2025年中考数学一轮知识梳理难点与新考法06 关于二次函数系数、几何变换、最值等问题（6大热考题型）原卷版

难点与新考法06关于二次函数系数、几何变换、最值等问题

（6大热考题型）

题型一：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题

题型二：二次函数与一元二次方程关系

题型三：二次函数图像的平移

题型四：二次函数图像的对称

题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值

题型六：已知自变量的取值范围和最值,求参数

题型一：关于二次函数系数a、b、c的结论判断问题

一、二次函数与a、b、c的关系

关系符号图象特征

a决定抛物线a>0开口向上|a|越大，抛物线的开口小．

的开口方向

a<0开口向下

a、b共同决b=0对称轴是y轴

定抛物线对

ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异

称轴的位置

ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧

c决定了抛物c=0抛物线经过原点

线与y轴交

c>0抛物线与y轴交于正半轴

点的位置．

c<0抛物线与y轴交于负半轴

由b²-4ac确b²-4ac>0抛物线与x轴有两个交点

定抛物线与

xb²-4ac=0抛物线与x轴有一个交点

轴交点的个

b²-4ac＜0抛物线与x轴没有交点

数

二、引入其他参数的相关结论判断

1.引人的参数为点坐标,常常考虑结合坐标轴求解;

2.引入的参数是与系数a,b,c结合的不等式,常常将该参数视为抛物线上点的横坐标,结合最值求解;

3.引人的参数在一元二次方程中,常常把该方程看成抛物线与直线的交点问题,根据交点个数求解

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·四川·中考真题）二次函数yax2bxca0的图象如图所示，给出下列结论：①c0；

b

②0；③当1x3时，y0．其中所有正确结论的序号是（）

2a

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【变式1-1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数yax2bxca0的图象与x轴交于点A3,0，

与y轴交于点B，对称轴为直线x1，下列四个结论：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④若

84

2c1，则abc，其中正确结论的个数为（）

33

A．1个B．2个C．3个D．4

【变式1-2】难点判断需变形的关于a、b、c的关系式

（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数yax2bxca0的部分图象，该函数图象的对称轴是

直线x1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①2ab0；②方程ax2bxc0一定有一个

3

根在2和1之间；③方程ax2bxc0一定有两个不相等的实数根；④ba2．其中，正确结论的

2

个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式1-3】难点引入其他参数的相关结论判断

（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数yax2bxca0的部分图象如图所示，对称轴为直线x=1，

则下列结论中：

b

①0②am2bmab（m为任意实数）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是抛物线上不同的两个点，则x1x23．其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【中考模拟即学即练】

1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线yax2bxc(a0)的图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A．abc0B．ab0

C．3ac0D．am2bmab(m为任意实数)

2．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x1，与x轴交于A，B两点，

且OB3OA．给出下列4个结论：①abc0；②abc0；③7a3c0；④若m为任意实数，则

am2bmba．其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点6，0，对称轴为直

2

线．则下列结论正确的有（）�=��+��+�

�=2211

①abc0；②abc0；③方程cxbxa0的两个根为x,x；④抛物线上有两点

1226

11

．��,�

和，若x12x2且x1x24，则y1y2

��2,�2

A．5个B．4个C．3个D．2个

4．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x

轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点(4,0)和(3,0)之

间；②abc0；③b24a(cn)；④关于x的一元二次方程ax2bxcn1有实数根．其中正确的

结论是（）

A．①②B．①③C．②③D．②④

5．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，a0）的图象与x轴交

31

于点A,0，对称轴是直线x，有以下结论：①abc<0；②若点1,y1和点2,y2都在抛物线上，

22

11

则yy；③am2bmab（m为任意实数）；④3a4c0．其中正确的有（）

1242

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线yax2bxca0的图象交x轴于点A3,0、B1,0，交

y轴于点C．以下结论：①abc0；②a3b2c0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三

297

角形时，c7；④当c3时，在△AOC内有一动点P，若OP2，则CPAP的最小值为．其中

33

正确结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2

7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线yaxbxc过点C0,2与x轴交点的横坐标分别为x1，

x2，且1x10，2x23，则下列结论：

①abc<0；

②方程ax2bxc20有两个不相等的实数根；

③ab0；

2

④a；

3

⑤b24ac4a2．其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线yax2bxca0与x轴交于点A1，0和B，与y轴的正半轴交

于点C．下列结论：①abc0；②4a2bc0；③2ab0；④3ac0，其中正确结论

是．

9．（2024·湖北·模拟预测）抛物线yax2bx1(a0)，对称轴为x1．下列说法：①一元二次方程

2

ax2bx10有两个不相等的实数根；②对任意的实数m，不等式am1bm10恒成立；③抛物

线yax2bx1经过点2，1；④若mn，且mn20，则am2bman2bn．正确的有（填

序号）．

1

10．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线yax2bxc的顶点A的坐标为,n，与x轴的一个交点

3

位于0和1之间，则以下结论：①abc0；②5b2c0；③若抛物线经过点6,y1,5,y2，则y1y2；

④若关于x的一元二次方程ax2bxc4无实数根，则n4．其中正确结论是（请填写序号）．

题型二：二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与x轴交点的横坐标.

b2-4ac与0的关系二次函数与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况

b2-4ac>02个交点有两个不相等的实数根

b2-4ac=01个交点有一个不相等的实数根

b2-4ac<00个交点没有实数根

【中考母题学方法】

【典例2】（2024·四川达州·中考真题）抛物线yx2bxc与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于

1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）

A．bc1B．b2C．b24c0D．c0

2

【变式2-1】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线C1:yxmxm与x轴交于两点A，B（A在B的左

2

侧），抛物线C2:yxnxn(mn)与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且ABCD．下列四个结论：

①C1与C2交点为(1,1)；②mn4；③mn0；④A，D两点关于(1,0)对称．其中正确的结论

是．（填写序号）

【变式2-2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数yx2bxc的图像与x轴交于A(2,0)，B(1,0)

两点．

(1)求b、c的值；

(2)若点P在该二次函数的图像上，且PAB的面积为6，求点P的坐标．

【变式2-3】难点二次函数图象与y=m的交点问题

（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）

所示，输入x的值为2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输

出y的值为6．

(1)直接写出k，a，b的值．

(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．

Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．

Ⅱ．若关于x的方程ax2bx3t0（t为实数），在0x4时无解，求t的取值范围．

Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为m1．小明对P，Q之

间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写

出m的取值范围．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·湖北·中考真题）抛物线yax2bxc的顶点为1,2，抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以

下结论正确的是（）

A．a<0B．c0C．abc2D．b24ac0

2．（2024·山西大同·模拟预测）已知mn0，若关于x的方程x²2xn0的解为x1,x2x1x2，关于

2

x的方程x2xm0的解为x3,x4x3x4，则下列结论正确的是（）

A．x1x2x3x4B．x4x3x1x2

C．x3x1x2x4D．x3x4x1x2

3．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数yax2bxc(a,b,c是常数且a0)的图象与x轴的交点坐标是

x1,0,x2,0,mx1x2mk，当xm时，yp，当xmk时，yq，则（）

ak2ak2

A．p，q至少有一个大于B．p，q都小于

44

ak2ak2

C．p，q至少有一个小于D．p，q都大于

44

2

4．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线yax2x3a的图象上有三点Ax1,y1，Bx2,y2，C0,3，其

中x11x23，则下列说法错．误．的是（）

13

A．方程ax22x3axb有3个根，则b

4

B．y1y2

2

C．关于x的一元二次方程ax2x3am0(m0)的两根为x3，x4，且x3x4，则x313x4

D．抛物线的顶点坐标为1,4

5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为3,0，若此

抛物线又与直线y2交于B、C两点，且VABC为正三角形，则可求得此抛物线与y轴的交点坐标

为．

2

6．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线L1:ya(xh)2a0的顶点为点C，与x轴分别交于点A，B（点

A在点B左侧），抛物线L2与抛物线L1关于x轴对称，顶点为点D，若四边形ACBD为正方形，则a的值

为．

7．（2024·浙江宁波·二模）二次函数yx2x3与坐标轴的交点个数为个．

8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线yax2bxc（a,b,c为常数，且a0）经过点(m1,n)和(2m,n)，

3

有如下结论：①抛物线对称轴为x；②abc0；③若(3,y),(4,y)两点在抛物线上，且yy0，则方程

21212

2

axbxc0有一根满足1x10；④过点(2,c2a)与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中

正．确．的结论有（填正确结论的序号）．

9．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交

点的横坐标称为“零点”，例如：函数yx1与x轴的交点坐标是1,0，所以函数yx1是“零点函数”，1

是该函数的“零点”．

(1)请完成以下两个小题：

①下列函数中，是“零点函数”的为（）

2

A．y2x3B．yC．yx22x2

x

②请写出下列函数的“零点”：一次函数y2x2的“零点”是，二次函数yx22x1的“零点”是；

(2)已知二次函yax22bx3c是“零点函数”（a，b，c是常数，a0）．

①若a1,bcbc16，函数的“零点”是x1,x2，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交

点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；

2

②若一次函数y2x2c与二次函数yax2b1xc相交于点Ax3,y3和Bx4,y4，“零点函

数”yax22bx3c满足下列条件：①abc0，②3a2bc3a2b5c0，试确定线段AB长度

的取值范围．

2

10．（2024·浙江宁波·二模）已知抛物线yx2m3x3m6，点Ax1，y1和点Bx2，y2是该抛物

线与x轴的交点．

(1)若x10，3x24，求m的取值范围；

(2)若x1+x21，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，若直线yxn与新得到的函数图象至少

有三个交点，求n的取值范围．

题型三：二次函数图像的平移

方法一:

(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k);

(2)保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,

方法二:

(1)将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或

y=ax²+bx+c-m);

(2)将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或

y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下:

平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀

左加

向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减

【中考母题学方法】

【典例3】（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线yx26x12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛

物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．

【变式3-1】（2024·福建泉州·模拟预测）二次函数yx22x3的图象与x轴交于点A,B（A在B的左侧），

将该函数图象向右平移mm0个单位后与x轴交于点C,D（C在D的左侧），平移前后的函数图象相交于

点E，若AED90，则m的值为．

【变式3-2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线yx2xc与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交

于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当0x2时，求yx2xc的函数值的取值范围；

35

(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PAPM的

45

最小值．

【变式3-3】难点将抛物线沿斜直线平移转化为2次沿坐标轴平移

（2024·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与坐标轴相交于A、B、

C三点，其中A点坐标为3,0，B点坐标为1,0，连接AC、BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将△COB沿x轴水平向右平移，平移过程中当C点再次落在抛物线上的位置记作C，求C的坐标和

tanCAC的值；

(3)动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，

在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，

设运动时间为t秒．在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

【中考模拟即学即练】

1．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线y=x2-2x+1先沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y方向向下平移2

个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（）

A．yx22B．yx22

C．y(x2)22D．y(x2)22

2

2．（2024·云南曲靖·一模）将抛物线y7x31平移得到y7x2，下列平移方法正确的是（）

A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位

B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位

C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位

D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位

3．（2024·广东惠州·模拟预测）函数y3x26x4的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解

析式为．

4.（2024·贵州贵阳·一模）二次函数yx26x5的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短

距离为．

5．（2024·湖南·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a，b，c为常数，且a0)与x

轴交于A1,0，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线x=1．

�0,−3

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PMx轴，垂足为M，交直线BC于点N．若BMN的

25

面积为，试求出点P的坐标；

8

(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线CA的方向平移10个单位长度，得到新的抛物线y，如图2，点E

为新抛物线y上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2024·重庆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4（a，b是常数，a0），与x轴交于点A6,0

和点B2,0，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1，连接AC，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AC

于点F，过点P作PDAC，垂足为D．求△PDF周长的最大值以及此时点P的坐标；

2

(3)将抛物线yaxbx4（a，b是常数，a0），沿射线CB方向平移5个单位长度得到新抛物线y，点

Q是新抛物线上一点，连接CQ，当ACQCBACAB时，请求出点Q的坐标．

1

7．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于，B两点，与

2

�−4,0

y轴交于点C0,4，连接AC，BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q，求PQ最大值及此时点P

的坐标；

(3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移22个单位长度得新到抛物线y，新抛物线y与直线AC交于点M，

N（M在N的左侧），E是新抛物线y上一动点，当NMECABOCB时，写出所有符合条件的点E

的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程．

8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc与直线相交于A，B两点，其中点A3,4，B0,1．

(1)求该抛物线的函数解析式．

1

(2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接AC，在抛物线上是否存在点P使tanBCPtanACB．若

6

存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）

2

(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y1a1xb1xc1a10，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，

点E为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B、D、E、F为顶点的四边形

是菱形时，请直接写出点F的坐标．

9．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3与x轴交于点A(1，0)、B(4，

0)两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接AC，过点P作PD∥AC交BC于点D，求线段PD长的最

大值及此时P的坐标；

(3)在（2）中线段PD长取得最大值的条件下，过P点作BC的平行线，交y轴于点F，将该抛物线向左平

3

移2个单位长度，再向上平移个单位得到抛物线y，点M为y上的一动点，过M点作y轴的平行线，

2

交直线PF于点N，连接MF，将线段MN沿直线MF翻折得到线段MK，当点K在y轴上时，请写出所有

符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．

10．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2与x轴交于A1,0，

�4,0

两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接BC，点P直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PFBC交x轴于点F，

25

PE∥x轴交直线BC于点E，求PEPF的最大值及此时点P的坐标；

5

(3)将原抛物线沿射线BC方向平移25个单位得到新抛物y，点Q为新抛物上y轴左侧的一动点，过点Q作

QN∥y轴，过点C作CN∥x轴，直线QN与直线CN相交于点N，连接QC，将QCN沿直线QC翻折，

若点N的对应点N恰好落在坐标轴上，请直接写出点N的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若

不存在，请说明理由．

11．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，抛物线yax2bx2与x轴交于点A1,0,B4,0两点（点A在点B

的左侧），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接BC，点P是直线BC上方的抛物线上一动点，连接PC,PB，求四边形PCOB面积的最大值及此时点

P的坐标；

2

(3)将抛物线yaxbx2沿射线BC方向平移25个单位得到新抛物线y，点Q为新抛物线上y轴左侧的一

动点，过点Q作QN∥y轴，过点C作CN∥x轴，直线QN与直线CN相交于点N，连接QC，将△QCN沿

直线QC翻折，若点N的对应点N恰好落在坐标轴上，请直接写出点N的坐标，并选择一个点写出求解过

程；若不存在，请说明理由．

1

12．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与直线AB交于点A2,0，

4

．直线BC经过点C4,0．

�0,3

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PMBC于点M，作PNAB于点N，求

5PM13PN的最大值及此时点P的坐标；

(3)将抛物线沿射线BA方向平移13个单位长度得到新抛物线y，点D为平移后的抛物线y与x轴负半轴的

交点，将点D向下平移一个单位得到点E，在直线AE上确定一点Q，使得BAE2BQA，请直接写出

所有符合条件的点Q的坐标．

13．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2xc与x轴交于A，

5

B2，0两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点E1,是抛物线上的一点．

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作PM∥BC交x轴于点M，PN∥x轴交直线AE于点

45

N．求PMPN的最大值及此时点P的坐标；

5

35

(3)将抛物线沿AE方向平移个单位长度得到新抛物线，点D¢是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的

2

对应点，点G是新抛物线上一动点，连接BF．当DBFFBG90时，请直接写出所有符合条件的点

G的坐标．

14．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3与x轴交于A1,0，B两点，

5

交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x．

2

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PEBC于点E，

5

求PDPE的最大值及此时点P的坐标；

2

5

(3)将抛物线沿射线BC方向平移5个单位，在PDPE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应

2

点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若NMFABC45，请直接写出所有符

合条件的点N的坐标．

15．（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2与x轴交于，

�−2,0�4,0

两点，与y轴交于点C，连接BC．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1：P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC，求四边形PBOC面积的最大值以及此时点P

的坐标；

(3)如图2，将抛物线沿射线AC的方向平移22个单位长度得到新抛物线y1，Q为新抛物线y1上一动点，作

直线BQ交AC所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件ADBABCCAB，若存在，请写出所有

符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．

题型四：二次函数图像的对称

1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等；

�

−𝟐

2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；

�

−𝟐

3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的

图象于x轴对称.

【中考母题学方法】

【典例4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数yax2bxc（a、b、c为常数，且a0）的图象经

过A(n6,m)，B(4n,m)，M3,t210，N(d,6t)四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（）

A．4B．2C．2D．4

【变式4-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知抛物线y2mx24mx5m0经过3,n和a,n两点，

则a值为．

【变式4-2】根据局部对称后求交点个数

（2024·湖南常德·一模）将抛物线yx22x3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分

不变，得到的新图像与直线yxm有4个交点，则m的取值范围是（）

2121

A．m5B．m5C．m3D．m3

44

【变式4-3】根据对称特征确定参数值

（2024·吉林·二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线yax²6axc经过点A和B5，0(点A在点B

5

的左侧)，与y轴相交于点C0,．

4

(1)求此抛物线的解析式．

(2)点D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上(不与点D重合)，将线段PD绕点P顺时针旋转90，

点D恰好落在抛物线上的点Q处．

①点D的坐标为．

②求点Q的坐标．

(3)如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿x轴折叠到x轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组

成新的图象．

①当x1时，图象所对应的解析式为．

②再将新图象沿x轴向左平移m个单位长度，若平移后的图象在1x0范围内，y随x的增大而增大，

直接写出m的取值范围．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如yax2bxca0,b24ac0的函数叫做“鹊

桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数yx2bxc的图象如图所示，下列结论正确的是（）

我

A．当x1时，函数的最大值是4

B．函数值y随x的增大而增大，则x3

C．关于x的方程x2bxc3的所有实数根的和为4

D．当直线yxm与该图象恰有三个公共点时，则m1

2

2.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线y1ax3ax4a（a是常数，且a＜0），

直线AB过点0,n﹣5n5且垂直于y轴．当a=-1时，沿直线AB将该抛物线在直线上方的部分翻折，

其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为y2，且当5x2时，函数y2的最大值与最小值之

差小于7，则n的取值范围为．

2

3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数yaxbx2a0，点Ak,y1，B6,y2，Ck4,y1均在该二

次函数的图象上，且2y2y1，则k的取值范围为．

4．（2024·四川达州·二模）如图，将抛物线yx22x3在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得

到一新函数图象．若一次函数yxm的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围

是．

5．（2025·上海奉贤·一模）二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点A0,m,B2,m,C2,n,D6,m，

m

其中m、n为常数，那么的值为．

n

范围内的二次函数最值

自变量取值范围图象最大值最小值

无

当x=时，二次函数取

�

−𝟐

得最小值

2

a>04��−�

4�

无

全体实数当x=时，二次函数取

�

−𝟐

得最大值

2

a<04��−�

4�

当时，二次函数取

x=x2当x=时，二次函数取

�

得最大值y2−𝟐

得最小值

2

4��−�

4�

当时，二次函数取

x=x1当x=时，二次函数取

�

得最大值y1−𝟐

得最小值

2

4��−�

4�

x1≤x≤x2a>0

当x=x2时，二次函数取当x=x1时，二次函数取

得最大值y2得最小值y1

【中考母题学方法】

【典例5】（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽

的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该

商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出