2025年中考数学一轮知识梳理难点08 与圆有关的位置关系常考题型（8大热考题型）（原卷版）

难点08与圆有关的位置关系常考题型

（8大热考题型）

题型一：点与圆的位置关系

题型二：确定圆的条件

题型三：三角形的外接圆问题

题型四：直线与圆的位置关系

题型五：切线的证明

题型六：切线的性质

题型七：三角形内切圆问题

题型八：切线长定理

题型一：点与圆的位置关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，O中，弦AB的长为43，点C在O上，OCAB，

ABC30．O所在的平面内有一点P，若OP5，则点P与O的位置关系是（）

A．点P在O上B．点P在O内C．点P在O外D．无法确定

【变式1-1】（2022·吉林·中考真题）如图，在VABC中，ACB90，AB5，BC4．以点A为圆心，r

为半径作圆，当点C在A内且点B在A外时，r的值可能是（）

A．2B．3C．4D．5

【变式1-2】（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形ABCD中，AB4,AD3，圆B的半径为1，圆A

与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（）

A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外

C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外

【变式1-3】（2021·青海·中考真题）点P是非圆上一点，若点P到O上的点的最小距离是4cm，最大距离

是9cm，则O的半径是．

【中考模拟即学即练】

1．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知O的半径是4，OP3，则点P与O的位置关系是（）

A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定

2．（2024·云南怒江·一模）平面内，O的半径为cm，若点P在O内，则OP的长可以是（）

A．8cmB．cmC．1120cmD．14cm

3．（2024·江苏宿迁·模拟预测10）已知O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x22xa0

不存在实数根，则点A与O的位置关系是（）

A．点A在O外B．点A在O上

C．点A在O内D．无法确定

4．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从

中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（）

A．甲图四点共圆，乙图四点共圆B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆

C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆

5．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY40m，YZ30m，XZ50m．若在XZ

中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（）

A．X，Y，ZB．X，ZC．Y，ZD．Y

6．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长均为l）中选取9个格点（格线的交点

称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为

（）

A．17r32B．22r17

C．17r5D．5r29

7．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格

点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．

(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为______；

(2)请通过计算判断点D(3,2)与M的位置关系．

题型二：确定圆的条件

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·江西·中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任

意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【变式2-1】（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；

玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；

肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两

种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；

(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

一”？

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

【中考模拟即学即练】

1．（2023·山东青岛·二模）已知：如图，点P是ABC的边BC上的一点．

求作：O，使点O在ABC的角平分线上，且O经过B、P两点．

2．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的

圆n个，则n的值不可能为（）

A．4B．3C．2D．1

3．（2023·贵州贵阳·二模）下列四个命题，正确的是（）

①经过三点一定可以画一个圆；

②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．

A．①②B．①④C．②④D．③④

4．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、

E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为．

5．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水

道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上

海之鱼的大小．

(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）

(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，

并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE为22

米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．

6．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、

G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹）

题型三：三角形的外接圆问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2020·河北·中考真题）有一题目：“已知；点O为的外心，BOC130，求A．”嘉嘉的

𝛥𝐴

解答为：画以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图．由BOC2A130，得A65．而淇淇

说：“嘉嘉考�虑��的�不周全，A还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）

A．淇淇说的对，且A的另一个值是115°

B．淇淇说的不对，A就得65°

C．嘉嘉求的结果不对，A应得50°

D．两人都不对，A应有3个不同值

【变式3-1】（2022·江苏常州·中考真题）如图，VABC是O的内接三角形．若ABC45，AC2，

则O的半径是．

【变式3-2】（2023·内蒙古·中考真题）如图，O是锐角三角形ABC的外接圆，ODAB,OEBC,OFAC，

垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DEDF6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（）

A．8B．4C．3.5D．3

【变式3-3】（2023·湖南湘西·中考真题）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作

1

BEAC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为．

2

【变式3-4】（2022·广西玉林·中考真题）如图，在57网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，

D，E均在格点上，点O是VABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除VABC外把你认为外心也是O

的三角形都写出来．

【变式3-5】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：

在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：

如图1，VABC中，ABAC，BAC（60180）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重

合），将线段AD绕点A顺时针旋转到线段AE，连接BE．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；

(2)如图2，当ADCD时，O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是O的切线；

(3)已知120，BC6，点M是边BC的中点，此时P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点

M距离的最小值．

【中考模拟即学即练】

1．（2023·河北秦皇岛·一模）在VABC中，B45，AB6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC

的长唯一，其中正确的是（）

甲：AC4；

乙：AC8；

丙：VABC的外接圆半径为4

A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．乙和丙

2．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的VABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于

1

BC长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CDAD，B25，

2

则下列结论中错误的是()

A．ACD65B．ACB90

C．CAD50D．点D是VABC的外心

1

3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在VABC中，已知BC42，cosA，D是BC的中点，点O是VABC

3

的外接圆圆心，则OD（）

2

A．2B．2C．1D．

2

4．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片ABCD的中心O刚好是ABM的外心，则AMB（）

A．135B．125C．115D．105

5．（2024·山东淄博·二模）如图，在VABC中，BAC60，ADBC于点D，且AD4，则VABC面积的

最小值为．

6．（2023·广东湛江·模拟预测）如图，已知VABC．

(1)用直尺和圆规作VABC的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)若AB2，ACB45，求O的半径．

7．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，已知点A为线段BC外一点，连接AB，AC，且BAC45，

BC6，求VABC面积的最大值；

（2）如图2，某城市有一个废旧机车工厂，现在想利用这个废旧机车工厂改造为机车主题公园，其中AP为

原有机车的铁轨，长500m，计划保留放置各种年代的机车头作为网红留念打卡地标．AP两侧为面积相等

的现代与未来两个主题活动区，要求BAC120，点P为BC的中点，按照设计要求，求出符合条件的

VABC的最大面积．

题型四：直线与圆的位置关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2022·四川凉山·中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两

点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

【变式5-1】（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆

的位置关系是（）

A．相切B．相交C．相离D．平行

【变式5-2】（2023·江苏镇江·中考真题）已知一次函数ykx2的图像经过第一、二、四象限，以坐标原

点O为圆心、r为半径作O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数ykx2的图像与O总有两个公

共点，则r的最小值为．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和

与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．包含

2．（2024·湖北·模拟预测）VABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为

半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（）

A．相交B．相离C．相切D．以上都不是

3．（2023·湖北孝感·一模）已知O的半径是一元二次方程x23x40的一个根，圆心O到直线l的距离

d6，则直线l与O的位置关系是（）

A．相切B．相离C．相交D．相切或相交

1

4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数yx0的图象上的一点，P的半径为2，当P与

x

直线yx有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（）

A．1x2B．21x2

C．21x1D．21x21

5．（2024·上海嘉定·三模）设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多

为个.

6．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为5的O经过VABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD8，

ABAD．

(1)求AB的长；

4

(2)如果tanC，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由．

3

题型五：切线的证明

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将VABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C落在

边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，O经过点A、D．若ACB90，判断BC与O的位置关系，

并说明理由．

【变式5-1】（2024·山东济宁·中考真题）如图，VABC内接于O，D是BC上一点，ADAC．E是O外

一点，BAECAD,ADEACB，连接BE．

(1)若AB8，求AE的长；

(2)求证：EB是O的切线．

【变式5-2】（2024·山东济南·中考真题）如图，AB,CD为O的直径，点E在BD上，连接AE,DE，点G在

BD的延长线上，ABAG,EADEDB45．

(1)求证：AG与O相切；

1

(2)若BG45,sinDAE，求DE的长．

3

【变式5-3】（2024·西藏·中考真题）如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，连接AC，BC，CO平

分ACD，CEDB，交DB延长线于点E．

(1)求证：CE是O的切线；

3

(2)若O的半径为5，sinD，求BD的长．

5

【变式5-4】（2024·山东东营·中考真题）如图，VABC内接于O，AB是O的直径，点E在O上，点C

是BE的中点，AECD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)若CD3，ABC60，求线段AF的长．

【中考模拟即学即练】

1．（2025·广西柳州·一模）如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，连接BD，ADCD，过点

D作DEBC交BC的延长线于点E．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若BD8，O的半径为5，求DE的长．

2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为10cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C的

直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，点E是BC的中点，OE6cm．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)求AD的长．

3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，AB是O的直径，AD是O的弦，C是AB延长线上一点，

过点B作BECD交CD于E，交O于F，EBC2DAC．

(1)求证：CD是O的切线；

3

(2)若cosABF，O的半径为5，求BC的长．

5

4．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在ABC中，D是边上一点，圆O过D、B、C三点，

DOC2ACD．��

(1)求证：直线AC是圆O的切线；

(2)若ODOC，ACB75，圆O的半径为4，求BC的长．

5．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，AB是O的直径，半径为2，O交BC于点D，且D是BC的中点，

DEAC于点E，连接AD．

(1)求证：DE是O的切线．

(2)若C30，求BC的长．

6．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，且ACBDCE．

(1)判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；

2

(2)若tanACB，BC2，求O的半径．

2

7．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，AB为O的直径，点E，F是O上异于A，B的两点，延长AF，BE

1

相交于点D，在AD的延长线上取点C，连接BC，已知BDCAFE，CBDCAB，

2

(1)求证：BC是O的切线；

(2)若O的半径为2，CD6，求AF的长．

8．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6．E为射线CB上一动点，以DE为

直径的O交AD于点F，过点F作FGAE于点G．

(1)若E为BC的中点，求证：FG为O的切线．

(2)若CEm，请直接写出O与线段AB的交点个数及相应的m的取值范围．

9．（2024·四川眉山·二模）如图，P与O相交于A，B两点，P经过圆心O，点C是P的优弧AB上

任意一点（不与点A，B重合）．连结AB，AC，BC，OC；

(1)证明：ACOBCO；

(2)请说明当点C在P什么位置时，直线CA与O相切；

(3)请说明当ACB的度数为何值时，P与O的半径相等．

题型六：切线的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，ABBD，O为△ABD的外接圆，BE为O的

切线，AC为O的直径，连接DC并延长交BE于点E．

(1)求证：DEBE；

(2)若AB56，BE5，求O的半径．

【变式6-1】（2024·山西·中考真题）如图，已知VABC，以AB为直径的O交BC于点D，与AC相切于点

A，连接OD．若AOD80，则C的度数为（）

A．30B．40C．45D．50

【变式6-2】（2024·福建·中考真题）如图，已知点A,B在O上，AOB72，直线MN与O相切，切点

为C，且C为AB的中点，则ACM等于（）

A．18B．30C．36D．72

【变式6-3】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD与O相切

于点D，若C20，则CAD°．

【变式6-4】（2024·浙江·中考真题）如图，是O的直径，AC与O相切，A为切点，连接BC．已知

ACB50°，则B的度数为��

【变式6-5】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，VABC中，ACB90，点O为AC边上一点，以点O为

圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．

(1)求证：ABC2ACD；

(2)若AC8，BC6，求O的半径．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A的圆心在x轴上，点B4,3在A上，若A

与y轴相切，则A的半径为．

2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AC是O的直径，与O相切于点C，交O于点D，连接OD，

若COD84，则ABC的度数为（）𝐴��

A．46B．48C．50D．52

3．（2024·广东·模拟预测）如图，AD，CD为O的两条弦，过点C的切线交OA延长线于点B，若D27，

则B的度数为（）

A．32B．36C．39D．42

4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如

图2，根据割圆八线图，在扇形AOB中，AOB90，AC和BE都是O的切线，点A和点B是切点，BE

交OC于点E，OC交O于点D.若ACBE12，则O的半径长为（）

A．23米B．2米C．6米D．3米

56．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，O的半径为2，圆心在正方形

的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与O相切于点A（△EFA与O除切点外无重叠部分），

延长FA交CD边于点G，则AG的长是．

6．（2024·湖南·模拟预测）如图，AB为O的直径，点C为圆上一点，连接AC,BC，过点B作O的切线

BD，连接AD交BC于点E，交O于点F，连接BF，且AD平分BAC．

(1)求证：DEBD；

(2)若DE2,BD5，求O的半径．

7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在VABC中，O为边BC上一点，O过点C，且与AB相切于点D，连

接CD，OD，ADAC．

(1)求证：VABC为直角三角形．

(2)延长DO与O交于点E，连接CE，若ADDE6，求CE的长．

8．（2024·安徽六安·模拟预测）已知四边形ABCD是的内接四边形，AC是O的直径，DCE是四边形

ABCD的一个外角，DC平分ACE．

(1)如图1，BAD56，求BAC的度数；

(2)如图2，过点D作O的切线DF交BC的延长线于点F，AB8，BC6，求CF的长．

题型七：三角形内切圆问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·四川攀枝花·中考真题）已知VABC的周长为l，其内切圆的面积为r2，则VABC的面积

为（）

11

A．rlB．rlC．rlD．rl

22

71．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”

译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的

直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直

角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直

角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

【典例2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，点O是VABC外接圆的圆心，点I是VABC的内心，连接OB，

IA．若CAI35，则OBC的度数为（）

A．15B．17.5C．20D．25

【变式7-1】（2023·广东广州·中考真题）如图，VABC的内切圆I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，

F，若I的半径为r，A，则BFCEBC的值和FDE的大小分别为（）

A．2r，90B．0，90C．2r，90D．0，90

22

【变式7-2】（2023·山东·中考真题）在VABC中，BC3,AC4，下列说法错误的是（）

A．1AB7B．SABC6

C．VABC内切圆的半径r1D．当AB7时，VABC是直角三角形

【变式7-3】．（2024·湖南永州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90，以B为圆心，任意长为半径画

1

弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的定长为半径画弧，两弧交于点P，

2

作射线BP交AC于点D，作DEAB，垂足为E，则下列结论不．正．确．的是（）

A．BCBEB．CDDEC．BDADD．BD一定经过VABC的内心

【变式7-4】．（2024·湖北·中考真题）如图，在VABC中，ACB70，△ABC的内切圆O与AB，BC分

别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则AFD．

【中考模拟即学即练】

4

1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张Rt△ABC纸片中，ACB90，AC8，tanABC，O

3

是它的内切圆．小明用剪刀沿着O的切线DE剪下一块三角形ADE，则VADE的周长为（）

A．9B．12C．15D．18

2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，VABC中，C90，点O为VABC的外心，BC6，AC8，P

是ABC的内切圆．则OP的长为（）

12

A．2B．3C．5D．

5

3．（2023·河北邢台·二模）如图，将ABC折叠，使AC边落在边上，展开后得到折痕，再将ABC折

叠，使BC边落在边上，展开后得到折痕BE，若与BE的�交�点为O，则点O是（�）�

����

A．ABC的外心B．ABC的内心

C．ABC的重心D．ABC的中心

4．（2024·宁夏银川·二模）如图，把VABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落

在直线MN上，直线MN∥l．在VABC中，若BOC130，则BAC的度数为（）

A．50B．65C．75D．80

5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB6，AC10，点P是Rt△ABC

的内心．点P到边AB的距离为；

6．（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形ABC内接于O，ABAC，点I是VABC的内心，连接BI并

延长交O于点D，点E在BD的延长线上，满足EADCAD．试证明：

(1)OA所在的直线经过点I；

(2)点D是IE的中点．

7．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，O是VABC的外心，I是VABC的内心，连接AI并延长交BC和O

于D，E．

(1)求证：EBEI；

(2)若AB8，AC6，BE4，求AI的长．

题型八：切线长定理