2025年中考数学一轮知识梳理难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）原卷版

难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）题型一：抛物线与动直线交点问题题型二：抛物线与动线段交点问题题型三：二次函数与线段问题题型四：二次函数与面积问题题型五：二次函数与角度问题题型一：抛物线与动直线交点问题将二次函数和一次函数表达式联立,得到一元二次方程,根据一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系来判断抛物线与直线的交点情况b2-4ac>0↔抛物线与直线有两个交点;b2-4ac=0↔抛物线与直线有一个交点:b2-4ac<0↔抛物线与直线没有交点【中考母题学方法】【典例1】（2024·河南开封·二模）已知二次函数的图象经过点和，与轴的另一个交点为，与轴交于点．(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；(2)将二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象．已知直线：恒过点2,3，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围；(3)在第（2）题的条件下，取最大值时，将直线向下平移，交抛物线于点Px1,y1和点Qx2,y【中考模拟即学即练】1．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围．(2)已知二次函数（为常数）．①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围．②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．2．（2024·江苏南通·一模）已知抛物线（m，n为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，．(1)求的值；(2)如图，连接交于点，求证：；(3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作轴，交直线于点N．由线段长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．3．（2024·江苏无锡·一模）已知二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点．一次函数的图象经过点，．(1)求二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与平行于轴的直线始终有两个交点，（点在点的左侧），为该抛物线上异于，的一点，点，的横坐标分别为，．当的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由；(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，求出点的坐标．4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数的图象为抛物线C，一次函数的图象为直线l．(1)求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值；(3)当时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．题型二：抛物线与动线段交点问题1.动线段在x轴上(点C在点D左侧)交点情况无交点有一个交点有两个交点图示满足条件动线段CD在点A左侧或在点B右侧点D(或点C)在AB之间点C在点A左侧且点D在点B右侧2.动线段在直线上(点C在点D上方)交点情况无交点有一个交点有两个交点图示满足条件点D在点A上方或点C在点B下方点D(或点C)在AB之间点C在点A上方且点D在点B下方3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧)交点情况无交点有一个交点有两个交点图示满足条件点C在点A下方或点C在点M上方点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方【中考母题学方法】【典例2】（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．(1)若，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．【中考模拟即学即练】1．（2024·云南文山·二模）已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．(1)当时，求该抛物线的顶点坐标；(2)将点向左平移4个单位得到点H，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．3．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．(1)求点的坐标（用含的式子表示）．(2)当的纵坐标为3时，求的值；(3)已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围．4．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．

(1)求该抛物线的函数解析式．(2)为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值．(3)点在直线上，将线段沿着轴向上或向下平移，点和点的对应点分别为点和点，为使平移后的线段与抛物线只有一个公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围．5．（2024·河北·模拟预测）如图，抛物线，M为抛物线的顶点，点P是直线上一动点，且点P的横坐标为m．(1)求点M的坐标（用含m的式子表示）；(2)连接，当线段与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围；(3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点．①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明理由；②若点为x轴上的动点，过Q作直线轴，将抛物线的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n的取值范围．题型三：二次函数与线段问题第一步:设点坐标及坐标表示第二步:表示线段长第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解【中考母题学方法】【典例3】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．【变式3-1】（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点．(1)求，的值；(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．【变式3-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．【变式3-3】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点Px1,y1(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值；(3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．【中考模拟即学即练】1．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E．(1)求点A，B，C的坐标．(2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值．(3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标．2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，A，抛物线经过点A，B，其顶点为C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求的面积；(3)点P为直线上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标．3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连结．

(1)求抛物线的解析式；(2)当为直角三角形时，求线段的长度；(3)在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的正半轴交于点．(1)求的值及抛物线的解析式．(2)如图①，若点为直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标；(3)如图②，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为．①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．5．（2024·山西·模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，．(1)求该抛物线的表达式及直线的表达式．(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值．(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为；①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．题型四：二次函数与面积问题一、面积问题的解题步骤第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等第二步：根据点坐标表示出线段长第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法:1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB交抛物线于点P,则2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点P,与AB交于点Q,则3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积如图③,直线!经过点A和BC的中点P,则【中考母题学方法】【典例4】（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．(1)求二次函数的表达式；(2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．【变式4-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．

(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点C0,−3，为抛物线上的两点．(1)求二次函数的表达式；(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：；(3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．【中考模拟即学即练】1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．(1)求该二次函数的解析式；(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．2．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点．(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积；(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024·四川乐山·模拟预测）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交于，顶点为．(1)如图①，若为直角三角形，求的值；(2)如图②，设AD与交于，在的变化过程中，与不重合部分的面积比的值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，说明理由；(3)如图③，若，作的中点，过点在第二象限内作轴的垂线段，以、为邻边作矩形，记矩形与重叠部分的面积为，矩形以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过点时，停止运动．设运动时间为，求与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．在运动过程中，是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值．4．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．(1)求线段的长；(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标；(3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．(1)求a，c的值；(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；(3)连接，交于点，求的最大值．题型五：二次函数与角度问题1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°)第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题第三步：结合锐角三角函数值列方程求解2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点.【中考母题学方法】【典例5】（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．(1)求b的值；(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标；(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，的长为d．①求d关于n的函数解析式；②L与x轴围成的区域记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．【变式5-1】（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．

(1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；(2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分；(3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．【变式5-2】（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点A−4,0、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；(3)当时，求点P的坐标；(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．【变式5-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D(1)求二次函数的解析式；(2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标；(3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标；【变式5-4】（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．(1)分别求抛物线和的表达式；(2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；(3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【中考模拟即学即练】1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过B，C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在抛物线上，满足，求点D的坐标；(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为的中点，求的值．2．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，抛物线经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D．(1)求抛物线的表达式；(2)求的最大值及此时点P的坐标；(3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数：x…01…y…4mn4p…(1)求抛物线的表达式；(2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点．①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设DE交于点F，当取得最大值时，求点D的坐标；②是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，并且经过，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为直线下方抛物线上的一动点，直线交线段于点E，请求出的最大值；(3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．5．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点．(1)抛物线的表达式为_________；(2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长；(3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标；(3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存