排列组合原理与二项式定理经典常考小题（讲义）-2025年高考数学二轮复习（原卷版）

专题20排列组合原理与二项式定理经典常考小题

目录

01考情透视•目标导航.................................................2

02知识导图•思维引航.................................................3

03知识梳理•方法技巧................................................4

04真题研析•精准预测................................................6

05核心精讲•题型突破................................................8

题型一：二项式定理之特定项'三项式问题8

题型二：二项式定理之系数和问题8

题型三：二项式定理之系数最值问题9

题型四：特殊优先与正难则反策略10

题型五：相邻问题与不相邻问题10

题型六：定序问题11

题型七：多面手问题12

题型八：错位排列问题13

题型九：涂色问题14

题型十：分组与分配问题15

题型—.隔板法16

题型十二：环排与多排问题17

题型十三：电路图模型17

重难点突破：机器人跳动、波浪数'卡特兰数模型19

差情;奏汨•日标旦祐

排列组合与二项式定理构成了高考数学中的一个重要考查领域，预计未来的考试形式仍将侧重于选择

题或填空题。这些题目将主要测试学生对基本概念和基本方法的掌握程度，难度水平预计会保持在中等偏

下，与教材内容保持一致。值得注意的是，这部分内容与日常生活紧密相连，考生可以关注一些常见的排

列组合实例，例如体育比赛的赛程安排、彩票中奖规则等，以此来培养运用数学知识解决实际问题的意识

和能力。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年天津卷第11题，5分预计2025年高考数学

2024年甲卷第13题，5分将呈现以下新趋势：一方

掌握定理应用，提2023年北京卷第5题，4分

二项式定理面，小题形式将更为多样，

升解题技能。2023年天津卷第11题，5分

可能涵盖选择题或填空

2022年I卷第13题，5分

题，着重考查学生的数学

2021年浙江卷第13题，6分

抽象思维'数学建模能力、

逻辑推理能力以及数学运

算技巧，这些构成了数学

2024年II卷第14题，5分

四大核心素养。另一方面，

2023年乙卷第7题，5分

理解概念公式，培2023年II卷第3题，5分考试的热点内容可能会聚

排列组合

养解题能力。2023年I卷第13题，5分焦于应用二项式定理求解

2022年II卷第5题，5分系数相关问题，以及运用

2021年乙卷第6题，5分排列组合理论来解决实际

生活中的数学问题，体现

数学与生活的紧密联系。

匐2

知识导图•思维引航

二顼式定理

二项式定理二项展开式的通项

二顼式系数的性质

排列组合与二项式定理

排列的定义

排列组合

组合的定义

//40w

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到"个区域,M2,M3,,M和..2),现取左伏..2)种颜色对

这"个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(-1)"(4-1)+(%-1)”种.

2、错位排列公式，=(£号+1)•加

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现

在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即

优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨

论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素,

被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

(1)以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；

(2)以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；

(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将”个不同元素排成一排，其中某上个元素排在相邻位

置上，求不同排法种数的方法是：先将这七个元素“捆绑在一起“，看成一个整体，当作一个元素同其他元素

一起排列，共有然二解种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有履种排法.根据分步乘

法计数原理可知，符合条件的排法共有次二解•履种.

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将“个不同元素排成一排，其中某七个元素互不相邻

求不同排法种数的方法是：先将(〃-左)个元素排成一排，共有42种排法；然后把％个

元素插入〃-左+1个空隙中，共有或_1种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

aM・筮什।种.

7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：

（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分

成若干步，再由分步乘法计数原理解决.常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步.

（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑

其他情形.

（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配

（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排.

8、求二项展开式中的特定项的方法

求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项=C/"方的特点，一般需要建立方程求厂,再将厂

的值代回通项求解，注意厂的取值范围（厂=Q12LM.

（1）第机项：此时r+l=〃2,直接代入通项；

（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的事指数为0建立方程；

（3）有理项：令通项中“变元”的幕指数为整数建立方程.

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.

9、赋值法研究二项式的系数和问题

“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax+6）",（ax?+6x+c/"（a,仇ceR）的式子求

其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如（ax+byy\a,beR）的式子求其展开式各

项系数之和，只需令x=y=l即可.

10、二项式系数最大项的确定方法

（1）若”是偶数，则中间一项（第幺+1项）的二项式系数最大；

2

（2）若，是奇数，则中间两项（第项与第“兽+1项）的二项式系数相等数最大.

22

（2024年北京高考数学真题）在卜-«）的展开式中，d的系数为（

B.-6C.12D.-12

（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为

x23

（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为

3V

4.（2024年新课标全国II卷数学真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个

方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值

是.

11213140

12223342

13223343

15243444

5.（2023年天津高考数学真题）在［2尤的展开式中，尤2的系数为.

6.（2023年新课标全国I卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这

8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作

答）.

7.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星

期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

8.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读

的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

9.（2023年新课标全国II卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽

样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和

200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C：3C盛种B.C：1C乳种

c.C禽.C鼠种D.C^c队种

10.（2022年新高考全国II卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站

在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

11.（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式（％+2）（%-1）4=〃0+。11+。2/+。3X3+〃4/+。5%5，贝U

,Q]+%+〃3+〃4+〃5=.

12.（2022年新高考全国I卷数学真题）卜尤+＞）8的展开式中/I的系数为（用数字作

答）.

题型一：二项式定理之特定项、三项式问题

【典例1-1】02-％+1）（》+1）5的展开式中,犬的系数为（）

A.-55B.1C.5D.11

【典例1-2】『靠了）的展开式中炉的系数为（）

6,

A.—6B.—C.6D.-

55

【变式1-1］（x+y-l）8的展开式中，含孙4的项的系数为（）

A.240B.-280C.560D.360

【变式1・2］在（1+次》了的展开式中，系数为整数的项数是（）

A.9B.4C.3D.2

命题预测

1.的展开式中，6■的系数为（）

A.60B.-60C.120D.-120

题型二：二项式定理之系数和问题

242024

【典例2-1］（多选题）若（1+2X）2。=/+%尤+出炉++a2024x,则下列正确的是（）

A.a。=2024B./+%++。2024=32024

C.%-q+%一“3++〃2。24=1D.q_2%+3q__2024^2024=_2024

9

【典例2-2】（多选题）已知（2x-5）9=a。+〃1（%-2）+。2（%一2）2+。3（］-2）3+.+tz9（x—2）,则下列结论成立

的是（）

A.+Q]++Cig—1B.2*a。+2’％+2‘％+6/++4=256

C.%—Qj+a2—%+—为=3。D.q+24+3/++9%=18

【变式2.1】(多选题)已知(4—3x)7=%+乌(1—3x)+%(l—3x)2++%(1—3x)7,则()

7

A.g=945B.=47-1

i=i

C.a。+a2+%+4=2"+2‘D.%+的+%+%=2‘—2^

9

【变式2-2](多选题)已知(2%+〃)9=/+%(%+1)+%(%+1)2++a9(x+l),若％=2则()

39-1

A.a=3B.%+%+/+4+〃8=———

C.？=84D.a。+2%+3a2+4/++10%—7x

命题预测

1.(多选题)若(%+2+加)9=%+%(%+1)+/(%+1)2+••,+%(%+1)9，日.

(%+%■!---1■/)—(%+/■1---1"%)=3。，则实数加的值可以是()

A.-5B.-3C.1D.5

题型三：二项式定理之系数最值问题

【典例3-1】在二项式。-2无丫的展开式中，系数最大的一项为.

【典例3-2】在(1-幻2。24的展开式中系数最大的项是第项.

【变式3-1］在］X-/：的二项展开式中，系数最小的项为.

【变式3-2】在(1-2x)8的展开式中系数最大的项为.

1命题预测T

1.已知（1+2%）6的二项展开式中，二项式系数最大的项为0,系数最大的项为4则，=

题型四：特殊优先与正难则反策略

【典例4-1】在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到A,8,C三个比赛场地做比赛安全

指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C场地，乙安排在A场地的不同安排方法种数为（）

A.7B.10C.12D.24

【典例4-2】在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A,3两道程序既不能放

在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（）

A.18种B.36种C.72种D.108种

【变式4-1】从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有1人被

选中的不同选法有（）

A.60种B.120种C.180种D.210种

【变式4-2]2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天.某单位安排7位员工值班，每人值

班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不

同的安排方案共有（）

A.1440种B.1360种

C.1282种D.1128种

命题预测

二

1.某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊5名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步4个

项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共

有（）

A.60种B.120种C.180种D.240种

题型五：相邻问题与不相邻问题

【典例5-1】我校田径队有十名队员，分别记为瓦凡为完成某训练任务，现将十名队

员分成甲、乙两队.其中将A,仇五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在。的左边，剩下的

五位同学排成一行形成乙队，要求尸与G不相邻，则不同的排列方法种数为（）

A.432B.864C.1728D.2592

【典例5-2】春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚通过海选，现有6个自编

节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三

位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（）

A.240种B.188种C.144种D.120种

【变式5-1】小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2

不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）

A.144B.72C.36D.24

【变式5-2］北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3

人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”.随

后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与

江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（）

A.144种B.204种C.156种D.240种

命题预测D

1.某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙

同学不站在正中间，不同的安排方法数有（）

A.24B.36C.40D.48

题型六：定序问题

【典例6-1］如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）

种.

【典例6-21满足x,eN*（i=l,2,3,4）,且W＜退＜匕＜1。的有序数组（玉，々，孙匕）共有（）个.

A.C；B.A；C.C*D.A：。

【变式6-1］已知%e{-2,0,2},（i=1,2,2eN*）,则满足冈+国+国++同=4的有序数组

（国,々,工3，--，王）共有（）个

A.2rT+2nB.2n2—2nC.-------D.rr—n

2

【变式6-2】六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园,

爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自

己家的小朋友的概率为（）

A.-B.—C.—D.—

63672108

1命题预测U

1.三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2,3,3,每枪只能打破一只球，而且规定只有打破

下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（）

题型七：多面手问题

【典例7-1】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现

要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种

C.74种D.92种

【典例7-2】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会

跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选

法.

A.675B.575C.512D.545

【变式7-11某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又

会法语，现从这n人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

（命题预测:]

1.有9名歌舞演员，其中7名会唱歌，5名会跳舞，从中选出2人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同

的选派方法有（）

A.19种B.26种C.32种D.72种

题型八：错位排列问题

【典例8-1]“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九

个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中

间空格已填数字5,且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大

到小排列的，则不同的填法种数为（）

5

A.72B.108C.144D.196

【典例8-2】编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只

有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

【变式8-1】将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每

盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

【变式8-2】将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子里，每个盒子放一

个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（）

A.20B.40C.120D.240

命题预测

1.元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则

四张贺卡不同的分配方式有（）

A.6种B.9种C.11种D.23种

题型九：涂色问题

【典例9-1】已知正四棱锥P-现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种

颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

【典例9-2］如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜

色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（）

【变式9-1］如图，对A,B,C,D,E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区

域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）

AB

E

CD

A.480种B.640种C.780种D.920种

【变式9-2】中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其

伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3,…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要

求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相

同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有

A.550种B.630种

C.720种D.840种

I命题预测ni

i.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.

古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.下图

是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木,

不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法

种数有（）

A*卜

韦

A.3125B.1000C.1040D.1020

题型十：分组与分配问题

【典例10-11某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一

个房间，则共有种不同的安排方法.（用数字作答）

【典例10-2］为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请A、B、C、D、E五位党的二十大代表分别到一中、

五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中A、8因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三

人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有种.

【变式10-1】在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若

每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有种.（用数字作答）

【变式10-2］将分别标有号码1~6的6个小球平均分为两组，贝标号为4的小球不是所在组标号最大的且

标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有种.

命题预测J

1.(〃+2》+3c+4d展开式共项.

题型十一：隔板法

【典例114】满足不等式|x|+|y|+|z|W5的有序整数组（x,y,z）的数目为（）

A.228B.229C.230D.231

【典例11-2】小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），

单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（）

A.70种B.165种C.280种D.1860种

【变式11-1］把分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分

得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（）

A.60B.36C.30D.12

【变式11-2】在空间直角坐标系。-孙z中，A（10,0,0）,B（0,10,0）,C（0,0,10）,则三棱锥。-内部整点

（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（）

A.B.C；C.C；oD.Cj

命题预测I

1.已知xeN*,yeN*,zeN*,则关于x,y,z的方程x+y+z=10共有（）组不同的解.

A.C；B.Cjc.GoD.C；。

题型十二：环排与多排问题

【典例12-1】甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（）

A.6种B.12种C.24种D.48种

【典例12-2］一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是

（）

A.6B.12C.18D.36

【变式12-11A,B,C,D,E,尸六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面

的椅子，B,C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）

A.60种B.48种C.30种D.24种

【变式12-2］现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨

一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（）

A.6种B.8种C.12种D.16种

命题预测

1.已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的

排列“乙丙甲''或“丙甲乙”是同一个排列.现有机位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60

种，那么这机位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（）

A.24B.48C.60D.120

题型十三：电路图模型

【典例13-1］如题图所示，要选择一条路径接通从A到2的电路，不同的接法共有（）.