齐次化妙解圆锥曲线九大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题39齐次化妙解圆锥曲线九大题型汇总

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题型1定点在原点的斜率问题........................................................1

题型2定点在原点转化成斜率问题....................................................2

题型3定点不在原点之齐次化基础运用...............................................4

题型4定点不在原点的斜率问题......................................................6

题型5定点不在原点转化为斜率问题..................................................7

题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用.......................................8

题型7齐次化妙解之等角问题........................................................9

题型8点乘双根法的基础运用.......................................................11

题型9点乘双根法在解答题中的运用.................................................12

题型1定点在原点的斜率问题

即F期重点

圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之

和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b,与圆锥曲线方程联立方程组，

韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将比1+%2和X1-2代入，得到关于k、b的

式子.解法不难，计算量较为复杂.

如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少.

"齐次"即次数相等的意思，例如/（X）=ax2+bxy+cf称为二次齐式，即二次齐次式的意

思，因为/（久）中每一项都是关于x、y的二次项.

如果公共点在原点，不需要平移.

【例题1］直线阿+ny=1与抛物线y?=4%交于/（0，月），8（x2，yi｝，求々oz+^OB，^OA,

碗,（用粗，九表示）

【变式1-1】1.直线mx+ny=1与椭圆7+勺=1交于4（%1，月），8（久2，丫2），求koA,k（）B（用

m,九表示）.

【变式1-1】2.抛物线产=4%,直线I交抛物线于A、B两点，且。410B,求证：直线I

过定点.

【变式＞113.不过原点的动直线交椭圆9+?=1于A、B两点，直线OA、AB、0B的斜

4J

率成等比数列，求证：直线I的斜率为定值.

【变式1-1】4.已知直线y="+4交椭圆?+y2=i于A,B两点，0为坐标原点，若%4+

%B=2,求该直线方程.

22

【变式1-1】5.设02为椭圆正+记=1上两个动点，且过原点。作直线

的垂线OD,求D的轨迹方程.

题型2定点在原点转化成斜率问题

、1'

-I，.lK、jrfii,#丰•6、、、

圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。齐次化是常见的代数

处理技巧，圆锥曲线中用齐次化的方法解决和斜率相关的定值定点。

齐次化法简化计算适用范围：圆锥曲线中处理斜率之和与斜率之积类型问题。

以圆锥曲线中椭圆为例，先介绍齐次化解题的基本特征与一般步骤：

（—）基本特征

1.椭圆上有定点P（x°,y。）和动弦AB;

2.题设或结论中涉及PA,PB的斜率之积或斜率之和等情况.如krk2,ki+k2,,。

（二）解题步骤

1.设直线方程为m（x-x0）+n（y-丫。）=1,其中点风,y。）为两相关直线的交点（这样设直线方程

的形式，右边为1对联立齐次化较为方便）；

2.椭圆方程变形为

3.椭圆变形方程与直线方程联立齐次化：

4.由韦达定理得ki+k2,k/k2；

5.根据题设进一步求解。

注意：过一定点作两条直线

且两直线间存在斜率关系（显性或隐性）如果你发现题目出现了以上情况那这个题目八成可

用齐次化来简化但要注意叙述的严谨性和完整性否则易被老师扣去过程分

【例题2】已知抛物线C的方程为/=2"，若直线>="+6与抛物线C相交于4,8两

点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线>=依+6过定点.

【变式2-1】1.直线x+2y-3=0与圆x2+B+x-6y+c=0相交于尸，Q,S.OP1OQ,

求。的值.

【变式2-1]2.(2021重庆期末)已知抛物线=2PMp>0)上一点4(2,a)到其焦点的距

离为3.

(I)求抛物线C的方程；

(II)过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点，。为坐标原点，证明：NPOQ=90。.

【变式2-1]3.(2022连云港期末)已知直线/与抛物线C:y2=轨交于6两点.

(1)若直线/的斜率为-1,且经过抛物线C的焦点，求线段26的长；

(2)若点。为坐标原点，且。410B,求证：直线/过定点.

题型3定点不在原点之齐次化基础运用

册螫I量占

S型怎么采用齐次化运算解决，平移是关键

如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注

意平移口诀是"左加右减，上减下加"，你没有看错，"上减下加"，因为是在等式与y同侧;

进行加减，我们以往记的"上加下减"都是在等式与y的异侧进行的.：

例：y=kx+b向上平移1个单位，变为y=kx+b+1,即y—l=kx+b,

2+3=1向上平移1个单位，变为5+%?=1.;

设平移后的直线为m久+ny=l(为什么这样设？1•这样齐次化更加方便，相当于"1"的妙’

用)，与平移后的圆锥联立，一次项乘以m久+ny,常数项乘以o久+ny)2,构造ay2+bxy+

必=0,然后等式两边同时除以%2(前面注明x不等于0),得到联(。2+6q+©=0,可以

直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，黄+£=-：,£•£=：,即可得出答案.如

果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去.

总结解法为：①平移；②联立并齐次化；③同除以④韦达定理.证明完毕，若过定点，

还需要还原.

优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：+不能表示过原点的直线，少量题

目需要讨论.

【例题3】抛物线y2=4x,p（l,2）,直线I交抛物线于A、B两点，PALPB,求证：直线I

过定点.

【变式3-1】1.椭圆9+（=1,点P（i,|）,力，B为椭圆上两点，kPA+kPB=O.求证：直

线4B斜率为定值.

【变式3-1】2.双曲皖—9=1,P（2,0）,A、B为双曲线上两点，且4+际8=0.AB不

与x轴垂直，求证：直线AB过定点.

丫2

【变式3⑴3.已知椭圆?+/=】，设直线/不经过点次。」）的直线交椭圆于42两点,

若直线P/,总的斜率之和为-1,证明：直线/恒过定点.

题型4定点不在原点的斜率问题

［例题4］如图，椭圆+翁=l(a>b>0)经过点4(0,—1),且离心率为圣

(I)求椭圆E的方程；

(n)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证

明：直线AP与AQ斜率之和为2.

【变式4-1】1.(2017年全国卷理)已知椭圆C：，+，=l(a>6>0),四点P2

(0,1),。3(—1片)，P4(l片)中恰有三点在椭圆C上.

(1)求C的方程；

(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2力与直线028的斜率的和为

-1,证明：I过定点.

【变式4-1】2.(2022惠州模拟)已知左焦点为F(—1,0)的椭圆过点［1,竽)，过点P(l,l)

分别作斜率为七，七的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P为线段AB的中点，求的；

(3)若好+©=1,求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标

【变式4-1］3.(2022阎良区期末)已知抛物线C:久2=2py(p>0),直线/经过抛物线C

的焦点，且垂直于抛物线「的对称轴，直线/与抛物线。交于例，/V两点，且|MN|=4.

(1)求抛物线。的方程；

(2)已知点P(2,l),直线格y=k(x+2)与抛物线「相交于不同的两点4B,设直线以与

直线所的斜率分别为所和求证：七・七为定值.

【变式4-1】4.已知椭圆C过点/(I,彳)，两个焦点为(-1,0),(1,0).

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)E,尸是椭圆上的两个动点，

(1)如果直线AE的斜率与AF的斜率之和为2,证明直线EF恒过定点；

(2)如果直线AE的斜率与AF的斜率之积为2,证明直线EF恒过定点.

【变式4-1】5.(2022滁州期末)已知点4在圆C:(x—吐)+y2=16±,B(-V2,0),P

(0,V2),线段4B的垂直平分线与4C相交于点D.

(1)求动点。的轨迹方程；

(2)若过点Q(0,-1)的直线/斜率存在，且直线1与动点。的轨迹相交于M,N两点.证明：直

线PM与PN的斜率之积为定值.

题型5定点不在原点转化为斜率问题

【例题5】若/,8为抛物线C：/=2px上两点，且以N8为直径的圆过点

证明：直线N5过定点.

【变式5-1】1.设A,B为曲线C:y=会上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMIBM,求直线AB

的方程.

【变式5-1】2.(2020•山东)已知椭圆嗒+/=l(a>b>0)的离心率为苧，且过点力

(2,1).

(1)求C的方程；

(2)点M,N在C上，DAMIAN,AD1MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|

为定值.

27

【变式5-1]3.(2022武汉模拟)已知椭圆。器+底=l(a>b>0)的左右顶点分别为A,

B,过椭圆内点且不与x轴重合的动直线交椭圆C于P,Q两点，当直线PQ与x轴

垂直时，\PD\=\BD\=p

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线AP,AQ和直线1:久=1分别交于点M,N,若MD1ND恒成立，求t的值.

【变式5-1】4.已知椭圆C：捺+/=1(°>6>0)经过点(谆)，且离心率等于，.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点P(2,0)作直线尸/,尸5交椭圆于/,3两点,且满足尸8,试判断直线AB是

否过定点，若过定点请写出点坐标.

题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用

、1,

4重点

齐次化运算为什么不是解决圆锥曲线的常规武器

通过上面分析，我们可以发现，齐次化运算比传统的设而不求运算量大大的降低，但为什么

齐次化运算并不是常规武器呢？首先我们总结一下齐次化运算步骤

｛器/=4+B•2=’子鼠二广，

通过上面的步骤可以看出，本方法适用于斜率的相关问题，有较大的局限性，当然，还有一:

个难点在于方程消元的基本思路是消未知数，而本方法是消去常数，这也是学生不适应之

处.但更大的难点是如果通过审题，转化为斜率之积、之和问题.

齐次化运算在解析几何中的运算，只可以处理斜率之和(积)的问题，基本步骤如下:

&+丝=_g

1%1%24，f

《葭%：°d=4(J+Bq+C=0=n.Y2_£k，重点-在于通过

<X1%24

分析题意，明确能不能用本方法，二在于直线方程的设元技巧，三在于消元中的齐次化运算.

【例题6】4B分别是椭圆日卷+*=1左右顶点，P是直线x=6的动点，24交吁另一点C,

PB交E于另一点。.求证：直线CD过定点.

【变式6-1】1.48分别是椭圆E：?+必=1下上两顶点，过(1,0)的直线/交于E的C,D,设

直线AGB。的斜率为七,七，fci=2fc2,求直线1的方程.

【变式6-1】2.(2020・新课标I)已知A,B分别为椭圆E：《+y2=l(a>1)的左、右顶点，G

为E的上顶点，AG-GB=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的

另一交点为D.

(1)求E的方程;

(2)证明：直线CD过定点.

题型7齐次化妙解之等角问题

“点坐标为(2,0).

(1)当直线/与x轴垂直时，求直线的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=AOMB.

【变式7-1]1.(2013年数学高考陕西卷理科)已知动圆过定点，(4,0),且在y轴上截得

弦长儿W的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点8(-1,0),设不垂直于"轴的直线/与轨迹C交于不同的两个点尸，Q,若x轴

是乙阳。的角平分线，证明：直线/过定点.

【变式7-1】2.(2018全国一文)设抛物线C:J=2x,点4(2,0),5(-2,0),过点A的直

线I与C交于M,N两点.

(1)当I与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：4ABM=KABN.

【变式7-1]3.(2018全国一卷理)设椭圆C§+y2=1的右焦点为F,过F的直线I与C

交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：^OMA=AOMB.

【变式7-1]4.(2022德州期末)椭圆C,+'=l(a>6>0)的离心率为孝，过点P(0,l)

的动直线/与椭圆相交于4B两点，当直线1平行于x轴时，直线许皮椭圆C截得线段长为2e.

(1)求椭圆C的方程；

(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q,使得直线/变化时，总有NPQ4=NPQB?若存在,

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

题型8点乘双根法的基础运用

驷:一我#占

点乘双根法及其应用

1•点乘双根法的含义与原理：

何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量z,B的数量积屋否叫做向量Z点乘向量B,因

此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若再和马是一元二次方程

2

办2+云+C=0的两个根，则ax+6x+c=a(x-x1)(x-x2),我们把

ax2+bx+c=心-再)(xf)叫做二次方程的双根式,所谓的点乘双根法就是构建双根式是

去解决含芯+三和占％或者可转化为含含玉+%和x,x2的计算问题，其中以向量的数量积有

关的问题为最常见.

2.点乘双根法的原理：

2

点乘双根法是通过对双根式ax+bx+c=a(x-xI)(x-x2)进行赋值x=x(,和y=%,直接计

算（X|-XoXz-/）和（M-%）（%-%）的含参表达式，然后整体代入目标

尸/•尸8=（%-%）（X2-X。）+（乂-%）（%-%）,从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁

杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点尸坐标（x0,%）为已知定点，/（%,乂），B（x2,y2）；

为直线/与圆锥曲线的交点）.:

3.点乘双根法适用题型：：

在圆锥曲线中，遇到如方•丽=〃，（其中加为常数）的形式，其中点P是已知的点，AB

为直线/与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的.：

22

【例题8】椭圆C：亍+\=1，若直线/：”履+〃?与椭圆C交于N,8两点（/,B

不是左右顶点），且以直线48为直径的圆恒过椭圆C的右顶点.求证：直线/恒过定点，并

求出该点的坐标.

【变式8-1】1.（2018年全国课标卷3理科16题）已知点M（-l,l）和抛物线C：y2=4x,

过C的焦点且斜率为后的直线与。交于N,8两点.若N4MB=90。,贝同=.

【变式8-1】2.已知抛物线=2px,过原点且相互垂直的直线OA,OB交抛物线于A,

B两点，求证：直线AB过定点.

【变式8-1】3.过双曲线[-]=1右焦点且斜率为、R的直线/交双曲线于4,B,若

。/，。8且/18=4,求双曲线的方程.

【变式8-1】4.已知抛物线r=4x的焦点为尸，过尸作两条垂直的直线4,4,4与抛物

线相交于4,8两点，/?与抛物线相交于C,。两点，求|/尸卜|8尸什1斯卜|尸的最小值.

【变式8-1】5.已知抛物线方程为＞=2/,直线了=6+2与抛物线交于4,8两点,

M-X）,且福•砺=0,求上的值.

48

题型9点乘双根法在解答题中的运用

22

【例题9】(2013年石家庄一模理科20)椭圆3+与=1(°>6>0)的左，右焦点分别为

耳(-1,0),月(1,0),过耳作与X轴不重合的直线/交椭圆于4,8两点.

(1)若A48E为正三角形，求椭圆的离心离；

(2)若椭圆的离心离满足0<。<书」，O为坐标原点，求证：OAZ+O^vAB，.

【变式9-1]1.(2008年辽宁理科第20题)在直角坐标系My中，点尸到两点(0,-V3),

(°,V3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线夕=依+1与C交于4,B两点.

(I)写出C的方程；

(II)若厉，无，求人的值；

(in)若点/在第一象限，证明：当人>o时，恒有|刀〉|历

【变式9-1】2.(2017年高考课标1卷第20题)设/,3为曲线C：了==上两点，4与B

的横坐标之和为4.

(1)求直线N2的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线平行，且求直线

的方程.

【变式9-1】3.(2019年北京二中期中考试)已知抛物线灯=2"(p>0)过点题2,%),且

点/到其准线的距离为4.

(1)求抛物线的方程；

(2)直线j，=x+m与抛物线交于两个不同的点P,Q,若OP，。0,则求实数m的值；

【变式9-1】4.(2012年重庆理科第20题)设椭圆中心在原点。，长轴在x轴上，上顶点为

A,左右顶点分别为F2,线段。片,。月中点分别为耳，B2,且八4月刍是面积为4

的直角三角形.

(1)求其椭圆的方程

(2)过用作直线/交椭圆于P,。两点，使必2，。外，求直线/的方程.

1.(2022广东一模)已知椭圆。/+\=1((1>匕>0)的离心率为3,过椭圆C右焦点并垂

直于x轴的直线PM交椭圆C于P,M(点P位于x轴上方)两点，且AOPM(0为坐标

原点)的面积为未

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线I交椭圆C于A,B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为-2

求点P到直线I距离的最大值.

2.(2023