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难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题(5大热考题型)题型一:抛物线与动直线交点问题题型二:抛物线与动线段交点问题题型三:二次函数与线段问题题型四:二次函数与面积问题题型五:二次函数与角度问题题型一:抛物线与动直线交点问题将二次函数和一次函数表达式联立,得到一元二次方程,根据一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系来判断抛物线与直线的交点情况b2-4ac>0↔抛物线与直线有两个交点;b2-4ac=0↔抛物线与直线有一个交点:b2-4ac<0↔抛物线与直线没有交点【中考母题学方法】【典例1】(2024·河南开封·二模)已知二次函数的图象经过点和,与轴的另一个交点为,与轴交于点.(1)求二次函数的表达式及顶点坐标;(2)将二次函数的图象在点,之间的部分(包含点,)记为图象.已知直线:恒过点2,3,当直线与图象有两个公共点时,请直接写出的取值范围;(3)在第(2)题的条件下,取最大值时,将直线向下平移,交抛物线于点Px1,y1和点Qx2,y【中考模拟即学即练】1.(2024·江苏南京·三模)两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根,例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根.(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点,求取值范围.(2)已知二次函数(为常数).①设直线与抛物线有两个不同交点,求取值范围.②已知点,若抛物线与线段只有一个公共点,请直接写出的取值范围.2.(2024·江苏南通·一模)已知抛物线(m,n为常数,)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交点C,顶点为D,.(1)求的值;(2)如图,连接交于点,求证:;(3)设M是x轴下方抛物线上的动点(不与C重合),过点M作轴,交直线于点N.由线段长的不同取值,试探究符合条件的点M的个数.3.(2024·江苏无锡·一模)已知二次函数的图象交轴于,两点,交轴于点.一次函数的图象经过点,.(1)求二次函数的解析式;(2)若二次函数的图象与平行于轴的直线始终有两个交点,(点在点的左侧),为该抛物线上异于,的一点,点,的横坐标分别为,.当的值发生变化时,的度数是否也发生变化?若变化,请求出度数的范围;若不变,请说明理由;(3)过点的直线交直线于点,连接,当直线与直线的夹角等于的2倍时,求出点的坐标.4.(2024·广东广州·二模)已知二次函数的图象为抛物线C,一次函数的图象为直线l.(1)求抛物线C的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)若直线l与抛物线C有唯一交点,且该交点在x轴上,求k的值;(3)当时,直线l与x轴交于点A,与y轴交于点B,过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点,其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P,当为钝角三角形时,求m的取值范围.题型二:抛物线与动线段交点问题1.动线段在x轴上(点C在点D左侧)交点情况无交点有一个交点有两个交点图示满足条件动线段CD在点A左侧或在点B右侧点D(或点C)在AB之间点C在点A左侧且点D在点B右侧2.动线段在直线上(点C在点D上方)交点情况无交点有一个交点有两个交点图示满足条件点D在点A上方或点C在点B下方点D(或点C)在AB之间点C在点A上方且点D在点B下方3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧)交点情况无交点有一个交点有两个交点图示满足条件点C在点A下方或点C在点M上方点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方【中考母题学方法】【典例2】(2024·四川乐山·中考真题)在平面直角坐标系中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线(a为常数且)与y轴交于点A.(1)若,求抛物线的顶点坐标;(2)若线段(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求a的取值范围;(3)若抛物线与直线交于M、N两点,线段与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求a的取值范围.【中考模拟即学即练】1.(2024·云南文山·二模)已知抛物线(a,c为常数,)经过点,顶点为D.(1)当时,求该抛物线的顶点坐标;(2)将点向左平移4个单位得到点H,连接,若抛物线与线段恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.2.(2024·云南昆明·三模)平面直角坐标系中,抛物线与y轴交于点A.(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴;(2)已知点、,若线段与抛物线只有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.3.(2024·山东菏泽·一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线()与轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点,点在抛物线上.(1)求点的坐标(用含的式子表示).(2)当的纵坐标为3时,求的值;(3)已知点,,若抛物线与线段恰有一个公共点,请结合函数图象求出的取值范围.4.(2024·广西南宁·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线相交于,两点,点的坐标为,点的坐标为.

(1)求该抛物线的函数解析式.(2)为直线下方抛物线上的任意一点,连接,,求面积的最大值.(3)点在直线上,将线段沿着轴向上或向下平移,点和点的对应点分别为点和点,为使平移后的线段与抛物线只有一个公共点,设点的纵坐标为,求的取值范围.5.(2024·河北·模拟预测)如图,抛物线,M为抛物线的顶点,点P是直线上一动点,且点P的横坐标为m.(1)求点M的坐标(用含m的式子表示);(2)连接,当线段与抛物线L只有一个交点时,求m的取值范围;(3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”.若点.①求抛物线L的解析式,并判断抛物线上是否有“互反点”,若有,求出“互反点”的坐标.若没有,请说明理由;②若点为x轴上的动点,过Q作直线轴,将抛物线的图象记为,将沿直线翻折后的图象记为,当,两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时,直接写出n的取值范围.题型三:二次函数与线段问题第一步:设点坐标及坐标表示第二步:表示线段长第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解【中考母题学方法】【典例3】(2024·甘肃临夏·中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,作直线.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,点是线段上方的抛物线上一动点,过点作,垂足为,请问线段是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点的坐标;若不存在请说明理由.(3)如图2,点是直线上一动点,过点作线段(点在直线下方),已知,若线段与抛物线有交点,请直接写出点的横坐标的取值范围.【变式3-1】(2024·安徽·模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交轴于,两点,,为抛物线顶点.(1)求,的值;(2)点为直线下方抛物线上一点,过点作轴,垂足为点,交于点,是否存在?若存在,求出此时点坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,以为圆心,2为半径作圆,为圆上任一点,求的最小值.【变式3-2】(2024·四川宜宾·中考真题)如图,抛物线与x轴交于点和点B,与y轴交于点,其顶点为D.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)在y轴上是否存在一点M,使得的周长最小.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点E在以点为圆心,1为半径的上,连接,以为边在的下方作等边三角形,连接.求的取值范围.【变式3-3】(2024·湖南·中考真题)已知二次函数的图像经过点,点Px1,y1(1)求此二次函数的表达式;(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线的上方,过点P作轴于点C,交AB于点D,连接.若,求证的值为定值;(3)如图2,点P在第二象限,,若点M在直线上,且横坐标为,过点M作轴于点N,求线段长度的最大值.【中考模拟即学即练】1.(2024·山西太原·模拟预测)综合与探究如图1,二次函数的图象与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),与y轴交于点.点P是y轴左侧抛物线上的一个动点,设点P的横坐标为m,过点P作x轴的平行线交y轴于点D,交抛物线于另一点E.(1)求点A,B,C的坐标.(2)如图2,当点P在第二象限时,连接,交直线于点F.当时,求m的值.(3)当点P在第三象限时,以为边作正方形,当点C在正方形的边上时,直接写出点D的坐标.2.(2024·广东清远·模拟预测)如图,直线与x轴、y轴分别交于点B,A,抛物线经过点A,B,其顶点为C.(1)求抛物线的函数解析式;(2)求的面积;(3)点P为直线上方抛物线上的任意一点,过点P作轴交直线于点D,求线段的最大值及此时点P的坐标.3.(2024·湖北·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于和,点为线段上一点,过点作轴的平行线交抛物线于点,连结.

(1)求抛物线的解析式;(2)当为直角三角形时,求线段的长度;(3)在抛物线上是否存在这样的点,使得,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2024·湖北·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过,两点且与轴的正半轴交于点.(1)求的值及抛物线的解析式.(2)如图①,若点为直线上方抛物线上一动点,当时,求点的坐标;(3)如图②,若是线段的上一个动点,过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、,连接.设点的横坐标为.①当为何值时,线段有最大值,并写出最大值为多少;②是否存在以,,为顶点的三角形与相似,若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.5.(2024·山西·模拟预测)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点(点在点的右侧),与轴交于点,连接.已知点,.(1)求该抛物线的表达式及直线的表达式.(2)是直线上方抛物线上的一动点,过点作于点,求的最大值.(3)在(2)的条件下,将该抛物线向左平移5个单位长度,为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后抛物线的对称轴上的任意一点.直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标.6.(2024·安徽合肥·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于,两点,点的横坐标为.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)点是直线下方的抛物线上一动点(不与点重合),过点作轴的平行线,与直线交于点,连接,设点的横坐标为;①若点在轴上方,当为何值时,是等腰三角形;②若点在轴下方,设的周长为,求关于的函数关系式,当为何值时,的周长最大,最大值是多少?7.(2023·青海西宁·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,直线l与x轴交于点,与y轴交于点,抛物线经过点A,B,且对称轴是直线.

(1)求直线l的解析式;(2)求抛物线的解析式;(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点,过点P作轴,垂足为C,交直线l于点D,过点P作,垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.题型四:二次函数与面积问题一、面积问题的解题步骤第一步:根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标,如与坐标轴的交点坐标,顶点坐标等第二步:根据点坐标表示出线段长第三步:根据线段长求出图形的面积,常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形),利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法:1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB交抛物线于点P,则2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点P,与AB交于点Q,则3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积如图③,直线!经过点A和BC的中点P,则【中考母题学方法】【典例4】(2024·福建·中考真题)如图,已知二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,其中.(1)求二次函数的表达式;(2)若是二次函数图象上的一点,且点在第二象限,线段交轴于点的面积是的面积的2倍,求点的坐标.【变式4-1】(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中,.

(1)求抛物线的解析式.(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得的面积最大.若存在,请直接写出点P坐标和的面积最大值;若不存在,请说明理由.【变式4-2】(2024·四川遂宁·中考真题)二次函数的图象与轴分别交于点,与轴交于点C0,−3,为抛物线上的两点.(1)求二次函数的表达式;(2)当两点关于抛物线对称轴对称,是以点为直角顶点的直角三角形时,求点的坐标;(3)设的横坐标为,的横坐标为,试探究:的面积是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.【变式4-3】(2024·内蒙古包头·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交于,两点(点在点左侧),顶点为,连接.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,若是轴正半轴上一点,连接.当点的坐标为时,求证:;(3)如图2,连接,将沿轴折叠,折叠后点落在第四象限的点处,过点的直线与线段相交于点,与轴负半轴相交于点.当时,与是否相等?请说明理由.【中考模拟即学即练】1.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为,点C的坐标为,连接.(1)求该二次函数的解析式;(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点,当的面积最大时,边上的高的值为______.2.(2024·甘肃·模拟预测)如图,抛物线的图象经过,,三点.(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标;(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E,使的面积最大,若存在,求出点E的坐标和的最大面积;(3)P为抛物线上的一动点,Q为对称轴上的动点,抛物线上是否存在一点P,使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2024·四川乐山·模拟预测)已知二次函数()与轴交于、两点,与轴交于,顶点为.(1)如图①,若为直角三角形,求的值;(2)如图②,设AD与交于,在的变化过程中,与不重合部分的面积比的值是否为定值,若是,求出这个定值,若不是,说明理由;(3)如图③,若,作的中点,过点在第二象限内作轴的垂线段,以、为邻边作矩形,记矩形与重叠部分的面积为,矩形以每秒个单位长度的速度向右运动,当经过点时,停止运动.设运动时间为,求与的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围.在运动过程中,是否存在最大值,若存在,直接写出这个最大值.4.(2024·山东淄博·模拟预测)如图,已知二次函数经过,两点,轴于点,且点,,.(1)求抛物线的解析式;(2)点是线段上一动点(不与,重合),过点作轴的垂线,交抛物线于点,当线段的长度最大时,求点的坐标及;(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的点,使成为直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2024·四川成都·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线:与轴交于A,B两点(点在点的左侧),其顶点为,是抛物线第四象限上一点.(1)求线段的长;(2)当时,若的面积与的面积相等,求的值;(3)延长交轴于点,当时,将沿方向平移得到.将抛物线平移得到抛物线,使得点,都落在抛物线上.试判断抛物线与是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.6.(2024·四川凉山·中考真题)如图,抛物线与直线相交于两点,与轴相交于另一点.(1)求抛物线的解析式;(2)点是直线上方抛物线上的一个动点(不与重合),过点作直线轴于点,交直线于点,当时,求点坐标;(3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2024·四川眉山·中考真题)如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,点在抛物线上.

(1)求该抛物线的解析式;(2)当点在第二象限内,且的面积为3时,求点的坐标;(3)在直线上是否存在点,使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.8.(2024·山东济宁·中考真题)已知二次函数的图像经过,两点,其中a,b,c为常数,且.(1)求a,c的值;(2)若该二次函数的最小值是,且它的图像与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.①求该二次函数的解析式,并直接写出点A,B的坐标;②如图,在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线,垂足为D,与直线交于点E,连接,,.是否存在点P,使?若存在,求此时点P的横坐标;若不存在,请说明理由.9.(2024·山东东营·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,点是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式;(2)当点在直线下方的抛物线上时,过点作轴的平行线交于点,设点的横坐标为t,的长为,请写出关于的函数表达式,并写出自变量的取值范围;(3)连接,交于点,求的最大值.题型五:二次函数与角度问题1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°)第一步:将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形第二步:利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题第三步:结合锐角三角函数值列方程求解2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点.【中考母题学方法】【典例5】(2024·湖北·中考真题)在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点和点B,与y轴交于点C.(1)求b的值;(2)如图,M是第一象限抛物线上的点,,求点M的横坐标;(3)将此抛物线沿水平方向平移,得到的新抛物线记为L,L与y轴交于点N.设L的顶点横坐标为n,的长为d.①求d关于n的函数解析式;②L与x轴围成的区域记为U,U与内部重合的区域(不含边界)记为W.当d随n的增大而增大,且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出n的取值范围.【变式5-1】(2024·江苏连云港·中考真题)在平面直角坐标系中,已知抛物线(a、b为常数,).

(1)若抛物线与轴交于、两点,求抛物线对应的函数表达式;(2)如图,当时,过点、分别作轴的平行线,交抛物线于点M、N,连接.求证:平分;(3)当,时,过直线上一点作轴的平行线,交抛物线于点.若的最大值为4,求的值.【变式5-2】(2024·海南·中考真题)如图1,抛物线经过点A−4,0、,交y轴于点,点P是抛物线上一动点.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为时,求四边形的面积;(3)当时,求点P的坐标;(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接,判断的形状,并说明理由.【变式5-3】(2024·广东深圳·模拟预测)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,,顶点为D(1)求二次函数的解析式;(2)P为直线上方抛物线上一点,求面积最大值及P点坐标;(3)P为第四象限抛物线上一点,且,求出点P的坐标;【变式5-4】(2024·山东烟台·中考真题)如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,,,对称轴为直线,将抛物线绕点旋转后得到新抛物线,抛物线与轴交于点,顶点为,对称轴为直线.(1)分别求抛物线和的表达式;(2)如图,点的坐标为,动点在直线上,过点作轴与直线交于点,连接,.求的最小值;(3)如图,点的坐标为,动点在抛物线上,试探究是否存在点,使?若存在,请直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.【中考模拟即学即练】1.(2024·湖北武汉·模拟预测)如图,已知抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴负半轴交于点C,且,直线经过B,C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点D在抛物线上,满足,求点D的坐标;(3)如图2,设抛物线的顶点为T,直线与抛物线交于点E,F(点E在点F左侧),G为的中点,求的值.2.(2024·重庆渝北·模拟预测)如图,直线与x,y轴分别交于点A,B,抛物线经过A,B两点,与x轴的另外一个交点为C,点P是直线上方抛物线上的一动点,过点P作y轴的平行线交直线于点D.(1)求抛物线的表达式;(2)求的最大值及此时点P的坐标;(3)在点P运动过程中,连接,当的中点恰好落在y轴上时,连接,在抛物线上是否存在点Q,使得,如果存在,请写出所有符合条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.3.(2024·安徽合肥·模拟预测)已知抛物线,函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示,在m,n,p这三个实数中,有两个是正数,且没有负数:x…01…y…4mn4p…(1)求抛物线的表达式;(2)该抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,D为抛物线上一点.①若点D在第二象限,过点D作x轴的垂线,垂足为E,设DE交于点F,当取得最大值时,求点D的坐标;②是否存在点D,使得?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.4.(2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测)如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,并且经过,两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点D为直线下方抛物线上的一动点,直线交线段于点E,请求出的最大值;(3)探究:在抛物线上是否存在点M,使得?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.5.(2024·湖南·模拟预测)定义:若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线,那么我们称抛物线是的“友好抛物线”,称为“友好值”.如图,抛物线与轴交于两点,抛物线是的“友好抛物线”,“友好值”为2,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,作直线,点是抛物线上一动点.(1)抛物线的表达式为_________;(2)若点在第四象限,过点作轴于点,交于点,当时,求的长;(3)是否存在点,使得?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.6.(2024·江苏苏州·一模)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,拋物线与轴交于点、两点,与轴交于点,连接.(1)求抛物线的解析式;(2)点Q为抛物线上的一点(不与点A重合),当的面积等于面积的2倍时,求此时点Q的坐标;(3)如图2,点在轴下方的抛物线上,点为抛物线的顶点.过点作轴于点,连接交于点,连接,,探究抛物线上是否存在点,使,若存在,请直接写出点的坐标;若不存

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