2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题（原卷版）

难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题

题型一：方程法求角度问题

题型二：分类讨论法求角度问题

题型三：A字模型

题型四：8字模型

题型五：飞镖（燕尾）模型

题型六：三角形折叠模型

题型七：双角平分线模型

题型一：方程法求角度问题

方程法的解题步骤

第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等

第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数

第三步：用所设角度表示出其他角度

第四步：通过列方程求解

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固

定三角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重

合时停止转动．

【解决问题】

(1)在旋转过程中，请填出AOC、BOD之间的数量关系______；

(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

(3)当AOC、AOB、BOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是AOB的“优线”，请直

接写出所有满足条件的t值．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所

成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线OC、OD在

1

AOB的内部，且ÐCOD=ÐAOB，则COD是AOB的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：

2

(1)如图1，AOB70,AOC25，若COD是AOB的内半角，则COD______，BOD______．

(2)如图2，已知AOB60，将AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度060至COD．若

COB是AOD的内半角，求的值．

(3)把一块含有30角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4，

将三角板COD绕顶点O以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC,OD

构成内半角时，请求出t的值．

【变式1-2】（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成

的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线OC，OD在AOB的

内部，且CODAOB90，则COD是AOB的内余角．

根据以上信息，解决下面的问题：

(1)如图1，AOB72，AOC20，若COD是AOB的内余角，则BOD______；

(2)如图2．已知AOB60将OA绕点O顺时针方向旋转一个角度060得到OC．同时将OB绕

1

点O顺时针方向旋转一个角度得到OD．若COB是AOD的内余角，求的值；

3

(3)把一块含有30角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合，如图4将

三角板COD绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，在旋转一周的时间内，当射线

OA，OB，OC，OD构成内余角时，请求出t的值．

【变式1-3】（23-24河南焦作）一副三角板按如图1所示放置，边OA，OC在直线MN上，

∠AOB60，∠COD45．

如图2，将三角板COD绕点O顺时针旋转到COD，转速为每秒钟转动5，当OC旋转一周回到射线ON上

时停止转动，设转动时间为t秒．

(1)当OD与OB重合时，直接写出的值；

(2)①当OD正好平分BOA时，在图1中画出此时OD的位置，并求出t的值；

②在旋转过程中，作BOD的角平分线OE，当AOE15时．直接写出t的值．

题型二：分类讨论法求角度问题

常考分类讨论的情形

1.若题中出现角度大小,但不明确角度边的位置,需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解:

2.若题中出现射线旋转,并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线,需分别讨论哪条射线是

角平分线的情况;

3.若题中出现射线三等分角,但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论.

【中考母题学方法】

【典例2】（22-23浙江）【问题提出】已知BOC与AOC有共同的始边OC，且满足BOC2AOC，

若AOC28，求AOB的度数．

【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．

在图①中，当射线OA在BOC的内部时，由题意易得AOB28；

在图②中，当射线OA在BOC的外部时，由题意易得AOB84．

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题

(1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为4，2，1，请在数轴上标出线段AC的中点D并写

出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE的长．

(2)如果两个角的差的绝对值等于90，就称这两个角互为垂角，例如：1120,230,1290，

则1和2互为垂角（本题中所有角都是指大于0且小于180的角）．

①若140，求的垂角；

2

②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．

3

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（24-25·江苏无锡）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成

1

的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若ÐCOD=ÐAOB，

2

则COD是AOB的内半角．

(1)如图①所示，已知AOB70，AOC15，COD是AOB的内半角，则BOD________．

(2)如图②，已知AOB63，将AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度(063)至COD，当旋

转的角度为何值时，COB是AOD的内半角？

(3)已知AOB30，把一块含有30角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3/秒的速度按顺时针方

向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在AOB的外部，射线OA,OB,OC,OD能否

构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．

【变式2-2】（23-24·广东广州）（1）如图，线段AB20cm，C为AB的中点，点P从点A出发，以2cm/s的

速度沿线段AB向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段AB向左运动，到点A停

止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x0）

s．

（ⅰ）AC________cm．

（ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出

所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF上，AOB45，COD60．

（ⅰ）BOD________度．

（ⅱ）如图，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转角（即AOE），在转

动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．

①当OB平分OA，OC，OD其中的两边组成的角时，________．

②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足BOC2AOD？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理

由．

【变式2-3】（24-25陕西西安）探究与实践

将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知AOB90，COD60，按如图1所示摆放，将OA、OC边

重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：

【问题发现】

（1）保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则

①AOCBOD__________；

②BOCAOD__________．

【问题探究】

（2）若三角板COD按每分钟6的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板AOB按每分钟4的速度也绕点O

逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算MOCAOD（用含t的代

数式表示）．

【问题解决】

（3）保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O逆时针方向旋转n(n360)，若射线OE平分AOC，

射线OF平分BOD，求EOF的大小．

题型三：A字模型

模型结论：DBCECB180A．

【中考母题学方法】

【典例3】（2024·贵州·模拟预测）教材回顾

我们知道，直角三角形的两个锐角互余，你能对直角三角形的这一性质进行证明吗？

性质证明

（1）为了证明该性质，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在直角三角形ABC中，C90

求证：A+B90

性质运用

（2）如图2，在ABM中，AB10，点C，D分别在BM，AM上，且MC4，ADCD5，BMDC，

求证：A+B90．

拓展提升

（3）如图3，在VABC中，ABBC20，AC24，D，E分别为AB，AC的中点．M，N分别在AC，

BC上，且EM2MC，CN6，DM与BE相交于F，NE与DM相交于O求证：点O是FM的中点

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】如图，ABC中，A65，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则BDECED（）．

A．180B．215C．235D．245

【变式3-2】如图所示，DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证DBCECB180A．

【变式3-3】如图1，直线l与ABC的边AC，AB分别相交于点D，E（都不与点A重合）.

(1)若A64，①求12的度数；②如图2，直线m与边AB，AC相交得到3和4，直接写出34

的度数.(2)如图3，EO，DO分别平分BED和CDE，写出EOD和A的数量关系，并说明理由；

(3)如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分BNM和

CMN，直接写出NGM与E，D的关系.

题型四：8字模型

模型结论：ABCD2∠P=∠B+∠D

【中考母题学方法】

【典例4】（2024·宁夏·中考真题）综合与实践

如图1，在VABC中，BD是ABC的平分线，BD的延长线交外角CAM的平分线于点E．

【发现结论】

结论1：AEB___________ACB；

结论2：当图1中ACB90时，如图2所示，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，

交AC的延长线于点H．则AE与EG的数量关系是___________．

【应用结论】

（1）求证：AHGF；

（2）在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求证：FNNH2AE．

【中考模拟即学即练】

【变式4-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到

战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如

图所示，DEF115，DE与地面平行，ABD55，则DCE（）

A．70B．65C．60D．50

【变式4-2】（2024·山西·三模）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传

递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD，BC交于它们

的中点E．液压杆FG∥BC．若BAE53，则GFD的度数为（）

A．127B．106C．76D．74

【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平行四边形ABCD中，AB6，AD43，

B60，AEAB，AE，BC的延长线交于点F．

(1)求CF的长；

(2)如图2，BAE的角平分线交BC于点P，点Q在AF上；

①当△APQ为等腰三角形时，求AQ的长；

②如图3，当点Q在线段EF上，连接PE，将PEQ沿PE翻折得到△PEM，点M恰好落在AD边上，试

求线段AQ的长．

题型五：飞镖（燕尾）模型

模型结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．∠O=1（∠A+∠C）。∠O=1（∠D-∠B）。

22

【中考母题学方法】

【典例5】（2024·河南·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，若CED98，则

ABCD（）

A．268B．178C．278D．272

【中考模拟即学即练】

【变式5-1】如图，BDC98，C38，A37，B的度数是()

A．33B．23C．27D．37

【变式5-2】请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边

形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角

“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．

（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：

方法一：如图2，连结AB，则在ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，

即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，△

又：在ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，

∴∠AD△B=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．

方法二：如图3，连结CD并延长至F，

∵∠1和∠3分别是ACD和BCD的一个外角，．．．．．．．．．．

大家在探究的过程中△，还发现△有很多方法可以证明这一结论．

任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；

(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．

【变式5-3】（2024·江苏·统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于180且小于360的角称为优角，如

果两个角相加等于360，那么称这两个角互为组角，简称互组．

（1）若1、2互为组角，且1135，则2________；

【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于180的四边形俗称为镖形．

（2）如图①，在镖形ABCD中，优角BCD与钝角BCD互为组角，试探索内角A、B、D与钝角

BCD之间的数量关系，并说明理由；

【拓展延伸】（3）如图②，ABCDEF________；（用含的代数式表示）

（4）如图③，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，APD、AQB的

平分线交于点M，AQCP180；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；

②直接运用（2）中的结论，试说明：PMQM；

（5）如图④，BOi、COi分别为ABO，ACO的2019等分线（i1,2,3,,2017,2018）．它们的交点从上

到下依次为O1，O2，O3，…，O2018．已知BOCm，BACn，则BO1000C_______．（用含m、

n的代数式表示）

题型六：三角形折叠模型

模型结论：2∠C=∠1+∠2；2∠C=∠2-∠1。

【中考母题学方法】

【典例6-1】（2024·四川·中考真题）如图，Rt△ABC中，C90，AC8，BC4，折叠VABC，使点

A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为．

【典例6-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC4，D是边AC

的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE．

【典例6-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC8，E是AB中

点，F是BC上一点，沿着EF折叠BEF，若AB2，则CF．

【中考模拟即学即练】

【变式6-1】（2024·湖南·二模）如图，ABE在四边形ABCD内部，若C78,D66，E40，则

12（）

A．36B．76C．140D．176

【变式6-2】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC

的延长线上的点E处，若B60，AB3，则ABCD的周长为（）

A．12B．18C．15D．21

【变式6-3】（2024·广东·模拟预测）如图所示，在VABC中，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A，

B都与点C重合，若NCF20，则ACB的度数为（）

A．90B．100C．110D．120

【变式6-4】（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．

独立思考：

（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位置，则A与12

之间的数量关系为，请说明理由；

深入探究：

（2）如图②，若点A落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时A与1，2之间的数量关系，并

说明理由；

结论运用：

（3）如图③，在四边形ABCD中，AC90，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形

ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且175，215．

①B的度数为；

1

②若BE22，ADAE，求点H到BC的距离．

2

题型七：双角平分线模型

1.双内角平分线

1

模型结论：P90A2∠P=∠A+∠D。

2

2.双外角平分线

1

模型结论：O90A．

2

3.内角平分线+外角平分线

1

模型结论：PA．P的度数是．

2n2n

【中考母题学方法】

【典例7-1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在VABC中，AE1，BE1分别是内角CAB、外角CBD的

11

三等分线，且EADCAB，EBDCBD，在ABE1中，AE2，BE2分别是内角EAB，外角EBD

131311

11

的三等分线．且EADEAB，EBDEBD，…，以此规律作下去．若Cm．则E度．

231231n

【典例7-2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知AOB50，点P为AOB内部一点，点M为射线

OA、点N为射线OB上的两个动点，当PMN的周长最小时，则MPN．

【典例7-3】（2024·辽宁锦州·二模）【模型建构】

如图1，点O在直线AB上，射线OC，OD位于直线AB两侧，若12，则称1，2