2025年中考数学一轮知识梳理考前突破07 阅读理解、函数与几何探究、综合实践题（4大必考题型）解析版

考前突破07阅读理解、函数与几何探究、综合实践题（4大必考题型）题型一：函数与图象探究题题型二：阅读理解题题型三：几何探究题题型四：综合与实践题型一：函数与图象探究题【中考母题学方法】1．（2022·湖北襄阳·中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．(1)绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；(2)探究函数性质，请写出函数y＝-|x|的一条性质：；(3)运用函数图象及性质①写出方程-|x|＝5的解；②写出不等式-|x|≤1的解集．【答案】(1)①1；②见解析，③见解析(2)的图象关于轴对称轴（答案不唯一）(3)①或；②或【分析】（1）①把x=2代入解析式即可得a的值；②③按要求描点，连线即可；（2）观察函数图象，可得函数性质；（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．【详解】（1）①列表：当x=2时，，故答案为：1；②描点，③连线如下：（2）观察函数图象可得：的图象关于y轴对称，故答案为：的图象关于y轴对称；（3）①观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，的解是x=1或x=-1，故答案为：x=1或x=-1，②观察函数图象可得，当x≤-2或x≥2时，y≤1，∴的解集是x≤-2或x≥2，故答案为：x≤-2或x≥2．【点睛】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．2．（2020·重庆·中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．x⋯-4-3-2-101234⋯y⋯

a-2-4b-4-2

⋯（1）列表，写出表中a，b的值：a=____，b=．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数的图象关于y轴对称；②当x=0时，函数有最小值，最小值为-6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1），，作图见解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；（2）观察图象即可判断；（3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的x的范围即可．【详解】（1）当时，；当时，；∴，，故答案为：，．所画图象，如图所示．（2）①观察图象可知函数的图象关于y轴对称，故该说法正确；②观察图象可知，当x=0时，函数有最小值，最小值为，故该说法正确；③观察图象可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错误．（3）不等式表现在图象上面即函数的图象比函数的图象低，因此观察图象，即可得到的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．3．（2021·湖北荆州·中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：__________；②方程的解为：__________；③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．（2）延伸思考：将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．【答案】（1）①关于y轴对称；②；③；（2）将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，当时，自变量的取值范围为或．【分析】（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．【详解】解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；故答案为关于y轴对称；②由题意及图象可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，如图所示：∴方程的解为；故答案为；③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是；故答案为；（2）由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．4．（2021·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究n的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）由中，得，，，利用待定系数法即可得，直线CA的解析式为；（2）根据直线与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得，且，，，从而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得m=2或m=3（舍去）；（3）由得：或，①若，即，根据且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得，综合可得结果．【详解】解：（1）在中，令得，令得或，∴，，，设直线CA的解析式为，则，解得，∴直线CA的解析式为；（2）∵直线x=m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，∴，且，，，∴，，∵，，∴，是等腰直角三角形，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵E为GA的中点，∴，∴，解得或，∵时，D与A重合，舍去，∴；（3）由得：或，①若，即，∵且，∴，且，解得；②若，即，可得：且，解得．综上所述，n的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用是解题的关键．5．（2024·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．(1)【动手操作】列表：12345210123421描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．(2)【探究发现】①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象．②上述探究方法运用的数学思想是（）整体思想

B．类比思想

C．分类讨论思想(3)【应用延伸】①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象．②函数图象的对称中心的坐标为___________．【答案】(1)图见解析(2)①左，1；②B(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；②【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可；（2）结合图象填空即可；（3）根据发现的规律填空即可．【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：（2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度，②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．故答案为：左，1；B（3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为．故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．【中考模拟即学即练】1．（2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：x0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.095.088.582.677.272.468.064.060.357.154.151.485.079.574.570.065.862.058.655.552.750.247.9对以上数据进行分析，补充完成以下内容．(1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；(2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）；(3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）．【答案】(1)见详解(2)5.5；66.0(3)>【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答．（2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可．（3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可．【详解】（1）解：依题意，得与x的函数图象，如图所示：（2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）；故答案为：5.5；66.0．（3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则故答案为：>．2．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：x…01234…y…b…（2）描点并连线．（3）观察图象并填空：①，②写出该函数的一条性质：③图象与x轴围成的三角形面积为④当时，直接写出x的取值范围【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键．（2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象；（3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把x=2代入解题即可；②观察图象得到性质即可；④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可．【详解】（2）如图（3）①把x=0，代入得，解得，∴当x=2时，，故答案为：，；②当时，y随x增大而增大

（或）当时，y随x增大而减小

（或）当时，y取最小③令，则，解得，，∴图象与x轴围成的三角形面积为，故答案为：16；④令，则，解得，，∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或．3．（2024·河南商丘·二模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x-2012y-40m0其中(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并画出该函数的大致图象；(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程有个互不相等的实数根；②若关于x的方程有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是【答案】(1)(2)见解析(3)由函数图象知当或时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小(答案不唯一)(4)①2，2；②【分析】本题主要考查了求函数值，画函数图象以及从函数图象上获取信息等知识．（1）直接把代入函数式即可求出m的值．（2）根据表格数据，直接描点连线即可．（3）根据函数图象回答即可．（4）①②根据函数图象回答即可．【详解】（1）解：当时，．故答案为：．（2）函数图象如下所示：（3）由函数图象知当或时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．(答案不唯一)（4）①由函数图象知，函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程有2个互不相等的实数根；故答案为：2，2．②由函数图象知，函数的图象与直线、有两个交点，当时，函数的图象与直线有3个交点，即时，关于x的方程有3个互不相等的实数根，故答案为：．4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．(1)绘制函数图象列表：下列是x与y的几组对应值，其中________；x…01234…y…420m02468…描点：根据表中的数值描点；连线：请用平滑的线顺次连接各点，在图中画出函数图象；(2)探究函数性质请写出函数的一条性质：________________；（写一条即可）(3)运用函数图象及性质根据图象，求不等式的解集．【答案】(1)，图见解析(2)函数的图象有最低点（答案不唯一）(3)【分析】本题考查通过列表，描点，连线，画函数图象，通过函数图象研究函数的性质；（1）把代入即可求出m的值；直接描点，用平滑的曲线的进行连线即可画出函数图象；（2）根据图象即可求解；（3）图象法解不等式即可．【详解】（1）把代入，得，∴．如图，故答案为：；（2）函数的图象有最低点（答案不唯一）．故答案为：函数的图象有最低点（答案不唯一）；（3）由图象可知不等式的解集是．5．（2024·河南商丘·模拟预测）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程：(1)初步感知：函数的自变量取值范围是；(2)作出图象：①列表：0123235表中，；②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；(3)研究性质：小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为，则函数的对称中心为；(4)拓展应用：当时，关于的方程有实数解，求的取值范围．【答案】(1)(2)①，0；②见解析(3)(4)【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．（1）由题意知，，求解作答即可；（2）①将，分别代入求解即可；②描点连线即可；（3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可；（4）由题意知，当时，函数中，，把，代入函数得，，解得，把，代入函数得，解得，然后作答即可．【详解】（1）解：∵函数∴，解得，∴函数的自变量的取值范围是．故答案为：．（2）①时，，．当时，，，故答案为：，0；②函数图象如图所示：（3）函数的对称中心为，故答案为：；（4）当时，函数中，，把，代入函数得，，解得，把，代入函数得，解得，当时，关于的方程有实数解，的取值范围是．6．（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是与的几组对应值，其中；−2−2描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式．【答案】(1)−2，见解析(2)图象关于轴对称(3)或x<1【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程；（1）代入求值即可；经历描点、连线形成图象；（2）依据函数的图象关于轴对称；（3）先解方程求的交点坐标的横坐标，进而根据函数图象即可求解．【详解】（1）解：把代入得，，函数图象如图，故答案为：−2；（2）观察图形得出函数的性质：图象关于轴对称；故答案为：图象关于轴对称；（3）作出直线，当x>0时，则令，整理得，解得或x=1，当时，则令，整理得，解得，观察图象可知，当或x<1时，直线在函数的图象的下方，故不等式的解集为或x<1．7．（2024·山东济南·二模）【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究：（1）建立函数模型设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则．即那么满足要求的（x，y）应该是函数与的图象在第_____象限内的公共点坐标．（2）画出函数图象①画函数的图象；②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_____个单位长度得到．（3）研究函数图象平移直线，观察两函数的图象；①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m的值为_____；②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m的取值范围．【结论运用】（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．【答案】（1）一；（2）①图见解析；②图见解析，（3）①，8；②0个交点时，；2个交点时，（4）【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键．（1）根据x、y是边长求解即可；（2）①利用描点法画函数的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可；（3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可；②由①并结合图象可求解；（4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可．【详解】解：（1）∵x、y是边长，∴，，故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，故答案为：一；（2）①列表：x1248y421描点、连线得函数的图象如图：②列表：x01y0描点、连线得函数的图象如图，由得，函数的图象可以看成是函数的图象向上平移个单位长度得到，故答案为：；（3）由得，由，得，此时，解得，∴当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长m的值为8，故答案为：，8；②如图，由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则，，∴，，由得，由题意，该方程有实数根，则，解得，故答案为：．8．（2024·山东济南·二模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，x01234y…36ab(1)【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．(2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．(3)【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．【答案】(1)，，补全该函数的图象见解析(2)①②③(3)，理由见解析【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键．（1）分别将，代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象；（2）根据图象的增减性和最值及对称性求解；（3）仿照函数，作出图象，结合图象可知函数的函数值的取值范围为，进而结合图象即可求解．【详解】（1）当时，，当时，，即：，，补全该函数的图象如下：故答案为：，；（2）由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的；∵，∴，∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；∵，∴，∴的最大值为6；由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的；故答案为：①②③；（3）类比函数，作出的图象如图所示，由图象可知，函数的函数值的取值范围为，结合图象可知，直线与函数有两个交点时，．9．（2024·辽宁·模拟预测）一次数学课上，张老师让同学们在网格纸上画出函数的图象，下面是小宇同学通过列表、描点、连线画函数图象的过程的一部分，请你完善探究过程，并解决相关问题．x…04816…y…0a1516b120…(1)绘制函数图象：①如表是y与x的几组对应值，则表中________，________；②在如图1所示的平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出表中剩余坐标对应的x点，并画出这个函数图象；(2)如图2，小宇同学准备了若干张等腰直角三角形纸片，其中，．探究一：若按照如图3方式将两张等腰三角形纸片摆放在平面直角坐标系中，其中点D在x轴上，边所在直线始终与x轴平行，点F和点重合，D，E，F三点按顺时针顺序排列，请通过计算说明当，全部落在x轴上方抛物线内部（不包括边界）时，最左边三角形纸片顶点E的横坐标m的取值范围是多少？(3)探究二：如图4，若等腰直角在平面内平移运动，并且边所在直线始终与x轴平行，抛物线始终与边相交于点Q，且D，E，F三点按顺时针顺序排列，抛物线始终与直线交于点P．（运动时，点P不与点E，F两点重合）①当时，等腰直角左右平移时，求出点E横坐标m的最大值；②在①条件下，当时，求出点E的坐标．【答案】(1)①12；15；②图象见解析(2)(3)①，②或【分析】（1）①把，代入函数关系式计算即可；②先描点，再画图即可；（2）过D作交于点H；求解，可得当时，，可得，．求解，再进一步可得答案；（3）①过P作于点J，求解．可得，可得D的纵坐标为．再进一步可得答案；②过Q作于点T，求解．，可得．Q点纵坐标为．求解Q点横坐标为或．从而可得答案；【详解】（1）解：①当时，，当时，；②如图所示．；（2）解：过D作交于点H；∵，，∴．在中，，∴．当时，，∴，．在中，，∴，∴；（3）解：①过P作于点J，∵，∴．∵，，∴．当时，，∴，∴D的纵坐标为．当时，，，∴当D坐标为时，点D与点Q重合，m最大值为．②过Q作于点T，∴，在中，，∴．，∴，∴．∴Q点纵坐标为．当时，，，．∴Q点横坐标为或．∴或．【点睛】本题考查的是求解二次函数值，画二次函数的图象，平移的性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．题型二：阅读理解题【中考母题学方法】1．（2021·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值；（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）．【答案】（1）见详解；（2）EF=或；（3）c+b=n，理由见详解【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得到结论；（2）设EF=a，FD=b，由图形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，进而即可求解；（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，由相似三角形的性质可知：，结合勾股定理，可得，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．∴c2＝ab×4＋（b−a）2，化简得：a2＋b2＝c2；（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF=a，FD=b，∴a+b=12，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，∴，，，当EF>DF时，∵，∴a-b=5，∴，解得：a=，∴EF=；同理，当EF<DF时，EF=故EF=或（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，∵，∴图中①与②与③，三个直角三角形相似，∴，即：，∵图形③是直角三角形，∴，∴，即：c+b=n，【点睛】本题主要考查勾股定理及其证明过程，相似三角形的判定和性质，找准图形中线段长和面积的数量关系，是解题的关键．2．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为，，则有，．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若，是关于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．【答案】（1），2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．【详解】解：（1）∵，∴，2，3是“和谐三数组”；故答案为：，2，3（答案不唯一）；（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不为0)的两根，∴，，∴，∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，∴，∴，∴=，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）∵A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，∴，，，∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，∴或或，即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．【点睛】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．3．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：．【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．

【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：【分析】探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案；拓展提升：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，得到，即可得到结论；尝试应用：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：作于点E，作交的延长线于点F，则，

∵四边形为平行四边形，若，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；拓展提升：延长到点C，使，

∵为的一条中线，∴，∴四边形是平行四边形，∵．∴由【探究发现】可知，，∴，∴，∴；尝试应用：∵四边形是矩形，，∴，，设，则，∴，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，的最小值是故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．4．（2020·山东日照·中考真题）阅读理解：如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．探究活动：如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：（用＞、＝或＜连接），并说明理由．事实上，以上结论适用于任意三角形．初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；初步应用：根据，得出，即可得出b的值；综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．【详解】解：探究活动：，理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝，∴，同理可证：，∴；故答案为：＝，＝，＝．初步应用：∵，∴，∴．综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，∵，∴，∴，∴，∴古塔高度约为36.6m．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．5．（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图【阅读理解】任务：如图1，点D、E分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．

操作：如图2，连接、交于点P，连接交于点M，延长交于点N，则M、N分别为、的中点．理由：由可得及，所以，．所以，．同理，由及，可得，．所以．所以，则，，即M、N分别为、的中点．【实践操作】请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．（1）如图3，，点E、F在直线上．①作线段的中点；②在①中作图的基础上，在直线上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得；（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了．点E、F在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；【探索发现】请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点Q，使得（要求用两种方法）．【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在上方任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点；②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求；（2）根据上述作法，有两种作法；[探索发现]如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点．【详解】解：[实践操作]（1）①如图，点即为所求作的点；②如图，点即为所求作的点；（2）如图，作法一、作法二、点，即为所求作的点；[探索发现]（3）如图，作法一、作法二、作法三、作法四、作法五、点即为所求的点．【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分中，为中点是解题关键．6．（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．

证明：设，∵，∴，易证∴，∴∴，若时，当，则．同理：若时，当，则．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．

(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出的值；(3)求直线的解析式．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；（3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可．【详解】（1）将代入得，，∴，∵直线与反比例函数的图象交于点，∴设，∵，，∴在中，，∴，∴解得，，∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，∴应舍去，∴，∴，∴将代入，解得；∴反比例函数的解析式为；（2）∵，，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴四边形是矩形，∴，∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，∴，∴，∵，∴；（3）∵四边形是矩形，∴，，∵，，∴，即，∴解得，∴，∴，∴设直线的解析式为，∴将和代入得，，∴解得，∴直线的解析式为．【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．7．（2021·广西·中考真题）【阅读理解】如图1，，的面积与的面积相等吗？为什么？解：相等，在和中，分别作，，垂足分别为，．，．，四边形是平行四边形，．又，，．【类比探究】问题①，如图2，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积．解：过点作于点，连接．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】问题②，如图3，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积．【答案】①；②．【分析】①过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出；②连接CE，证明，即可得，由此即可求解．【详解】：①过点作于点，连接，∵在正方形中，，∴，∴，∵，，∴，∵在正方形中，，∴；②，过程如下：如解图3，连接CE，∵在正方形、正方形中，∴，∴，∴，∵在正方形中，，，∴．【点睛】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形．【中考模拟即学即练】1．（2024·浙江杭州·模拟预测）阅读理解教学实践活动：班测量雷峰塔高度实践的相关数据活动1如图，A点为塔顶，将一根木棒立在D处，的连线交地面于Q点，同理将相同长度的木棒立在F处，同时得到P点．若移动木棒使得，在E点的仰角为30°，则___________．

活动2如图，小组2设计了此测量方法，若的长度为，已知，，则可以得到塔的高度大约为___________．（）

总结与取优老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶和塔项A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求出塔高．

【答案】活动1：；活动2：米；总结与取优：42米【分析】活动一：过点E作于点M，根据求出根据求出，进而求出即可；活动二：设塔的高度为，用表示出，进而用求出x即可；总结与取优：先证明，求出的长，再证明即可求出答案．本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确理解题意并构造直角三角形是解题关键．【详解】解：活动一：过点E作于点M，∵，∴∵∴∵∴∴∴故答案为：；活动二：设塔的高度为，在中，，∵，∴，∵,∴在中，，∵，∴，解得，即塔的高度大约为44.35米．故答案为：44.35；总结与取优：∵，∴，∵∴∴，∵∴解得：∵∴∵∴∵∴∴，即，解得：，∴塔高为42米．2．（2024·广东深圳·一模）综合与应用为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离米处，绳子刚好经过她的头顶．

【阅读理解】（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）【问题解决】（2）体育龙老师身高米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳.【答案】（1）；（2）他不适合参加本次运动，理由见解析；（3）最多可供人齐跳【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）求出函数的最大值，进行判定即可；（3）令，得，求出，，根据，得出最多可供人齐跳．【详解】解：（1）依题意，抛物线经过，，，可列方程组，解得，∴抛物线解析式为；（2）∵，∴抛物线开口向下，当时，有最大值，∵，∴他不适合参加本次运动；（3）令，得，解得，，∵，，∴最多可供人齐跳．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析，求函数的最值，求自变量的值，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．3．（2024·河北邯郸·二模）【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例点从原点出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．【应用】点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了次．(1)当时，若点恰好落在直线上，求的值；(2)无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，，，①若点、点位于直线的两侧，求的取值范围；②若点关于直线的对称点落在轴上，直接写出的值．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质．（1）根据平移方式，求得点的坐标为，代入求解即可；（2）①根据平移方式，求得点的坐标为，代入求得，令，求得直线的解析式为，分别经过点、点即可求得的取值范围；②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：已知，其中，按甲方式移动了次，则按乙方式移动了次，根据平移方式，点的坐标为，由题意得，解得；（2）解：①设这条直线的解析式为，点按甲方式移动了次，又点从原点出发连续移动次，则点按乙方式移动了次，∴点按甲方式移动了次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点的坐标为，由题意得，即，∵无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，∴，解得，，∴直线的解析式为，若点、点位于直线的两侧，情况一：直线恰好经过，代入得，即，情况一：直线恰好经过，代入得，即，∴若点、点位于直线的两侧，的取值范围是；②点关于直线的对称点落在轴上，记直线与轴、轴的交点为，过点作轴于点，连接，与直线交于点，如图，根据题意得，，∴，∴，根据轴对称的性质得，，∴，且，∴是等腰直角三角形，，∴，∴，∵是的中点，∴且，∴点与点重合，∴，∴．4．（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是．[探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．[发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是．【答案】阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论：【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．阅读理解：由中位线可得，进而证明，，同理可证，，即可求解；探究思考：取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解；发现结论：取G、H、I分别是三边的n等分点，且，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理可得，，即可求解．【详解】解：阅读理解：是的中位线，，又，，，即，同理可证，，，，故答案为：；探究思考:如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，，，，，，，又，，，即，，，同理可证，，，综上可知，与的面积比是定值，定值为；发现结论：如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且，，，，，，，，，即，，，同理可证，，，，故答案为：．5．（2024·福建泉州·模拟预测）某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务．一、收集资料，阅读理解两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！二、动手操作，直观感知任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形．①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号）三、探究延伸，灵活运用任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示）任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号）请结合上述材料，解决下面问题：(1)补全任务一①、②所缺的内容；(2)根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示）(3)完成任务三问题的解答．【答案】(1)①见解析；②(2)5；(3)【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正多边形的中心角，解直角三角形；（1）①根据题意补全图形，即可求解；②设正方形的边长为，则，，勾股定理求得，进而求得，再求比值，即可求解；（2）根据，进而解直角三角形，即可得出与的关系；（3）延长至，使得，连结．过点作的平分线，交于点，证明，根据相似三角形的性质得出；法1：设，则，根据比例式得出，进而得出，根据正弦的定义即可求解；法2：由题意知是的比例中项，由任务一结论，可知，又，再根据正弦的定义即可求解．【详解】（1）解：①将图1补充完整如图所示．②解：设正方形的边长为，则，∴，∵∴∴（2）如图所示，依题意，，，过点作于点，∴在中，∴，∴（3）如图，延长至，使得，连结．，即，则垂直平分又过点作的平分线，交于点，则，则法1：设，则又即，解得为正数，．法2：由题意知是的比例中项，由任务一结论，可知，又，．6．（2024·吉林长春·模拟预测）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°．②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．解：∵，∴，∵，∴，∴______，（定角）∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．(2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______．(3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长．【答案】(1)①②，后面过程见解析(2)4(3)【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案；②根据图形结合推理过程直接解答即可；（2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值；（3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为．【详解】（1）解：①∵，∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，如图1，∴，故答案为：；②∵，∴，∵，∴，∴，∴点P在以（定弦）为直径的上，如图2，连接交于点P，此时最小，∵点O是的中点，∴，在中，，，，∴，∴．∴最小值为2，故答案为：；（2）解：如图3，连接，∵点B，点M关于直线对称，∴，∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，∴当点M在线段上时，有最小值，∵，，∴，∴的最小值为，故答案为：4；（3）解：如图4，连接交于点O，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴∴点P的运动路径是以为直径的圆弧，∴点P的运动路径长为．【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键．题型三：几何探究题【中考母题学方法】1．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3）【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证；（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；（3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明∵为等边三角形，∴，∵绕点M逆时针旋转得到，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：四边形为平行四边形，理由如下，∵，，∴，∵绕点M逆时针旋转得到，∴，，∴，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，则四边形为平行四边形；（3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值为．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键．2．（2023·江苏·中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形EFGH，点、在边AB上（），且点、、、在直线AB的同侧；第二步，设置，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线AD相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．

(1)如图，小丽取，滑动矩形EFGH，当点、重合时，______；(2)小丽滑动矩形EFGH，使得恰为边AB的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】(1)；(2)见解析；(3)小丽的猜想正确，理由见解析．【分析】（1）证，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证得，同理可得，由，，得，进而有，再根据矩形的性质即可得证；（3）当时，取AB的中点，连接MC、，由，恰为边的中点，得，进而证，得，于是有，由平行线分线段成比例得，同理可证：，于是有，从而即可得解．【详解】（1）解：∵四边形和四边形EFGH都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中点，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如下图，解：∵小丽滑动矩形EFGH，使得恰为边AB的中点，∴，，∵四边形和四边形EFGH都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小丽的猜想正确，当时，总成立，理由如下：如下图，取AB的中点，连接MC、，

∵四边形和四边形EFGH都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰为边的中点，是AB的中点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可证：，∵，∴，∴，∴小丽的猜想正确．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．【中考模拟即学即练】3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由；(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析【分析】（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得．（2）在上取，连接．依次证明，，可得．（3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得．【详解】（1）解：．理由如下：由旋转的性质，可知，，，，∴，∴E，B，C三线共线．∵，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（2）解：．理由如下：如图，在上取，连接．∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（3）解：．理由如下：如图，将绕点A逆时针旋转得，∴．∵，∴，∴E，D，C三点共线．由（1）同理可得，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2024·福建莆田·二模）在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．(1)如图1，当时，求证：；(2)如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）证明且，从而证明三角形全等；（2）过点作，垂足为点，取中点，连接，由四等分点证明，再根据三线合一得到，进而证明，最后可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到；（3）以为边作等边三角形，连接，证明，则可得点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，即可求出答案．【详解】（1）证明：是等边三角形，，，，即，又，．（2），理由如下：过点作，垂足为点，取中点，连接，，，，点是的中点，，是等边三角形，，点是中点，点是四等分点，，，，由（1）得，又，，，，，，，，是的垂直平分线，．（3）以为边作等边三角形，连接，，是等边三角形，，，，，即当点和点运动过程中，始终保持，则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，由三角形三边关系可知，则，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，是等边三角形，点是中点，，，，，则的最小值为．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，隐圆，本题的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题．5．（2024·河南漯河·二模）在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状．以下是智慧小组的探究过程．【特例探究】如图1，点G在边上．小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路：从M是的中点入手，延长交于点N，如图2．通过证明，得到，．由于，，故________．所以是________．再结合M是的中点从而可得结论．（1）横线处应填：________，________．【类比探究】（2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由．【拓展应用】（3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长．【答案】（1），等腰直角三角形

（2）仍是等腰直角三角形，不发生变化，理由见解析（3）或【分析】（1）根据给定的信息，填空作答即可；（2）过点C作的平行线，交的延长线于点P，连接，证明，得到，推出，过点作于点，则：，设与的交点为，证明，推出为等腰直角三角形，得到，且，即可得证；（3）分点M在线段的延长线上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：（1）由于，，故，所以是等腰直角三角形，故答案为：，等腰直角三角形；（2）不发生改变，理由如下：过点C作的平行线，交的延长线于点P，连接，如图所示．∵，∴，又∵，∴，∴，∵四边形都是正方形，∴，∴，过点作于点，则：，设与的交点为，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，又∵，∴，且，∴为等腰直角三角形；（3）①当点M在线段的延长线上时，如图所示．由(2)，可知是等腰直角三角形，∴设，则，在中，由勾股定理，得，解得或（舍去）．∴．②当点M在线段的延长线上时，如图所示．同理，可得．综上所述，或．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的关键．6．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是：；(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．【答案】(1)且(2)见解析(3)和的面积相等，理由见解析(4)【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解；（2）在中，，在中，，再根据，即可求解；（3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解；（4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长CA，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长．【详解】（1）解：∵，都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，，在中，，∴在中，，∴，即，故答案为：且；（2）证明：由（1）可知，且，在中，，在中，，∵，∴，∴；（3）解：和的面积相等，理由如下，如图所示，延长到点，使得，连接，∵，∴，∵，即，∴，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴，在中，点是中点，∴，∴，∴和的面积相等；（4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，∴，∴，即，∴，∴，，∵，∴，∴，即，垂足为，在中，，∴，如图所示，延长CA，过点Q作延长线于点T，∵，∴，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，∴的长度为．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分三角形面积，勾股定理等知识的综合，含30°角的直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．7．（2024·广东深圳·模拟预测）【几何探究】【教材呈现】如图1，，，点是边上一点，且，若，则；【探究发现】如图2，在正方形中，点是上动点，点是上一点，且，将绕点逆时针旋转，点落在射线上的点处，点对应点为点，连接．（1）当点为中点时，求证：为等腰直角三角形；（2）如果点为上任意一点，试探究：与之间的数量关系，写出你的结论并加以证明；【迁移运用】如图3，在菱形中，，点是上动点，点是上一点，且，将绕点逆时针旋转，点落在射线上的点处，点对应点为点，连接，直接写出与之间的数量关系（用含有的式子表示）．【答案】教材呈现：；（1）见解析；（2）与之间的数量关系：；迁移运用：与之间的数量关系：【分析】教材呈现：根据题意可得，设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案；探究发现：（1）作于点，交于点，连接，设，则，结合等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，；由旋转的性质可得，，，，，进而可得，，然后证明，进一步证明，，即可证明结论；（2）作于点，交于点，由（1）可知，，进而可得，，，易得，，即可证明结论；迁移运用：过点作，垂足为，设，则，易得，由旋转的性质可得，，，，，进而可得；证明，，再在直角三角形中，利用三角函数可得，易得，然后证明，即可证明结论．【详解】教材呈现：∵，，，∴，设，则，∴在中，可有，即，解得，∴．故答案为：5；探究发现：（1）如图，作于点，交于点，连接，∵四边形为正方形，∴，，设，则，∵，∴，又∵旋转得到，∴，，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵点为中点，即，∴，∴，∵，，∴，即垂直平分，∴，∴，∴，即，又∵，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形；（2）与之间的数量关系：．证明如下：如下图，作于点，交于点，由（1）可知，，则，，，∴，∴，∴；迁移运用：如下图，过点作，垂足为，∵四边形为菱形，，∴，，设，则，∵，∴,∵旋转得到，∴，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，，∴,∴，∴，∴，∴在中，可有，即，，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．8．（2024·河南濮阳·三模）王老师带领同学们在探究几何问题变换时，与同学们一起探究下列问题，请你思考解决．如图1，在正方形中，点P是射线上的一个动点，连接．

【观察发现】（1）与的大小关系是（

）A．大于

B．小于

C．相等

D．不能确定【探究迁移】（2）如图2，作，交延长线于点E，判断的形状并给出证明；【拓展应用】（3），交直线于点E，点P在运动的过程中，当，时，直接写出的长．【答案】（1）C；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）的长是或．【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由正方形的性质，得到，，可证明即可得出结论；（2）由得到，再由，，得到，进而得到，则可判定是等腰三角形；（3）分两种情况：当点P在上时，当点P在的延长线上时，分别证明是等腰三角形，是等腰三角形，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，故选：C．（2）是等腰三角形，理由如下：∵四边形是正方形，∴，，，∴，又∵，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴是等腰三角形．（3）当点P在上时，如图：

∵四边形是正方形，，∴，，∵是等腰三角形，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∴；当点P在的延长线上时，如图：

由（2）可知，，∴，∵是等腰三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∴的长是或．9．（2024·广东惠州·二模）综合探究【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．【初步探究】（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空：①的度数为；②若，则的长为；【类比探究】（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．【答案】（1）①；②；（2）；（3）【分析】（1）①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；②结合等腰三角形的性质求解即可；（2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得，设正方形边长为，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案；（3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案．【详解】解：（1）①将绕点逆时针旋转得，，，为等腰直角三角形，；②为等腰直角三角形，，，故答案为：①；②；（2）将绕点逆时针旋转得，如图，由旋转的性质可得，，，，，，，共线，，，，，，，，，，设正方形边长为，则，，在中，，即，解得或（负值舍去），正方形的边长为；（3）如图，将绕逆时针旋转至，连接，由旋转的性质可得，，，，，又，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解．10．（2024·山西晋城·三模）综合与实践问题情境：在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：．观察思考：（1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题．探索发现：受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接．（2）如图2，在图1的基础