+2)=/(x-2),

所以函数/(x)周期为4,故A正确，B错误；

C选项，因为/(x)的图像关于点(0,0)对称，周期为4,

所以函数/(X)的图像关于点(4,0)对称，故C正确；

由g(x)=/(x-2),得g(x+4)=/(x+2)=/(x+2-4)=/(x-2)=g(x),

即函数g(x)是周期为4的周期函数，故B错误.

D选项，因为是定义在R上的奇函数，所以/(。)=0,

由g(2)=/(2-2)=/(0)=0^(1]=/[|-2]=/⑸=那-2)=/(3)=/(3-4)=/(-I),

且/(x)在(-2,2)上单调递增，得所以g⑸<g(2)<g]£|,故D正确.

故选：ACD.

8.(多选)已知定义在R上的函数y=/(x)满足条件/(x+l)=-/(x),且函数>=为奇函数，则下

列说法中正确的是()

A.函数〃x)是周期函数

B.函数“X)为R上的偶函数

C.函数“X)的图象关于点(TO)对称

D.函数为R上的单调函数

【答案】AC

【分析】由题可得〃x+2)=〃x)即可判断A；由y=〃x-l)为奇函数可得〃-x-l)+〃x-l)=0,即可

判断B；由/C-2)、/(》一2)=/@)可得〃一无)=一,(力,即可判断C；根据/(x)为R上的奇

函数，结合单调函数的定义即可判断D.

【详解】A选项，由/(x+1)=—/(",得/(x+2)=—/(x+l)=/(x),即7=2,故A正确;

B选项,因为产/(x-l)为奇函数,1),

用x-1换x,W/(-x)=-/(x-2),又〃x-2)="x),

所以/(r)=-〃x),即函数为R上的奇函数，故B错误;

C选项，因为V=/(xT)为奇函数,

所以〃*1)-=+=

则y=〃x)的图象关于点(-1,0)对称，故c正确；

D选项，因为函数/(X)为R上的奇函数，其图象关于原点对称，

函数/(X)在(-8,0)和(0,+8)的单调性相同，

但函数/(x)在R上不一定为单调函数，故D错误.

故选：AC.

9.设函数〃无)的定义域为R,且〃x+2)是奇函数，则〃x)图像()

A.关于点(2,0)中心对称B.关于点(-2,0)中心对称

C.关于直线x=2对称D.关于直线x=-2对称

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质，结合对称性，即可得出答案.

【详解】因为〃尤+2)为奇函数，所以〃x+2)=_〃_x+2),

所以函数7'(x)图象关于点(2,0)中心对称.

故选：A.

10.已知函数＞=/(x+l)为奇函数，则函数＞=/(x)+l的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点(1,-1)对称

C.关于点(-U)对称D.关于点对称

【答案】A

【分析】根据V=〃x+1)为奇函数，得到y=〃x)关于(1,0)对称，进而得到答案.

【详解】函数y=/(x+i)为奇函数，图像关于(o,o)对称，

则函数＞=/(》)关于(1,。)对称，

所以函数y=/(x)+i的图象关于(1,1)对称.

故选：A.

11.已知函数对任意xeR都有/(x)=-/(x+2),且函数/(x+1)的图象关于(-1,0)对称，当

时，/(x)=tanx.则下列结论正确的是()

A.函数V=的图象关于点/O)(keZ)对称

B.函数＞=/(x)的图象关于直线》=2左(丘2)对称

C.函数了=|/(x)|的最小正周期为2

D.当xe[2,3]时,/(x)=tan(x-2)

【答案】C

【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于(0,0)对称，结合xe[T,l]时，〃x)=taiw,即可画出

函数的图象，由图象即可逐一判断.

【详解】因为函数〃x)对任意xeR都有〃x)=—〃x+2),即〃同=-〃、+2)=[-/(尤+4)]=/"(%+4)恒

成立，所以〃无)的周期为4.

因为函数/(x+1)的图象关于(TO)对称，所以将V=/(x+l)的图象向右平移一个单位，得到V=/(x)的图

象，所以y=/(x)的图象关于(0,0)对称，

故/(X+2)=/(x)=/(-X),因此/(X)的图象关于X=1对称,

设xe[l,3],则

因为函数〃x)对任意xeR都有〃x)=-〃x+2)

所以/'(x)=-/(x-2)=-tan(x-2),

tanx,-l<x<l,

所以/(》)=所以选项D错误.

-tan(x-2),l<x<3,

作出＞=/(')的图象如图所示:

y

tanl人〔二Y

O156x

-tanl

由图象可知，函数＞=/(x)的图象关于点(2左,0)小eZ)中心对称，关于直线x=2左+1(丘Z)对称，故A,B

错误;

对于C：函数y=|/(x)|的图象可以看成v=/(x)的图象X轴上方的图象保留，把X轴下方的图象翻折到X轴

上方，所以函数y=|/(x)|的最小正周期为2.故C正确.

故选：C

3.奇偶性，对称性与周期性的相互转化

12.(多选)设函数/⑴的定义域为R,“X-刍为奇函数，“x+刍为偶函数，当x/*中时,

乙乙乙乙

/(x)=cosx,则下列结论正确的是()

57r1

A./(y)=-jB.〃X)在(3兀,4兀)上为减函数

C.点(4三7r,0)是函数“X)的一个对称中心D.方程〃x)-lgx=0仅有3个实数解

【答案】CD

【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数了=/(x),y=lgx的部分

图象，数形结合判断D作答.

【详解】函数/(x)的定义域为R,由/(X-］)为奇函数，得即=

J।Ji

由/1(X+万)为偶函数，^f(-x+-)=f(x+-),即/(-X+7T)=/(X),贝l］/(—X+兀)=-/(一X—兀)，

即“x+2兀)=一〃尤),于是fS+4兀)=-“x+2兀)=/(x),函数/(X)是周期为4兀的周期函数，

当xe［一时，y(x)=cosx,

对于A,/(y)=/(^+2K)=-/(^)=-COS=0,A错误；

对于B,函数仆)在［。0］上单调递增，由/(-x-7i)=-/(x),知函数/(x)图象关于点(一/,0)对称，

则函数•/'(X)在［r，T上单调递增，即有函数/(X)在［-兀⑼上单调递增，因此“X)在(3兀,4兀)上单调递增，B

错误；

对于C,由/(x+27t)=-/(x)及/(-x+7t)=/(x),得/(x+27t)=-/(-X+7C),即“X+3兀)=-/(-x),

因此函数/(幻图象关于点(三,0)对称，c正确;

对于D,当时，0"(x)41,由函数/(x)图象关于点(1,0)对称，

元冗冗

知当xe[-3三，-手时，T"(x)W0,贝|]当3it时，-1</«<1,

由/(r+兀)=/(x),知函数/(x)图象关于直线x=g对称，贝I]当x*,为时，-1</(%)<1,

兀

于是当xe[-3拳拳5it时，T"(x)41,而函数〃工)的周期是4兀，因此函数AX)在R上的值域为

方程〃x)-Igx=0,即〃x)=Igx,因此/(x)-lgx=0的根即为函数y=/(x)与y=Igx图象交点的横坐标,

在同一坐标系内作出函数y=/(x)与y=lgx的部分图象，如图，

而当了2万时，/(x)<l,lgx>l,即函数了=/(尤)与y=lgx图象在(万,+⑼无公共点，

所以方程/(x)Tgx=0仅有3个实数解，D正确.

故选：CD

【点睛】结论点睛：函数V=/(x)的定义域为。，VXGD,

(1)存在常数a,6使得/(%)+f(2a-x)^2bf(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)图象关于点(。,b)对

称.

(2)存在常数a使得/«="2a-x)of(a+x)=/(a-x),贝|函数y=图象关于直线x=a对称.

13.(多选)已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,且g(x)+/(-r+2)=lJ(x)-g(x+l)=l,若y=/(x)的

图象关于直线x=l对称，则以下说法正确的是()

A.g(x)为奇函数B.g(-1)=0

C.WxeR,f(x)=f(x+4)D.若/(x)的值域为[加,"],则/(x)+g(x)=加+M-1

【答案】BCD

【分析】由g(x)+/(-x+2)=l得g(x+l)+/(l-x)=l,与〃x)-g(x+l)=l联立得〃x)+/(l-x)=2,再结

合了=/(幻的图象关于直线x=l对称，可得丁=/(x)的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.

【详解】g(x)+/(-x+2)=1,g(x+1)+/(I-x)=1,

/(x)-g(x+l)=l,.-./(x)+/(l-x)=2,

•••/(x)关于X=1对称，.1/(l-X)=/(I+x),

•■•/(^)+/(l+^)=2,.-./(x+l)+/(2+x)=2,:.f(x)=f(2+x),

/(%)=/(%+4),故C正确；

・・・/(•0关于工=1对称，:/(刈=/(27),:./0)=/(-外，；./。)为偶函数，

：g(x)+/(-x+2)=l,.•.g(x)+/(x)=l,Ag(-x)+/(-x)=l,Ag(-x)+/(%)=1,;.g(x)=g(-x),.1g(x)

为偶函数，故A错误；

•■•/(x)+/(l-x)=2,/(x)图象关于点中心对称，

.,.存在一对最小值点与最大值点也关于对称，：.m+M=2

g(x)+f(x)=l=m+M-i,故D正确；

13

由/(x)+/(l—x)=2得〃])=1,又7=2,所以

由g(x)+/(x)=l得g33)=1,所以g(一e3=0,故B正确;

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：对含有/(x),g(x)混合关系的抽象函数，要探求/(无),g(x)性质首先要消去一个函数

只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对x进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查

剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注

意的事项：

(1)赋值法使用，注意和题目条件作联系；

(2)转化过程要以相关定义为目的，不断转变.

14.(多选)定义在R上的函数/(x)满足〃l+x)=/(l-x)+2x,函数〃3x+2)的图象关于(0,1)对称,则

()

A.的图象关于(2,1)对称B.4是“X)的一个周期

2023

C./(o)=-lD.2/(左)=1011x2023

k=\

【答案】ACD

【分析】由函数〃3x+2)的图象关于(0,1)对称，可得/(2-x)+/(2+x)=2,即可判断A；先求出g(x)最小

正周期为4,再推出由〃x+4)=/(x)+4可判断B；令x=l,求出/(0)=-1可判断C；求出

g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=-4,可判断D.

【详解】对于A,由函数〃3x+2)的图象关于(0,1)对称，可推得/(-3x+2)+〃3x+2)=2,

令3x等价于x,则3(2-x)+/(2+x)=2,/(x)的图象关于(2,1)对称，所以A正确.

对于B,令g(x)=/(x)-x由/(2-x)+/(2+x)=2,/(2-x)-(2-x)+/(2+x)-(2+x)=-2,

所以，g(2-x)+g(2+x)=-2,所以g(x)关于(2,-1)对称.

由/(l+x)=/(l-x)+2x,所以/(l+x)-(l+x)=/(l-x)-(l-x),

所以，g(l+x)=g(l-x),所以,g(x)关于X=1对称.

令X等价于X-1,则g(x)=g(2-x),

又因为g(2-x)=-2-g(2+x),所以g(x)=-2-g(2+x)

令x等价于x+2,g(x+2)=-2-g(4+x)

所以g(x)=-2-g(2+x)=-2-[-2-g(4+x)]=g(4+jc),

所以可得出g(x)最小正周期为4.

/(x+4)-x-4=/(x)-x,/(x+4)=/(x)+4,所以4不是/⑶的周期，所以B错误.

对于C,令x=l,则/(2)=/(0)+2=1,所以，所以C正确.

对于D,因为g(x)图象关于(2,-1)对称，所以g(2)=-l,g(l)+g(3)=-2

因为〃0)=T，g(0)=/(0)-0=-l,因为g(x)最小正周期为4,

所以g(4)=g(0)=-l,所以g⑴+g⑵+g(3)+g⑷=一4,

g(l)+g(2)+…+g(2023)=-4x505+g⑴+g(2)+g(3)=-2023,

2023202320232023(1+2023)

有E7㈤=逐的+=-2023+——'----------1=1011x2023,选项D正确.

k=lk=\k=\2

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：令g(x)=/(x)-x是解题的关键，通过研究g(x)的对称性和周期性得到/(x)的性质，

即可求解.

15.(多选)已知定义在R上的函数/⑴满足〃x+2)+/(x)=0,且y=/(2-x)为偶函数，则下列说法一定

正确的是()

A.函数/⑴的周期为2

B.函数Ax)的图象关于直线x=2对称

C.函数/(x)为偶函数

D.函数/(x)的图象关于点(3,0)对称

【答案】BCD

【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断A、B；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性

意义判断C、D.

【详解】对于选项A：因为/(x+2)+/(x)=0,则/(x+4)+/(x+2)=0,

可得/(x+4)=/(x),所以函数/*)的周期为4,故A错误；

对于选项B：因为>=/(2-x)为偶函数，则/(2-x)=〃2+x),

所以函数/(x)的图象关于直线x=2对称，故B正确；

对于选项C：因为函数，(x)的图象关于直线x=2对称，贝U/(-》)=/(4+无)，

由函数/(X)的周期为4,可得f(r)=〃4+x)=/(x),

所以函数/(x)为偶函数，故C正确；

对于选项D：因为〃-x)=〃x),>/(x+2)+/(x)=0,可得〃x+2)+/(-x)=0,

又因为函数/(x)的周期为4,贝|/。+6)+/(-刈=0,

所以函数/(x)的图象关于点(3,0)对称，D正确；

故选：BCD.

16.设函数〃x)的定义域为R,/(2x+l)为奇函数,1(x+2)为偶函数,当xe[0,l]时，f(x)=a*+b.若

/(0)+/(3)=-1,则()

A.b=~\B./(2023)=-1

C.为偶函数D./(X)的图象关于g,0卜寸称

【答案】C

【分析】根据〃2x+l)为奇函数，〃x+2)为偶函数，求出函数“X)的周期，并结合〃0)+〃3)=-1求出

a,6的值，即可判断A；由〃x)的周期可求出/(2023)即可判断B；/(x+2)为偶函数得

“r+2)="x+2),结合了(无)的周期即可判断C；由〃0)+〃1)=-1片0即可判断口.

【详解】［"(2x+l)为奇函数，.•./(_2x+l)=-〃2x+l),

令x=0,则〃1)=0；用x替换2尤,则f(f+l)=-/(x+l),

又•.•〃x+2)为偶函数，.•.〃-x+2)=〃x+2),

令尤=1,则/(3)=/(1)=0；用x+1替换x,则/(一x+l)=/(3+x),

.•./(x+3)=-+用替换x,则/(x+2)=-/(x),

・・•/(x+4)=-f(x+i)=f(x),则〃x)的一个周期为4,

/f((0l))=+a/(+3b)=0l+Z)=-r解得f1a6==2-2

故A错误;

/(2023)=/(505x4+3)=/(3)=0,故B错误；

由〃T+2)=/(X+2),得〃f)=/(x+4)=〃x),得/(x)为偶函数，故C正确;

•.・xe[0,l]时，/(x)=2-2,.•./(())+/⑴=-1*0,不关于｝寸称，故D错误，

故选：C.

17.已知〃x)是定义在R上的函数，满足/(x-4)=/(-x),且满足〃3x-l)为奇函数，则下列说法一定

正确的是()

A.函数图象关于直线x=l对称B.函数/(x)的周期为2

C.函数“X)图象关于点,；可中心对称D.7(2023)=0

【答案】D

【分析】由/(x-4)=/(-x)易得/(x)图象关于直线x=-2对称，再由〃3x-l)为奇函数，得到〃x)图象

关于(TO)对称，进而结合得到f(-2+x)=-/(x),有函数的周期为4判断.

【详解】解：因为〃x)满足/(x-4)=/(-x),所以/[-2+(》-2)]=/[-2-(x-2)],

所以函数〃x)图象关于直线x=-2对称，

因为〃3尤-1)为奇函数，

所以/(一3x-l)=-〃3x-l),Bp/(-3x-l)+/(3x-l)=O,

则函数/(x)图象关于(TO)对称,贝!1/(一2+耳=一/(尤),

令x=0得-1）=0,

由止2+x）=_/（x）,得/（-4+x）=〃x）,

所以函数/'（X）的周期为4,

所以〃2023）="505x4+3）=〃3）==0,

故选：D

4.比大小

18.已知函数y=/（x）在（0,4）上单调递增，且y=〃x+4）是偶函数，则（）

A./（2）＜/（3）＜/（7）B./（7）＜/（2）＜/（3）

C./（2）＜/（7）＜/（3）D.〃3）〈/⑺＜〃2）

【答案】B

【分析】根据题意得到函数.y=/（x）关于x=4对称，所以/（7）=/（1）,结合单调性，即可求解.

【详解】由函数y=〃x+4）是偶函数，可得函数j=/（x+4）关于x=0对称，

所以函数V=〃x）关于x=4对称，所以〃7）=〃1）,

因为函数y=/（x）在（0,4）上单调递增,且1＜2＜3,所以〃7）＜〃2）＜〃3）.

故选：B.

19.已知函数/（x+1）是偶函数，当1＜再＜工2时，"（々）-/（%）］仁-再）20恒成立，设

。6=/（2）,c=/（3）,则。，b,。的大小关系为（）

A.b＜a＜cB.c＜b＜a

C.b＜c＜aD.a＜b＜c

【答案】A

【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质，结合函数的对称性即可求解.

【详解】因为1＜玉＜三时，［/（%）-/（网）］口2-xjzo恒成立，

所以〃制“（网），

所以/（X）在（1,+8）上单调递增,

因为〃X+1)是偶函数，

所以/(X)的图象关于x=l对称，

因为。=/(-'=/§)，6=/(2),c=〃3),

因为2<g<3,

所以/⑵</(1)</(3),即/⑵</(-1)</(3),

所以

故选：A.

20.定义域为R的函数/(x)满足"2-x)=/(2+x),且当天<马<2时，卜-f)>0恒成立,

(5\

设。=/⑴，Z)=/(lnlO),c=f3a,则“，b,。的大小关系为()

I

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.a>b>c

【答案】B

【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得3,lnl0,3?

的大小关系，可得答案.

【详解】因为函数/'(x)满足〃2-x)=〃2+x),所以函数的图象关于直线x=2成轴对称，

因为当再<%<2时，x2-%i>0,由［/(%2)-〃再)］优一再)>0,则〃%2)-/(占)>0,即/@2)>/(占)，

所以在(-叫2)上单调递增，则〃x)在(2,+8)上单调递减，

由。=-1)=〃4一1)=〃3),

由e2<10<2S<e3,根据函数尸Inx在(0,+8)上单调递增，贝i］2<lnl0<3；

由1<:，根据函数>=3,在R上单调递增，则3<3丸

由函数/(x)在(2,+8)上单调递减，则/>10)>〃3)>/产，即b>a>c.

故选：B.

21.已知〃x)是定义在R上的函数，且为奇函数，〃x+2)为偶函数，当x«0,2］时，

11

〃x)=/+i,若。=/01),z,=/(iog2n),c=/(2),则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b<a<c

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数/(x)的周期性，及在［-2,2］上的单调性即可判断作答.

【详解】由/(x)-l为奇函数，得=即一x)=2-/(x),

又由〃x+2)为偶函数，得/(t+2)=〃x+2),即〃f)=〃x+4),

于是〃x+4)=2-即〃x+8)=2-〃x+4)=2-［2-7'(HbAx),因此〃x)的周期为8,

又当xe［0,2］时，/(x)=x2+l,则/(x)在［0,2］上单调递增，

由/(-x)=2-/(x),得/(%)的图象关于点(0,1)成中心对称，则函数/(x)在［-2,0］上单调递增，

因此函数/(x)在［-2,2］上单调递增，由/(-x+2)=/(x+2),得“X)的图象关于直线x=2对称，

。=/(11)=/(3)=/(I),3<log21K4,b=/(log2ll)=/(4-log211)=/(log2?),

c=/(211)=/(0),显然0<log2s<1,即有/(0)</(k)g2S)</(l),即a>b>c,

所以a,b,c的大小关系为。>b>c.

故选：D

【点睛】结论点睛：函数V=/(x)的定义域为。，Vxe。，

(1)存在常数a,6使得/(%)+f(2a-x)^2bf(a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)图象关于点(a,b)对

称.

(2)存在常数a使得/«="2a-x)of(a+x)=/(a-x),贝|函数y=图象关于直线x=a对称.

22.定义在R上函数V=/(x)满足以下条件：①函数V=/(x)图像关于x=l轴对称，②对任意

国,”(-8川，当x产4时都有〃再)一〃")<0,则〃0),/日，〃3)的大小关系为()

xi~x2)

A./Q^>/(0)>/(3)B./(3)>/(0)>/^

C./［|^>/(3)>/(0)D./QA/C”。)

【答案】B

【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小.

【详解】解：•••函数y=〃x)图像关于x=i对称，且对任意再,尤24-8,1］,

当X产9时都有-<0,

X[-x2

.•.y=f(x)在(7,1],上单调递减，在[1,+8)单调递增,

/⑼=〃2),

.・/(3)>/(0)>/[1].

故选：B.

5.解不等式

23.(2023・江苏•统考二模)(多选)己知函数V=〃x)(xeR)的图象是连续不间断的，函数y=的

图象关于点(1,1)对称，在区间(1,+s)上单调递增.若〃〃?cos0+4cos"2)+〃-4cos2。)>2对任意

ITJT

-，T恒成立，则下列选项中加的可能取值有()

l_42J

A.272-4B.2-272C.72-2D.72-4

【答案】BC

【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数4%)为R上单调递增，进而得至!J加cose+4cos6-2〉4cos2夕,

利用参变分离和夕的取值范围求出加的取值范围，进而求解.

【详解】由函数V=/(x-l)的图象关于点(1」)对称且在区间(1,+8)上单调递增可得，函数y=/(x)(xeR)

的图象关于(0,1)对称，函数A%)为R上单调递增，

由/(mcos3+4cos0-2)+/(-4cos26)〉2可得，

f(mcos0+4cos0-2)+f(-4cos2^)>/(-4cos26^)+/(4cos26^),

也艮|jf[mcos0+4cos0-2)>/(4cos2^),

贝lj有mcos0+4cos0-2>4cos29T亘成立,即mcos0>4cos20-4cos6+2

因为，所以cose£[0,〕E],

[42」L，2」

当cos。=0时,得到0>-2恒成立；

、[,巾[-4cos26+2-4cos°8cos2^-4cos^-22.

当cosOwO时，则有加>-----------------=-----------------=o8cosn6-----------4,

cos0cos0cos0

B2

4COS<9=RG(0,^-],贝勤=8-：-4,

2F)

因为函数歹=8/7-4在(0,+s)上单调递增，且此(0,学],

所以Nmax=2亚-4，贝!b">2应-4，所以BC适合题意，AD不合题意.

故选：BC.

24.(2023•西藏林芝•统考二模)已知定义在R上的函数〃x)在(-叫2]上单调递减，且〃x+2)为偶函数,

则不等式〃xT)>/(2x)的解集为()

A.[哈一■|]u(6,+co)B.(一0°,-1)1^1,+co]

Q(-别D/一闫

【答案】D

【分析】由f(x+2)为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】•••函数/(x+2)为偶函数，.•.〃-x+2)=f(x+2),gp/(2-x)=/(2+x),

二函数〃x)的图象关于直线x=2对称，

又••.函数/(x)定义域为R,在区间(-咫2]上单调递减，

二函数/(x)在区间(2,+8)上单调递增，

.•.由/口-1)>〃2》)得，h-1)-2|>|2-2],解得xe"£|.

故选：D.

25.已知函数"X)的定义域为R,/(x-1)的图象关于点(1,0)对称，/(3)=0,且对任意的再巧©(-双0),

x尸3，满足"/)一/(改)<0,则不等式+。的解集为()

x2-xl

A.(-oo,l]u[2,+co)B.[-4,-l]u[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co)

【答案】C

【分析】首先根据/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的X1，

%e(-8,0),占二%,满足"马)一"%)<0,得出〃x)在(-8,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和

x2-Xx

单调性的性质，求解即可.

【详解】•."(xT)的图象关于点£0)对称，的图象关于点(0,0)对称，f(x)是定义在R上的奇函数,

・•・对任意的X］,x,e(-8,0),X产3,满足/02)一)(花)<0,，/。)在(-8,0)上单调递减，所以/(刈在(0,+8)

x2-Xx

上也单调递减，

又/(3)=0所以〃-3)=0,且〃0)=0,

所以当xe(-8,-3)u(O,3)时，/(x)>0；当xe(-3,0)。(3,+8)时，/(x)<0,

所以由(/1)、小/+1、"。可得［\_3x<—x1+<0l,<。或f［。x-—1>0,3或1=°,

解得-4Mx<-1或lVx<2,即不等式(xT/(x+l"0的解集为［-4,-1卜口,2］.

故选：C.

26.已知函数/(x)=^\+—^+1+」^,则不等式/(2x+3)>/(/)的解集为()

/十/44X1

A.(-2,1)口(1,+8)B.(-l,l)U(3,+»)

C.(一川U(3,+⑹D.(-3,1)U(3,+8)

【答案】B

【分析】确定函数/(X)的图象关于(1,1)中心对称，〃x)在(1,+⑹上单调递减，且不等式转化为

2x+3<r<1或/<I<2X+3或1<2X+3<X2，解得答案.

【详解】依题意，xwl,〃x)=上二+二，

'/4x-4x-1

1/-\1—X1^x+lz^x+l

故/(l+x)+f(l-x)=——+1+-+------+1———+------+2=2,

、)\)41-4x41r-4x41-44-4X1

故函数/(x)的图象关于(14)中心对称，

1?1

当X>1时，y=——^=—―7，^=1+—；单调递减，

2+24-4x-1

故〃X)在(1,欣)上单调递减，M/(x)=^1-+-^o-+l+—1>1,

N十N什441

函数“X)的图象关于(1,1)中心对称，/(X)在(-8,1)上单调递减，/(%)<!,

而〃2》+3)>/华)，故2工+3</<1或Y<1<2X+3^41<2X+3<X2,

解得T<x<l或x>3,故所求不等式的解集为(-U)U(3,+8),

故选：B.

27.已知函数/⑴的定义域为R,其导函数为/'(X),若/(T-3x)为奇函数，/(3x+l)为偶函数，记

g(x)=/'(x),