人教B版高中数学必修二同步讲义：函数的应用（二）（学生版+解析）

第08讲函数的应用（二）

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关1.理解指数函数模型.

系和规律的重要数学语言和工具.2.理解对数函数模型.

2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻3.理解幕函数模型.

画现实问题的变化规律.4.理解几类函数模型的建立及应用.

1.指数函数模型及其应用

2.对数函数模型及其应用

3.鬲数函数模型及其应用

4.利用给定函数模型解决实际问题

5.拟合函数模型的建立与应用

03知识清单

知识点01常见的几类函数模型及其应用

i.指数函数模型

能用指数型函数Hx）a〃+c（a,6,c为常数，aNO,b>0,且6W1）表达的函数模型叫做指数函数模型，

若。>1,其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”.指数

类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类.

（1）平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N,平均增长率为P,则对于时间x的产值或产量y,

可以用公式yNQ+/y（NWO）表示.

（2）储蓄中的复利计算问题：若本金为。元，每期利率为厂，本息和为y,存期为尤，则w（l+r）x（a#O）.

2.对数函数模型

能用对数型函数兀t）加ogax+"（7〃，”，。为常数，"zWO,a>0,且aWl）表达的函数模型叫做对数函数

模型，若«>1,则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度越

来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.

有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于

此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题.

3.幕函数模型

能用幕型函数/U)a/+b(a,b,a为常数，表达的函数模型叫做幕函数模型，其增长情况随K中a

的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.

【即学即练11某种细菌在培养过程中，每15min分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个

繁殖成212个需经过()

A.12hB.4h

C.3hD.2h

知识点02用函数模型求解应用问题的步骤

(1)审题一弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型.

(4)还原——将数学结论还原为实际问题.

【即学即练2】某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为尤)，则

下列结论中正确的是()

A.尤＞22%B.尤＜22%

C.x22%D.x的大小由第一年产量确定

知识点03拟合函数模型的建立

1.数学建模

研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数

学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题.这个建立数学模

型的全过程就成为数学建模.

2.函数拟合

根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，

从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合).

3.函数拟合与预测的一般步骤

⑴绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；

(2)连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；

⑶列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

⑷判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；

⑸预测：利用选取的拟合函数进行预测；

⑹结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.

【即学即练3】

L某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷

和0.76万公顷，则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是（）

A.y0.2xB.y^（f+2尤）

2X

C.D.y0.2+logi6X

2.“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间f（月）与枝数y（枝）的散点图.那么红豆生

长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好（A）

yd枝

68

64

6*0

56

52

48

44

40

36

32

28

24

20

16

12

A.指数函数：y2'B.对数函数：ylog2f

C.嘉函数：yt3D.二次函数：y2产

04题型精讲

———

题型01指数函数模型的应用

【典例1］（23-24高一上•江苏南通•期中）某灭活疫苗的有效保存时间7（单位：小时h）与储藏的温度I（单

位：℃）满足的函数关系为7=心+“总6为常数，其中e=2.71828…，是一个和兀类似的无理数，叫自然对

数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在（TC时的有效保存时间是1080h,在1（TC时的有效保

存时间是120h,则该疫苗在15。（2时的有效保存时间为（）

A.15hB.30hC.40hD.80h

【变式1】（23-24高一下•湖南常德•期中）荀子《劝学》中说："不积度步，无以至千里；不积小流，无以

成江海."在"进步率"和"退步率"都是1%的前提下，我们可以把。+1%户5看作是经过365天的“进步值"，

看作是经过365天的“退步值"，则大约经过（）天时，"进步值"大约是"退步值"的100倍（参考

数据：IglOl®2.0043,lg99~1.9956）

A.100B.230C.130D.365

【变式2】国家速滑馆又称"冰丝带"，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系

统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备

了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间f（小时）的关系为

N=N°e*（或为最初污染物数量，且乂＞0）.如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至

最初的64%还需要（）

A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时

【变式3】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为仇°C,空气温

度为仇。C,贝h分钟后物体的温度/单位：℃）满足：例o+（仇一仇）b3若当空气温度为30℃时，某物

体的温度从90℃下降到80℃用时14分钟.则再经过28分钟后，该物体的温度为℃.

【变式4】假设甲和乙刚开始的"日能力值"相同，之后甲通过学习，"日能力值"都在前一天的基础上进步2%,

而乙疏于学习，"日能力值"都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的"日能力值"

是乙的20倍（参考数据：lgl02a2.0086,lg99»1.9956,lg2«0.3010）

A.85B.100C.170D.225

题型02对数函数模型的应用

【典例2］（23-24高一下•安徽芜湖•开学考试）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视

力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满

足关系式：L=5+lgV,已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.3和a,记小明和小李视力的小

数记录法的数据分别为匕，匕，则1e（2,3）,则。的值可以是（）（参考数据：1g2«0.301,1g3«0.477）

A.4.7B.4.5C.4.8D.5.0

【变式1】（24-25高一上•全国•课后作业）"喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声

音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣"等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起

的泉水越高.已知听到的声强机与标准声强外（既约为10±,单位：w/mD之比的常用对数称作声强的

声强级，记作L（贝尔），即乙=3一，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处"喊泉"

mo

的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度无（米）满足关系式丁=2无，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高

高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个8同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激

起的涌泉最高高度约为（）

A.5米B.10米C.45米D.70米

【变式2］（23-24高一下•湖北•阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：

C=Wlog2^+^J，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道

内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中三叫做信噪比.已知当X比较大时，

j=loga（l+x）（a>l）«logflx,按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%,信噪比从

1000提升至8000,则C大约增加了（）（附：lg2®0.3010）

A.37%B.45%C.48%D.56%

【变式3】2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km自动驾驶,

不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/（单位：W/n?）表示声音在传播途径中每平方

米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强/的函数关系式为L=/lg（a/）,其中％为基准声强级,

•为常数，当声强/=妁时，声强级L=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：

声源与声源的距离（单位：m）声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为4//，则下列结论正确的是（）

A.4=30B.11>12C.I2>10Z3D.A<100/2

【变式4】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足他2一加微

Igf,其中星等为恤的星的亮度为&（村，2）.已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与

天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1

C.1g10.1D.IO-101

题型03幕函数模型的应用

【典例3].2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固

脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动.该企业2021年初有资

金170万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元.若要实现2024年初的资金达到270

万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：<82«1.22,<73«1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【变式1】某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司2020年总收入为200亿元，其

中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比

前一年增加20亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从2021年起每年通过理财

业务的收入是前一年的/倍，若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%,则t的值至

少为（）

A.V24B.痂C.^24D.痂

【变式2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幕函数形式表示.比

如，某类动物的新陈代谢率丁与其体重x满足丁=履°,其中左和。为正常数，该类动物某一个体在生长发育

过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则a为（）

【变式3】某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为

y=x"为常数），其中X不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年

投入广告费用5万元，预计今年药品利润为万元.

题型04利用给定函数模型解决实际问题

【典例4]（24-25高三上•安徽•阶段练习）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量

P（单位：mg/L）与时间f（单位：h）之间的关系式为尸=耳片〃”..0）,其中《为初始污染物含量，小均

为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了80%的污染物.如果废气中污染物的含量

不超过0.04々时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（）

A.4hB.6hC.8hD.12h

【变式11（24-25高三上•河南•阶段练习）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）

的关系满足指数模型C=Ge"（T，其中C。是初始浓度（即，=1时该污染物的浓度）,k是常数.第2天（即1=2）

测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第"天测得该污染物的浓

度变为27c°,典|力=.

【变式212018年“平安夜”前后，某水果超市从12月15日至1月5日（共计22天，12月15日为第1天，

12月16日为第2天，…，1月5日为第22天），某种苹果的销售量y千克随时间第X天变化的函数图象如

图所示，则该超市在12月20日卖出了这种苹果千克.

题型05拟合函数模型的建立与应用

【典例5】数据显示，某IT公司2023年2月一6月的月收入情况如下表所示:

月份23456

月收入（万元）1.42.5805.311121.3

1

根据上述数据，在建立该公司2023年月收入y（万元）与月份X的函数模型时，给出两个函数模型y=/与

2X

y='供选择.

3

⑴你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；

（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：

lg2ao.3010,lg3®0.4771）

【变式1］（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总

量攻进行监测.第一次监测时的总量为%（单位：吨），此时开始计时，时间用单位：月）表示.甲经过

一段时间的监测得到一组如下表的数据：

//月02816

vv/吨2.04.06.07.0

为了研究该生物总量w与时间，的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达卬与t的变化关

系：

①vv=c«+d%；@w=&loga(r+l)+v^(a>0

⑴请根据表中提供的前2列数据确定第一个函数模型的解析式；

⑵根据第3,4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量年由必翻一番时经过了2

个月，根据你选择的函数模型，若总量亚再翻一番时还需要经过多少个月？(参考数据：1g3^0.48,

lgl7®1.23)

【变式2】由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.下

表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据.

刹车时车速v(km/h)153040708080

刹车距离距m)1.236.2011.517.8025.2044.40

⑴试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式；

(2)若车速为120km/h,刹车距离为多少？若测得刹车距离为15.13m,刹车时的车速是多少？(可以使用计

算器辅助计算)

ra强化训练

一、单项选择题

1.某物体一天中的温度7(℃)是时间f(h)的函数：T73—3f+80.若Z0表示中午12：00,下午r取值为正，则上

午8：00的温度是(D)

A.112℃B.58℃

C.18℃D.8℃

2.(23-24高一上•吉林白山•阶段练习)在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过

2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的()

A.1.1倍B.1.25倍C.1.1025倍D.1.0025倍

3.(24-25高一上•全国•课后作业)某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，

第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，第五个月销售了1800台，则下列函数模型中能较好地反

映销量，与投放市场的月数X（1WX45,xeN+）之间关系的是（）

A.y=100xB.J=50X2-50X+100

C.y=50x2xD.y=100*

4.（23-24高一上•江西景德镇•期末）地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：

lgE=4.8+1.5M,其中"为震级，E为地震能量.2022年H月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11

月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（）倍（参考数据：

IO209®123,102'2®158）

A.110B.115C.120D.125

5.（23-24高一上•广东广州•期末）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气

进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（h）的关

系为p=p0e*.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%总共需要花的时间为（）

A.8小时B.9小时C.10小时D.11小时

6.（23-24高一下•广东揭阳・期中）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量

达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产

区，假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%,若要求该种植区的脐橙产量高于当前

脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（）（参考数据：取lg2=Q3,lg3=0.48）

A.10B.9C.8D.7

7.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单

位：L）与速度v（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0408080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.Q=0.51,+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=klogflv+b

8.（23-24高一上•四川雅安■期末）碳14是一种放射性物质，当生物死亡后，机体内的碳14含量会按确定的

比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.如果C。是碳14的

t

初始质量，那么经过/年后，碳14所剩的质量为=•一名学者在今年的一次考古活动中，对出

土的文物标本进行研究，发现碳14的含量是原来的75%,可以推测该文物属于下列哪个时期（）（参考

数据：1吗3引.585）

参考时间线：

-475-221-2062206189079601279公元2023年

HH——I------H-HI---------->

战国汉唐宋

A.战国B.汉C.唐D.宋

二、多项选择题

9.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量尤的图像.由于目前本条线路亏损，公司有关人员

提出了两种扭亏为盈的建议，如图2,3所示.你能根据图像判断下列说法错误的是（）

A.图2的建议为减少运营成本B.图2的建议可能是提高票价

C.图3的建议为减少运营成本D.图3的建议可能是提高票价

10.（23-24高一上•广东•期末）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

再计算下一期的利息.本金为。（单位：元），每期利率为『，本利和为丁（单位：元），存期数为X,则下列

命题是真命题的是（）

A.本利和y关于存期数x的函数解析式为y=a（l+r『

B.本利和'关于存期数x的函数解析式为y=a（l+

C.若存入本金1000元，每期利率为2.25%,则1期后的本利和为1022.5元

D.若存入本金1000元，每期利率为2.25%,则4期后的本利和为1090元

11.（23-24高一上•内蒙古呼和浩特•期末）某池塘里浮萍的面积，（单位：m2）为时间x（单位：月）的

指数函数，即＞=优，且有关数据如图所示.则下列说法第氓的是（）

V

-卜

-2

--

11

1-

0

1-

9-

8-

7-

6-

5-

4-

3

21

-

1/

01234―

A.浮萍面积的月增长率为1B.浮萍面积的月增加量都相等

n"2）"10）

C.第4个月，浮评面积为12m2

〃1厂〃9）

三、填空题

12.（24-25高一上•全国•课前预习）某种动物繁殖的数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alogKx+l）,

若这种动物第一年有100只，则到第15年会有只.

13.（24-25高一上•上海•期中）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2019年（年底

统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年

投入的研发资金开始超过200万元的年份是.（年底统计）

14.（24-25高一上•上海•课堂例题）如图，某池塘里浮萍的面积'（单位：m2）与时间单位：月）的关

系为>=储.关于下列说法正确的命题序号是.

M

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

―I~~■―।~।~।_>

O\12347

（1）这个指数函数的底数为3；

（2）浮萍每月增加的面积都相等；

（3）第4个月时，浮萍面积不超过80m2；

（4）若浮萍曼延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别是4、%、G，则2%=%+G.

四、解答题

15.（24-25高一上•全国•课后作业）富兰克林（BenjaminFranklin,1706-1790）是美国著名的政治家和物理

学家，去世后留下的财产并不可观，大致只有1000英镑.但令人惊奇的是，他竟然留下了一份分配几百万

英镑财产的遗嘱！这份遗嘱是这样写的：

"……1000英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这1000英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的公民，

他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息，这笔钱过了100年增加到131000英镑.我

希望那时候用100000英镑来建立一座公共建筑物，剩下的31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年

末了，这笔款增加到4061000英镑，其中1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的30000英镑让

马萨诸塞州的公众来管理，从此之后，我可不敢多作主张了."

你认为富兰克林的设想有道理吗？为什么？（1+0。5广°。131.50

16.（23-24高一上•福建南平・期末）燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗

氧量。与飞行速度v（米/秒）之间满足关系：Q=10x2上

⑴当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？

（2）若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：

1g2«0.3,1g3-0.48）

17.（24-25高一上•福建泉州•阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流

动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本

市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x（xe（0,20］）（万

元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到，=（尤+3）（万件）.

同时波司登制衣有限公司生产f（万件）产品需要投入成本为伍+:+3^（万元），并以每件（8+手1元的

价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本.

⑴求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益，（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；

（2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？

18.（24-25高一上•上海杨浦•阶段练习）某新建居民小区欲建一面积为800n?的矩形绿地，并在绿地四周铺

设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m,东西两侧人行道宽4m,如图所示（图中单位：m）.设

矩形绿地的南北侧边长为x米.

北

3m

4m绿地4m

♦X，

3m

南

⑴当人行道的占地面积不大于448m2时，求x的取值范围；

（2）问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小.

19.（22-23高一上•广东清远•期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细

菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）

与培养时间无（单位：小时）的3组数据如下表所示.

X235

y3.54.55.5

（1）当尤22时，根据表中数据分别用模型y=log“（x+c）+Z^Dy=〃zJ77^+左建立，关于龙的函数解析式.

⑵若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得

出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为"理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，

检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为"理想函数模型”？说明理

由.（参考数据：757*7.6）

⑶请用（2）中的"理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.

第08讲函数的应用（二）

01学习目标

课程标准学习目标

2.理解函数模型是描述客观世界中变量关1.理解指数函数模型.

系和规律的重要数学语言和工具.2.理解对数函数模型.

2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻3.理解幕函数模型.

画现实问题的变化规律.4.理解几类函数模型的建立及应用.

1.指数函数模型及其应用

2.对数函数模型及其应用

3.鬲数函数模型及其应用

4.利用给定函数模型解决实际问题

5.拟合函数模型的建立与应用

03知识清单

知识点01常见的几类函数模型及其应用

1.指数函数模型

能用指数型函数/（x）a"+c（a,6,c为常数，。#0,b>0,且6W1）表达的函数模型叫做指数函数模型，

若。>1,其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“爆炸式增长”.指数

类型的函数在实际问题中的应用比较广泛，主要有以下两类.

（1）平均增长率问题：若原来产值或产量的基数为N,平均增长率为P,则对于时间x的产值或产量》

可以用公式yN（l+P）%NW0）表示.

（2）储蓄中的复利计算问题：若本金为。元，每期利率为广，本息和为》存期为尤，则”（1+力，3/0）.

2.对数函数模型

能用对数型函数/U）加ogax+双机，n,。为常数，/"WO,a>0,且。#1）表达的函数模型叫做对数函数

模型，若。>1,则其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着自变量的逐渐增大，函数值增大的速度越

来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.

有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，对于

此类问题，我们要从中提炼出数据，代入函数关系式求出参数的值，然后解答实际问题.

3.黑函数模型

能用赛型函数五元）B+b（a,b,a为常数，aWO）表达的函数模型叫做募函数模型，其增长情况随K中a

的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.

【即学即练1】某种细菌在培养过程中，每15min分裂一次（由1个分裂成2个），则这种细菌由1个

繁殖成212个需经过（）

A.12hB.4h

C.3hD.2h

【答案】D

【解析】细菌的个数y与分裂次数x的函数关系为y2\令2*2巴解得xl2,又每15min分裂一次,

所以共需15X12180min,即3h.

知识点02用函数模型求解应用问题的步骤

（1）审题—弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

（2）建模—将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.

（3）求模——求解数学模型，得出数学模型.

（4）还原——将数学结论还原为实际问题.

【即学即练2】某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同（设为尤），则

下列结论中正确的是（）

A.尤>22%B.x<22%

C.x22%D.尤的大小由第一年产量确定

【答案】C

【解析】由题意设第一年产量为。，则第三年产量为a（l+44%）a（l+x）2,.故选B.

知识点03拟合函数模型的建立

1.数学建模

研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数

学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题.这个建立数学模

型的全过程就成为数学建模.

2.函数拟合

根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，

从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）.

3.函数拟合与预测的一般步骤

⑴绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图；

⑵连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；

⑶列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；

⑷判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；

⑸预测：利用选取的拟合函数进行预测；

⑹结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.

【即学即练3】

1.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷

和0.76万公顷，则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是（）

A.y0.2xB.）^（小+2尤）

2X

C.D.y0.2+logi6%

【答案】D

【解析】当xl时，排除选项B；当x3时，排除选项A、D,检验C项较为接近.

2.“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间f（月）与枝数y（枝）的散点图.那么红豆生

长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好（A）

68

64

60

56

52

48

44

40

36

32

28

24

20

16

12

A.指数函数：y2（B.对数函数：ylog2f

C.哥函数：yt3D.二次函数：y2F

【答案】A

【解析】由题意知函数的图像在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函

数模型，且图像过（1,2）点，所以图像由指数函数来模拟比较好，故选A.

04题型精讲

L-一二

题型01指数函数模型的应用

【典例1］（23-24高一上•江苏南通•期中）某灭活疫苗的有效保存时间7（单位：小时h）与储藏的温度《单

位:℃）满足的函数关系为T=/+“匕6为常数，其中e=2.71828…，是一个和兀类似的无理数，叫自然对

数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0七时的有效保存时间是1080h,在10（时的有效保

存时间是120h,则该疫苗在15。。时的有效保存时间为（）

A.15hB.30hC.40hD.80h

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解.

【详解】T=",

当f=0时，T=efc=1080,

当t=10时，120=6%4=9吗1080,解得e5*=g,

当/=15时，T=e15i-eh=⑻丘）3-efc=—xl080=40.

【变式1】（23-24高一下•湖南常德•期中）荀子《劝学》中说："不积度步，无以至千里；不积小流，无以

成江海."在"进步率"和"退步率"都是1%的前提下，我们可以把（1+1%户5看作是经过365天的"进步值"，

（1-1%户5看作是经过365天的“退步值"，则大约经过（）天时，"进步值"大约是"退步值"的100倍（参考

数据：1g101a2.0043,lg99~1.9956）

A.100B.230C.130D.365

【答案】C

【分析】设大约经过〃天"进步值"大约是"退步值"的100倍，依题意可得黑=100,根据指数对数的关系及

换底公式计算可得.

【详解】设大约经过n天"进步值〃大约是"退步值"的100倍，

此时“进步值"为（1+1%）"=1.01","退步值"为（1-1%）"=0.99",即舄9=100,

所以（搦、僦f"则"=l°g铲°，

w=lgl00=IglOOg_2_“0

所以i101lgioi-lg992.0043-1.9956天.

g97

【变式2】国家速滑馆又称"冰丝带"，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系

统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备

了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间f（小时）的关系为

N=N°eY'（N。为最初污染物数量，且乂＞0）.如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至

最初的64%还需要（）

A.3.8小时B.4小时C.4.4小时D.5小时

【答案】c

【分析】由题意可得e』=0.8,再令N°e-"=0.64N。，解出可得f,即可得解.

【详解】由题意可知N°e*=O.8No.即有厂=0.8，

令乂厂=0.64乂，则有e-k=o.64=（「*）2=e-83解得/=8,

8-4=4,故还需要4小时才能消除至最初的64%.

【变式3】著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为仇℃,空气温

度为仇。C,贝i|r分钟后物体的温度/单位：℃）满足：例o+（仇一仇）53若当空气温度为30℃时，某物

体的温度从90°C下降到80℃用时14分钟.则再经过28分钟后，该物体的温度为℃.

【答案】37.5

【解析】••.OOo+（Oi—。0）/3

又：当空气温度为30°C时，某物体的温度从90°C下降到80℃用时14分钟，

.,.8030+（90—30）「1饮,解得吗,

则再经过28分钟后，相当于当过了42分钟后，

030+（90-30）”2匕0+80x（"为330+80x|37.5（℃）.

O

故答案为：37.5.

【变式4】假设甲和乙刚开始的“日能力直湘同，之后甲通过学习，"日能力直嘟在前一天的基础上进步2%,

而乙疏于学习，"日能力值"都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（）天，甲的“日能力值"

是乙的20倍（参考数据：1g102。2.0086,1g99“1.9956,lg2«0.3010）

A.85