人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：独立性检验（学生版+解析）

第07讲独立性检验

BI学习目标

课程标准学习目标

1.理解独立性检验的基本概念、原理和步骤；

1.通过实例，理解2x2列联表的统计意义.

2.学生应能够运用所学的独立性检验知识解决实际问

2.通过实例，了解2x2列联表独立性检验及

题；

其应用.

3.通过学习独立性检验，培养数据处理和分析的能力.

f!H思维导图

/利用列联寰分析两变♦的关系

2X2列联表，2X2列联表的性质及应用

独立性检验J独立性检验［-叵计蓝黑:立性检验

利用独立性检验思想解决实际问题

独立性检验中的参数与最值问题

知识清单

知识点012X2列联表

1.2X2列联表的概念：

将随机事件A,8的样本数据整理成如下的表格

AA总计

Baba~\~b

~Bcdc~\~d

总计a~\~cb~\~da+b+c+d

上面这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2X2列联表

2.列联表的统计意义：

记“a+b+c+d,则由上表可知：

(1)事件A发生的概率可估计为尸(A)中；

(2)事件B发生的概率可估计为尸(为审；

(3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)^.

其他事件的概率类似可求.

【解读】(1)2X2列联表主要用于研究两个事件之间是相互独立的还是存在某种关联性，它适用于分析

两个事件之间的关系；

(2)因为尸(A),P(B),P(A8)都是根据样本数据得到的估计值，而估计是有误差的，因此直接用

尸(AB)P(A)P(8)是否不成立来判断A与8是否独立是不合理的.

【即学即练1】

1.为调查乘客晕车情况，在某一次行程中，70名男乘客中有25名晕车，30名女乘客中有5名晕车.在

检验这些乘客晕车是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是()

A.回归分析B.独立性检验

C.频率分布直方图D.用样本估计总体

2.下表是一个2X2列联表:

V>2总计

XIa2173

X222527

总计b46100

则表中a、b处的值分别为()

A.94,96B.52,70

C.52,54D.54,52

知识点02独立性检验

1./2(读作，，卡方”)统计量：是统计中一个非常有用的统计量，它的表达式是

2

?nqad—be)

”(o+Z>)(c+d)(a+c)(6+d),

2.独立性检验：任意给定一个a(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件尸父

的数网称为显著性水平a对应的分位数)炉是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计

算的.因此，如果根据样本数据算出z2的值后，发现X2,上不成立，就称在犯错误的概率不超过a的前提下，

可以认为A与8不独立(也称为A与8有关)；或说有1—a的把握认为A与8有关.若/避不成立，就称

不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验.

【解读】A与8独立时，也称为A与B无关.当不成立时，一般不直接说A与8无关.也就是说，

独立性检验通常得到的结果，或者是有1—a的把握认为A与8有关，或者没有1—a的把握认为A与8有

关.

【即学即练2］已知P(x2^6.635)0.01,尸〃2210.828)0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程

中，某研究员搜集数据并计算得到［27.235,则根据小概率值a的"独立性检验，分析喜欢该项体

育运动与性别有关.

'e____________________

04

题型01利用列联表分析两变量的关系

【典例1】在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下

的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21

人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用七

与£判断二者是否有关系.

c-va

【变式1】假设有两个分类变量X与匕它们的可能取值分别为｛尤1,尤2｝和｛%,以｝,其2X2列联表为：

V)2

XI1018

X2m26

则当机取下面何值时，x与y的关系最弱()

A.8B.9

C.14D.19

【变式2】下面是2X2列联表.

B

A

总计

BxB2

Ai332154

A2a1346

总计b34100

(1)表中a,6处的值应为多少？

(2)若用频率估计概率，则P(Ai),P(48i)分别是多少？

(3)表中的数据能说明Ai与Bi相互独立吗？

【变式3】在一次对人们饮食习惯的调查中，共调查了124人，其中80岁以上的有70人，80岁以下

的有54人.80岁以上的人中，有43人饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；80岁以下的人中，有21

人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并判断二者

是否有关系.

题型022X2列联表的性质及应用

【典例2】(2025高三・全国・专题练习)下面是2x2列联表：

%%合计

七a2173

x2222547

合计b46120

则表中“，b的值分别为（）

A.94,72B.52,70C.52,74D.74.52

【变式1】（22-23高二下•宁夏固原•期中）下面是一个2x2列联表，则表中a，。处的值分别为（）

%为总计

a2573

%21bC

总计d49

A.98,28B.28,98C.48,45D.45,48

【变式2】（24-25高三・上海•课堂例题）某村庄对该村内70名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计

数据如下表所示：

每年体检（人）每年未体检（人）合计（人）

老年人a7C

年轻人6bd

合计ef70

已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（）

A.a=18B.6=19C.c+d=50D.e~f—2

【变式3】（2024上•江西新余•高二统考期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力

培育发展养老护理服务市场.从2017年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的

数量对照表.

年份2017201820192020202120222023

年份代码（X）1234567

新建社区养老机构（y）%为y4%)6)7

⑴若该地区参与社区养老的老人的年龄X近似服从正态分布N（70,16）,其中年龄X«78,82］的有54人，

试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数）

⑵已知变量x与V之间的样本相关系数厂=，，请求出y关于x的线性回归方程y=bx+a,并据此估计

2024年时，该地区新建社区养老机构的数量.（结果按四舍五入取整数）

参考公式与数据：①石二上。-----------，「=1“T1”•;

②若随机变量X~N（〃Q2）,贝I］P（〃一bWXV〃+cr）-0.6826,尸（〃-2bVXV〃+2b）20.9544,

P（〃-3bWXV〃+3o•卜0.9974；

③£7（%-4=225,7EX2=1597.

i=li=l

【变式3】某高校有10000名学生，其中女生3000名，男生7000名.为调查爱好体育运动是否与性

别有关，用分层抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的2X2列联表，如表，则a—%.（用

数字作答）

男女合计

爱好体育运动a9####

不爱好体育运动28b####

合计########120

题型03卡方的计算

【典例3］（23-24高二下•福建漳州•期中）为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课

与体育课的成绩进行了调查统计，结果如下：附：r=-其中〃=a+8+c+d.

7（a+b"）［吗c+d:）（产a+c）（b+d）

体育课不及格体育课及格合计

文化课及格57221278

文化课不及格164359

合计73264337

在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到/的值为（）

A.38.214B.1.255C.0.0037D.2.058

【变式11（24-25高三•上海•随堂练习）研究两个事件A、B之间的关系时，根据数据信息列出如下的2x2列

联表，则以下/计算公式中正确的是（）

BB总计

A%〃12

A〃21〃22〃2+

总计〃+l〃+2n

2

A%2=〃(小孔22―々2〃21)2_n(/i1+n+2-n2+n+2)

•〃+15+%+D.X—

|ZZj2^21^22

2〃(々1々2-%丐2)2D,2="(%1%—42〃22)

c.z=----------------------

2+

41%2々+〃2+・W+24+〃

【变式2】（23-24高二下•广东肇庆•期末）已知某独立性检验中，由

号落E'〃="+Hc+d计算出若将2x2列联表中的数据如，〃分别变成

2a,2b,2c,2d,计算出的/=/,则（）

A.公=/B./=2宕C.宕=2/D./=4%；

【变式3】（23-24高二下•甘肃白银•期末）有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备

与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据：

重金属含量高重金属含量低

设备甲69

设备乙114

根据以上数据，则％2=（）

750753917

-----B.—C.—D.

161168~4

【变式4】（23-24高二上•江西九江,期末）假设有两个变量X和乙它们的取值分别为｛不，尤2｝和｛%%｝，

其2x2列联表为（）

根据以下选项中的数据计算/的值，其中/最大的一组为（）

A.ci=60,b=50,c=40,d=30

B.a=60,Z7=40,c=50,d=30

C.a=40,Z?=30,c=50,d=60

D.a=30,b=40,c=50,d=60

题型04由"进行独立性检验

【典例4】（2025高三・全国・专题练习）为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取70

名学生，得到如下2x2列联表：

理科文科

男1310

女720

a0.050.025

Xa3.8415.024

根据表中数据，得到/=50x（13x20-l（）x7）-x4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性不大

23x27x20x30

于.

【变式1】（24-25高三・上海•课堂例题）在独立性检验中，为了调查变量X与变量¥的关系，经过计算得到

尸n6.635）=0.01,表示的意义是（填序号）.

①有99%的把握认为变量X与变量F没有关系；

②有1%的把握认为变量X与变量Y有关系；

③有99%的把握认为变量X与变量F有关系；

④有1%的把握认为变量X与变量Y没有关系.

【变式2】（23-24高二下•辽宁葫芦岛•期末）一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神

往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行

了满意度调查，结果如下表：

男性女性合计

满意58005401100

不满意4080100

合计8008001200

根据列联表中的数据，经计算得到/=（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是.

n(ad-bc)2

附:z2n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(%+d)'

0.10.050.01

k2.7063.8416.635

【变式3】（24-25高三上•上海,单元测试）某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检

验法抽查了7000人，计算发现/=6.109,根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可

信度是%.参考数据：

P0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【变式4】（2024高三•全国•专题练习）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫

生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时

在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4080

对照组1090

能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

附K2=1rl(ad-bcY

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(^K2>k)0.0700.0100.001

k3.8416.63510.828

题型05利用独立性检验思想解决实际问题

【典例5]（2025高三•全国•专题练习）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济

遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方

式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行

跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万

3

元的企业占g,统计后得到如下2x2列联表：

销售额不少于30万元销售额不足30万元合计

线上销售时间不少于8小时1720

线上销售时间不足8小时

合计45

请完成上面的2x2列联表，并依据&=0.01的独立性检验，能否认为赞助企』k每天的销售额与每天线上销售

时间有关?

附：

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

参考公式：小"

其中n=a+b+c+d

[a+b)[c+d)(a+c)[b+d)

【变式1】(2025高三•全国•专题练习)为研究某种疫苗A的效果，现对100名志愿者进行了实验，得到如下

数据：

未感染病毒8感染病毒8合计

接种疫苗A401050

未接种疫苗A203050

合计6040100

根据小概率值£=0.001的独立性检验，分析疫苗A是否有效?

参考公式：z2=——1__其中〃=a+b+c+d.

7(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；

参考数据：P(z2>10.828)=0.001.

【变式2】(2024•河南信阳•二模)某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价(问

卷中设置仅有满意、不满意).现随机抽取了90名居民，调查情况如下表：

男居民女居民合计

满意3〃+52580

不满意a2a

合计90

⑴利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2

人，求这2人中男、女居民各有1人的概率；

⑵试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评

价有差异？

n(ad-bc)"

附:K2n=a+b+c+d

(a+0)(c+d)(a+c)(6+d)'

【变式3】（24-25高三上•湖南,期中）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的电池

有石墨烯电池与铅酸电池两种.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好,在社会上随机调查了700

3

名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占《，得到以下的2—2列联表:

偏好石墨烯电池电动车偏好铅酸电池电动车合计

男性市民200100

女性市民

合计700

⑴根据以上数据，完成2x2列联表，依据小概率a=0.001的独立性检验，能否认为市民对这两种电池的电

动车的偏好与性别有关；

⑵采用分层抽样的方法从偏好石墨烯电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行

座谈，求在有女性市民参加座谈的条件下，恰有一名女性市民参加座谈的概率；

⑶用频率估计概率，在所有参加调查的市民中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取5名市民，再从这5

名市民中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的市民中来自偏好石墨烯电池电动车的男性市民的人数

为X,求X的分布列和数学期望.

2n(ad-bc)~

参考公式:,(a+b)(c+")(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

参考数据:

a0.1000.0700.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

题型06独立性检验中的参数与最值问题

【典例6】（24-25高二下•全国•课后作业）为了更好地开展多媒体化教学，杭州市某小学对"文理学科教师与

喜欢用平板教学”是否有关做了一次研究调查，其中被调查的文科、理科教师人数相同，理科教师喜欢用平

板教学的人数占理科教师总人数的80%,文科教师喜欢用平板教学的人数占文科教师总人数的40%,若有

95%的把握认为是否喜欢用平板教学和文理学科有关，则调查人数中理科教师人数最少可能是（）

附：K2=g+b）（c+d）g+c）（b+d）'其中""+b+c+d

2

P(K>k0)0.050.010

k。3.8416.635

A.8B.12C.15D.20

【变式1］（23-24高二下•浙江•期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动

物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种

11

且发病占接种的;，没接种且发病的占没接种的;，若本次抽查得出"在犯错误的概率不超过0Q5的前提下

63

认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（）只

2n(ad-be)"

”(a+l>)(c+(i)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8415.6357.87910.828

A.35B.36C.37D.38

【变式2】（23-24高二下•吉林长春•期中）2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网

络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查

了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，在犯错误的概

率大于0.001且不超过0.01的前提下认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能

为（）

n(ad-bcY

附：z2=(a+6)(c+")(a+c)0+d)'其中〃=

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

A.130B.190C.240D.270

【变式3】（23-24高二下•广东中山•期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相

关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男市民60-mm—10

女市民m+1040—m

当mW25,机eN*时，若在a=0.05的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异,

则7〃的最小值为.

n(ad-be)。

附：z2,其中〃=a+Z?+c+d.

(a+Z>)(c+c/)(a+c)(6+6?)

a0.100.050.005

%2.7063.8417.879

05强化训练

一、单选题

1.（23-24高二下•陕西咸阳•阶段练习）下列关于独立性检验的说法正确的是（）

A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验

B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系

C.利用/独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们

则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病

D.在一个2x2列联表中，由计算得/的值，则/的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大

2.（23-24高二•全国•单元测试）假设有两个分类变量X与y的2x2列联表如下表：

UH

NN

rdM

对于以下数据，对同一样本能说明X与y有关系的可能性最大的一组为（）

A.a=5,6=4,c=3,d=2B.a=5,b=3,c=4,d=1

C.a=2,b=3,c=4,d=5D.a=2,b=3,c=5,d=4

3.（23-24高二下•福建宁德•阶段练习）利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，

通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2x2列联表，由计算可得/=7.236,参照下表：得到

的正确结论是（）参考数据：临界值表

(2"o)0.100.050.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关”

B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关"

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

4.（23-24高二下•福建龙岩•阶段练习）假设有两个分类变量X与丫，它们的可能取值分别为｛%,9｝和｛%,为｝，

其2x2列联表为：则当〃，取下面何值时，X与y的关系最弱（）

y%

1018

x2m26

A.8B.9C.14D.19

5.（21-22高二上•全国•课后作业）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下

为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀非优秀总计

甲班10b

乙班C30

总计105

7

己知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为：，则下列说法正确的是（）

A.列联表中c的值为30,6的值为35

B.列联表中c的值为15,万的值为70

C.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为"成绩与班级有关系”

D.根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为"成绩与班级有关系”

6.（21-22高二上•全国•课后作业）两个分类变量X和匕值域分别为区,％｝和｛M，%｝，其样本频数分别是

a=10,b=21,c+d=35.若X与/有关系的可信程度不小于95%,则c等于（）

A.3B.7C.5D.6

7.（24-25高三•上海•课堂例题）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了700名参

赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的700名运动员中任取1人，抽

到对主办方表示满意的男性运动员的概率为;；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为"是否对主

办方表示满意与运动员的性别有关"；③没有99.9%的把握认为"是否对主办方表示满意与运动员的性别有

关"；则正确命题的个数为（）

男性运动员（人）女性运动员（人）

对主办方表示满意200220

对主办方表示不满意7030

注:

0.8000.0700.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

A.0B.1C.2D.3

8.（23-24高二下•河南郑州•期末）某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若

干人进行调查.已知抽查的男生、女生人数均为6根（加£N*）,其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的

21

!，女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的;.若本次调查得出"有99.5%的把握认为喜爱乒乓球运动与性

别有关"的结论，则机的最小值为（）

n(ad-bc)2

附：参考公式及数据：/=

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

A.20B.21C.22D.23

二、多选题

9.（23-24高二下•吉林白山•期末）暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生

做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积

条形图.已知,2=7~叱尸）其中“=a+b+c+d,P（r>6.635）=0.01,在被调查者中，

ya+bjyc+djya+cjyb+d）\）

下列说法正确的是（）

1.0

口不经常锻炼

0.8

口经常锻炼

0.6

0.4

0.2

0

男生女生

A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多

B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人

C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男全的频率的1.6倍左右

D.在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关

10.（23-24高二下•重庆•期末）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物

实验的数据：

患病未患病

服用药1045

没服用药2030

由上述数据得出下列结论，其中正确的是（）

附：_

(a+6)(c+d)(a+cX6+d)

尸（力20.050.0250.0100.005

%3.8415.0246.6357.879

A.根据小概率值£=0.025的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025

B.根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01

C.该药物的预防有效率超过97.5%

D.若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值£=0.005的独立性检验，推断服用药物是

有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005

11.（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关

做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的言3，

女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的;.如果依据a=0.05的独立性检验认为选修外出研学课程

与性别有关,但依据c=0。1的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关,则调查人数中男生可能有（

附：

2

P(K>k0)0.050.01

及03.8416.635

2

“2n(ad-be)

K=,其中几=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.170人B.225人

C.300人D.375人

三、填空题

12.（24-25高三•上海•随堂练习）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量

指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响.现调查了某市700名居民的工作场所和呼

吸系统健康状况，得到2x2列联表如下，则%2=.（结果精确到0.001）

室外工作室内工作总计

有呼吸系统疾病170

无呼吸系统疾病100

总计200

13.（23-24高二下•河南信阳・期末）为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了高三

学生200名，得到如下列联表:

身高

性别合计

低于170cm不低于170cm

女8020100

男3070100

合计11090200

根据列联表的数据，计算得/=;依据小概率值e=的独立性检验，认为"高三学生的性别

和身高有关联

附：临界值表:

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

14.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分

为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表:

优秀非优秀总计

甲班10b

乙班C30

附：片=诉罂篇E‘其中"=+乙

0.100.050.0250.0100.00050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

7

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为则下列说法正确的是

①列联表中c的值为30,b的值为35：

②列联表中c的值为20,b的值为45；

③根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为"成绩与班级有关系"；

④根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为"成绩与班级有关系

四、解答题

15.（24-25高三•上海•课堂例题）为了调查商户每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，随机选取

45家商户进行跟踪调查，其中每日线上销售时间不少于6小时的商户有19家，余下的商户中，每天的销售

Q

额不足3万元的占二，统计后得到如下2x2列联表：

销售额不少于3万元（户）销售额不足3万元（户）合计

线上销售时间不少于6小时419

线上销售时间不足6小时

合计45

请完成上面的2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为“商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关.〃

参考公式：K、--"（油一儿）-------,其中〃=a+"c+d.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

0.700.400.250.150.0100.050.0250.010

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

16.（23-24高二下•青海西宁・期末）某学校高三年级有学生1000人，经调查，其中770人经常参加体育锻

炼（称为A类同学），另外270人不经常参加体育锻炼（称为B类同学）.现用按比例分配的分层抽样方法（按

A类、2类分两层）从该年级的学生中共抽查100人，如果以身高达到165cm作为达标的标准，对抽取的100

人，得到以下列联表（单位：人）：

身高达标身高不达标总计

经常参加体育锻炼40

不经常参加体育锻炼15

总计100

⑴完成上表；

⑵依据a=0.05的独立性检验，能否认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系?

n{ad-be)'

注：z2=n=a+b+c+d).

附表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

17.（24-25高三上•上海,期中）学校为了解学生对"公序良俗"的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必

答题和选答题.其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道

题，被调查者在选答题中自主选择其中4道题目回答即可.现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一

道的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：

选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道

人数20303020

（1）现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人.学校还调查了这100位学生的性别情况,

研究男女生中"公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：

性别"公序良俗”达人非"公序良俗"达人总计

男性30

女性7

总计100

P(x2>k)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

请完成上述2义2列联表，并根据小概率值a=0.05的独立性检验，分析"公序良俗”达人与性别是否有关.

⑵从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机

变量X的分布和数学期望.

n(ad-be)2

参考公式：x2=其中“=a+b+c+d.附表见上图.

(a+b){c+d)(a+c)(b+d)

18.（23-24高三下•湖南长沙•期中）新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活.某市为

了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识.某校为了解学生对新型冠状病

毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成

绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图.规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵

30名女生成绩频数分布表:

成绩[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数101064