人教B版高中数学必修三同步讲义：弧度制及其与角度制的换算（学生版+解析）

第02讲弧度制及其与角度制的换算

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中

的应用；1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点；

2.掌握弧度与角度的换算关系；2.掌握弧度与角度的换算公式；

3.能运用弧度制进行简单的计算和推理；3.会进行弧度制下的简单计算。

4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。

02思维导图

角度制与弧度制弧度制

角度制与弧度制的互化

角度制与弧度制的互化迤型卜弧长公式及应用

弧度制及其与角度制的换算

I-扇形面积公式

弧长公式与扇形面积公式

扇形中的最值问题

根据坐标运算求参数

03知识清单

知识点01角度制与弧度制

1.角度制

把圆周等分成380份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度

制.角度制还规定1度等于80分，1分等于80秒，即1。80',1'80".

2.弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.如图所示，因为AB的

长等于半径广，所以A8所对的圆心角NA08就是1弧度的角.这种以弧度为单位来度量角的

制度称为弧度制.

3.弧度数

由弧度制的定义可知，在半径为7■的圆中，若弧长为/的弧所对的圆心角为arad,则0.弧度的大小

与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关.换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，

弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度.

【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.

用度作为单位来度角的大小与单位“。”角的正负与

角度制六十进制

量角的单位制半径无关不能省略方向有关

单位

用弧度作为单位来角的大小与角的正负与

弧度制“rad”可十进制

度量角的单位制半径无关方向有关

以省略

【即学即练。（24-25高一上学期课时作业）下列说法正确的是（）

A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径

B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大

C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等

D.用弧度表示的角都是正角

知识点02角度制与弧度制的互化

1.弧度制与角度制的换算公式

设一个角的角度数为“弧度数为则金.

2.角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

度数X焉弧度数弧度数X喑角度数

71

380°2兀_rad2兀rad380°

180°K_rad7irad180°

71180』

心1rad-^^57.30°

1°7l^o7U7rad0.01745rad兀

【解读】角度与弧度互化的原则和方法

（1）原则：牢记180。兀rad,

充分利用1°erad』rad［竺°进行换算.

nlf180kO兀人

（2）方法：设一个角的弧度数为a,角度数为〃,贝UaradIa-----Inn'T80

【即学即练2］（24-25高一上山东期中）下列转化结果正确的是（）

A.72。化成弧度是与

B.一当兀化成角度是一680。

7

C.-170。化成弧度是一砂

D.吉化成角度是15°

知识点02弧长公式与扇形面积公式

1.弧长公式

在半径为/•的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为a,则/,变形可得/ar,此公式称为弧长公式，其

中a的单位是弧度.

2.扇形面积公式

冗$1_1

圆心角为1rad的扇形面积为五2落所以圆心角为arad的扇形面积为ar2,又因为lar,代入上式

可得种a得lr,此公式称为扇形面积公式.

【解读】（1）在应用公式/ar和楼/昌ar2时，要注意a的单位是弧度.

（2）在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入.

（3）弧度制下的扇形面积公式其lr,与三角形面积公式样丽是三角形底边a上的高）有类似的形式.

（4）由a,r,I,S中的两个量可以求出另外的两个量.

【即学即练3]（24-25高一上•湖南•阶段练习）己知弧长为兀的弧所对的圆心角为三7T，则该弧所在的扇形面

积为（）

3兀712兀3兀

A.—B.-C.—D.—

2334

____________________

04

题型01弧度制

【典例1]（24-25高一上•河北•月考）下面关于弧度的说法，错误的是（）

A.弧长与半径的比值是圆心角的弧度数

B.一个角的角度数为小弧度数为a,则需

C.长度等于半径的十倍的弦所对的圆心角的弧度数为专

D.航海罗盘半径为10cm,将圆周32等分，每一份的弧长为五cm

【变式1】下列说法中正确的是（）

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径长的弧

C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位

【变式2］（24-25高一上•全国,课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（）

A.正角或者负角的弧度数都是正数

B.四分之一圆所对的圆心角是三

C.角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2兀

D.用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关

【变式3】（25-26高一上•全国•课后作业）下列说法正确的是（）

A.1弧度的角与1。的角一样大

7T

B.若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是三

C.经过5分钟分针转了30。

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

题型02角度制与弧度制的互化

【典例2］（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（）

5117兀__o19兀

A.一兀=153(TB.——=—10竽c.i(r=—D.—8O5S=-------

612184

【变式1】（24-25高一上•全国•课后作业）将52。30'化为弧度是（)

7兀7兀7兀7兀

A.——B.—C.—D.——

24251252

【变式2】（23-24高一下•北京房山•期中）300。化成弧度是（）

5兀11兀7兀7兀

A.—B.——C.—D.—

3664

【变式3】（23-24高一下•安徽淮北•阶段练习）下列说法正确的是（）

271

A.-120。化成弧度是兀radB.历rad化成角度是18°

C.T化成弧度是180radD.-gjirad化成角度是-60。

9兀

【变式4】（23-24高一下•陕西渭南•期中）（多选）下列与丁的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

Qjr

A.45O+2ATC(^GZ)B.j+H360。(左EZ)

C.-315°+^-360°(^eZ)D.—+2fai(Z:GZ)

题型03弧长公式及应用

【典例3］（24-25高三上•河北邢台•阶段练习）（多选）某日，分针长为6cm的时钟从20:10走到20:35,分

针转动的弧度为分针的针尖走过的弧长为/,则（）

5兀5兀

A.oc-------B.a=——

66

C.I-57tcmD.I=67tcm

【变式11（24-25高一上•全国•课后作业）已知半径为rmm的圆上，有一条弧的长是120mm,且该弧所对

的圆心角的弧度数为2,贝"=（

A.30B.80C.90D.100

2兀

【变式2】（23-24高一下•陕西渭南・期末）若扇形的圆心角为（，弧长为2兀，则该扇形的半径为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式3］（24-25高一上•浙江•阶段练习）已知某扇形的半径为4,弧长为兀，则该扇形的圆心角为.

rad.

【变式4］（24-25高一上•江苏,阶段练习）〃数摺聚清风，一捻生秋意〃是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出

人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有〃怀袖雅物〃的别号.当折扇所在扇形的圆心角为120。

时，折扇的外观看上去是比较美观的，若该折扇的伞骨05长为40cm,那么全部打开后的扇面弧AB长为

题型04扇形面积公式

IT

【典例4】（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）若一个扇形的半径为3,圆心角为7,则这个扇形的面积为

6

()

71713万

A.—B.一C.—D.

424

【变式1】（24-25高一上•天津河北•阶段练习）半径为2,圆心角为。的扇形的面积为（）

【变式2】（24-25高一上•黑龙江绥化•阶段练习）已知某扇形的半径为4cm,圆心角为2rad,则此扇形的面

积为（）

A.16cm2B.12m2C.8cm2D.4cm2

【变式3】（24-25高一上•全国•课后作业）已知扇形的圆心角为8rad,周长为70cm,则这条弧所对的圆的

半径为cm；面积为cm2.

题型05扇形中的最值问题

【典例5］（23-24高一上•云南曲靖•期末）已知一扇形的圆心角为a为正角），周长为C,面积为S,所

在圆的半径为「

⑴若a=36。，r=10cm,求扇形的弧长；

（2）若C=4cm,求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角.

【变式1X24-25高一上•重庆万州•阶段练习）已知一扇形的周长为40,则这个扇形面积的最大值是.

【变式2］（23-24高一下•陕西渭南•阶段练习）已知扇形的圆心角是a,半径为「，弧长为/；

⑴若a=105。/=8cm,求扇形的弧长/；

（2）若扇形的周长为10cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出

此时的半径

【变式3】（23-24高一下•北京•阶段练习）（1）一条弦AB的长等于它所在圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所

组成的弓形的面积；

（2）一扇形的周长为10cm,那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大

值？

题型06根据坐标运算求参数

【典例6】（23-24高一下•河南•开学考试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是

一个直径为24cm的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意"八方来财，阖

15兀

家团圆”.若AB的长为则每个扇环形小拼盘的面积为（）

图1

A.45cm2B.cm2D.189cm2.

22

【变式1】（23-24高一下•内蒙古呼和浩特•期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方

田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=：*（弦x矢+矢2）,弧田如图，由圆弧和所对的弦所围

9

成，公式中"弦"指圆弧所对的弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为胃7r，弦长为4有

米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为米；面积为平方米.

【变式2】（24-25高一上•上海•单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为

圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形A3C的周长为几，则该

勒洛三角形A3C的面积为.

【变式3】（23-24高一下•辽宁本溪•期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，

2兀

其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若/49。=3,。4=4,且该扇

环的周长为4+4兀，则该扇环的面积为.

【变式4】（23-24高一下•河北保定•开学考试）一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形。截

去同心扇形OPQ所得的部分，已知尸河=6分米，弧肱V长为4兀分米，弧尸。长为2兀分米，贝|OP=分

米，此扇环形砖雕的面积为平方分米.

ffl强化训练

一、单选题

1.（24-25高一上•全国•随堂练习）与80。角终边相同的角可以表示为（）

A.；+h360°（左eZ）B,60。+2所化eZ）

C.60°+2fc-360°（^eZ）D.4+2E（keZ）

2.（23-24高一下•山东威海•阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（）

兀兀兀5兀

A.一一B.--C.一一D.------

96318

3.（24-25高一上•吉林四平•阶段练习）已知圆心角为72°的扇形的弧长为彳，则该扇形的面积为（）

8〃4»2兀71

A.—B.—C.—D.一

5555

4.（23-24高一下•江苏常州•期中）若扇形的圆心角为120。，弧长为4兀，则该扇形的半径为（）

A.3B.4C.5D.6

5.（25-26高一上•全国•课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的

位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15。所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应

地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）

清叫老卷^

④,o*©冬至

大盘装

秋分

71715兀兀

A.----B.-C.—D.-

33122

71

6.（23-24高一上•天津河西•期末）如图，在扇形Q4B中,ZAOB=-,OA=OB=2,则下列说法正确的个

数是（）

B>A

(l)ZAOB=30o；②AB的长等于t；

③扇形Q4B的周长为年+4；④扇形Q4B的面积为差.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（23-24高一下•北京•阶段练习）AB是圆心为。的单位圆上两个动点，当VAO3面积最大时，则下列判

断错误的是（）

7T

A.AB=6B.弧相的长为万

7T

C.扇形498的面积为:D.VAOB等边三角形

4

8.（24-25高一上•河北保定•期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体团•黑暗森林》中提到的由三体文明使用强

互作用力（S/M）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，

水滴是由线段A3，AC和圆的优弧围成，其中AB,AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2,点

A到圆弧所在圆圆心的距离为4,则该封闭图形的面积为（）

C.4肉D.2国手

二、多选题

9.（23-24高一上•全国,课后作业）下列各说法，正确的是（

A.半圆所对的圆心角是nrad

B.圆周角的大小等于2兀

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

10.（23-24高一上•山西朔州•阶段练习）已知一根长为L的铁丝,现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且

使得扇形的面积最大.则下列选项中正确的是（）

A.当扇形的面积最大时，扇形的半径为g

2

B.扇形面积的最大值为二T

16

C.当扇形的面积最大时，扇形的半径为。

4

2

D.扇形面积的最大值为二T

4

11.（23-24高一下•安徽淮南•阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，"扇"

与"善"谐音，折扇也寓意“善良"善行"、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、

大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧BC，所在

圆的半径分别是3和12,且NAOD=120。，则该圆台的（）

A.高为6&B.上底面积和下底面积之比为1:4

C.表面积为62兀D.体积为420兀

三、填空题

7T

12.（24-25高一上•全国•课后作业）已知角夕=35。，角力=：,角。=2rad,则角a,角尸，角。间的大小

6

关系为.

13.（24-25高一上•天津•阶段练习）已知扇形。4B的圆心角为4rad,其周长是673cm,则该扇形的面

积是cm2

14.（24-25高一上•全国•课后作业）中国古代数学著作《五曹算经》是算经十书之一."田曹"卷中有这样一

个问题："今有环田，外周三十步，内周一十二步，径三步，一人绕内圆行二步，问其围田几何？”意思是:

有一个环形的田地，外圆周长30步，内圆周长12步，圆环宽3步，一个人绕着内圆走了2步，已知圆心

与此人的起点和终点形成的射线分别与内外圆相交，问此人在内圆行走的曲线和外圆围成的田地面积为—

平方步（圆周率取3）.

四、解答题

15.（24-25高一上•全国•课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿.

⑴当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；

⑵当小轮的转速是120r/min（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是40兀cm,求大轮的半径.

16.（24-25高一・上海•随堂练习）已知一扇形的圆心角为a,半径为广，弧长为/.

（1）若。=45。，r=10cm,求扇形的弧长/；

（2）已知扇形的周长为10cm,面积是4cm,求扇形的圆心角.

17.（24-25高一上,全国,课后作业）如图，一长为君，宽为1的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚

到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为二，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形

18.（24-25高一上•吉林•期中）莱洛（尺加/因女）三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国

机械学家莱洛首先发现的，故而得名.如图所示：它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边

长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若4?=2,求：

（1）莱洛三角形的周长；

（2）莱洛三角形的面积.

19.（24-25高一上•全国•课后作业）某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点。为圆心

的两个同心圆弧和通过点0的两条线段围成的.按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆

的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为。弧度.

⑴求。关于x的函数关系式；

⑵已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9

元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式，并求出尤为何值时，y取得最大值.

第02讲弧度制及其与角度制的换算

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中

的应用；L了解弧度制的概念、表示方法及其优点；

2.掌握弧度与角度的换算关系；2.掌握弧度与角度的换算公式；

3.能运用弧度制进行简单的计算和推理；3.会进行弧度制下的简单计算。

4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。

02思维导图

角度制与弧度制弧度制

,角度制与弧度制的互化

角度制与弧度制的互化迤型-弧长公式及应用

弧度制及其与角度制的换算

「扇形面积公式

弧长公式与扇形面积公式

扇形中的最值问题

根据坐标运算求参数

03知识清单

知识点01角度制与弧度制

1.角度制

把圆周等分成380份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度

制.角度制还规定1度等于80分，1分等于80秒，即1。80，，J80”.

2.弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.如图所示，因为&的

长等于半径r,所以前所对的圆心角NAOB就是1弧度的角.这种以弧度为单位来度量角的

制度称为弧度制.

3.弧度数

由弧度制的定义可知，在半径为7■的圆中，若弧长为/的弧所对的圆心角为arad,则0.弧度的大小

与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关.换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，

弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度.

【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.

用度作为单位来度角的大小与单位“。”角的正负与

角度制六十进制

量角的单位制半径无关不能省略方向有关

单位

用弧度作为单位来角的大小与角的正负与

弧度制“rad”可十进制

度量角的单位制半径无关方向有关

以省略

【即学即练1］（24-25高一上学期课时作业）下列说法正确的是（）

A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径

B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大

C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等

D.用弧度表示的角都是正角

【答案】A

【解析】对于A,根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B,大

圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C,只有在同圆或等圆中，1弧度的圆

心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D,用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误.

知识点02角度制与弧度制的互化

1.弧度制与角度制的换算公式

设一个角的角度数为“，弧度数为a,则磊

loU7l

2.角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

度数X焉弧度数弧度数X噌角度数

71

380°2兀_rad2兀rad380°

180。兀_rad7irad180°

71ion

1°7^77rad^0.01745rad1rad57.30。

loU71

【解读】角度与弧度互化的原则和方法

（1）原则：牢记180。兀rad,

充分利用1。念rad,1rad］kJ。进行换算.

（2）方法：设一个角的弧度数为a,角度数为小^O^,78Qrad.

【即学即练2］（24-25高一上山东期中）下列转化结果正确的是（）

A.72。化成弧度是半

B.一与1化成角度是一680。

,7

C.-170。化成弧度是一&兀

D.自化成角度是15°

【答案】AD

7T2冗105冗

【解析】因为72°72X研三，所以A正确.因为一-ptrad-800°,所以B不正确.因为一170°—石rad,

1oUDJ0

jr

所以C不正确.因为五radl5°,所以D正确.

知识点02弧长公式与扇形面积公式

1.弧长公式

在半径为，的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角为a,则变形可得/w,此公式称为弧长公式，其

中a的单位是弧度.

2.扇形面积公式

圆心角为1rad的扇形面积为珠冷d,所以圆心角为arad的扇形面积ga户，又因为/w,代入上式

可得种a丹lr,此公式称为扇形面积公式.

【解读】（1）在应用公式/ar和4•/gar2时，要注意a的单位是弧度.

（2）在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入.

（3）弧度制下的扇形面积公式域lr,与三角形面积公式域是三角形底边a上的高）有类似的形式.

（4）由a,r,I,S中的两个量可以求出另外的两个量.

7T

【即学即练3］（24-25高一上•湖南•阶段练习）已知弧长为兀的弧所对的圆心角为则该弧所在的扇形面

积为（）

【答案】A

【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.

【详解】由题意可知，扇形的半径为

3

1371

因此该扇形的面积为S==x兀x3=？.

22

04题型精讲

题型01弧度制

【典例1】（24-25高一上•河北•月考）下面关于弧度的说法，错误的是（）

A.弧长与半径的比值是圆心角的弧度数

B.一个角的角度数为”，弧度数为a,则需

C.长度等于半径的十倍的弦所对的圆心角的弧度数为专

D.航海罗盘半径为10cm,将圆周32等分，每一份的弧长为57卷rcm

【答案】A

【解析】根据弧度数定义可知A正确；根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；根据三角形关系可

知，长度等于半径的4倍的弦所对的圆心角为120。，即弧度数为空，故C正确；圆周长为2仃20兀cm,32等

分后，每一份弧长为S瓷ircm,故D错误.

【变式1】下列说法中正确的是（）

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径长的弧

C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位

【答案】A

【解析】利用弧度的定义及角度的定义判断，长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧

度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位，故A、B、C错误，选D.

【变式2】（24-25高一上•全国,课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（）

A.正角或者负角的弧度数都是正数

B.四分之一圆所对的圆心角是三7T

C.角的顶点在原点，始边与％轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2兀

D.用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关

【答案】C

【分析】根据弧度制的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误；

TT

整圆的圆心角是2兀，故四分之一圆所对的圆心角是万，B正确；

角的终边顺时针旋转一周得到的角是-2兀，角的终边逆时针旋转一周得到的角是2兀，C错误；

无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误.

【变式3】（25-26高一上•全国•课后作业）下列说法正确的是（）

A.1弧度的角与1。的角一样大

7T

B.若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是:

C.经过5分钟分针转了30。

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

【答案】C

【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可.

【详解】对于A,根据弧度制定义可知A错误；

71

对于B,若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为60。，即三，故B正确；

对于C,经过5分钟分针转了-30。，故C错误；

对于D,由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所

对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误.

题型02角度制与弧度制的互化

【典例2］（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（）

5117兀7i19K

A.—7r=153ffB.--=-105'C.Iff=—D.-85S5=

612184

【答案】CCD

【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断.

【详解】对于A,因"兀="xl80P=15330P,故A错误；

66

7兀7

对于B,--=--xl8ff=-105)故B正确；

1212f

jrjr

对于C,10P=10x—,故C正确；

lot)lo

jr1Qjr

对于D,-8S55=-855x——=——,故D正确.

1804

CD.

【变式1】（24-25高一上•全国•课后作业）将52。30'化为弧度是（）

7717兀7兀7兀

A.—B.—C.—D.—

24251252

【答案】A

【分析】根据角度制转化为弧度制的方法求得正确答案.

【详解】52°30'==Z»rad.

218024

【变式2］（23-24高一下•北京房山•期中）300。化成弧度是（）

A5兀-11兀「7兀

A.—B.C.—

366

【答案】A

【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解

【详解】因为180。=兀，所以300。=300xjr2=9Sir.

lol）3

【变式3】（23-24高一下•安徽淮北•阶段练习）下列说法正确的是（）

2兀

A.-120。化成弧度是兀radB.mrad化成角度是18°

C.1。化成弧度是180radD.-gurad化成角度是-60。

【答案】AB

【分析】掌握兀rad=180。的弧度制与角度制的数量关系计算即得.

兀2

【详解】对于A项，H—120°=—120x——-=——7trad,故A项正确；

1803

对于B项，因劣亚="、（竺9）。=18。，故B项正确；

101071

JT7T

对于C项，因r=lx£rad=^rad,故C项错误；

180180

对于D项，因-3兀门（1=-"71X（图）。=-600°,故D项错误.

33兀

B.

【变式4］（23-24高一下•陕西渭南•期中）（多选）下列与丁的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

A.45。+2所（左eZ）B.7+h360。（丘Z）

JT

C.-315°+^-360°（^eZ）D.-+2fai（fceZ）

【答案】DD

【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB,根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即

可判断CD.

【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A,B错误.

对C,学=2兀+：,则号与J终边相同，而J与终边相同，

444444

九兀

且一7不化为角度制即为-315。，则-315。与9一的终边相同，

44

Qjr

则一315。+公360。（keZ）是与于的终边相同的角的表达式，故C正确；

对D,由C得号与;终边相同，

44

则与?终