2025年中考数学一轮知识梳理难点与易错点03 方程与不等式中的参数问题（6大题型）解析版

难点与易错点03方程与不等式中的参数问题（6大题型）

题型一：分式方程的增根问题

题型二：分式方程的无解问题

题型三：分式方程的特殊解问题

题型四：一元二次方程根的情况判断

题型五：一元二次方程根与系数关系

题型六：不等式组的整数解问题

题型一：分式方程的增根问题

增根问题的解题关键

分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一

个可能使分母为零的整式.

【中考母题学方法】

1m

【典例1】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程1（m为常数）有增根，则增根

x44x

是．

【答案】x4

【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．

1m

【详解】∵关于x的分式方程1（m为常数）有增根，

x44x

∴x40，

解得x4，

故答案为：x4．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．

x2k

【变式1-1】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为

x1x1

【答案】3

【知识点】根据分式方程解的情况求值

【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相关字母的值．

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．

【详解】解：去分母得：xk2，

分式方程有增根，

x10，

解得：x1，

把x1代入整式方程得：k3．

故答案为：3．

【变式1-2】难点分情况讨论x的值,使方程两边同乘的整式为零

3ax4

（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于x的方程：有增根，则a．

x3x29x3

【答案】6或8

【知识点】根据分式方程解的情况求值

【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程

有增根，可得到x3x30，然后代入整式方程，即可求解．

【详解】解∶方程两边同乘以x3x3，得3x3ax4x3，

整理得a1x21，

∵原方程有增根，

∴x3x30，

∴x3，

当x3时，3a121，解得a6；

当x3时，3a121，解得a8；

∴a的值为6或8，

故答案为：6或8．

【中考模拟即学即练】

xm2

1．（2024·云南·模拟预测）若关于x的分式方程2有增根，则m的值为

x3x3

【答案】3

【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值

【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根x3代入即可求出m的值．

【详解】解：去分母得x2x3m2，

xm2

∵关于x的分式方程2有增根，

x3x3

∴x30，即增根x3，

2

把增根x3代入x2x3m得3m2，

解得m3，

故答案为：3．

x1a

2．（2023·四川成都·二模）若关于x的分式方程2有增根，则a的值是（）

x1x1

A．2B．1C．0D．1

【答案】A

a1

【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到x是解题的关键．先解分式方

3

a1a1

程得到x，再根据分式方程有增根得到1，解方程即可得到答案．

33

x1a

【详解】解：2

x1x1

去分母得：x1a2x1，

去括号得：x1a2x2，

移项得：x2xa21，

合并同类项得：3xa1，

a1

系数化为1得：x，

3

∵分式方程有增根，

∴x10，即x=1，

a1

∴1，

3

∴a2，

故选A．

3．（2024·宁夏银川·三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：

x31

2

x22x

解：去分母，得x32x21…………第一步

去括号，得x32x41…………第二步

移项、合并同类项，得3x8…………第三步

8

解得x…………第四步

3

8

经检验：x是原分式方程的解…………第五步

3

(1)上面的解题过程从第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是______．

(2)上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述）

(3)请你帮这个同学正确解答这个分式方程．

【答案】(1)一，去分母时忘记符号（负号）

(2)满足整式方程，使最简公分母为0的解，即为分式方程的增根

(3)见详解

【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法是

解题的关键．

（1）根据去分母的方法即可判定；

（2）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解；

（3）运用解分式方程的方法即可求解．

x31

【详解】（1）解：2，

x22x

去分母得，x32x21，

∴第一步开始出错，出错的原因是去分母时忘记符号（负号）；

故答案为：一，去分母时忘记符号（负号）；

（2）解：增根：满足整式方程，使最简公分母为0的解，即为分式方程的增根；

x31

（3）解：2，

x22x

去分母得，x32x21，

去括号得，x32x41，

移项得，x2x134

合并同类项得，3x6，

系数化为1得，，

检验，当时�，=原2分式方程的分母x20，

∴原分式方�=程2无解．

题型二：分式方程的无解问题

无解问题的解题关键

分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形①原方程化去分母

后的整式方程无解;②原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为0.它是原方程

的增根,从而原方程无解.

【中考母题学方法】

3kx1

【典例2】（2024·四川达州·中考真题）若关于x的方程1无解，则k的值为．

x2x2

【答案】1或2

【知识点】分式方程无解问题

6

【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到x，再根据分式方程无解得到k10

k1

6

或2，解关于k的方程即可得到答案．

k1

3kx1

【详解】解：1

x2x2

去分母得：3kx1x2，

6

解得：x，

k1

3kx1

∵关于x的方程1无解，

x2x2

6

∴当k10或2时，分式方程无解，

k1

解得：k1或k2（经检验是原方程的解），

3kx1

即k1或k2，1无解．

x2x2

故答案为：1或2．

【变式2-1】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论

mxm2

（2024·山东菏泽·三模）若关于x的分式方程1无解，则m．

x2x2

【答案】1或2

【知识点】分式方程无解问题

【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化

为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解．

mxm2

【详解】解：1

x2x2

mxm2x2

m1xm

当m10时，即m1时，原分式方程无解；

m

当m1时，x

m1

∵原分式方程无解

m

∴2

m1

解得m2

综上，m1或m2

故答案为：1或2．

【变式2-2】易错点去分母后未知数的系数含参,需分类讨论

xa

（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的方程a无解，则a的值为．

x22x

【答案】1或2

【知识点】分式方程无解问题

【分析】此题考查了分式方程的无解问题，先整理方程得到a1xa，分a10和a10两种情况，

分别进行求解即可．

xa

【详解】解：a

x22x

去分母得：xaax2，

整理得：a1xa，

当a10时，方程无解，故a1；

a

当a10时，x2时，分式方程无解，

a1

则a2，

xa

∴关于x的方程a无解，则a的值为：1或2．

x22x

故答案为：1或2．

【中考模拟即学即练】

a2

1．（2024·贵州黔东南·一模）若关于x的分式方程1无解，则a的值为（）

x1x1

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【知识点】分式方程无解问题

【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的x的值，代入整式

方程求出a的值即可．

【详解】解：方程去分母，得：ax12，

∵方程无解，

∴整式方程无解或方程有增根，

∴x10，

∴x1，

把x1代入ax12，得：a112，

∴a2；

故选D．

xkk

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程1无解，则k的值为．

x14

【答案】1或0

【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据

分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解

分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件．

xkk

【详解】解：1，

x14

∴4xkkx14x1，

∴kx5k4，

5k4

∴x，

k

xkk

∵关于x的分式方程1无解，

x14

∴x10，

5k4

解得：x1，即1，

k

∴5k4k或k0，

解得：k1或k0，

故答案为：1或0．

a1x

3．（2024·江苏宿迁·二模）若关于x的分式方程3无解，则a的取值是．

x22x

【答案】1

【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．先把分式方程化

为整式方程，解出整式方程，再根据分式方程无解，可得到关于a的方程，即可求解．

【详解】解：去分母，得ax13x2，

5a

解得x，

2

∵分式方程无解，

∴x20，

∴x2，

5a

∴2，

2

∴a1，

故答案为：1．

xx1abx

4．（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于x的方程无实数根，求代数式

x1xx2x

8a+4b+|8a+4b-5|的值．

【答案】5

【分析】先将分式方程通分去分母化成整式方程，再根据方程无实数解得出关于含a、b的整式的取值范围，

再据此作答即可求解．

xx1abx

【详解】将化简得：2x2(2b)x1a0，

x1xx2x

∵原分式方程无实数根，

∴(2b)242(1a)＜0，即b24b8a4＜0，

∴4b8a＜4b24，

∴4b8a5＜0，

∴8a4b8a4b58a4b[5(8a4b)]5．

【点睛】本题考查了将分式方程化为一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况得到方程判别式的符号

以此来求解代数式值的知识，注重整体代入是解答本题的关键．

x2a

5．（2022·广西梧州·一模）已知关于x的分式方程2无解．

x1x1

(1)求a的值；

3

(2)先化简，后求值：（a1）(1)．

a2

【答案】(1)a=-1

(2)-a-2；－1

x2ax2a

【分析】（1）先求出分式方程2的解，再根据关于x的分式方程2无解，即可求

x1x1x1x1

得a的值；

（2）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，即可将题目中的式子化简，然后将（1）中的a的值代

入化简后的式子计算即可．

x2a

【详解】（1）由方程2得：

x1x1

x2a2(x1)，

xa，

∵此分式方程无解，

∴此分式方程有增根x1，

∴1a即a1；

3a2

（2）原式＝（a1）()，

a2a2

a2

＝（a1），

1a

＝a2，

∵由（1）a1，

∴原式＝(1)21．

【点睛】本题考查分式的化简求值、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．

题型三：分式方程的特殊解问题

特殊解问题的解题思路

分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据

解为特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零。

【中考母题学方法】

2m

【典例3】（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（）

x1x1

A．m3B．m3且m2

C．m3D．m3且m2

【答案】B

【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解

的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．

【详解】解：方程两边同时乘以x1得，2x1m，

解得xm3，

2m

∵分式方程1的解为正数，

x1x1

∴m30，

∴m3，

又∵x1，

即m31，

∴m2，

∴m的取值范围为m3且m2，

故选：B．

1m

【变式3-1】．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程0的解是负数，那么实数m

xx1

的取值范围是（）

A．m1且m0B．m1C．m1D．m1且m1

【答案】A

【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的

解是负数得到m10，并结合分式方程的解满足最简公分母不为0，求出m的取值范围即可，熟练掌握解

分式方程的步骤是解题的关键．

【详解】解：方程两边同时乘以xx1得，x1mx0，

1

解得x，

m1

∵分式方程的解是负数，

∴m10，

∴m1，

又∵xx10，

∴x10，

1

∴1，

m1

∴m0，

∴m1且m0，

故选：A．

【变式3-2】．（2024·甘肃金昌·三模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有1，2，3，0，1，2，3，

k1

现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为k的值能使关于x的分式方程2的解为正数，且

x1

3k

使反比例函数y图象过第一、三象限的概率为．

x

【答案】2

7

【难度】0.65

【知识点】根据概率公式计算概率、已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题主要考查了简单概率计算、解分式方程以及反比例函数的图象与性质，求出使分式方程有正

k1k1

数解的情况是解决本题的关键．依据题意，由关于x的分式方程的解为正数，从而x0且x0，

22

故可得k的范围；再由反比例函数图象过第一、三象限，进而可以求出k的可能值，然后由概率公式进行计

算即可获得答案．

k1k1

【详解】解：∵分式方程2的解为x，是正数，

x12

k1k1

∴x0且x1，

22

解得k1且k1，

3k

∵反比例函数y图象过第一、三象限，

x

∴3k0，解得k3，

∴1k3且k1，

∴在数字1，2，3，0，1，2，3中，满足条件的k的值有0，2，任意抽取一张卡片，其上面的数字符

2

合题意的概率为P．

7

故答案为：2．

7

k1

【变式3-3】．（2023·四川成都·模拟预测）使关于x的分式方程2的解为非负数，且使反比例函数

x1

3k

y的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数k的和．

x

【答案】1

【难度】0.65

【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根

据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出k的取值范围，进而求出整数k的值．

k1k1

【详解】解：解2，得：x，

x12

k1

∵式方程2的解为非负数，且x10，

x1

k1k1

∴0，且1，

22

∴k1且k1，

3k

∵反比例函数y的图象经过一，三象限，

x

∴3k0，

∴k3，

∴满足条件的整数k为：1,0,2，

∴1021；

故答案为：1．

2kx374k

【变式3-4】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程的方程恰好有一个实数解，求k的

x1x2xx

值及方程的解．

7921178

【答案】k0,x或k，x；k或x4或k2，x或k，x

3434447

【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据分式方程解的情况求值、公式法解一元二次方程

【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k0，为一元二次方程，即k0，

分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为0方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若0，

则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可(能为1或0．)

2

【详解】解：两边同乘x2x,得2kx34kx4k70，

7

若k0，3x70，x，

3

2

若k0，由题意，知34k8k4k70，

91

解得k，k，

1424

921

当k时，xx，当k时，xx4，

141232412

若方程有两不等实根，则其中一个为增根，

1

当x1时，k2，x2，

14

78

当x0时，k，x=．

1427

【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程

的特点及题目的条件分类讨论．

【变式3-5】．（2022·四川成都·一模）在VABC中，AB6，AC4，AD是BC边上的中线，记ADm且m

mx11

为正整数．则m使关于x的分式方程4有正整数解的概率为．

3xx3

2

【答案】

3

【难度】0.4

【知识点】根据概率公式计算概率、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据分式方程解的情况求值

【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=4，在△ABE中，根据三边

关系可知AB-BE<AE<AB+BE，代入求出m的取值范围，解分式方程得到有正整数解时m的值有2个，再利

用概率公式求解．

【详解】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，

AD=DE

ADC=EDB

DC=BD

∴△ADC≌△EDB(SAS)

∴AC=BE=4，

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，

∴6-4<2AD<6+4，

∴1<AD<5，

即1<m<5，

∴m=2，3，4，

mx11

解分式方程4

3xx3

12

∴x=-

m4

∵x为正整数，

∴m-4<0，

∴m＜4，

∴m=2，3，

mx112

∴m使关于x的分式方程4有正整数解的概率为．

3xx33

【点睛】本题考查了概率公式、解分式方程、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

mx

1．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程3的解为非负数，则m的取值范围是．

x11x

【答案】m3且m1

【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集、解分式方程

mx

【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程3的解为

x11x

m3m3m3

x，再根据题意列出不等式知0且1，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关

222

键．

mx

【详解】解：3

x11x

m3x1x

m3x3x

m3

∴x，

2

m3m3

由题意可知0且1，

22

解得m3且m1，

故答案为：m3且m1．

a3

2．（2024·四川宜宾·二模）若分式方程1的解为负数，则a的取值范围是．

x2x2

【答案】a1且a3

【难度】0.65

【知识点】根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方

程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．

a3

【详解】解：1，

x2x2

分式方程去分母得：ax23，

∴xa1，

根据分式方程解为负数，得到a10，且a12，

解得：a1且a3，

故答案为：a1且a3．

a10x

3．（23-24九年级下·四川成都·期中）若正整数a使得关于x的分式方程2有正整数解，那么

x4x4

符合条件的所有正整数a的个数有个．

【答案】4

【难度】0.65

【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式等知识，熟练掌握分式方程和不等式的解法是解

题关键．解分式方程，根据其解的条件求出a的取值范围，从而确定符合条件的a的个数．

a10x

【详解】解：解分式方程2，

x4x4

18a

可得x，

3

∵x为正整数，a为正整数，

18a

∴0且a0，解得0a18，

3

∵x40，

18a

∴x4，即有4，

3

∴a6，

∴a15，12，9，3，

∴符合条件的所有正整数a的个数有4个．

故答案为：4．

xm2m

4．（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范图是．

x11x

【答案】m2且m1

【难度】0.65

【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并

且注意分式方程增根的问题．

根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可．

xm2m

【详解】2，

x11x

去分母得：xm2m2x1，

解得：x2m，

方程的解为正数，且方程的增根为x10，

2m0，且2m1，

解得：m2，且m1，

故答案为：m2且m1．

xm

5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程=2-有一个正数解，则m的取值范

x-33-x

围．

【答案】m6且m3

【难度】0.65

【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集

【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的

关键．

xm

解分式方程得x6m，由关于x的方程=2-有一个正数解，可得6m0，且6m3，计算

x-33-x

求解，然后作答即可．

xm

【详解】解：=2-，

x-33-x

x2x6m，

解得，x6m，

xm

∵关于x的方程=2-有一个正数解，

x-33-x

∴6m0，且6m3，

解得，m6且m3，

故答案为：m6且m3．

xa0

ax

6．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的不等式组x3x1有解，且关于x的分式方程1的

1x11x

23

解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为

【答案】8

【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解

题的关键．先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数确定a

的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答．

xa0①

【详解】解：x3x1

1②

23

解不等式①得：xa，

解不等式②得：x5，

∵不等式组有解，

∴a5，

ax

1，

x11x

ax1x，

1a

解得：x，

2

∵分式方程的解为非负数，

1a1a

∴0且1，

22

∴a1且a1，

∴5a1且a1，

∴满足条件的整数a的值为：4,3,2,0,1，

∴满足条件的整数a的值的和为：432018，

故答案为：8

题型四：一元二次方程根的情况判断

判别式判断法

用一元二次方程根的判别式6-4ac与0的大小判断,其判别式用符号“Δ”表示若Δ>0,一元二次方程有

两个不相等的实数根:若Δ=0,一元二次方程有两个相等的实数根:若Δ<0,一元二次方程没有实数根.

【中考母题学方法】

【点例3】（2024·山东泰安·中考真题）关于x的一元二次方程2x23xk0有实数根，则实数k的取值范围

是（）

9999

A．kB．kC．kD．k

8888

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．

根据一元二次方程有实数根的条件是0，据此列不等式求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x23xk0有实数根，

29

∴Δ342k0，解得k．

8

故选B．

【变式3-1】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根．请

写出一个满足题意的k的值：．

【答案】0（答案不唯一）

【难度】0.85

【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数

2

【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程axbxc0a0的根与Δb24ac有如下关系：当Δ0

时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程无实数根．先根

2

据判别式的意义得到24k0，解不等式得到k的范围，然后在此范围内取一个值即可．

【详解】解∶∵一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根，

2

∴24k0，

解得k1，

∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根．

故答案为：0（答案不唯一）．

【变式3-2】难点结合根的情况求参数的范围

m

（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程1有解，且关于y的方程y22ym0有实数根，则m

3x

的范围是．

【答案】m≤1且m0

【难度】0.65

【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的

关键．

根据分式有意义的情况得到x3，化简分式后代入即可得到m的取值，再根据一元二次方程根的判别式求

解即可．

m

【详解】解：1，化简得：x3m，

3x

∵3x0，即x3，

∴3m3，解得：m0，

∵y22ym0有实数根，

2

∴Δb24ac241m0，

解得：m≤1，

∴综上m≤1且m0，

故答案为：m≤1且m0．

【变式3-3】难点根的情况与三角形的综合应用

（2024·广东广州·一模）关于x的方程x22cxa2b20有两个相等的实数根，若a,b,c是VABC的三边长，

则这个三角形一定是（）

A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程x22cxa2b20有两个

2

相等的实数根，可得2c4a2b20，整理得c2a2b2，根据勾股定理逆定理判断VABC的形状

即可．

【详解】解：∵关于x的方程x22cxa2b20有两个相等的实数根，

2

∴2c4a2b20，整理得c2a2b2，

∴VABC是直角三角形，

故选：B．

【变式3-4】．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线yx2xc（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值

范围是．

1

【答案】c

4

【难度】0.65

【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题主要考查了抛物线yax2bxc与x轴的交点问题，掌握抛物线yax2bxc与x轴没有交

点与x2xc0没有实数根是解题的关键．

由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．

【详解】解：∵抛物线yx2xc与x轴没有交点，

∴x2xc0没有实数根，

1

∴1241c14c0，c．

4

1

故答案为：c．

4

【中考模拟即学即练】

1．（2025·河南·模拟预测）若关于x的一元二次方程ax2x10有实数根，则a的取值范围是()

1111

A．a且a0B．aC．a且a0D．a

4444

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题考查了一元二次方程的定义、元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程的定义和判

2

别式的意义得到14a0且a0，即可求解．

2

【详解】解：由题意可得：Δb24ac14a0

1

解得：a且a0

4

故选：A．

2.（2024·四川达州·一模）对于实数a，b定义新运算：a※bab2b，若关于x的方程k※x1有两个不相等

的实数根，则k的取值范围（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据

一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可．

【详解】解：∵k※x1，a※bab2b，

∴kx2x1，

即kx2x10，

∵关于x的方程k※x1有两个不相等的实数根，

2

∴14k10，k0，

1

解得：k且k0，故C正确．

4

故选：C．

3．（2024·湖北随州·一模）定义：如果一元二次方程ax2bxc0a0满足ba1，那么称这个方程为“奇

妙方程”．已知ax2bx10a0是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为．

【答案】2

【难度】0.85

【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，先由新定义得到ba1，再由判别

2

式得到b24a0，则a14a0，解方程即可得到答案．

【详解】解：∵ax2bx10a0是“奇妙方程”，

∴ba1，

∵方程有两个相等的实数根，

∴b24a0，

2

∴a14a0，

解得：a1a21，

∴ba12．

故答案为：2．

11

2

4．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程xx20的两根分别为x1，x2，则的值为．

x1x2

1

【答案】/0.5

2

【难度】0.65

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

2

【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程axbxc0a0的两根分别为x1，

bc

x，则xx，xx，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

212a12a

11xx

12

先根据根与系数的关系得到x1x21，x1x22，然后把化简为然后整体代入即可．

x1x2x1x2

2

【详解】解：方程xx20的两根分别为x1，x2，

x1x21，x1x22，

11xx11

12．

x1x2x1x222

故答案为：1．

2

2

5.（2024·上海宝山·一模）若二次函数yxb4b1图像与一次函数yx5（1x5）只有一交

点，则b的取值范围为．