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文档简介
专题20排列组合原理与二项式定理经典常考小题
目录
01考情透视•目标导航.................................................2
02知识导图•思维引航.................................................3
03知识梳理•方法技巧................................................4
04真题研析•精准预测................................................6
05核心精讲•题型突破................................................8
题型一:二项式定理之特定项'三项式问题8
题型二:二项式定理之系数和问题8
题型三:二项式定理之系数最值问题9
题型四:特殊优先与正难则反策略10
题型五:相邻问题与不相邻问题10
题型六:定序问题11
题型七:多面手问题12
题型八:错位排列问题13
题型九:涂色问题14
题型十:分组与分配问题15
题型—.隔板法16
题型十二:环排与多排问题17
题型十三:电路图模型17
重难点突破:机器人跳动、波浪数'卡特兰数模型19
差情;奏汨•日标旦祐
排列组合与二项式定理构成了高考数学中的一个重要考查领域,预计未来的考试形式仍将侧重于选择
题或填空题。这些题目将主要测试学生对基本概念和基本方法的掌握程度,难度水平预计会保持在中等偏
下,与教材内容保持一致。值得注意的是,这部分内容与日常生活紧密相连,考生可以关注一些常见的排
列组合实例,例如体育比赛的赛程安排、彩票中奖规则等,以此来培养运用数学知识解决实际问题的意识
和能力。
考点要求目标要求考题统计考情分析
2024年天津卷第11题,5分预计2025年高考数学
2024年甲卷第13题,5分将呈现以下新趋势:一方
掌握定理应用,提2023年北京卷第5题,4分
二项式定理面,小题形式将更为多样,
升解题技能。2023年天津卷第11题,5分
可能涵盖选择题或填空
2022年I卷第13题,5分
题,着重考查学生的数学
2021年浙江卷第13题,6分
抽象思维'数学建模能力、
逻辑推理能力以及数学运
算技巧,这些构成了数学
2024年II卷第14题,5分
四大核心素养。另一方面,
2023年乙卷第7题,5分
理解概念公式,培2023年II卷第3题,5分考试的热点内容可能会聚
排列组合
养解题能力。2023年I卷第13题,5分焦于应用二项式定理求解
2022年II卷第5题,5分系数相关问题,以及运用
2021年乙卷第6题,5分排列组合理论来解决实际
生活中的数学问题,体现
数学与生活的紧密联系。
匐2
知识导图•思维引航
二顼式定理
二项式定理二项展开式的通项
二顼式系数的性质
排列组合与二项式定理
排列的定义
排列组合
组合的定义
//40w
1、如图,在圆中,将圆分〃等份得到"个区域,M2,M3,,M和..2),现取左伏..2)种颜色对
这"个区域涂色,要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色,则涂色的方案有(-1)"(4-1)+(%-1)”种.
2、错位排列公式,=(£号+1)•加
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
(1)解题原则:排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现
在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即
优先排特殊元素或优先满足特殊位子,若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨
论.
4、定位、定元的排列问题,一般都是对某个或某些元素加以限制,被限制的元素通常称为特殊元素,
被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑:
(1)以元素为主考虑,这时,一般先解决特殊元素的排法问题,即先满足特殊元素,再安排其他元素;
(2)以位置为主考虑,这时,一般先解决特殊位置的排法问题,即先满足特殊位置,再考虑其他位置;
(3)用间接法解题,先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”,其模型为将”个不同元素排成一排,其中某上个元素排在相邻位
置上,求不同排法种数的方法是:先将这七个元素“捆绑在一起“,看成一个整体,当作一个元素同其他元素
一起排列,共有然二解种排法;然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列,共有履种排法.根据分步乘
法计数原理可知,符合条件的排法共有次二解•履种.
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”,其模型为将“个不同元素排成一排,其中某七个元素互不相邻
求不同排法种数的方法是:先将(〃-左)个元素排成一排,共有42种排法;然后把%个
元素插入〃-左+1个空隙中,共有或_1种排法.根据分步乘法计数原理可知,符合条件的排法共有
aM・筮什।种.
7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”:
(1)先分类,后分步:某些问题总体不好解决时,常常分成若干类,再由分类加法计数原理解决或分
成若干步,再由分步乘法计数原理解决.常常既要分类,又要分步,其原则是先分类,再分步.
(2)先特殊,后一般:解排列、组合问题时,常先考虑特殊情形(特殊元素,特殊位置等),再考虑
其他情形.
(3)先分组,后分配:对不同元素且较为复杂的平均分组问题,常常“先分组,再分配
(4)先组合,后排列:对于既要选又要排的排列组合综合问题,常常考虑先选再排.
8、求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式中的特定项问题,实质是考查通项=C/"方的特点,一般需要建立方程求厂,再将厂
的值代回通项求解,注意厂的取值范围(厂=Q12LM.
(1)第机项:此时r+l=〃2,直接代入通项;
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的事指数为0建立方程;
(3)有理项:令通项中“变元”的幕指数为整数建立方程.
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.
9、赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+6)",(ax?+6x+c/"(a,仇ceR)的式子求
其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+byy\a,beR)的式子求其展开式各
项系数之和,只需令x=y=l即可.
10、二项式系数最大项的确定方法
(1)若”是偶数,则中间一项(第幺+1项)的二项式系数最大;
2
(2)若,是奇数,则中间两项(第项与第“兽+1项)的二项式系数相等数最大.
22
(2024年北京高考数学真题)在卜-«)的展开式中,d的系数为(
B.-6C.12D.-12
(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)的展开式中,各项系数中的最大值为
x23
(2024年天津高考数学真题)在的展开式中,常数项为
3V
4.(2024年新课标全国II卷数学真题)在如图的4x4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个
方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值
是.
11213140
12223342
13223343
15243444
5.(2023年天津高考数学真题)在[2尤的展开式中,尤2的系数为.
6.(2023年新课标全国I卷数学真题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这
8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作
答).
7.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星
期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()
A.120B.60C.30D.20
8.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读
的课外读物中恰有1种相同的选法共有()
A.30种B.60种C.120种D.240种
9.(2023年新课标全国II卷数学真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽
样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和
200名学生,则不同的抽样结果共有().
A.C:3C盛种B.C:1C乳种
c.C禽.C鼠种D.C^c队种
10.(2022年新高考全国II卷数学真题)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站
在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有()
A.12种B.24种C.36种D.48种
11.(2022年新高考浙江数学高考真题)已知多项式(%+2)(%-1)4=〃0+。11+。2/+。3X3+〃4/+。5%5,贝U
,Q]+%+〃3+〃4+〃5=.
12.(2022年新高考全国I卷数学真题)卜尤+>)8的展开式中/I的系数为(用数字作
答).
题型一:二项式定理之特定项、三项式问题
【典例1-1】02-%+1)(》+1)5的展开式中,犬的系数为()
A.-55B.1C.5D.11
【典例1-2】『靠了)的展开式中炉的系数为()
6,
A.—6B.—C.6D.-
55
【变式1-1](x+y-l)8的展开式中,含孙4的项的系数为()
A.240B.-280C.560D.360
【变式1・2]在(1+次》了的展开式中,系数为整数的项数是()
A.9B.4C.3D.2
命题预测
1.的展开式中,6■的系数为()
A.60B.-60C.120D.-120
题型二:二项式定理之系数和问题
242024
【典例2-1](多选题)若(1+2X)2。=/+%尤+出炉++a2024x,则下列正确的是()
A.a。=2024B./+%++。2024=32024
C.%-q+%一“3++〃2。24=1D.q_2%+3q__2024^2024=_2024
9
【典例2-2】(多选题)已知(2x-5)9=a。+〃1(%-2)+。2(%一2)2+。3(]-2)3+.+tz9(x—2),则下列结论成立
的是()
A.+Q]++Cig—1B.2*a。+2’%+2‘%+6/++4=256
C.%—Qj+a2—%+—为=3。D.q+24+3/++9%=18
【变式2.1】(多选题)已知(4—3x)7=%+乌(1—3x)+%(l—3x)2++%(1—3x)7,则()
7
A.g=945B.=47-1
i=i
C.a。+a2+%+4=2"+2‘D.%+的+%+%=2‘—2^
9
【变式2-2](多选题)已知(2%+〃)9=/+%(%+1)+%(%+1)2++a9(x+l),若%=2则()
39-1
A.a=3B.%+%+/+4+〃8=———
C.?=84D.a。+2%+3a2+4/++10%—7x
命题预测
1.(多选题)若(%+2+加)9=%+%(%+1)+/(%+1)2+••,+%(%+1)9,日.
(%+%■!---1■/)—(%+/■1---1"%)=3。,则实数加的值可以是()
A.-5B.-3C.1D.5
题型三:二项式定理之系数最值问题
【典例3-1】在二项式。-2无丫的展开式中,系数最大的一项为.
【典例3-2】在(1-幻2。24的展开式中系数最大的项是第项.
【变式3-1]在]X-/:的二项展开式中,系数最小的项为.
【变式3-2】在(1-2x)8的展开式中系数最大的项为.
1命题预测T
1.已知(1+2%)6的二项展开式中,二项式系数最大的项为0,系数最大的项为4则,=
题型四:特殊优先与正难则反策略
【典例4-1】在学校运动会期间,学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到A,8,C三个比赛场地做比赛安全
指导工作,且每个场地至少安排一人,则甲不安排在C场地,乙安排在A场地的不同安排方法种数为()
A.7B.10C.12D.24
【典例4-2】在某次太空游行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中A,3两道程序既不能放
在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有()
A.18种B.36种C.72种D.108种
【变式4-1】从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任班长、团支书、学习委员,则甲、乙至多有1人被
选中的不同选法有()
A.60种B.120种C.180种D.210种
【变式4-2]2024年春节放假安排:农历除夕至正月初六放假,共7天.某单位安排7位员工值班,每人值
班1天,每天安排1人.若甲不在除夕值班,乙不在正月初一值班,而且丙和甲在相邻的两天值班,则不
同的安排方案共有()
A.1440种B.1360种
C.1282种D.1128种
命题预测
二
1.某校举办中学生运动会,某班的甲,乙,丙,丁,戊5名同学分别报名参加跳远,跳高,铅球,跑步4个
项目,每名同学只能报1个项目,每个项目至少有1名同学报名,且甲不能参加跳远,则不同的报名方法共
有()
A.60种B.120种C.180种D.240种
题型五:相邻问题与不相邻问题
【典例5-1】我校田径队有十名队员,分别记为瓦凡为完成某训练任务,现将十名队
员分成甲、乙两队.其中将A,仇五人排成一行形成甲队,要求A与B相邻,C在。的左边,剩下的
五位同学排成一行形成乙队,要求尸与G不相邻,则不同的排列方法种数为()
A.432B.864C.1728D.2592
【典例5-2】春节是团圆的日子,为了烘托这一喜庆的气氛,某村组织了“村晚通过海选,现有6个自编
节目需要安排演出,为了更好地突出演出效果,对这6个节目的演出顺序有如下要求:“杂技节目”排在后三
位,“相声”与“小品”必须相继演出,则不同的演出方案有()
A.240种B.188种C.144种D.120种
【变式5-1】小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码,若两个2
不相邻,且1与4相邻,则可以设置的密码种数为()
A.144B.72C.36D.24
【变式5-2]北京时间2023年10月26日19时34分,神舟十六号航天员乘组(景海鹏,杜海潮,朱杨柱3
人)顺利打开“家门”,欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组(汤洪波,唐胜杰,江新林3人)人驻“天宫”.随
后,两个航天员乘组拍下“全家福”,共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念,唐胜杰与
江新林相邻,景海鹏不站最左边,汤洪波不站最右边,则不同的排法有()
A.144种B.204种C.156种D.240种
命题预测D
1.某班上有5名同学相约周末去公园拍照,这5名同学站成一排,其中甲、乙两名同学要求站在一起,丙
同学不站在正中间,不同的安排方法数有()
A.24B.36C.40D.48
题型六:定序问题
【典例6-1]如图,左车道有2辆汽车,右车道有3辆汽车等待合流,则合流结束时汽车通过顺序共有()
种.
【典例6-21满足x,eN*(i=l,2,3,4),且W<退<匕<1。的有序数组(玉,々,孙匕)共有()个.
A.C;B.A;C.C*D.A:。
【变式6-1]已知%e{-2,0,2},(i=1,2,2eN*),则满足冈+国+国++同=4的有序数组
(国,々,工3,--,王)共有()个
A.2rT+2nB.2n2—2nC.-------D.rr—n
2
【变式6-2】六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学,小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园,
爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧,每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自
己家的小朋友的概率为()
A.-B.—C.—D.—
63672108
1命题预测U
1.三根绳子上共挂有8只气球,绳子上的球数依次为2,3,3,每枪只能打破一只球,而且规定只有打破
下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是()
题型七:多面手问题
【典例7-1】某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会划右舷.现
要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()
A.56种B.68种
C.74种D.92种
【典例7-2】我校去年11月份,高二年级有10人参加了赴日本交流访问团,其中3人只会唱歌,2人只会
跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳舞,有()种不同的选
法.
A.675B.575C.512D.545
【变式7-11某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又
会法语,现从这n人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则共有()种不同的选法
A.225B.185C.145D.110
(命题预测:]
1.有9名歌舞演员,其中7名会唱歌,5名会跳舞,从中选出2人,并指派一人唱歌,另一个跳舞,则不同
的选派方法有()
A.19种B.26种C.32种D.72种
题型八:错位排列问题
【典例8-1]“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉,它的游戏规则很简单,将1到9这九
个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里,每个空格填一个数,且9个空格的数字各不相间,若中
间空格已填数字5,且只填第二行和第二列,并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大
到小排列的,则不同的填法种数为()
5
A.72B.108C.144D.196
【典例8-2】编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只
有两个人的编号与座位号一致的坐法有()
A.10种B.20种C.30种D.60种
【变式8-1】将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中,每
盒放一球,若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为()
A.90B.135C.270D.360
【变式8-2】将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子里,每个盒子放一
个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的方法总数是()
A.20B.40C.120D.240
命题预测
1.元旦来临之际,某寝室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则
四张贺卡不同的分配方式有()
A.6种B.9种C.11种D.23种
题型九:涂色问题
【典例9-1】已知正四棱锥P-现有五种颜色可供选择,要求给每个顶点涂色,每个顶点只涂一种
颜色,且同一条棱上的两个顶点不同色,则不同的涂色方法有()
A.240B.420C.336D.120
【典例9-2]如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜
色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有()
【变式9-1]如图,对A,B,C,D,E五块区域涂色,现有5种不同颜色的颜料可供选择,要求每块区
域涂一种颜色,且相邻区域(有公共边)所涂颜料的颜色不相同,则不同的涂色方法共有()
AB
E
CD
A.480种B.640种C.780种D.920种
【变式9-2】中国是世界上最早发明雨伞的国家,伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞,其
伞面被伞骨分成8个区域,每个区域分别印有数字1,2,3,…,8.现准备给该伞面的每个区域涂色,要
求每个区域涂一种颜色,相邻两个区域所涂颜色不能相同,对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相
同.若有6种不同颜色的颜料可供选择,则不同的涂色方案有
A.550种B.630种
C.720种D.840种
I命题预测ni
i.五行是华夏民族创造的哲学思想,多用于哲学、中医学和占卜方面,五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为,天下万物皆由五类元素组成,分别是金、木、水、火、土,彼此之间存在相生相克的关系.下图
是五行图,现有5种颜色可供选择给五“行”涂色,要求五行相生不能用同一种颜色(例如金生火,水生木,
不能同色),五行相克可以用同一种颜色(例如水克火,木克土,可以用同一种颜色),则不同的涂色方法
种数有()
A*卜
韦
A.3125B.1000C.1040D.1020
题型十:分组与分配问题
【典例10-11某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且甲和乙住同一
个房间,则共有种不同的安排方法.(用数字作答)
【典例10-2]为深入贯彻党的二十大精神,我市邀请A、B、C、D、E五位党的二十大代表分别到一中、
五中、铁中、蒙中做宣讲工作,每个学校至少一人参加.若其中A、8因只会汉语不能到蒙中宣讲,其余三
人蒙汉兼通,可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有种.
【变式10-1】在杭州亚运会比赛中,6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作,若
每项工作至少安排1人,每人必须参加且只能参加一项工作,则合适的安排方案共有种.(用数字作答)
【变式10-2]将分别标有号码1~6的6个小球平均分为两组,贝标号为4的小球不是所在组标号最大的且
标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有种.
命题预测J
1.(〃+2》+3c+4d展开式共项.
题型十一:隔板法
【典例114】满足不等式|x|+|y|+|z|W5的有序整数组(x,y,z)的数目为()
A.228B.229C.230D.231
【典例11-2】小明同学去文具店购买文具,现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择),
单价均为一元一本,小明只有8元钱且要求全部花完,则不同的选购方法共有()
A.70种B.165种C.280种D.1860种
【变式11-1]把分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,若分
得的卡片超过一张,则必须是连号,那么不同的分法种数为()
A.60B.36C.30D.12
【变式11-2】在空间直角坐标系。-孙z中,A(10,0,0),B(0,10,0),C(0,0,10),则三棱锥。-内部整点
(所有坐标均为整数的点,不包括边界上的点)的个数为()
A.B.C;C.C;oD.Cj
命题预测I
1.已知xeN*,yeN*,zeN*,则关于x,y,z的方程x+y+z=10共有()组不同的解.
A.C;B.Cjc.GoD.C;。
题型十二:环排与多排问题
【典例12-1】甲、乙等6人围成一圈,且甲、乙两人相邻,则不同的排法共有()
A.6种B.12种C.24种D.48种
【典例12-2]一对夫妻带着3个小孩和一个老人,手拉着手围成一圈跳舞,3个小孩均不相邻的站法种数是
()
A.6B.12C.18D.36
【变式12-11A,B,C,D,E,尸六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面
的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有()
A.60种B.48种C.30种D.24种
【变式12-2]现有一圆桌,周边有标号为1,2,3,4的四个座位,甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨
一个数学课题,每人只能坐一个座位,甲先选座位,且甲、乙不能相邻,则所有选座方法有()
A.6种B.8种C.12种D.16种
命题预测
1.已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时,其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的
排列“乙丙甲''或“丙甲乙”是同一个排列.现有机位同学,若站成一排,且甲同学在乙同学左边的站法共有60
种,那么这机位同学围成一个圆时,不同的站法总数为()
A.24B.48C.60D.120
题型十三:电路图模型
【典例13-1]如题图所示,要选择一条路径接通从A到2的电路,不同的接法共有().
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