排列组合十七大题型-2024年高考数学重难点题型突破（新高考）

重难点49排列组合十七大题型汇总

anil

题型1相邻与不相邻..............................................................1

题型2特殊位置特殊元素优先排...................................................4

题型3分组分配..................................................................8

题型4课表问题.................................................................11

题型5相对顺序不变.............................................................16

题型6染色问题.................................................................18

题型7立体几何染色.............................................................23

题型8球放盒子（不同元素）....................................................27

题型9下电梯...................................................................30

题型10公交车..................................................................33

题型11数字问题................................................................36

题型12相同元素隔板法..........................................................39

题型13空车位..................................................................41

题型14最短路线问题............................................................45

题型15走楼梯..................................................................49

题型16高低站位................................................................52

题型17配对问题................................................................57

题型1相邻与不相邻

邪尊重点

相邻和不相邻排列：

1.相邻问题采取“捆绑法"；

2.不相邻问题采取“插空法”；

【例题1】（2023上•辽宁丹东•高三校联考阶段练习）三个家庭的3位妈妈带着2名女宝和

2名男宝共7人踏春，在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相

邻照顾孩子；2名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相

邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共有（）

A.192种B.288种C.144种D.96种

【答案】D

【分析】利用捆绑法和插空法进行求解.

【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有A掾种排法；

第二步：将2名女宝"捆绑"在一起，共有A乡种排法；

第三步：将"捆绑"在一起的2名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个

插入，有A芥中排法；

第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个

男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有黑©种排法.

二不同的排法种数有：AlAiAkki=96种.

故选：D

【变式1-U1.（2023上・安徽合肥•高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间,

甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，

则不同的排法种数有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

【答案】B

【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.

【详解】甲与乙相邻有A乡种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，

有A信种不同的排法，

再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有Q种不同的排法，

所以共有AlA&Cg=7200种不同的排法.

故选：B.

【变式1-1】2.（2023・全国•高三专题练习）从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，

这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有

好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（）

A—B—C—D—

30151520

【答案】C

【分析】n个元素圆桌环形排列的所有情况为A\匕将需要相邻的元素捆绑，环形排列，还

要注意捆绑的两个元素内部也有顺序.

【详解】由题意可知，几个元素圆桌环形排列的所有情况为Ak七故所有的情况数是A,=120

种，

同一班级的两名同学恰好排在一起相邻而坐的情况数为：首先三个班的两名同学捆绑，形成

新的三个元素，环排共有A^=2种，

又每个班两名同学可以排序，则有A乡•Ai-Ai-=16种，同一班级的两名同学恰好被安排

在一起相邻而坐的概率为含=看

故选：C.

【变式1-1】3.（多选）（2024•全国•高三专题练习）（多选题）下列人员的坐法种数为24

的是（）

A.4把椅子排成一排，4人随机就座

B.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻

C.4人均不坐在写着自己名字的座位上

D.4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻

【答案】AB

【分析】根据排列组合知识逐项分析即可.

【详解】A项中，4把椅子排成一排，4人随机就座的坐法种数为A2=24,故A正确；

B项中，利用“插空法"，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不

相邻的坐法种数为A：=4X3X2=24,故B正确；

C项中，第一个人有3种选择，然后第一个人坐的座位名字对应的人也有3种选择，剩余

两人只有1种选择，所以共有9种坐法，故C错误；

D项中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻的坐法种数为A必掾

=12,故D错误.

故选：AB.

【变式1-1】4.（2023•全国•高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四

个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先

选座位，目甲、乙不能相邻，则所有选座方法有种.（用数字作答）

【答案】8

【分析】先安排甲，有乙种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有属种

方法，最后根据分步乘法计数原理可得所求结果.

【详解】先按排甲，其选座方法有心种，由于甲、乙不能相邻，

二乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有用种，

二共有坐法种数为盘•/=4x2=8种.

【反思】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决

这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组

后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时

必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题

题型2特殊位置特殊元素优先排

II

芈塾量点

元素有特殊要求，位置有特殊限制的类型，一般情况下，可以直接思维，也可以间接思维

"正难则反"直接思维，可以从元素出发，特殊元素优先排，也可以从位置出发，特殊位置

优先坐.

【例题2]（2023•全国•高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名

男司机，2名女司机，到A,B,C,D,E这五个不同地区执行任务，要求A地只能派男司机,

E地只能派女司机，则不同的方案种数是（）

A.360B.720C.1080D.2160

【答案】D

【分析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排.

【详解】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有

CVB种方法，

第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去4地，派一名女司机去E地，共有种方

法，

第三步，剩下3名司机随机去B,C,。三地，共有A环中方法，

故不同方案种数为理•Ci-C3'C2-A1=2160,

故选：D

【变式2-1】1.（2023上•江苏镇江•高三江苏省扬中高级中学校考阶段练习）国家鼓励中

小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能

积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1

名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一

个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为

【答案】I

【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的

种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有A2=24种，

其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有©-Ai=4种，

由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙

进书法社团或摄影社团的概率为P=考=3

故答案为：I

【变式2-1】2.（2023•全国•高三专题练习）有4位同学在同一天的上、下午参加"身高

与体重"、"立定跳远"、"肺活量"、"握力"、"台阶"五个项目的测试，每位同学上、下

午各测试一个项目，目不重复.若上午不测"握力"项目，下午不测"台阶"项目，其余项

目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有种（用数字作答）.

【答案】264

【分析】先分别用甲、乙、丙、丁代表四个同学；用1,2,3,4,5代表这5个项目.根据

题意，先确定上午的不同安排方式；再结合题意，不妨设上午的安排是：甲1,乙2,丙3,

丁5;讨论：丁下午测试4,丁下午不测试4两种情况，分别求出不同的安排方法，进而可

求出结果.

【详解】分别用甲、乙、丙、丁代表四个同学；用1,2,3,4,5代表这5个项目.

由条件，上午的安排是1,2,3,5的排列，共有At种；

由于每位同学上午、下午各测试1个项目，且不重复，故下午的安排是1,2,3,4的排列,

但不允许出现某同学上午、下午测试同一项目的情况.

不妨设上午的安排是：甲1,乙2,丙3,T5;

(1)若丁下午测试4,则甲乙丙测试的项目可以为：2,3,1;3,1,2;共2种；

(2)当丁下午不测试4,则丁有©种选择，需从甲乙丙中选择1人测试4,则有©种选择;

剩下两人只有1种选择；

故下午不同的安排方式有2+Cid=11种；

所以，共有A£•(2+9)=264种不同的安排方式.

故答案为：264.

【变式2-1】3.(2023•全国•高三专题练习)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天

实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，

其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时

在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种

【答案】14

【分析】按照同个元素(甲)分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.

【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，

剩下两人去剩下两个舱位，

则有xA§=3x2=6种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，

剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可,

则有6x以=2x4=8种可能;

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.

故答案为：14

【变式2-1】4.（2023•全国模拟预测）中秋节假期间，某医院要安排某科室的2名男职

工和2名女职工进行3天值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，目

每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有种（用数字作答）.

【答案】120

【分析】分类讨论白班是否有男职工，结合分步乘法计算原理运算求解.

【详解】若白班无男职工，则不同的安排方法共有BA名=36（种）.

若白班有男职工，则值白班的不同的安排方法共有禺Ag=12（种），

①当值白班的男职工不值晚班时，则值晚班不同的安排方法共有1种；

②当值白班的男职工也值晚班时，则值晚班不同的安排方法共有C,A名=6（种），

则不同的安排方法共有12x（1+6）=84（种）.

综上，不同的安排方法共有36+84=120（种）.

故答案为:120

【点睛】注意不要重复计算.

题型3分组分配

【例题3】（2023上•重庆•高三重庆市育才中学校联考阶段练习）加强学生心理健康工作已

经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专

家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两

名学生，则不同的安排方法共有（）种

A.90B.125C.180D.243

【答案】A

【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.

【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，

要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，

则把五位同学分3组，目三组人数为2、2、1,然后分配给3位专家，

所以不同的安排方法共有珠沪-Ai=90种.

故选：A.

【变式3-1]1.（2023上•内蒙古包头•高三统考开学考试）将3名优秀教师分配到2个不

同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教

师，则不同的分配方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案】D

【分析】先将3名教师分组，然后再分配即可.

【详解】将3名教师分组，有4C1种方法，

再分配到2个不同的学校得=6,即不同的分配方案共有6种.

故选：D.

【变式3-1]2.（2023•福建福州福建省福州第一中学校考三模）厦门市博物馆由厦门博物

馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、

陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆

区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有

（）

A.22种B.20种C.12种D.10种

【答案】A

【分析】分为郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个和两个，两种情况分开求解即可得出答

案.

【详解】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：de以名=10X2=20种，

若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：ClAi=2=2种，

故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有20+2=22种

方案.

故选：A.

【变式3-1】3.（2023上•云南昆明•高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）现将6本

不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍4分发给了甲，则不同的分发

方式种数是.（用数字作答）

【答案】180

【分析】按甲乙丙3人各分得书籍本数分类即可，注意平均分与不平均分情况.

【详解】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.

则3人书籍本数分为1,1,4;1,2,3;2,2,2三大类情况.

第一类1,1,4情况：

若甲分1本，已分得书籍4则另两人一人1本，1人4本，共有C&A开中,

若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有c^A名种，

故第一类情况共有或A5+CiA^=30种；

第二类1,2,3情况：

若甲分1本，已分得书籍力，另两人一人2本，1人3本，共有程A开中，

若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有或以A湃中，

若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有程程A乡种，

故第二类情况共有程A9+C5C4A2+C5C3A2=120种；

第三类2,2,2情况：

每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有盘盘=30种；

所以不同的分发方式种数共30+120+30=180.

故答案为：180

【变式3-1]4.（2023上•全国•高三专题练习）第13届冬残奥会于2022年3月13日在

北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿

者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有种.

【答案】180

【分析】由排列、组合及分步计数原理求解即可.

【详解】从3名女生中选1人，5名男生选2人，再把3人分配给3个项目，

所以不同的安排方案有程玛A,=180种.

故答案为：180.

题型4课表问题

排课表，是属于多重限制条件下的“特殊元素优先排"模型，综合运用：

1.元素相邻的排列问题——"捆邦法"；

2.元素相间的排列问题——“插空法"；；

3.元素有［II研限制的排列问题——"除序法"；j

4.带有"含"与"不含""至多""至少"的排列组合问题一一间接法.

【例题4】（2023上•四川成都・高三石室中学校考阶段练习）2025年四川省新高考将实行

3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有

12种选课模式.假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰

有四科相同的概率是（）

A.白B.T77C.~D.白

DO1ZDIN

【答案】B

【分析】先得到两人所选六科的情况数，再分两种情况，求出所选六科中恰有四科相同的情

况数，计算出概率.

【详解】两人所选六科的情况共有de：-del=144种情况，

由于语文数学英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况，

第一，物理历史有一科相同，政治地理化学生物不相同，

先得到小明选课情况数，即6盘=12种情况，则小芳的选择也就确定了，

故此时共有©谓=12种情况，

第二，物理历史不相同，政治地理化学生物有一科相同，

先得到小明选课情况数，即d盘=12种情况，则小芳从小明选择的四选二科目中选择一个，

再从小明没有选择的四选二科目中选择一个，故有配配=4种情况，

故此时共有deNdd=48种情况,

故们所选六科中恰有四科相同的概率是p=3爰=a

故选：B

【变式4-1】1.（2020下•福建•高三统考阶段练习）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.

面对"突发灾难"，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增

援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担"逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者

团队开展“爰心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3

名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，

每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为

【答案】1

【解析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其

中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.

【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，

每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；

则有任房=6x6=36种情况，

若甲辅导数学，有髭/+乙/=12种情况，

则数学学科恰好由甲辅导的概率为

故答案为：

【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题.

【变式4-1】2.（2020・四川成都•树德中学校考二模）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、

数"合称"六艺"."礼",主要指德育；"乐”,主要指美育；"射"和"御"，就是体育和

劳动；"书"，指各种历史文化知识；"数'，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座

活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求："数"必须排在第三节,

且"射"和"御"两门课程相邻排课，则"六艺"课程讲座不同的排课顺序共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】C

【解析】根据"数"排在第三节，则"射"和"御"两门课程相邻有3类排法，再考虑两

者的顺序，有得=2种，剩余的3门全排列，即可求解.

【详解】由题意，"数"排在第三节，则"射"和"御"两门课程相邻时,可排在第1节

和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有照=2种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有题=6种，

所以"六艺"课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种不同的排法.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列

有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

【变式4-1】3.（2018・浙江温州•统考一模）学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六

门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、

生物最多上一节，则不同的功课安排有种情况.

【答案】336

【分析】可分类，一类是语文数学都排上午，另一类是语文数学上下午各排一门.

【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：

①，语文和数学都安排在上午，

此时语文和数学的安排方法有2种，在剩下的4门课中任选3门，安排在下午，有题种情

况，则此时有2x掰=48种安排方法；

②，语文和数学分别安排上午和下午,

若语文在上午，有3种安排方法，数学在下午，有2种安排方法，在剩下的4门课中任选3

门，安排在其他时间，有用种情况，

则语文在上午、数学在下午的安排方法有3x2x凰=144种，

同理：数学在上午，语文在下午的安排方法也有144种，

则不同的安排方法有48+144+144=336种；

故答案为:336种；

【点睛】本题考查排列与组合的综合应用.对特殊元素的位置优先安排，利用分类加法计数

原理求解.

【变式4-1】4.（2022上•广西贵港•高三统考阶段练习）在新的高考改革方案中规定：每

位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、

地理、政治）选2的模式设置的，则在选考的科目中甲、乙两位同学恰有两科相同的概率

为

【答案】］

【分析】先计算出甲、乙两位同学选考的总数，再分两种情况求出甲、乙两位同学恰有两科

相同的总数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】由题意得出甲、乙两位同学选考的总数为d*xd*=144种，

若相同的科目为4选2的科目，从4科中选2科，有品种选择，

则2选1两人选择不同，由A湃中选择，共有C汰乡=12种；

若相同的科目为2选1和4选2中的各1个，从4科中先选出1科相同的，有以种选择，

甲乙再分别从剩余3科中选择1个不同的，有A,种选择，再从2选1中选择一科相同的，

有©种选择，共有以A专&=48种，

所以所求概率为*

故答案为：卷.

题型5相对顺序不变

用定序问题的方法进行解决

【例题5】（2022诃南郑州统考模拟预测）某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音

乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行演出.要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的

演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后.那么不同的演出顺序种数有（）

A.240种B.480种C.540种D.720种

【答案】A

【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.

【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有或=4种，再把5个节目排列

且满足舞蹈在前、小品在后，

有壬=60,总共有4x60=240种.

故选：A.

【变式5-1]1.（2023•海南•海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）某展示柜共有32个不

同的手办摆件，起初上层放14个手办摆件，下层放18个手办摆件，现要从下层的18个手

办摆件中抽2个调整到上层，若其他手办摆件的相对顺序不变，则不同的调整方法有（）

A.18360种B.24480种C.36720种D.73440种

【答案】C

【分析】先求从下层的18个手办摆件中抽2个的方法数，再求将抽取的两个手办摆件按要

求放入上层的方法数，结合分步乘法计数原理求总的方法数.

【详解】从下层的18个手办摆件中抽2个调整到上层，且保持其他手办摆件的相对顺序不

变，

可分为两步完成：

第一步：从下层的18个手办摆件中抽2个，有C%=153种方法，

第二步：将抽取的两个手办摆件依次放入上层，有两种方式，

第一种方式：两个手办摆件不相邻，则有A^=210种方法，

第二种方式：两个手办摆件相邻，则有15A9=30种方法，

由分步乘法计数原理可得，满足条件的调整方法共有153X240=36720种方法.

故选：C.

【变式5-1】2.（2024上•湖南常德•高三常德市一中校考阶段练习）毕业十周年校友们重

返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右边，且不与乙相邻,

则不同的站法共有（）

A.66种B.60种C.36种D.24种

【答案】C

【分析】利用插空法和平均分配法结合求出结果.

【详解】先排甲、乙外的3人，有屋种排法，再插入甲、乙两人，有A斛方法，共有A"

AN种方法，

又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占士故所求不同和站法有/达彳=36（种）.

故选：C.

【变式5-1]3.（2022•全国•高三专题练习）在一张节目表上原有6个节目，如果保持这

些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法

【答案】504

【分析】分三类方法排进去即可：①三个节目连排；②三个节目互不相邻；③有且仅有两个

节目连排.

【详解】添加的三个节目有三类方法排进去：

①三个节目连排，有GA,种方法；

②三个节目互不相邻，有的种方法；

③有且仅有两个节目连排，有cM毡名种方法.

根据分类计数原理共有&A号+A,+©A毡合=504种，

故答案为：504.

【变式5-1】4.（2021上•宁夏银川•高三银川一中校考阶段练习）有12名同学合影，站成

了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序

不变，则不同调整方法的种数是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先从后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保证前排人顺序不变可用倍缩法,

再由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】解：从后排8人中抽2人有品种方法；

将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有学种，

A4

由分步乘法计数原理可得：共有祗噌=28x6x5=840种，

故选：C.

题型6染色问题

染色问题，要从"颜色用了几种"，”地图有没有公用区域”方向考虑:

1.用了几种颜色.如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤

2.尽量先从公共相邻区域开始.所以要观察“地图"是否可以"拓扑"转化比如，以下这俩

图，就是"拓扑"一致的结构

【例题6】(2022•浙江传真海中学校联考模拟预测)给图中A,B,C,D,E,F六个区域进

行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有

()种不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

【答案】A

【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中4B、C、D、民F六个区域进行染

色，最少需要3种颜色，即4F同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种

数；也可以4种颜色全部用上，即4艮BD,CE三组中有一组不同色，同样利用排列组合知

识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和.

【详解】解：要完成给图中人B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，

第一类是仅用三种颜色染色,

即4F同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有甫=4种取法，三种颜色染三

个区域有“=6种染法，共4X6=24种染法；

第二类是用四种颜色染色，即力F,BD,CE中有一组不同色，则有3种方案（4F不同色或BD

不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有用=12种染法，剩余两种染在不

同色区有2种染法，共有3义12x2=72种染法.

由分类加法原理得总的染色种数为24+72=96种.

故选：A.

【变式6-1】1.（2021・浙江•模拟预测）在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体

细胞.已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细

胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁四种不同的试剂对人员C、

以艮F这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C

细胞染色，则共有种不同的染色方法（用数字作答）.

Vi1r;

【答案】90.

【分析】先考虑C细胞的染色试剂没有限制的条件下相邻的细胞不能用同种试剂染色的方

法种数，然后考虑用甲试剂对c细胞染色且相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，

将两种方法种数作差即可得解.

【详解】不考虑甲试剂不能对c细胞染色，

若c、E细胞的染色试剂相同，共有4X3X2X2=48种方法，

若C、E细胞的染色试剂不同，共有4x3x2x（1+2）=72种方法,

共120种方法.

现考虑甲试剂对C细胞染色，

若C、E细胞的染色试剂相同，共有3X2X2=12种方法，

若C、E细胞的染色试剂不同，共有3x2x(2+1)=18,

共30种方法.

所以，符合条件的染色方法有120-30=90种.

故答案为：90.

【点睛】求解染色问题一般直接用两个计算原理求解，通常的作法是，按区域的不同以区域

为主分布计数，用分布乘法原理进行求解.

【变式6-1】2.(2020・上海•高三专题练习)如图，用6种不同颜色对图中A,B,C,D

四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同

区域，则不同的染色方案有种.

【答案】480

【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算

可得；

【详解】解：依题意，首先染A区域有6种选择，再染B区域有5种选择，第三步染C区

域有4种选择，第四步染D区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有

6x5x4x4=480种方法

故答案为：480

【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题.

【变式6-1】3.（2020上•黑龙江牡丹江•高三牡丹江一中校考期末）给图中A,B,C,D,

E,F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，目相邻的区域不同色.若有4种颜色可供

选择，则共有种不同的染色方案.

【答案】96

【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中人B、C、D、E、F六个区域进行染

色，最少需要3种颜色，即4F同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种

数；也可以4种颜色全部用上，即4F,BD,CE三组中有一组不同色，同样利用排列组合知

识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和.

【详解】解：要完成给图中4B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第

一类是仅用三种颜色染色，

即4F同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有=4种取法，三种颜色染三

个区域有“=6种染法，共4X6=24种染法；

第二类是用四种颜色染色，即4%BD,CE中有一组不同色，则有3种方案（4F不同色或BD

不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有题=12种染法，剩余两种染在不

同色区有2种染法，共有3x12x2=72种染法.

由分类加法原理得总的染色种数为24+72=96种.

故答案为：96.

【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的

两区域不能染相同的颜色，属于中档题.

【变式6-1]4.（2021•陕西西安•校考模拟预测）用5种不同颜色给图中5个车站的候车

牌（E,A,B,C,D）染色，要求相邻的两个车站间的候车牌不同色，有（）种染色方法

【答案】D

【分析】根据4B、C、E用三种颜色、四种颜色、五种颜色分三类，结合分类计算原

理、排列的定义进行求解即可.（相间区域法）

【详解】力、B、C、D、E用三种颜色涂色，则有鹰题=60种方式;

4、B、C、D、E用四种颜色涂色，则有2c狙=240种方式；

4、B、C、D、E用五种颜色涂色，则有虐=120种方式，

所以一共有60+240+120=420种方式.

故选：D.

题型7立体几何染色

【例题7】（2023•全国•高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜

色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种

数为（）

s

【答案】B

【分析】按照S-力TBTC—D的顺序进行染色，按照A,C是否同色分类，结合分类加法、

分步乘法计算即可.

【详解】按照SrarBrCTD的顺序进行染色，按照A,C是否同色分类：

第一类，A,C同色，由分步计数原理有5x4x3x1x3=180种不同的染色方法；

第二类，A,C不同色，由分步计数原理有5x4x3x2x2=240种不同的染色方法；

根据分类加法计数原理，共有180+240=420种不同的染色方法.

故选：B.

【变式7-1】1.（2021上•福建泉州•高三校考阶段练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑

奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,

并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）

A.180B.240C.420D.480

【答案】C

【分析】分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用

乘法原理可求解.

【详解】分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法

原理可求解，由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同，它们共有

5x4x3=60种染色方法；

当S4B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种

染法；若C染4,则D可染3或5,有2种染法；若C染5,则D可染3或4,有2种染法,

即当S,A,B染好时，C,D还有7种染法.

故不同的染色方法有60x7=420种.

故选：C

【变式7-1】2.（2022下•上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试）某校数学兴趣小组给一

个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的"四色问题"：要求

相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可以选择，则不同的染色方案有

种.

【答案】72

【分析】分别求解选用4种颜色和3种颜色，不同的染色方案，综合即可得答案.

【详解】由题知，

若选择4种颜色，前后侧面或左右侧面用1种颜色，其他3个面，用3种颜色，

所以有2A£=48种；

若选择3种颜色，则前后侧面用1种颜色，左右侧面用1种颜色，底面不同色,

所以有M=24种，

综上，不同的染色方案有24+48=72种.

故答案为：72.

【变式7-1】3.(2021上广东•高三校联考开学考试)四色定理(Fourcolortheorem)

又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里

(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是"任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边

界的国家看上不同的颜色."四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电

子计算机证明了四色定理.现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的

侧面和下底面染色，提出如下的"四色问题"：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4

种颜色可供选择，则不同的染色方案有()

A.18种B.36种C.48种D.72种

【答案】D

【分析】涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色

的涂色方案,再利用分步乘法原理计算各类的方法数,并结合分类加法原理求出总的方法数.

【详解】涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色

的涂色方案，只使用3种颜色的涂色方案有4X3X2种，使用4种颜色的涂色方案

4X3X2X2种，所以不同的染色方案有4x3x2x(2+1)=72种.故选D.

【变式7-1】4.(2023•全国•高三专题练习)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使

同一条棱的两个端点异色.如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多

少？

【答案】420

【分析】顶点S,A,B所染颜色互不相同，共有Ag=60种染色方法，再考虑C与A同色

与异色两种情况讨论，计算得到答案.

【详解】四棱锥S-4BCD的顶点S,A,B所染颜色互不相同，则共有Ag=60种染色方法.

当S,A,B已染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3.

下面分C与A同色与异色两种情况讨论：

若C染颜色2,则D可染颜色3,4,5之一，有3种染法；

若C染颜色4,则D可染颜色3或5,有2种染法；

若C染颜色5,则D可染颜色3或4,有2种染法.

可见，当S,A,B已染好时，C与D还有7种染法.

从而总的染色方法数为60x7=420.

题型8球放盒子（不同元素）

#占

"球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子"，放了几个球.同一盒子放多个球时"只选不排"

注意分类套路不遗漏

【例题8】（2022•全国•高三专题练习）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、

2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的

编号相同，则不同的放法种数为（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【分析】根据题意和简单计数问题，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】在6个盒子中任选2个，放入与其编号相同的小球，有骁=15种，

剩下的4个盒子的编号与放入的小球编号不同,

假设这4个盒子的编号为3,4,5,6,

则3号小球可以放进4,5,6号盒子，有3种选法，

剩下的3个小球放进剩下的3个盒子，有3种选法，

所以不同的放法种数为15x3x3=135种选法.

故选：B.

【变式8-1】1.（2023上•贵州•高三凯里一中校联考开学考试）将4个不同的小球平均放

入2个不同的盒子中，有多少种不同的放法？（）

A.6B.12C.3D.16

【答案】A

【分析】根据平均分组的方法即可得到答案.

【详解】由题意根据先分组再排列知共有誓•A5=6种，

故选：A.

【变式8-1】2.（2023・全国•高三专题练习）将标号为1、2、3、4、5的五个小球放入三个

不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）

A.150B,300C.60D.90

【答案】A

【详解】将五个小球分为三组，每组小球的数目可以是3、1、1或2、2、1,然后将三组小

球分配给三个盒子，利用分步计数原理可求得结果.

将五个小球分为三组，每组小球的数目可以是3、1、1或2、2、1,

分组方法种数为野+等=25,

然后将三组小球分配给三个盒子，由分步计数原理可知，不同的放法种数为25A,=150种.

故选A.

【变式8-1】3.（2023•全国•高三专题练习）6本不同的书（6个不同的小球）分成4组

（放入4个相同盒子，每盒不空），有多少种不同的分法？

【答案】65

【详解】先将不同小球分为4组，有3+1+1+1型（片种方法）,2+2+1+1型（竽种

方法），共氏+竽=65种分组方法，再将4组小球分配到4个盒子.由于盒子相同，故都

只有1种方案，故共有65种分法，即有65种不同的分法.

【变式8-1】4.（2020•浙江杭州•学军中学校考模拟预测）将5个不同的小球全部放入编

号为1,2,3,4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有

种不同的放法.

【答案】535

【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举

出来，由总球数为5,以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法

【详解】四个盒子放球的个数如下

1号盒子：｛0,1｝

2号盒子：｛0,1,2）

3号盒子：｛0,1,2,3）

4号盒子：｛0,1,2,3,4）

结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法

5=1+4:3玛种

5=2+3:4髭种

5=1+1+3:6cge养中

5=1+2+2:6髭鬣种

5=1+1+1+2:3C〈K肝中

■•.5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种

故答案为：535

【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算

题型9下电梯

【例题9】（2023•浙江•统考二模）甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人

从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概

率是（）

【答案】C

【分析】分别求出总的基本事件个数和甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的基本事件个

数，再用古典概型概率计算公式求解即可.

【详解】记事件"A=甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8"

由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，

则事件包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，

共有2+2+1=5种不同下法，

所以事件4的概率为：P⑷=割

故选：C.