人教B版高中数学必修二同步讲义：向量的坐标及其运算（学生版+解析）

第04讲向量的坐标及其运算

01学习目标

课程标准学习目标

1.掌握求直线上向量的坐标的方法.

1.了解直线上向量的坐标.2.熟练进行直线上向量的坐标运算.

2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐

标公式.

3.理解平面向量的坐标运算.4.掌握向量的坐标表示与运算。

4.掌握向量平行的坐标表示.5.能根据向量的坐标解决平行问题

02思维导图

直线上向■的坐标及运算

平面向■的坐标表示

亶线上向■的坐标及其运算

平面向量的坐标运算

根据线段比例求点的坐标

向量的坐标表示及运算一题型根据坐标求向■的模

根据坐标运算求参数

平面向■的坐标及其运算

V向■共线的坐标裳示

利用坐标法求最值(范围)

坐标法在几何中的应用

03知识清单

知识点01直线上向量的坐标及其运算

i.直线上向量的坐标

(1)定义：给定一条直线/以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知，对于直线/上的

任意一个向量。，一定存在唯一的实数无，使得axe,此时，x称为向量。的坐标.

(2)向量的模和方向与x的关系

|a||xe||x||e||x|(e为单位向量).

当x>0时，。的方向与e的方向相同；

当时，”是零向量；

当x<0时，。的方向与e的方向相反.

在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定.

(3)直线上向量的坐标：在直线/上指定一点。作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立

数轴，对于/上的任意一个向量”，如果我们把它的始点平移到原点。，那么”的终点对应的数就是向量。

的坐标.

ae

-~~1~~1*~■—■~~■——►

01%

2.直线上向量的运算与坐标的关系

如果直线上两个向量力的坐标分别为为，X2.

(l)ab的充要条件是为兀2.

(2)a+b的坐标为为十元2，a~b的坐标为Xi-X2,几〃的坐标为Axi.

X]+入2

(3)设A。。，8(X2)是数轴上的两点，加(%)是线段A8的中点，则A3|X2—刘，厂下一

【即学即练1】

1.如图，向量殖的坐标为.

-0~1'_4*

2.已知直线上向量〃，万的坐标分别为一2,2,则向量a+义方的坐标为()

A.lB.-1

C.0D.4

知识点02平面向量的坐标及其运算

1.平面向量的坐标

(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a,b,如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a,b垂直，

记作无规定零向量与任意向量都垂直.

(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底｛纵，％｝中，勿，则称这组基底为正交基底，在正交基底

下向量的分解称为向量的正交分解.

(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量为，。2,对于平面内的向量面如果〃河1+涧2,

则称(x,y)为向量。的坐标，记作a(x,y).

2.平面上向量的运算与坐标的关系

若〃(xi，yi),仇必竺)，贝U：

(1)〃+伙Xl+%2，丁1+y2).

(2)a—b(x\—xi，州一”)•

(3)/la(2xi,Xyi).

(4)向量相等的充要条件：询0%1%2且W2.

(5)模长公式：\a\yjxi+yi.

3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式

如图所示，在平面直角坐标系中，设A(xi，%),8(X2,竺)，则：

(1)向量OA(xi,yi),03(x2,>2),向量AB(X2—xi,y2~yi).

⑵它们之间的距离：AB\AB\

、（尤2-Xi）2+。2-yi）2.

（3）设AB的中点y）,则笆芋产要.

【解读】（1）区别检的坐标与“一％的坐标：盛的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a—b的坐标是对应

的坐标相减.

（2）由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐

标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同.

4.向量平行的坐标表示

设向量a（xi，?），仇尤2，以），贝U。勿佥必制丫2.

【即学即练2］如图所示，｛ej,e2｝为正交基底，则向量2a+A的坐标为（）

A.(3,4)B.(2,4)

C.(3,4)或(4,3)D.(4,2)或(2,4)

题型精讲

题型01直线上向量的坐标及运算

【典例1】如图所示，直线上向量a,6的坐标分别为（)

-3-2-101234

A.—2,4B.2,4

C.4,-2D.-4,-2

【变式1】已知向量〃，）在同一直线上，\a\l\b\,若）的坐标为2,则Q的坐标为（）

A.4B.-4

C.2或一2D.4或一4

【变式2】若e是直线/上的一个单位向量，这条直线上的向量a,b的坐标分别为x,»下列说法错误的

是（）

A.\a\xB.bye

C.a+方的坐标为x+yD.\e\\

【变式3】若数轴上A,8两点的坐标分别为一2,x,且显的坐标是一8,贝Ux

【变式4】已知e是直线/上的一个单位向量，a4e,b-2e,则的坐标为（）

A.1B.2

C.-2D.4

题型02平面向量的坐标表示

【典例2］（23-24高一下•浙江宁波•期末）已知平行四边形ABCD,B（-l,2）,C（2,4）,贝UAC+8Z）=（）

A.（-2,2）B.（3,3）C.（4,6）D.（6,4）

【变式1］（23-24高一下•浙江•期中）已知4（3,7）,8（5,2）,把向量筋按向量。=。,2）平移后，所得向量

的坐标是（）

A.（-1,7）B.（1,-7）C.（2,-5）D.（3,-3）

【变式2】（2024高二下•安徽•学业考试）点A（TO）,网0,2）,则向量钻（）

A.(-1,2)B.(1,2)C.(-1,-2)D.(1,0)

【变式3】（23-24高一下•陕西渭南•期末）已知向量。=（4,3）,则与向量“方向相反的单位向量是（）

434_3434_343

A.B.C.D.或

5555，-5555'-55,5

题型03平面向量的坐标运算

【典例3】（2024高二下•湖北•学业考试）已知向量。=（1,0）,。则2』+3方=（）

A.(2,-3)B.(-2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

【变式1］（23-24高一下•新疆•期中）已知；=（2,1）,人=（一1,1）,若a+b=（x,2）,贝ljx=（）

A.0B.1C.2D.3

【变式2】（23-24高一•上海•课堂例题）已知点4（3,2）、8（7,5）、C（-l,8）,^AB-^AC.

【变式3】（23-24高一下•全国・单元测试）已知d=（-1,2）,6=（2,1）,求：

⑴〃+3b;

（2）；。一？.

题型04根据线段比例求点的坐标

【典例4］（23-24高一・上海,课堂例题）已知点A（3,0）、台㈠，一6）,点P是直线AB上一点，且网［网

求点尸的坐标.

【变式1】（24-25高三上•湖北•期中）已知4（2,3）,3（4,-3）,点尸在线段A5的延长线上，且,4=2„,

则点P的坐标为（）

A.洋-11B.酊毕C.（6,-9）D,（-9,6）

【变式2】（23-24高一下•四川绵阳•期中）（多选）点0（0,0）,向量。4=（0,3）,03=（6,-3）,点尸是线段A3

的三等分点，则尸点坐标为（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（4.1）D.（4,-1）

【变式3】（23-24高一•上海•课堂例题）已知点M（3,-2）、N（-5,-1）,且MP=：MN,求点尸的坐标.

题型05根据坐标求向量的模

【典例5】（2024高一■全国•专题练习）已知向量o=（T,2）,>=（1,3）,则Ra-b卜（）

A.立B.2C.710D.10

【变式1】（23-24高一下•江苏盐城•期中）已知向量0=（0,-2退=则向量a+b的模为（）

A.73+1B.4C.2D.2币

【变式2】（23-24高一下•湖南株洲•期末）已知向量。，万在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小

正方形的边长均为1,则,+2可=（）

A.2B.2A/2C.4D.8

【变式3］（23-24高三下•湖南•阶段练习）已知％£R,平面向量a=（4-l）6=（2"）,贝*+0的最小值

为（）

A.逑

B.gC.72

22

【变式4］（23-24高三上•山西忻州•开学考试）已知向量a=（1,2）,6=（―2,1）,若上。+4=M,则k=.

题型06根据坐标运算求参数

【典例6】（24-25高三上•天津滨海新•阶段练习）已知点0（0,0）,A（-l,3）,3（2,T）,OP^OA+mAB.若

点P在V轴上，则实数小的值为.

【变式1】（24-25高二下•云南曲靖•阶段练习）已知向量a=（—2,1）,b^（m,2）,\a+2b\=\a-2b\,则实数相

的值为（）

11

A.—1B.—C.-D.1

22

【变式2］（23-24高一下•河南关B州,期中）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC,ADLDC,

AD=DC=2AB=4,E为AD的中点，若C4=eR）,则2+〃的值（）

【变式3】（24-25高三上•天津•阶段练习）在正六边形ABCDEF中，对角线3。，CF相交于点尸，若

AP=xAB+yAF,贝ljx+y=.

题型07向量共线的坐标表示

【典例7］（24-25高三上•河北石家庄•阶段练习）已知向量。=（l,2）,b=（尤,4）,若a//（a+6）,则实数%=（）

A.-2B.-11C.11D.2

【变式1］（23-24高一下•北京顺义•期末）已知向量。=（-1,2）,biia,那么向量。可以是（）

A.（-2,-1）B.（-2,1）C.（1,2）D.（1,-2）

［变式3］（24-25高一上•河北保定•期中）已知向量。4=（-2,-5）,05=（-6,3）,OC=（机-1,2m），若AB〃OC,

则实数加的值为（）

11

A.2B.—C.—2D.—

22

题型08利用坐标法求最值（范围）

【典例8］（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）四边形是正方形，延长CD至点E,使得DE=CD,

若M为CD中点，N为DE中点，点P在线段上移动（包含端点），设AP=XA5+〃AE,求X+〃的取

值范围_____.

【变式1］（23-24高一下•江苏淮安•阶段练习）正方形ABCD中棱长为4,E为3c的中点，P为线段CD边

上一点（不包括C,D）,若AC=2AE+〃AF,则2+〃的取值范围为.

【变式2】（23-24高一下•陕西咸阳•期中）（多选）如图，在长方形ABC。中，AB=6,AO=4,点尸满足

DP=JLDC，其中0,|,贝1］|上4+24的取值可以是（）

A.8B.9C.10D.11

【变式3］（23-24高一下•四川德阳•阶段练习）边长为4的正方形A5CD,点尸在正方形内（含边界），满足

AP=xAB+yAD,当点尸在线段5。上时，则炉+2丁的最小值为.

题型09坐标法在几何中的应用

【典例9］（23-24高一下•山西运城•阶段练习）如图，正方形A3co的边长为6,E是AB的中点，F是BC边

上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.

⑴求AFDE的值；

（2）已知点尸是正方形A3CD四条边上的动点，若EF//MP,求的长度.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，|OA|=2|AB|=2,BC=C,ZOAB=—.

(1)求点B的坐标;

⑵求证：OC//AB.

【变式2】如图，已知直角梯形ABCD中，ADLAB,AB^2AD=2CD,过点C作A5于点E,M为CE

的中点.

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，|。4卜2„=4,AOAB-,BC=(-2,2^)

(1)求点氏C的坐标；

(2)求证：四边形Q4BC为等腰梯形.

皿强化训练

一、单选题

1.直线上向量。，。的坐标分别为-3,5,则向量3a-28的坐标和模分别是()

A.-19,19B.21,21C.-19,5D.1,1

2.(23-24高一下•广西梧州•期末)已知点4(1,-1),巩—L2),则向量48=()

A.(0,1)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,1)

3.(23-24高一下•甘肃・期末)已知。，E分别为VABC的边AB,AC的中点，若BC=(12,16),0(-2,-3),

则点E的坐标为()

A.(4,5)B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

4.(23-24高一下•福建漳州•期中)已知向量a=(-2,5),b=(4,-彳)，若“〃贝！］力=()

58_

A.----B.-C.10D.—10

25

5.（23-24高一下•浙江嘉兴•期中）已知向量4二（5,12）,则与向量。反向的单位向量的坐标为（）

（512^1/512\<125（512、

A-U,BJB.「值-百）C-信，-柿D.

6.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知向量04=（-1,左），02=（1,2）,OC=（%+2,0）且实数kNO,若

A,B,C三点共线.贝1］后=（）

A.0B.1C.2D.3

7.（23-24高一下•山东东营•期末）如图，已知但=倒=1,|04=6,0八0氏/4℃=30,贝I］（）

A.OC=2OA+OBB.OC=WA-OB

C.OC=OA+OBD.OC=OA+2OB

8.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅"弦图"给出了勾股定理的证明，后人称其为"赵爽弦图",

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,若E为的中点，EC=/IA8+nAD,

则2+〃=（）

二、多选题

9.（2024高一下•全国•专题练习）下面几种说法中正确的有（）

A.相等向量的坐标相同

B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标

C.一个坐标对应于唯一的一个向量

D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应

10.（23-24高三下•山东济宁•开学考试）已知。为坐标原点，向量OA=（2,3）,02=（6,-3）,尸是线段A3的三

等分点，则P的坐标可能为（）

11.(23-24高一下•广东湛江•期末)已知向量。4=(1,2),03=(2,3),OC^m+2,3-m),若点A,B,C

能构成三角形，则实数机可以是()

A.0B.1C.-1D.-2

三、填空题

12.已知点A(1,2),B(3,4),点尸在线段A3的延长线上，且|A同=\尸耳，则点P的坐标是.

13.(23-24高一下•全国•课前预习)平面内距离公式与中点坐标公式：设A=(占,％),3=(%,%),贝I

AB=，两点之间的距离AB|=,43中点的坐标为.

14.如图.在直角梯形A3CD中.AD//BC,ZABC=90°,AD=2,3c=1,点P是腰A3上的动点，则

I2PC+PD\的最小值为.

四、解答题

15.(24-25高一上•上海•课堂例题)已知向量。=。,2)、=(-3,1).

(1)求2a+b的模囚+.和其单位向量2；

(2)若c=1-3,-■—,以a、0为基表示向量c.

16.(24-25高一上•上海,随堂练习)如图，在平行四边形ABCD中，已知42,1)、8(-3,2)、C(-l,3),其对角

⑴向量与BC的坐标；

⑵点。与M的坐标.

17.(23-24高一下•河南•期末)如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点8、C、。的坐标分别是(T3)、(3,4)、

(2,2).

(2)在线段上是否存在一点E满足AC，3E，若存在，求但；若不存在，请说明理由.

\AD\

18.如图，在直角梯形。LBC中，OA//CB,OA1.OC,OA=2BC=2OC,Af为上靠近8的三等分点，0M

交AC于。，P为线段5c上的一个动点.

⑴用0A和0c表示OM;

(2)设OB=2CA+〃。尸，求2,〃的取值范围.

ab

19.(23-24高一下•北京•期中)对于任意实数〃，b,c,d,表达式4-历称为二阶行列式，记作「

ca

⑴求下列行列式的值:

013

①②

-10;26

(2)求证：向量P=33与向量q=(c,d)共线的充要条件是“：=0；

ca

⑶讨论关于x,y的二元一次方程组=G(卬电匕色力。)有唯一解的条件，并求出解.(结果用二

\a2x+b2y=c2

阶行列式的记号表示)

第04讲向量的坐标及其运算

01学习目标

课程标准学习目标

1.掌握求直线上向量的坐标的方法.

1.了解直线上向量的坐标.2.熟练进行直线上向量的坐标运算.

2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐

标公式.

3.理解平面向量的坐标运算.4.掌握向量的坐标表示与运算。

4.掌握向量平行的坐标表示.5.能根据向量的坐标解决平行问题

02思维导图

直线上向■的坐标及运算

平面向■的坐标表示

直线上向■的坐标及其运算

平面向■的坐标运算

根据线段比例求点的坐标

向量的坐标表示及运算一题型根据坐标求向■的模

>根据坐标运算求参数

平面向■的坐标及其运算

i向■共线的坐标表示

利用坐标法求最值（范圉）

坐标法在几何中的应用

03知识清单

知识点01直线上向量的坐标及其运算

1.直线上向量的坐标

（1）定义：给定一条直线/以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知，对于直线/上的

任意一个向量”，一定存在唯一的实数无，使得are,此时，x称为向量。的坐标.

（2）向量的模和方向与x的关系

|a||xe||x||e||x|（e为单位向量）.

当x>0时，a的方向与e的方向相同；

当M）时，”是零向量；

当x<0时，。的方向与e的方向相反.

在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定.

(3)直线上向量的坐标：在直线/上指定一点。作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立

数轴，对于/上的任意一个向量a,如果我们把它的始点平移到原点。，那么a的终点对应的数就是向量a

的坐标.

一ae、

01%

2.直线上向量的运算与坐标的关系

如果直线上两个向量。，力的坐标分别为阳，血.

(l)ab的充要条件是为%2.

(2)a+b的坐标为xi+%2，a~b的坐标为为一尬，4〃的坐标为&i.

(3)设AQi),8(X2)是数轴上的两点，加(尤)是线段的中点，则AB©一如，.竹里

【即学即练11

1.如图，向量殖的坐标为.

01Ax

【答案】3

【解析】因为向量次的始点在原点，因此终点A的坐标就是向量的坐标，故向量次的坐标为3.

2.已知直线上向量a,B的坐标分别为一2,2,则向量。+3石的坐标为()

A.lB.-1

C.0D.4

【答案】C

【解析】因为向量〃，力的坐标分别为一2,2,所以向量a+T。的坐标为-2+]X2—1.

知识点02平面向量的坐标及其运算

1.平面向量的坐标

(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a,b,如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a,b垂直，

记作4规定零向量与任意向量都垂直.

(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底｛为，&｝中，勾，々，则称这组基底为正交基底，在正交基底

下向量的分解称为向量的正交分解.

(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量ei,。2,对于平面内的向量a,如果axe\-\-ye2,

则称(x,y)为向量〃的坐标，记作〃(x,y).

2.平面上向量的运算与坐标的关系

若yi),bgyi),.£R,则：

(1)。+仅为+%2,yi+y2)-

（2）。一伙沏一刀2,男—"）.

（3）2。（&1,4丁1）.

（4）向量相等的充要条件：MQXLM且为”

（5）模长公式：|a|M居+公.

3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式

如图所示，在平面直角坐标系中，设A（%i，刀），3（x2，、2），贝U：

（1）向量。4（X1，yi）,OB（X2,丁2），向量A5（X2—X1，丁2—%）.

（2）它们之间的距离：AB\AB\

N（、一为）「+（丁2一％）2.

（3）设A3的中点M（x,y）,则Ji：七『

【解读】（1）区别赢的坐标与〃一方的坐标：靠的坐标为终点坐标减去始点坐标，而〃一方的坐标是对应

的坐标相减.

（2）由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐

标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同.

4.向量平行的坐标表示

设向量a（xi，yi）,从处以），则〃勿0%2丁团p2.

【即学即练2］如图所示，｛4，4｝为正交基底，则向量2〃+力的坐标为（）

A.(3,4)B.(2,4)

C.(3,4)或(4,3)D.(4,2)或(2,4)

【答案】A

【解析】•「aei+]e2,・12。2«1+«2,又〃01+362,••・2a+0(2ei+e2)+(ci+3e2)3ei+4e2.

・・・2〃+）在基底｛ei,以｝下的坐标为（3,4）.

04题型精讲

题型01直线上向量的坐标及运算

【典例1】如图所示，直线上向量a,》的坐标分别为（）

ba

--?-2-1~o~~i~23^

A.i2,4B.2,4

C.4,l2D.—4,—2

【答案】D

【解析】向量。的始点在原点，则a的坐标为4,把向量。的始点平移到原点，则。的坐标为-2.故选C.

【变式1】已知向量a,5在同一直线上，\a\2\b\,若》的坐标为2,则a的坐标为（）

A.4B.-4

C.2或一2D.4或一4

【答案】A

【解析】由，的坐标为2,得Z>2e,由⑷2|。|,得a4e或a—4e,故a的坐标为4或一4.故选D.

【变式2】若e是直线/上的一个单位向量，这条直线上的向量a,b的坐标分别为x,»下列说法错误的

是（）

A.\a\xB.bye

C.a+方的坐标为x+yD.\e\\

【答案】A

【解析】由题意知，\e\\,|a||x|,bye,a+bxe+ye（x+y）e,所以a+Z>的坐标为x+y,只有A错误.

【变式3】若数轴上A,8两点的坐标分别为一2,x,且屈的坐标是一8,则x.

【答案】-10

【解析】由题意得，霜的坐标为》+2—8,

解得X—10,

故答案为一10.

【变式4】已知e是直线/上的一个单位向量，a4e,b-2e,则a+5的坐标为（）

A.1B.2

C.-2D.4

【答案】C

【解析】因为a4e,b—2e,所以a+》4e—2e2e,故a+。的坐标为2.故选B.

题型02平面向量的坐标表示

【典例2］（23-24高一下,浙江宁波•期末）己知平行四边形A3CD,B（-l,2）,C（2,4）,贝（）

A.（-2,2）B.（3,3）C.（4,6）D.（6,4）

【答案】A

【分析】由B,C两点的坐标求得BC=（3,2）,由平行四边形的性质有=求值即可.

【详解】由3（-1,2）,C（2,4）,有比=（3,2）,

平行四边形A3CD中，有A8=£）C,BPAB+CD=O,

AC+BD=AB+BC+BC+CD=2.BC=（6A'）-

【变式1】（23-24高一下•浙江•期中）已知A（3,7）,B（5,2）,把向量AB按向量”（1,2）平移后，所得向量猊

的坐标是（）

A.（-1,7）B.（1,-7）C.（2,-5）D.（3,-3）

【答案】D

【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量钻的坐标.

【详解】根据题意可知，AB=（2,-5）,把向量钻按向量仁（1,2）平移后，与原向量相等，

所得向量A5仍然为仅,-5）.

【变式2］（2024高二下•安徽•学业考试）点A（-LO）,8（0,2）,则向量A8（）

A.（-1,2）B.（1,2）C.（-1,-2）D.（1,0）

【答案】C

【分析】由向量坐标的概念即可求解.

【详解】AB=（1,2）.

【变式3］（23-24高一下•陕西渭南•期末）已知向量。=（4,3）,则与向量。方向相反的单位向量是（）

434_34_34_343

A.B.C.D.或

5555，-55，-55，-5555

【答案】D

【分析】利用单位向量及相反向量的意义求解即得.

【详解】向量。=（4,3）,则|。|=斤三=5,

所以与向量。方向相反的单位向量是-工=-入4,3）=（

\a\555

题型03平面向量的坐标运算

【典例3】(2024高二下,湖北•学业考试)已知向量。=(1,0),。=(0」)，则啕+3力=()

A.(2-3)B.(-2,-3)C.(—2,3)D.(2,3)

【答案】A

【分析】运用向量的坐标运算计算即可.

【详解】因为向量。=。,0),6=(0,1),所以24+36=2(1,0)+3(0,1)=(2,3).

【变式1](23-24高一下•新疆•期中)己知；=(2,1),人=(一1,1),若a+b=(x,2),贝产=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可.

【详解】已知向量。=(2,1),方=(—1,1),

则。+6=(1,2)=(工,2),解得x=l.

【变式2】(23-24高一•上海•课堂例题)已知点A(3,2)、8(7,5)、C(-l,8),^AB-^AC.

【答案】(6,0)

【分析】首先表示出反，AC，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.

【详解】因为4(3,2)、5(7,5)、C(-l,8),

所以AB=(7,5)-(3,2)=(4,3),AC=(-1,8)-(3,2)=(-4,6),

所以AB_；AC=(4,3)_；(-4,6)=(6,0).

【变式3】(23-24高一下•全国,单元测试)已知。=(-1,2),匕=(2,1),求：

r1

(l)fl+3b;

⑵;"-卜•

【答案】⑴(5,5)

【分析】(1)(2)由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果..

【详解】⑴因为莅=(—1,2),6=(2,1),

所以a+38=(T,2)+3(2,=2)+(6,3)=(5,5).

(2)因为。=(—1,2),6=(2,1),

所以;。T=g(T2)4(2/)=■•

题型04根据线段比例求点的坐标

【典例4](23-24高一・上海•课堂例题)已知点4(3,0)、以一1,一6),点p是直线43上一点，且,尸卜中4百

求点尸的坐标.

【答案】尸]|,一2)或喂,2)

【分析】设防=4罚UeR),由卜/=14百可得2=g或2=-g,再设P(x,y),表示出，然，根据

平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可.

【详解】因为点P是直线至上一点,

所以设方=24(XwR),又网=〈网,所以2=；或久=-；,

.JD。

即AP=~AB^AP=--AB,

33

设尸(x,y),又4(3,0)、5(-1,-6),

所以AP=(x,y)—(3,0)=(x-3,y),A5=(-1,-6)-(3,0)=(^,-6),

所以(x-3,y)=；(-4,-6度(x-3,y)=-g(-4,-6),

7,

x-3=--

即3或＜

"二一2y=2

513

x=—x--

解得3或，3,

)=一2J=2

即P|5,-2或尸*2.

3

【变式1](24-25高三上•湖北•期中)已知4(2,3),8(4,-3),点尸在线段的延长线上，且,耳=2P耳

则点P的坐标为()

A.与一"B.旨学C.(6,-9)D.(-9,6)

【答案】D

【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.

【详解】因为点P在线段AB的延长线上，且,尸|=2|尸目,所以点8为"中点,

x+2

-9-=4［x=6

设点尸（x,y）,则「3，解得y=_9,所以点尸的坐标为（6,一9）.

------=—3

I2

【变式2］（23-24高一下•四川绵阳•期中）（多选）点0（0,0）,向量。4=（0,3）,。3=（6,-3）,点P是线段A3

的三等分点，则尸点坐标为（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（4,1）D.（4,-1）

【答案】AD

【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解.

【详解】设点P坐标为（无,V）,因为向量OA=（0,3）,03=（6,-3）,则BA=（-6,6）,AB=（6,-6）,

当点尸为靠近点B的三等分点时，则归uir产iuir，故’f%.-6交=-2‘解得…右丁一,故点尸坐标为（□）'

当点尸为靠近点的三等分点时，则”.丁1.故\［x=2解得

A8,.=-2,f=2,7=1,故点P坐标为（2,1）,

D

【变式3］（23-24高一・上海•课堂例题）已知点加（3,-2）、N（-5,-1）,=求点尸的坐标.

1_5

【答案】

3，-3

【分析】设点P的坐标为（x,y）,利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可.

【详解】设点尸（x,y）,由M（3,-2）,N（-5,-l）得，MP={x-\y+2）,MN=（-8,1）,

x3-81

X=—

33

因为=所以，，解得,

5

y+2=—y=一一

33

所以点P的坐标为

题型05根据坐标求向量的模

【典例5】（2024高一•全国•专题练习）已知向量。=（T,2）,6=（1,3）,则"-司=（）

A.及B.2C.5D.10

【答案】D

【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到2a-6=（-3,1）,再利用模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为。=（一1,2）,6=（1,3）,所以2。-6=（-3,1）,

得至I1\la-b\='(-3)2+1=710，

【变式1】（23-24高一下•江苏盐城•期中）已知向量0=仅,-2®,6=（1,⑹，贝U向量£+6的模为（）

A.>/3+1B.4C.2D.277

【答案】D

【分析】求出向量£+6的坐标，再求模长.

【详解】因为向量a=（0,-2月,6=（1,⑹，

所以向量a+b=（0,-24）+（1,码=（1,-码，

所以+=

【变式2】（23-24高一下•湖南株洲・期末）已知向量a,。在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小

正方形的边长均为1,则卜+2b卜（）

A.2B.2A/2C.4D.8

【答案】C

【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标