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文档简介
难点与新考法06关于二次函数系数、几何变换、最值等问题
(6大热考题型)
题型一:关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
题型二:二次函数与一元二次方程关系
题型三:二次函数图像的平移
题型四:二次函数图像的对称
题型五:确定自变量取值范围内的二次函数最值
题型六:已知自变量的取值范围和最值,求参数
题型一:关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题
一、二次函数与a、b、c的关系
关系符号图象特征
a决定抛物线a>0开口向上|a|越大,抛物线的开口小.
的开口方向
a<0开口向下
a、b共同决b=0对称轴是y轴
定抛物线对
ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧左同右异
称轴的位置
ab<0((a,b异号))对称轴在y轴右侧
c决定了抛物c=0抛物线经过原点
线与y轴交
c>0抛物线与y轴交于正半轴
点的位置.
c<0抛物线与y轴交于负半轴
由b²-4ac确b²-4ac>0抛物线与x轴有两个交点
定抛物线与
xb²-4ac=0抛物线与x轴有一个交点
轴交点的个
b²-4ac<0抛物线与x轴没有交点
数
二、引入其他参数的相关结论判断
1.引人的参数为点坐标,常常考虑结合坐标轴求解;
2.引入的参数是与系数a,b,c结合的不等式,常常将该参数视为抛物线上点的横坐标,结合最值求解;
3.引人的参数在一元二次方程中,常常把该方程看成抛物线与直线的交点问题,根据交点个数求解
【中考母题学方法】
【典例1】(2024·四川·中考真题)二次函数yax2bxca0的图象如图所示,给出下列结论:①c0;
b
②0;③当1x3时,y0.其中所有正确结论的序号是()
2a
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【变式1-1】(2024·四川眉山·中考真题)如图,二次函数yax2bxca0的图象与x轴交于点A3,0,
与y轴交于点B,对称轴为直线x1,下列四个结论:①bc0;②3a2c0;③ax2bxab;④若
84
2c1,则abc,其中正确结论的个数为()
33
A.1个B.2个C.3个D.4
【变式1-2】难点判断需变形的关于a、b、c的关系式
(2024·山东泰安·中考真题)如图所示是二次函数yax2bxca0的部分图象,该函数图象的对称轴是
直线x1,图象与y轴交点的纵坐标是2,则下列结论:①2ab0;②方程ax2bxc0一定有一个
3
根在2和1之间;③方程ax2bxc0一定有两个不相等的实数根;④ba2.其中,正确结论的
2
个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式1-3】难点引入其他参数的相关结论判断
(2024·黑龙江绥化·中考真题)二次函数yax2bxca0的部分图象如图所示,对称轴为直线x=1,
则下列结论中:
b
①0②am2bmab(m为任意实数)③3ac1
c
④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点,则x1x23.其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【中考模拟即学即练】
1.(2024·山东东营·中考真题)已知抛物线yax2bxc(a0)的图像如图所示,则下列结论正确的是()
A.abc0B.ab0
C.3ac0D.am2bmab(m为任意实数)
2.(2024·广东·模拟预测)如图,抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x1,与x轴交于A,B两点,
且OB3OA.给出下列4个结论:①abc0;②abc0;③7a3c0;④若m为任意实数,则
am2bmba.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
3.(2024·湖北·模拟预测)如图,已知开口向下的抛物线与x轴交于点6,0,对称轴为直
2
线.则下列结论正确的有()�=��+��+�
�=2211
①abc0;②abc0;③方程cxbxa0的两个根为x,x;④抛物线上有两点
1226
11
.��,�
和,若x12x2且x1x24,则y1y2
��2,�2
A.5个B.4个C.3个D.2个
4.(2024·广东·模拟预测)如图所示是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x
轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①该抛物线与x轴的另一个交点在点(4,0)和(3,0)之
间;②abc0;③b24a(cn);④关于x的一元二次方程ax2bxcn1有实数根.其中正确的
结论是()
A.①②B.①③C.②③D.②④
5.(2024·四川广安·中考真题)如图,二次函数yax2bxc(a,b,c为常数,a0)的图象与x轴交
31
于点A,0,对称轴是直线x,有以下结论:①abc<0;②若点1,y1和点2,y2都在抛物线上,
22
11
则yy;③am2bmab(m为任意实数);④3a4c0.其中正确的有()
1242
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.(2024·四川宜宾·中考真题)如图,抛物线yax2bxca0的图象交x轴于点A3,0、B1,0,交
y轴于点C.以下结论:①abc0;②a3b2c0;③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三
297
角形时,c7;④当c3时,在△AOC内有一动点P,若OP2,则CPAP的最小值为.其中
33
正确结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2
7.(2024·四川广元·中考真题)如图,已知抛物线yaxbxc过点C0,2与x轴交点的横坐标分别为x1,
x2,且1x10,2x23,则下列结论:
①abc<0;
②方程ax2bxc20有两个不相等的实数根;
③ab0;
2
④a;
3
⑤b24ac4a2.其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.(2024·广东·模拟预测)如图,抛物线yax2bxca0与x轴交于点A1,0和B,与y轴的正半轴交
于点C.下列结论:①abc0;②4a2bc0;③2ab0;④3ac0,其中正确结论
是.
9.(2024·湖北·模拟预测)抛物线yax2bx1(a0),对称轴为x1.下列说法:①一元二次方程
2
ax2bx10有两个不相等的实数根;②对任意的实数m,不等式am1bm10恒成立;③抛物
线yax2bx1经过点2,1;④若mn,且mn20,则am2bman2bn.正确的有(填
序号).
1
10.(2024·四川德阳·中考真题)如图,抛物线yax2bxc的顶点A的坐标为,n,与x轴的一个交点
3
位于0和1之间,则以下结论:①abc0;②5b2c0;③若抛物线经过点6,y1,5,y2,则y1y2;
④若关于x的一元二次方程ax2bxc4无实数根,则n4.其中正确结论是(请填写序号).
题型二:二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是二次函数y=ax2+bx+c=0图象与x轴交点的横坐标.
b2-4ac与0的关系二次函数与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况
b2-4ac>02个交点有两个不相等的实数根
b2-4ac=01个交点有一个不相等的实数根
b2-4ac<00个交点没有实数根
【中考母题学方法】
【典例2】(2024·四川达州·中考真题)抛物线yx2bxc与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于
1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是()
A.bc1B.b2C.b24c0D.c0
2
【变式2-1】(2024·四川南充·中考真题)已知抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A,B(A在B的左
2
侧),抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C,D(C在D的左侧),且ABCD.下列四个结论:
①C1与C2交点为(1,1);②mn4;③mn0;④A,D两点关于(1,0)对称.其中正确的结论
是.(填写序号)
【变式2-2】(2024·江苏扬州·中考真题)如图,已知二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A(2,0),B(1,0)
两点.
(1)求b、c的值;
(2)若点P在该二次函数的图像上,且PAB的面积为6,求点P的坐标.
【变式2-3】难点二次函数图象与y=m的交点问题
(2024·吉林·中考真题)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)
所示,输入x的值为2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输
出y的值为6.
(1)直接写出k,a,b的值.
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像,如图(2).
Ⅰ.当y随x的增大而增大时,求x的取值范围.
Ⅱ.若关于x的方程ax2bx3t0(t为实数),在0x4时无解,求t的取值范围.
Ⅲ.若在函数图像上有点P,Q(P与Q不重合).P的横坐标为m,Q的横坐标为m1.小明对P,Q之
间(含P,Q两点)的图像进行研究,当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,直接写
出m的取值范围.
【中考模拟即学即练】
1.(2024·湖北·中考真题)抛物线yax2bxc的顶点为1,2,抛物线与y轴的交点位于x轴上方.以
下结论正确的是()
A.a<0B.c0C.abc2D.b24ac0
2.(2024·山西大同·模拟预测)已知mn0,若关于x的方程x²2xn0的解为x1,x2x1x2,关于
2
x的方程x2xm0的解为x3,x4x3x4,则下列结论正确的是()
A.x1x2x3x4B.x4x3x1x2
C.x3x1x2x4D.x3x4x1x2
3.(2024·浙江宁波·二模)已知二次函数yax2bxc(a,b,c是常数且a0)的图象与x轴的交点坐标是
x1,0,x2,0,mx1x2mk,当xm时,yp,当xmk时,yq,则()
ak2ak2
A.p,q至少有一个大于B.p,q都小于
44
ak2ak2
C.p,q至少有一个小于D.p,q都大于
44
2
4.(2024·贵州·模拟预测)已知抛物线yax2x3a的图象上有三点Ax1,y1,Bx2,y2,C0,3,其
中x11x23,则下列说法错.误.的是()
13
A.方程ax22x3axb有3个根,则b
4
B.y1y2
2
C.关于x的一元二次方程ax2x3am0(m0)的两根为x3,x4,且x3x4,则x313x4
D.抛物线的顶点坐标为1,4
5.(2024·内蒙古呼伦贝尔·三模)如图,已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线,A点坐标为3,0,若此
抛物线又与直线y2交于B、C两点,且VABC为正三角形,则可求得此抛物线与y轴的交点坐标
为.
2
6.(2024·福建厦门·二模)已知抛物线L1:ya(xh)2a0的顶点为点C,与x轴分别交于点A,B(点
A在点B左侧),抛物线L2与抛物线L1关于x轴对称,顶点为点D,若四边形ACBD为正方形,则a的值
为.
7.(2024·浙江宁波·二模)二次函数yx2x3与坐标轴的交点个数为个.
8.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知抛物线yax2bxc(a,b,c为常数,且a0)经过点(m1,n)和(2m,n),
3
有如下结论:①抛物线对称轴为x;②abc0;③若(3,y),(4,y)两点在抛物线上,且yy0,则方程
21212
2
axbxc0有一根满足1x10;④过点(2,c2a)与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条.其中
正.确.的结论有(填正确结论的序号).
9.(2024·湖南·模拟预测)我们不妨约定:在平面直角坐标系中,与x轴有交点的函数称为“零点函数”,交
点的横坐标称为“零点”,例如:函数yx1与x轴的交点坐标是1,0,所以函数yx1是“零点函数”,1
是该函数的“零点”.
(1)请完成以下两个小题:
①下列函数中,是“零点函数”的为()
2
A.y2x3B.yC.yx22x2
x
②请写出下列函数的“零点”:一次函数y2x2的“零点”是,二次函数yx22x1的“零点”是;
(2)已知二次函yax22bx3c是“零点函数”(a,b,c是常数,a0).
①若a1,bcbc16,函数的“零点”是x1,x2,且函数与x轴的两个交点之间的距离为8,与y轴的交
点在正半轴上,请求出这个函数的解析式;
2
②若一次函数y2x2c与二次函数yax2b1xc相交于点Ax3,y3和Bx4,y4,“零点函
数”yax22bx3c满足下列条件:①abc0,②3a2bc3a2b5c0,试确定线段AB长度
的取值范围.
2
10.(2024·浙江宁波·二模)已知抛物线yx2m3x3m6,点Ax1,y1和点Bx2,y2是该抛物
线与x轴的交点.
(1)若x10,3x24,求m的取值范围;
(2)若x1+x21,现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,若直线yxn与新得到的函数图象至少
有三个交点,求n的取值范围.
题型三:二次函数图像的平移
方法一:
(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);
(2)保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,
方法二:
(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或
y=ax²+bx+c-m);
(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或
y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:
平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x–h)2+k平移口诀
左加
向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k
向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减
向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加
向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减
【中考母题学方法】
【典例3】(2024·山东济宁·中考真题)将抛物线yx26x12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛
物线与x轴有公共点,则k的取值范围是.
【变式3-1】(2024·福建泉州·模拟预测)二次函数yx22x3的图象与x轴交于点A,B(A在B的左侧),
将该函数图象向右平移mm0个单位后与x轴交于点C,D(C在D的左侧),平移前后的函数图象相交于
点E,若AED90,则m的值为.
【变式3-2】(2024·四川德阳·中考真题)如图,抛物线yx2xc与x轴交于点A1,0和点B,与y轴交
于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当0x2时,求yx2xc的函数值的取值范围;
35
(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,求PAPM的
45
最小值.
【变式3-3】难点将抛物线沿斜直线平移转化为2次沿坐标轴平移
(2024·四川泸州·二模)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2bxc的图象与坐标轴相交于A、B、
C三点,其中A点坐标为3,0,B点坐标为1,0,连接AC、BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△COB沿x轴水平向右平移,平移过程中当C点再次落在抛物线上的位置记作C,求C的坐标和
tanCAC的值;
(3)动点P从点A出发,在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发,
在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,
设运动时间为t秒.在P、Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?
【中考模拟即学即练】
1.(2024·四川眉山·二模)若将抛物线y=x2-2x+1先沿x轴方向向右平移1个单位,再沿y方向向下平移2
个单位,得到一条新抛物线,则新抛物线的解析式变为()
A.yx22B.yx22
C.y(x2)22D.y(x2)22
2
2.(2024·云南曲靖·一模)将抛物线y7x31平移得到y7x2,下列平移方法正确的是()
A.先向左平移3个单位,再向下平移1个单位
B.先向右平移3个单位,再向上平移1个单位
C.先向左平移1个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移1个单位,再向下平移3个单位
3.(2024·广东惠州·模拟预测)函数y3x26x4的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解
析式为.
4.(2024·贵州贵阳·一模)二次函数yx26x5的图象经过平移,其顶点恰好为坐标原点,则平移的最短
距离为.
5.(2024·湖南·三模)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bxc(a,b,c为常数,且a0)与x
轴交于A1,0,B两点,与y轴交于点,且抛物线的对称轴为直线x=1.
�0,−3
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PMx轴,垂足为M,交直线BC于点N.若BMN的
25
面积为,试求出点P的坐标;
8
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿射线CA的方向平移10个单位长度,得到新的抛物线y,如图2,点E
为新抛物线y上一点,点F为原抛物线对称轴上一点,是否存在以点B,P,E,F为顶点的四边形是平行
四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
6.(2024·重庆·一模)在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx4(a,b是常数,a0),与x轴交于点A6,0
和点B2,0,与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)如图1,连接AC,点P为直线AC上方抛物线上的一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为E,交直线AC
于点F,过点P作PDAC,垂足为D.求△PDF周长的最大值以及此时点P的坐标;
2
(3)将抛物线yaxbx4(a,b是常数,a0),沿射线CB方向平移5个单位长度得到新抛物线y,点
Q是新抛物线上一点,连接CQ,当ACQCBACAB时,请求出点Q的坐标.
1
7.(2024·重庆·三模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2bxc与x轴交于,B两点,与
2
�−4,0
y轴交于点C0,4,连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PQ∥BC交AC于点Q,求PQ最大值及此时点P
的坐标;
(3)如图2,将抛物线沿射线CA方向平移22个单位长度得新到抛物线y,新抛物线y与直线AC交于点M,
N(M在N的左侧),E是新抛物线y上一动点,当NMECABOCB时,写出所有符合条件的点E
的坐标,并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程.
8.(2024·黑龙江绥化·中考真题)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yx2bxc与直线相交于A,B两点,其中点A3,4,B0,1.
(1)求该抛物线的函数解析式.
1
(2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C,连接AC,在抛物线上是否存在点P使tanBCPtanACB.若
6
存在,请求出满足条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:依题意补全图形,并解答)
2
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1a1xb1xc1a10,平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,
点E为原抛物线对称轴上的一点,F是平面直角坐标系内的一点,当以点B、D、E、F为顶点的四边形
是菱形时,请直接写出点F的坐标.
9.(2024·重庆·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx3与x轴交于点A(1,0)、B(4,
0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点,连接AC,过点P作PD∥AC交BC于点D,求线段PD长的最
大值及此时P的坐标;
(3)在(2)中线段PD长取得最大值的条件下,过P点作BC的平行线,交y轴于点F,将该抛物线向左平
3
移2个单位长度,再向上平移个单位得到抛物线y,点M为y上的一动点,过M点作y轴的平行线,
2
交直线PF于点N,连接MF,将线段MN沿直线MF翻折得到线段MK,当点K在y轴上时,请写出所有
符合条件的点K的坐标,并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程.
10.(2024·重庆·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx2与x轴交于A1,0,
�4,0
两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接BC,点P直线BC上方抛物线上(不与B、C重合)的一动点,过点P作PFBC交x轴于点F,
25
PE∥x轴交直线BC于点E,求PEPF的最大值及此时点P的坐标;
5
(3)将原抛物线沿射线BC方向平移25个单位得到新抛物y,点Q为新抛物上y轴左侧的一动点,过点Q作
QN∥y轴,过点C作CN∥x轴,直线QN与直线CN相交于点N,连接QC,将QCN沿直线QC翻折,
若点N的对应点N恰好落在坐标轴上,请直接写出点N的坐标,并选择一个你喜欢的点写出求解过程;若
不存在,请说明理由.
11.(2024·重庆南岸·模拟预测)如图,抛物线yax2bx2与x轴交于点A1,0,B4,0两点(点A在点B
的左侧),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)连接BC,点P是直线BC上方的抛物线上一动点,连接PC,PB,求四边形PCOB面积的最大值及此时点
P的坐标;
2
(3)将抛物线yaxbx2沿射线BC方向平移25个单位得到新抛物线y,点Q为新抛物线上y轴左侧的一
动点,过点Q作QN∥y轴,过点C作CN∥x轴,直线QN与直线CN相交于点N,连接QC,将△QCN沿
直线QC翻折,若点N的对应点N恰好落在坐标轴上,请直接写出点N的坐标,并选择一个点写出求解过
程;若不存在,请说明理由.
1
12.(2024·重庆·三模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2bxc与直线AB交于点A2,0,
4
.直线BC经过点C4,0.
�0,3
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点,过点P作PMBC于点M,作PNAB于点N,求
5PM13PN的最大值及此时点P的坐标;
(3)将抛物线沿射线BA方向平移13个单位长度得到新抛物线y,点D为平移后的抛物线y与x轴负半轴的
交点,将点D向下平移一个单位得到点E,在直线AE上确定一点Q,使得BAE2BQA,请直接写出
所有符合条件的点Q的坐标.
13.(2024·重庆九龙坡·模拟预测)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线yax2xc与x轴交于A,
5
B2,0两点,与y轴交于点C,如图所示.点D为抛物线的顶点,点E1,是抛物线上的一点.
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AE上方抛物线上一动点,过点P分别作PM∥BC交x轴于点M,PN∥x轴交直线AE于点
45
N.求PMPN的最大值及此时点P的坐标;
5
35
(3)将抛物线沿AE方向平移个单位长度得到新抛物线,点D¢是新抛物线的顶点,点F是点E平移后的
2
对应点,点G是新抛物线上一动点,连接BF.当DBFFBG90时,请直接写出所有符合条件的点
G的坐标.
14.(2024·重庆·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx3与x轴交于A1,0,B两点,
5
交y轴于点C,抛物线的对称轴是直线x.
2
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点,过点P作PD∥x轴交抛物线于点D,作PEBC于点E,
5
求PDPE的最大值及此时点P的坐标;
2
5
(3)将抛物线沿射线BC方向平移5个单位,在PDPE取得最大值的条件下,点F为点P平移后的对应
2
点,连接AF交y轴于点M,点N为平移后的抛物线上一点,若NMFABC45,请直接写出所有符
合条件的点N的坐标.
15.(2024·重庆开州·模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx2与x轴交于,
�−2,0�4,0
两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图1:P是直线BC上方抛物线上一动点,连接PB、PC,求四边形PBOC面积的最大值以及此时点P
的坐标;
(3)如图2,将抛物线沿射线AC的方向平移22个单位长度得到新抛物线y1,Q为新抛物线y1上一动点,作
直线BQ交AC所在的直线于点D,是否存在点Q满足条件ADBABCCAB,若存在,请写出所有
符合条件的点Q的坐标,并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.
题型四:二次函数图像的对称
1.抛物线上两点若关于直线,则这两点的纵坐标相同,横坐标与x=的差的绝对值相等;
�
−𝟐
2若二次函数与x轴有两个交点,则这两个交点关于直线x=对称;
�
−𝟐
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称;二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
【中考母题学方法】
【典例4】(2024·陕西西安·模拟预测)已知二次函数yax2bxc(a、b、c为常数,且a0)的图象经
过A(n6,m),B(4n,m),M3,t210,N(d,6t)四点,且点B在点A的右侧,则d的值不可能是()
A.4B.2C.2D.4
【变式4-1】(2024·内蒙古包头·模拟预测)已知抛物线y2mx24mx5m0经过3,n和a,n两点,
则a值为.
【变式4-2】根据局部对称后求交点个数
(2024·湖南常德·一模)将抛物线yx22x3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,图像的其余部分
不变,得到的新图像与直线yxm有4个交点,则m的取值范围是()
2121
A.m5B.m5C.m3D.m3
44
【变式4-3】根据对称特征确定参数值
(2024·吉林·二模)如图①,在平面直角坐标系中,抛物线yax²6axc经过点A和B5,0(点A在点B
5
的左侧),与y轴相交于点C0,.
4
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点D为抛物线的顶点,点P在抛物线的对称轴上(不与点D重合),将线段PD绕点P顺时针旋转90,
点D恰好落在抛物线上的点Q处.
①点D的坐标为.
②求点Q的坐标.
(3)如图②,将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方,与原抛物线在x轴上方的图象组
成新的图象.
①当x1时,图象所对应的解析式为.
②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度,若平移后的图象在1x0范围内,y随x的增大而增大,
直接写出m的取值范围.
【中考模拟即学即练】
1.(2024·湖北武汉·模拟预测)我们定义一种新函数:形如yax2bxca0,b24ac0的函数叫做“鹊
桥”函数.数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数yx2bxc的图象如图所示,下列结论正确的是()
我
A.当x1时,函数的最大值是4
B.函数值y随x的增大而增大,则x3
C.关于x的方程x2bxc3的所有实数根的和为4
D.当直线yxm与该图象恰有三个公共点时,则m1
2
2.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)平面直角坐标系中,已知抛物线y1ax3ax4a(a是常数,且a<0),
直线AB过点0,n﹣5n5且垂直于y轴.当a=-1时,沿直线AB将该抛物线在直线上方的部分翻折,
其余部分不变,得到新图象G,图象G对应的函数记为y2,且当5x2时,函数y2的最大值与最小值之
差小于7,则n的取值范围为.
2
3.(2024·江苏无锡·二模)已知二次函数yaxbx2a0,点Ak,y1,B6,y2,Ck4,y1均在该二
次函数的图象上,且2y2y1,则k的取值范围为.
4.(2024·四川达州·二模)如图,将抛物线yx22x3在x轴上方的部分沿x轴翻折,其余部分不变,得
到一新函数图象.若一次函数yxm的图象与新函数图象有4个公共点,则m的取值范围
是.
5.(2025·上海奉贤·一模)二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点A0,m,B2,m,C2,n,D6,m,
m
其中m、n为常数,那么的值为.
n
范围内的二次函数最值
自变量取值范围图象最大值最小值
无
当x=时,二次函数取
�
−𝟐
得最小值
2
a>04��−�
4�
无
全体实数当x=时,二次函数取
�
−𝟐
得最大值
2
a<04��−�
4�
当时,二次函数取
x=x2当x=时,二次函数取
�
得最大值y2−𝟐
得最小值
2
4��−�
4�
当时,二次函数取
x=x1当x=时,二次函数取
�
得最大值y1−𝟐
得最小值
2
4��−�
4�
x1≤x≤x2a>0
当x=x2时,二次函数取当x=x1时,二次函数取
得最大值y2得最小值y1
【中考母题学方法】
【典例5】(2024·四川内江·中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽
的进价每盒多20元,某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该
商家发现猪肉粽每盒售价52元时,可售出180盒;每盒售价提高1元时,少售出
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