利用基本不等式求最值（10题型+高分技法+限时提升练）解析版-2025年高考数学复习专练

重难点1-2利用基本不等式求最值

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向预测

基本示等式的应用在近三年的高考中一直是一个基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内

重要的考查点，主要集中在求最值和大小判断.容.2025年会继续以选择题和填空题的形式考查基

主要以选择题和填空题的形式出现，题目难度适本不等式的直接应用，重点在于"一正二定三相等"

中，考查学生对基本不等式的熟练掌握程度.的条件和变形技巧，题目可能会更加灵活.与解三

角形、圆锥曲线、导数等知识结合的综合题型也有

可能出现.

重难点题型解读

题型1直接法求最值题型6齐次化法蝮值

题型2配凑法求最值题型7构造痔式求最值

题型3消元法求最值0--利用基本不等式求最值----0题型8多次使用襁式求最值

题型4"1”的代换求最值题型9三角换元法求最值

题型5双换元法求最值题型10利用柯西不等式求最值

题型1直接法求最值

iU*

：条件和问题之间存在基本不等式的关系

；转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用"公式"求最值.

i

乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值.

1.（24-25高三上•吉林・期末）已知正数。涉满足4+〃=i,则出，的最大值为（）

A.1B.交C.gD.-

224

【答案】C

【解析】已知正数。力满足/+廿=1,则无£=L

22

当且仅当a=6=变时取等号.故选：C.

2

2.（24-25高三上•河南驻马店•月考）已知a,beR,且3。-6-2=0,贝U27"+）的最小值为（

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因为且3a—6—2=0,则3a—〃=2,

所以27"+}=33。+3-空2抄.3“=2月^=2序=6,

当且仅当33"=3»,即。=g,6=-1时取等号，

即27"+:的最小值为6.故选：C

13

3.（24-25高三上・吉林松原•期末）已知正数。涉满足士+；=1,则必的最小值为_____.

ab

【答案】12

【解析】因为1=工+?22、口,

所以而212,

ab\ab

13

当且仅当上=：即a=2,b=6时等号成立，所以必的最小值为12.

ab

故答案为：12.

4.已知正数x,y满足x+q=2,则上的最小值是

X

【答案】：

【解析】因为x,＞为正数，由基本不等式可得2=x+：»2木=1，所咤斗

当且仅当x=5即当IE时,等号成立,故'最小值为1

故答案为：（

题型2配凑法求最值

口0©6

将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.

配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。

利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;

(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

1.(24-25高三上・贵州・期中)丁+普的最小值为_____.

X+1

【答案】7

【解析】由题意得/+兽+-1=7,

x+1x+1V7x+1

当且仅当即1=3时，等号成立，

X+1

所以尤2+E的最小值为7.

X+1

故答案为：7

2.（24-25高三上•北京•月考）x+一；的值可以为（）

x-1

A.-8B.-9C.8D.9

【答案】B

2525I25

【解析】当%>1时，x+-----=x-l+------+1>2A/（X-1）X------+1=11,

x-1x-1Vx-1

25

当且仅当尤-1=-即x=6时取等号，

x-1

75?5I95

当时，x+--=x-1+—-+l=-（1-x+—-）+l<-2Mx-l）x—-+l=-9，

x—1x—11—xyx—1

当且仅当1-兀=」25土，即x=-4时取等号，

1-x

25

所以％+上一的取值范围为（F，-9£口1，+8）.故选：B.

x-1

3.（24-25高三上•天津河西•期中）已知机〉-2,n>l,且机+〃=3,则JM+2+J1的最大值为（）

A.6B.26C.272D.

【答案】C

【解析】由机>一2,n>\,可得机+2〉0,«-1>0

且机+〃=3,得4=加+2+几-1/2](加+2)(〃-1),

当且仅当加+2=〃—1,即根=0,〃=3时取等号，

因止匕dm+2+=7(^m+2+Vn^T)2="+2,(心+2)5-1)<,4+4=20,

所以Jm+2+[n—1的最大值为.故选:C.

o2

4.（24-25高三上・甘肃白银・期中）已知x>2y>0,则工+和+不的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】Qx>2y>0,x-2y>0,x+2y>0,

82=1[(x+2y)+(x-2y)]+82

x+H-------------------------1------------

x+2yx-2yx+2yx-2y

x-2y_2

x=3

2x-2y

当且仅当，即《1时等号成立.

x+2y_8y=—

2

2x+2y

Q2

所以"一；+E的最小值为6.故选：C-

题型3消元法求最值

J-----------------记-------------------------------------------------------1

iI00既0i

根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函

：数，然后转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.注意

所保留变量的取值范围.

41

135高三上・新疆・月考）已知厂厂则7的最大值为一.

【答案】1

414Z?+l46

【解析】由题意，--y=l（Z7>0）,即一=一,解得。=『一,

ababb+1

因为b>0,所以Z?+l>0,所以

4b4(Z?+1)—4〃1、1v4/心1、

a-b=---------b=―--3+l)+l=5-k(E

b+1

4

b+1

4

当且仅当—=6+l,即6=1时等号成立,

b+1

即。的最大值为1.

故答案为：1

2.（24-25高三上•重庆・月考）已知a,6eR+,S.ab+2a+b-3-0,则a+〃的最小值为（)

BY

AC.2A/5-3D.2瓜-3

-13

【答案】C

3—b

【解析】由"+2々+6—3=0得〃=------，

b+2

3-b5

即。+6=——+b=——+b-l=+9+2)-3>2A/5-3,

b+2b+2

当且仅当〃=百一1,〃=际一2取至lj等号，故选：C.

3.（24-25高三上•四川成都・期中）已知a,beR+,a+2b—2ab=0,则8Q+Z?的最小值是（）

Ln25-27

A.8A/2B.-C.—D.17

【答案】B

【解析】方法一：a+2b-2ab=0^a=^-[b>^-

2b-\\2,

3+6=8(2b—1)+882Z?-1117c2b—117/25

则8a+b=+b=8+------------\-----+->—+2J=——+4=——,

2b—12b-l2/?-l2--22\2b-1222

当且仅当言rt1,即八号时取等号•

方法二：a+2b—2ab=0=>—=1,

a2b

贝U8q+b=lx(8a+b)

b4a55

当且仅当丁/即""6二时取等号故选：B-

4.（24-25高三上•海南・月考）已知x>0,z>Q,且y»z-x,则）+期的最小值为（）

XZ

A.3B.5C.7D.8

【答案】B

■【解析】E因为、ry2、z—x,X>cO,所LLt以、i上y+—9%、>-z---x-+—9x=-z+——9x1,,

XZXZXZ

因为x>0,z>0,所以三+把一122<艮曲-1=5,所以2+史25,

XZVXzXZ

当且仅当”时取等号，所以上+目的最小值为5.故选：B.

Iz=3xxz

题型4"1"的代换求最值

1---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

i0❾白目

1、若已知条件中的“i”（常量可化为“1”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相

;乘模型），则实施“1”代换，配凑和或积为常数.

II

:模型1：已知正数羽y满足ox+Z?y=1,求——F—的最小值。（〃>0,/?>0,根>0,〃>0）

%y

ii

1

?模型2：已知正数满足色+―=1,求初的最小值。（〃>0力>0,根>0,〃>0）

%y

ii

2、常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：

II

（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；

（2）把确定的定值（常数）变形为1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

ii

；（4）利用基本不等式求解最值.

,12

1.（24-25局三上•安徽•月考）已知尤>0,y>0,2尤+y=2,则一+一的最小值为（）

xy

A.4B.2C.72D.1

【答案】A

【解析】由条件可知无+弓=1，

所以?;=(1+；卜+.=l+l+4；"+2^f=4,

当且仅当x=；,y=l时取等号.故选：A.

2.（24-25高三上•陕西西安•期末）已知正数。/满足2«+6=皿，则a+2）的最小值为（）

A-1B-i

【答案】B

12

【解析】由勿+〃=2"，得一+7=2,

ab

则Q+2〃=」12=

—+—(Q+2Z?)~x

2ab

3

当且仅当〃=b=：时，等号成立.故选：B

41

3.（24-25高三上•河北唐山•期末）已知则;一+一的最小值为__________

1-xx

【答案】9

【解析】因为所以1-尤＞0,

41

----1--

1—xx

当且仅当：产A,x=」1—X，即苫=|:时不等式取等号,

1-xx3

故答案为：9.

4.(24-25高三上•山东济宁・期末)若a〉O>b,且a-b=2,则一二的最小值为()

a+1b

24

A.—B.-C.3D.4

33

【答案】B

【解析】因为a>0>6,所以—b>0,

因为a—6=2,则a+l+(—b)=3,即9+审=1,

11=1।1』1।1]力:「11上研J\(询J

a+1~ba+1(-Z?)[a+1(-Z>)_|[a+1(-Z?)_||_33]33(询3(a+l)3

>2I4+1,（询2=4

—p（-fe）3（a+l）33;

13

当且仅当。+1=-6,即。=7,8=一大时，等号成立,

22

11„4

此时一不的取小值为；，故选：B.

a+1b3

题型5双换元法求最值

双换元法是"1"的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况.

具体操作如下：如分母为3a+4）与a+3〃，分子为a+2A,

设a+2〃=2（3。+4Z?）++3Z?）=（32+〃）a+（4丸+3〃）〃

A=-

32+//=15

⑷+3〃=2'解得：

2

另外，当形式比较复杂时，也可以考虑使用换元法进行化简.

21

L已知正实数D满足x+”2且…〉。，则中+二的最小值为一

【答案】三

x+3y=m2x+2y=m+n<4

【解析】设

x-y=nm>0,n>0

212144、m+nm+n3nm、3+20

-----1----——l——---12------1-----=-i---1--->------

x+3yx-ymn2m4n2m4〃42m4n4

当且仅当会三且研34,即-高=484,m,40时等号成立.

故答案为：甲

2.（24-25高一上•重庆•期中）若正实数x,>满足（3x-2）3+8（y-l）3=4-3x-2y,则"+?+不的最小值

是.

【答案】4

【解析】设加=3x—2,〃=2(y—1),则加+〃3=_(相+〃)，即(加+〃)(加之一加〃+/+1)=。，

若m+〃wO,贝！J相2+〃2=根〃-1>o,而加+〃2之2的I，仅当机=九时等号成立，

所以=显然与加2之1矛盾，所以加+〃=0,

加+2n

由上x=——=—+1,由x,y>0,BPm+2>0,n+2=2-m>0,贝!］一2<机<2,

所以2x+)+宜=2(〃z+2)+3(〃+2)+2(切+2)2=2(〃?+2)+3(2-⑼+2(〃z+2)2

rxy-32(〃?+2)3(〃+2)-32(m+2)3(2-m)

8(m+2),3(2一m)、cl8(m+2)3(2-m)〃

3(2-m)2(根+2)\3(2-m)2(根+2)

当且仅当4(机+2)=3(2-m)时等号成立，

oo4又

所以加=一*,n==,即x=?,y时，目标式最小值为4.

7777

故答案为：4

xy12

3.（24-25高三上•江苏・月考）对于任意的x>0,y>°,万田+豆仔丐"一9『恒成立'则”的最大

值为（）

3

A.-B.—1C.1D.3

7

【答案】D

x1_>_1S1、1

［解析］设根="田=；7药，”一正方一3rle(，),则加=产£,

/十一1-17〃+2

xy

7n2+H+1(7a+2『-3(7〃+2)+9

所以=m+n=--------

2x+3y3x+y7〃+27(7«+2)

2—一j/S.9

77(7zi+2)7^77(7M+2)77

7〃+291

当且仅当=7（7“+2），即〃=］时等号成立,

i23

所以gp/M2-2m-3=(m-3)(m+l)<0,解得-1W%W3,

即机的最大值为3,故选：D.

4.（24-25高三上•江西南昌・月考）设实数羽y满足/_3孙-49=1,则/+4产的最小值为（）

【答案】C

【解析】因为炉-3孙-4y2=1,所以(x-4y)(x+y)=l,

m+4n

c.x-

“\x-4y=m5

令­,所以，

x+y=nn-m

y匚匚…”9(m+4nVYn-m^m1+8mn+16n24m2-Smn+4n'

因为沏=1,所以兀2+4：/=-----+4----=--------------+-------------

I5JI5J2525

5m2+20〃22+4〃24mn4

=---------=-m-------3----———

25555

m=V2m=一&

当且仅当根=2〃，即<V2或'6时等号成立，

n=--n=----

[22

4

所以/+4产的最小值为:故选：C.

题型6齐次化法求最值

GO©0

适用于能构造成分式，且分式上下为齐次式的题型，构造齐次式后则可进行下面的操作

Ax2BxyCy2

c+c+c

Ax2+Bxy+Cy2X2x2X2

Dx2+Exy+Fy2Dx2ExyFy1

2+2­+2

XXX

再进行换元则题目变成分式类型，按照单变量分式类型计算即可.

1.(24-25高三上•河南・月考)已知。>6>0,则的最小值为______.

ab-b

【答案】272+2

a

a2+b2_庐

【解析】令?所以f-l>0,

ab-b2qb

b'

贝l]a2+'=£±1=(I)”="I)+2«T)+2=(1)+2+222/(/-I).-+2=2忘+2,

ab—b1t—1t—1t-1t—1v/—1

当且仅当1=3即仁行+1,>0+1时取等号―

所以“”,的最小值为2a+2.

ab-b

故答案为：2夜+2.

3xx

2.（24-25高三上・江苏苏州•期中）已知实数九>y>。，则二+-----r的最小值为（）

y孙一y

A.12B.9C.6D.3

【答案】B

y

X

设"---1,x>y>0,故”0,

y

2+*3«+i）+（+l）=4”+522口^+5=9,

yxy-y2ttVt

11

当且仅当47=1,即f时，等号成立.故选：B

t2

3.（24-25高三上・甘肃白银・月考）已知羽y为正实数，则2工+丁16旦的最小值为—

x2x+y

【答案】8夜-4

2y16x_2y16

【解析】x2x+yx2+-f令号=’>°’

x

2y1616_/八16.i---------------

所以％2+12+，I）2+t>2J2（r+2）-^—-4=8V2-4,

x

当且仅当f=2应-2取等号.

所以』+丁工的最小值为80-4.

x2x+y

故答案为：85/2-4

4.⑵-24高三下・湖北・一模）已知正实数满足2〃+3人=2'则17M的最大值为

【答案】上

【解析】因为2。+36=2,

ababab1

所以-q2+26+4-/+0(2。+3b)+(2。+36>3a2+Ub2+Uab包+曲十四.又a>0力>0,

ba

所以当+3a12bc

922.------------12,

baba

42

当且仅当"/行时’等号成立'

ab的最大值为当.

则

—a2+2b+4

故答案为：上

题型7构造不等式求最值

当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"

和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值.

1.（24-25高三上•广东广州•月考）若>0,且a6=2a+b+4,则必的取值范围是（）

A.（4,8+46]B.（4,16]C.[8+4点+8）D.[16,”）

【答案】C

【解析】因为a>0,b>0,ab=2a+b+4,则ab22d2ab+4,

当且仅当2a=b时，等号成立，即（痣）2-2也疝-420,

解得+娓或M也-布（舍），解得a6N8+46,故选：C.

14....

2.(24-25高三上•浙江杭州•期末)已知x+y=—+—+8(尤,y>0),则的最小值为()

xy

A.5若B.9C.4+726D.10

【答案】B

1414

【解析】由％+»=—+—+8(%,>>0),得x+y-8=—+一,

x-yxy

则(1+'_8)(%+/)=(!+巧］(%+')=2+如+522/—•—+5=9,

y)%y'%y

y4x

当且仅当上=一，即y=2x时等号成立，

令尤+y=，＞0,贝1|《7-8）29,解得（舍去）或

则x+yN9,当且仅当x=3,y=6时等号成立，

即的最小值为9.故选：B.

3.(23-24高三下•湖北•一模)已知实数*，y满足3/+3冲+/=3,则2x+y最大值为()

A.2B.3C.6D.72

【答案】A

【解析】解法(1)：由3Y+3町+尸=3?3:|/+%=3,

令尤+5=85。,]=^/§8[11。，即x=cosq-Vising,y=2A/3sin6,

r.2x+y=2cose42,即2尤+y最大值为2；

解法(2)：(2x+y)2=4—+4孙+/=3+x?+肛=3+x(x+y)?3(2苫；一,

当且仅当％=彳+九即y=O,Y=l时取等号，

(2xy)24,22xy2,即2元+y最大值为2,故选：A.

4.（24-25高三上•广东湛江・月考）已知正数a,b满足（。+4-4="（3。+36—2）,贝Ua+b的取值范围

为（）

C.D.(强2]

【答案】D

【解析】因为(。+城=。3+63+3必S+6),故原题干等式可转化为a3+b3+2ab=4,

得(a+b)[(a+b)~-3ab]+2"b=4,

设a+6=s,贝!]5(52-3ab^+2ab=4,解得.6=；,

3-4

因为a>0,b>0,s=a+b>0,所以ab=-S------>0,

3s-2

解得s>在或0<5<1,又因为浦彳审j=%2,

1.41(s—2)($2+4s+8)2

所以整理得————；一^<0,解得—<s42,

3s-244(35-2)3

当且仅当。=6=1时，等号成立.

因此次<s42，即返<a+642,所以a+6的取值范围是（班,2］故选：D.

题型8多次使用不等式求最值

运1

同一式子中若使用多次基本不等式，需满足以下两个条件：（1）不等号的方向己知；（2）取等条件一致.，

i

1.（24-25高三上•湖南长沙・月考）已知x,y,a>0,且x+至+<28恒成立，则。的取值范围是________.

xxy

【答案】［4,内）

【解析】由x,y,o>o,

故X+曳+《0+2、但/=x+但“、=

xxyyxxyx\x

当且仅当"=且、x=—,即x=2后，y=W时，等号成立，

xxyx2

4-yJa>8,即a24,则。的取值范围是［4,+00）.

故答案为：［4,+8）.

_21

2.（24-25高三上•福建宁德・月考）已知正数a,b,c满足c<l,a+b=4,则益+反（-）的最小值

为.

【答案】2

【解析】由题意知—=；,当c=；时取等号，

2124a+b4191<19^|\(\9\

故——+—；---->——+—=----+—=——+——=——+—=-—+—\(a+

ab—c)abblabb2a2b2\ab)b)

=1[10+-+^>||10+2J-x^|=2,当b=3a=3时取等号,

8VabJ81^Vab

121

综上，当a=l,b=3,c=5时，益+至西的最小值为2.

故答案为：2

则竺出£+__的最小值

3.（23-24高三上.江苏南京・月考）设正实数b,c满足〃+c=#,且。>-1,

bea+1

为.

【答案】2应-2

,左刀4*LY+2。1。之+21

【解析】-------+----=a---------+------，

bea+1bea+1

由于<2,6,C是正实数，且b+c=#,

r-riuc2+2c2c1（b+c）2c1Z?2+2bc+c2

所以-----=-+—=-+---——।---------------------

bebbeb3beb3be

cb2c4cb2、c242c

=—+—+—+—=——+—+—>2H—=—I—=2，

b3c33b3b3c3333

当且仅当?g即U所以底平时等号成立'

则三「2上+2的最小值为2,

be

所以"+2"+」一N2a+一一=2（°+1）+———2>2./2（a+l）-—1—-2=272-2,

bea+\。+1a+1VQ+l

当且仅当2伍+1）=士，即。=/_1时等号成立，

贝U竺工+J_最小值为2邑2.

bea+1

故答案为：2&-2.

eR+，满足Hc=l,则8加+嗔也的最小值为（

4.（24-25高一上•辽宁沈阳•月考）Ya,b,

bea+l

A.6B.8C.16\/2—8D.—1

【答案】C

Sab2+a妙&U但+）a8Z?+（b+c）2

【解析】

bebeycbe）cbe

当且仅当9二b=c7，即c=3A,所以b=1c=J3时等号成立，

cb44

^ab2+a16、八16々八16八八L八16八（―

------------1-------28aH--------=8（a+l）-i----------822j8（o+l）x--------8=16v2—8，

bea+1a+1a+1Va+1

当且仅当8（a+l）=」%，即a=0-1时等号成立，

所以凶笆出+也的最小值为16&-8.故选：C.

bea+1

题型9三角换元法求最值

—

适用于双变量不等式能构造平方和形式的题型.利用cos2e+sin2e=l进行换元.

x=cos0

例如x2+3y2=1nJ+（y/3y）2=1n

6y=sin0

\x+y=y[6cos0

x2+2xy+3y2=6=>（x+y）2+（y[2y）2=6n

[A/2^=^6sin0

1.（24-25高三上•江苏盐城•期中）若实数无，y满足/+9/=1,则x+3y的最小值为（）

A.1B.-1C.72D.一应

【答案】D

【解析】由题设，令X=cos由3y=sin6且6e[0,2兀）,

所以x+3y=cose+sine=0sin（e+；