2025年中考数学一轮知识梳理难点11 锐角三角函数的常考题型（6大热考题型）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages100100页难点11锐角三角函数的常考题型（6大热考题型）题型一：正弦概念的辨析与应用题型二：余弦概念的辨析与应用题型三：正切的概念辨析与应用题型四：特殊角三角函数值的应用题型五：解直角三角形的相关运算题型六：解直角三角形的实际应用题型一：正弦概念的辨析与应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为．【变式1-3】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径．【变式1-4】（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

(1)求k与m的值；(2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．【中考模拟即学即练】1．（2024·河北张家口·模拟预测）在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．

2．（2024·广东·模拟预测）正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为（

）A． B． C． D．13．（2024·广东广州·模拟预测）在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是，且较大的锐角为，则等于（）A． B． C． D．5．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为．6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是AD的中点，将四边形沿翻折得到四边形，连接，则的值等于．7．（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为．8．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．(1)求的值．(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）9．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？题型二：余弦概念的辨析与应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【变式2-3】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为．【变式2-4】（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是．【变式2-5】（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则．【变式2-6】（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则．

【中考模拟即学即练】1．（2025·湖南娄底·一模）若是一个锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为，小正方形面积为，则的值为（

）A． B．43 C． D．453．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2024·广东·模拟预测）如图，直径为10的经过点C0,6和点O0,0，是轴右侧上一点，则的余弦值为（

）A． B． C． D．455．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点，若，则的余弦值为（）A． B． C． D．6．（2024·上海·模拟预测）在中，，于D，若和的面积比为，则的余弦值为7．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点A，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的值．题型三：正切的概念辨析与应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·云南·中考真题）在中，，已知，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么．

【变式3-1】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（

）A．2 B． C． D．【变式3-2】（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（

）A．2 B． C． D．3【变式3-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则．【变式3-4】（2024·江西·中考真题）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则．【变式3-5】（2023·江苏·中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是．

【变式3-6】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，．(1)求证：；(2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值．【中考模拟即学即练】1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川乐山·模拟预测）在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（

）A． B． C． D．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西渭南·一模）在中，，，则的值为．6．（2025·山东青岛·一模）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是．7．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在中，，若，则的值为．题型四：特殊角三角函数值的应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·山东青岛·中考真题）计算：．【变式4-1】（2024·西藏·中考真题）计算：．【变式4-2】（2024·山东济南·中考真题）计算：．【中考模拟即学即练】1．（2025·上海普陀·一模）计算：．2．（2025·广东·模拟预测）计算：．3．（2025·湖南·模拟预测）计算：．题型五：解直角三角形的相关运算【中考母题学方法】【典例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求的面积．【变式5-1】（2024·海南·中考真题）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是（

）

A．22 B．21 C．20 D．18【变式5-2】（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为．【变式5-3】（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为．【变式5-4】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为0,4，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为．【变式5-5】（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线的长的度数腰长两腰之和两腰之积图①1244图②122图③1__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？图序角平分线的长的度数腰长两腰之和两腰之积图①1244图②122图③1【中考模拟即学即练】1．（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接DE交于点F．则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川绵阳·三模）如图中，，，若，，且的面积是面积的10倍，则的长度是（

）A． B． C． D．4．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是边上的高，．如果，那么．5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则6．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知．(1)尺规作图：作的边AB的垂直平分线，交AB于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若，求DE的长．7．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接．(1)求证：是的切线；(2)延长交的延长线于F，若，，求的长．8．（2024·河北邢台·一模）如图1，四边形中，，，，为四边形的对角线，．

(1)求点到的距离；(2)如图2，点在边上，且．以为圆心，长为半径作，点为上一点，连接交于．．①当与相切时，求的长；②当时，直接写出的长．题型六：解直角三角形的实际应用【中考母题学方法】【典例1】（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．【变式6-1】（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（

）（结果精确到．参考数据：）A． B． C． D．【变式6-2】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到）．（参考数据：，）【变式6-3】（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．(1)求点离水平地面的高度．(2)求电线塔的高度（结果保留根号）．【变式6-4】（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．（参考数据：）【变式6-5】（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度；【步骤二】在点处用测角仪测得；【步骤三】在点处用测角仪测得．解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）（参考数据：）【变式6-6】（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处．记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处．记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．请你根据以上信息解决下列问题：(1)填空：________，________，________海里；(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．（参考数据：）【变式6-7】（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：综合实践活动记录表活动内容测量轻轨高架站的相关距离测量工具测倾器，红外测距仪等过程资料相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，．成果梳理……请根据记录表提供的信息完成下列问题：(1)求点到地面的距离；(2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，）【中考模拟即学即练】1．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得，，国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数）2．（2025·山东青岛·一模）阿代的数学研学日记课题：测量旗杆的高度地点：青岛市山海二十六中学操场时间：2025月3月2日昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______．今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．（参考数据：，，；，，）3．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jiégāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．(1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）4．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）(1)如图2，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；(2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到）5．（2024·甘肃定西·模拟预测）甘肃科技馆（如图）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶．某校学习小组把测量甘肃科技馆的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表课题测量甘肃科技馆的高度测量示意图说明甘肃科技馆楼顶一角的D处到地面的高度为，在A点用仪器测得点D的仰角为，在E点用该仪器测得点D的仰角为，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内测量数据，，，测角仪的高度为请你根据上表的测量数据，帮助该小组求出甘肃科技馆的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，）6．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．(1)__________，__________；(2)求点到道路的距离；(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，）7．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到）(1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？(2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，，8．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．（参考数据：）(1)求的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点