2025年中考数学一轮知识梳理难点08 与圆有关的位置关系常考题型（8大热考题型）（解析版）

难点08与圆有关的位置关系常考题型

（8大热考题型）

题型一：点与圆的位置关系

题型二：确定圆的条件

题型三：三角形的外接圆问题

题型四：直线与圆的位置关系

题型五：切线的证明

题型六：切线的性质

题型七：三角形内切圆问题

题型八：切线长定理

题型一：点与圆的位置关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·广东广州·中考真题）如图，O中，弦AB的长为43，点C在O上，OCAB，

ABC30．O所在的平面内有一点P，若OP5，则点P与O的位置关系是（）

A．点P在O上B．点P在O内C．点P在O外D．无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键．由垂径定理可得AD23，由圆周角定理可得AOC60，再结合特殊角的正弦值，求出O的半

径，即可得到答案．

【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，

OC为半径，AB为弦，且OCAB，

1

ADAB23，

2

ABC30

AOC2ABC60，

在△ADO中，ADO90，AOD60，AD23，

AD

sinAOD，

OA

AD23

OA4

sin603，即O的半径为4，

2

OP54，

点P在O外，

故选：C．

【变式1-1】（2022·吉林·中考真题）如图，在VABC中，ACB90，AB5，BC4．以点A为圆心，r

为半径作圆，当点C在A内且点B在A外时，r的值可能是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】先利用勾股定理可得AC3，再根据“点C在A内且点B在A外”可得3r5，由此即可得出

答案．

【详解】解：在VABC中，ACB90，AB5，BC4，

ACAB2BC23，

点C在A内且点B在A外，

ACrAB，即3r5，

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．

【变式1-2】（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形ABCD中，AB4,AD3，圆B的半径为1，圆A

与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（）

A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外

C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外

【答案】C

【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可

【详解】

∵圆A与圆B内切，AB4，圆B的半径为1

∴圆A的半径为5

∵AD3<5

∴点D在圆A内

在RtABC中，ACAB2BC242325

∴点△C在圆A上

故选：C

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键

【变式1-3】（2021·青海·中考真题）点P是非圆上一点，若点P到O上的点的最小距离是4cm，最大距离

是9cm，则O的半径是．

【答案】6.5cm或2.5cm

【分析】分点P在O外和O内两种情况分析；设O的半径为xcm，根据圆的性质列一元一次方程并求

解，即可得到答案．

【详解】设O的半径为xcm

当点P在O外时，根据题意得：42x9

∴x2.5cm

当点P在O内时，根据题意得：2x94

∴x6.5cm

故答案为：6.5cm或2.5cm．

【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．

【中考模拟即学即练】

1．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知O的半径是4，OP3，则点P与O的位置关系是（）

A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；

当dr时，点在圆上；当dr时，点在圆内，据此求解即可．

【详解】解：∵43，

∴点P到圆心的距离小于O的半径，

∴点P在圆内，

故选：B．

2．（2024·云南怒江·一模）平面内，O的半径为cm，若点P在O内，则OP的长可以是（）

A．8cmB．cmC．1120cmD．14cm

10

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关

键．

根据点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径判断作答即可．

【详解】解：∵点P在O内，

∴OP10，

∴OP的长可以是8cm，

故选：A．

3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知O的半径为1，点A到圆心O的距离为a，若关于x的方程x22xa0

不存在实数根，则点A与O的位置关系是（）

A．点A在O外B．点A在O上

C．点A在O内D．无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断a

的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位

置关系的方法是解题的关键．

【详解】解：由题意，得b24ac44a0，

解得a1，

∴ar1，则点A在O外，

故选：A．

4．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含45度，30度的直角三角板．从

中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点A，B，C，D的说法，正确的是（）

A．甲图四点共圆，乙图四点共圆B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆

C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆

【答案】C

【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是

解题的关键．甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，得出DMAMCM，得点D、A、C是以点M

为圆心，AM为半径的圆上，再判断点B在圆M外即可；乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，得

DNANCNBN，即可判断．

【详解】解：如甲图中，取AC中点M，连接DM，BM，

∵ADC90，

∴DMAMCM，

∴点D、A、C是以点M为圆心，AM为半径的圆上，

BCM为直角三角形，

∴BMCM，

∴点B在圆M外，

∴甲图四点不共圆；

如乙图中，取AC中点N，连接DN，BN，

∵ADCABC90，

∴DNANCNBN，

∴点D、A、C、B是以点N为圆心，AN为半径的圆上，

∴乙图四点共圆，

综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆，

故选：C．

5．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY40m，YZ30m，XZ50m．若在XZ

中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（）

A．X，Y，ZB．X，ZC．Y，ZD．Y

【答案】A

【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到M点的距

离．根据勾股定理的逆定理证得VXYZ是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得YM的长，

然后与26m比较大小，即可解答本题．

【详解】解：XY40m，YZ30m，XZ50m．

XY2YZ2XZ2，

XYZ是直角三角形，

XYZ90，

点N是斜边XZ的中点，

XMMZ25m，

XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线，

1

YMXZ25m，

2

2625，

点X、Y、Z都在圆内，

这三栋楼都在该5G基站覆盖范围内．

故选：A

6．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长均为l）中选取9个格点（格线的交点

称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为

（）

A．17r32B．22r17

C．17r5D．5r29

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与

圆的位置关系，即可得出结论．

【详解】解：给各点标上字母，如图所示．

AB222222，ACAD421217，AE323232，

AF522229，AGAMAN42325，

17r32时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．

故选：A．

7．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格

点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．

(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为______；

(2)请通过计算判断点D(3,2)与M的位置关系．

【答案】(1)(1,2)

(2)D在圆M外

【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定

理得出圆心位置是解答本题的关键．

（1）连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆

心，由图形可得M的坐标；

（2）分别求出MD和MB的长度进行比较即可作出判断．

【详解】（1）解：如图，连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线，两直线交于点M，

M是过A，B，C三点的圆的圆心，

M1,2．

（2）M1,2，D3,2，B0,1，

2

MD1(3)4，MB122110，

MDMB，

点D在M的外部．

题型二：确定圆的条件

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·江西·中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任

意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】D

【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据此列举所有可能

即可求解．

【详解】解：依题意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D，C,D加上点P可以画出一个圆，

∴共有6个，

故选：D．

【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．

【变式2-1】（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；

玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；

肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两

种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；

(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

一”？

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

【答案】(1)32:27

(2)①符合，图见详解；②图见详解

【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；

（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线

所截线段成比例可进行作图．

【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为32128；环的“肉”的面积为321.526.75，

∴它们的面积之比为8:6.7532:27；

故答案为32:27；

（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分

1

别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，

2

线段AB,AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，

看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；

②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径

画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于点F、

G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：

【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段

成比例是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2023·山东青岛·二模）已知：如图，点P是ABC的边BC上的一点．

求作：O，使点O在ABC的角平分线上，且O经过B、P两点．

【答案】见解析

【分析】作ABC的角平分线交BP的中垂线于一点即为O．

【详解】解：如图所示，点O为所求：

【点睛】本题主要考查的是角平分线以及中垂线等综合知识，灵活掌握角平分线以及中垂线的作图是解题

的关键．

2．（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的

圆n个，则n的值不可能为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，

③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，

画出图形，即可得出答案．

【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时n1，

②当三点在一直线上时，如图2，

分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即n3，

③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，

分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时n4，

即n不能是2，

故选：C．

3．（2023·贵州贵阳·二模）下列四个命题，正确的是（）

①经过三点一定可以画一个圆；

②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；

③三角形的外心一定在三角形的外部；

④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等．

A．①②B．①④C．②④D．③④

【答案】C

【分析】根据确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念判断．

【详解】解：①经过不在同一直线上的三点一定可以画一个圆，故本小题说法错误；

②三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，说法正确；

③钝角三角形的外心一定在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形的外心在三角形

的内部，故本小题说法错误；

④三角形的外心到这个三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；

故选：C．

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握确定圆的条件、三角形的内心和外心的概念是解题的关键．

4．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、

E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为．

【答案】25

【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，ABBC2，CFCHHG4，取CH的中点O，连接OA，

OF，OG，由勾股定理可得OAOFOG25，可知点O为A、F、G三点所作圆的圆心，进而可得答案．

【详解】解：由题意可知，ABBC2，CFCHHG4，

取CH的中点O，则OCOH2，OB4，

连接OA，OF，OG，

由勾股定理可得：OAAB2OB225，OFOG25，

∴OAOFOG，

即：点O为A、F、G三点所作圆的圆心，

则该圆的半径为25，

故答案为：25．

5．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水

道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上

海之鱼的大小．

(1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）

(2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，

并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE为22

米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．

【答案】(1)见解析

(2)圆弧形水道外侧的半径为483米

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图：

（1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即

为点O；

1

（2）如图所示，连接OA，OC，OD，由垂径定理可得OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB100米，则

2

2

O、E、C、D四点共线，设OAODr米，则OCr10米，由勾股定理得r2r101002，解得

r505，则OEODDE50522483米．

【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，

二者的交点即为点O；

（2）解：如图所示，连接OA，OC，OD，

∵C为AB的中点，点D为圆弧形道路内侧中点，

1

∴OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB100米，

2

∴O、E、C、D四点共线，

设OAODr米，则OCr10米，

在RtAOC中，由勾股定理得OA2OC2AC2，

2

∴r2r101002，

解得r505，

∴OEODDE50522483米．

答：圆弧形水道外侧的半径为483米．

6．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、

G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，

题型三：三角形的外接圆问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2020·河北·中考真题）有一题目：“已知；点O为的外心，BOC130，求A．”嘉嘉的

解答为：画以及它的外接圆O，连接OB，OC，如图．�由���BOC2A130，得A65．而淇淇

说：“嘉嘉考�虑��的�不周全，A还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）

A．淇淇说的对，且A的另一个值是115°

B．淇淇说的不对，A就得65°

C．嘉嘉求的结果不对，A应得50°

D．两人都不对，A应有3个不同值

【答案】A

【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．

【详解】解：如图所示：

∵∠BOC=130°，

∴∠A=65°，

∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．

故∠A′＝180°−65°＝115°．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．

【变式3-1】（2022·江苏常州·中考真题）如图，VABC是O的内接三角形．若ABC45，AC2，

则O的半径是．

【答案】1

【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到AOC=90，根据勾股定理计算即可．

【详解】解：连接OA、OC，

ABC45，

AOC2ABC90，

OA2OC2AC2，即2OA22，

解得：OA1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．

【变式3-2】（2023·内蒙古·中考真题）如图，O是锐角三角形ABC的外接圆，ODAB,OEBC,OFAC，

垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DEDF6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（）

A．8B．4C．3.5D．3

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，再由中位线的性质及三角

形的周长求解即可．

【详解】解：∵O是锐角三角形ABC的外接圆，ODAB,OEBC,OFAC，

∴点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，

111

∴DFBC,DEAC,EFAB，

222

∵DEDF6.5,△ABC的周长为21，

∴CBCAAB21即2DF2DE2EF21，

∴EF4，

故选：B．

【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是

解题关键．

【变式3-3】（2023·湖南湘西·中考真题）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作

1

BEAC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CPBP的最小值为．

2

【答案】6

【分析】过点P作PDAB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三

1

角形的性质得到OAOB4，CFAB，然后利用含30角直角三角形的性质得到OEOA2，进而求

2

1

出BEBOEO6，然后利用CPBPCPPDCF代入求解即可．

2

【详解】如图所示，过点P作PDAB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

∵VABC是等边三角形，BEAC

1

∴ABECBEABC30

2

∵O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

∴OAOB4，CFAB，

∴OBAOAB30

1

∴OAEOABBAC30

2

∵BEAC

1

∴OEOA2

2

∴BEBOEO6

∵PDAB，ABE30

1

∴PDPB

2

1

∴CPBPCPPDCF

2

1

∴CPBP的最小值为CF的长度

2

∵VABC是等边三角形，BEAC，CFAB

∴CFBE6

1

∴CPBP的最小值为6．

2

故答案为：6．

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30角直角三角形的性质等知识，解题的

关键是熟练掌握以上知识点．

【变式3-4】（2022·广西玉林·中考真题）如图，在57网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，

D，E均在格点上，点O是VABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除VABC外把你认为外心也是O

的三角形都写出来．

【答案】ADC、BDC、ABD

【分析】先△求出A△BC的外△接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．

△

【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：12225，

则外接圆半径r5，

图中D点到O点距离为：12225r，

图中E点到O点距离为：123210，

则可知除ABC外把你认为外心也是O的三角形有：ADC、ADB、BDC，

故答案为：△ADC、ADB、BDC．△△△

【点睛】本题△考查了△外接圆的△性质、勾股定理等知识，求出ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．

【变式3-5】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条△件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：

在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：

如图1，VABC中，ABAC，BAC（60180）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重

合），将线段AD绕点A顺时针旋转到线段AE，连接BE．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；

(2)如图2，当ADCD时，O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是O的切线；

(3)已知120，BC6，点M是边BC的中点，此时P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点

M距离的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

3

(3)

2

【分析】（1）根据旋转的性质得到AEAD，∠DAE，证明BAECAD，进而证明ABE≌ACD，

可以得到AEBADC，由ADCADB180，可得AEBADB180，即可证明A、B、D、E四

点共圆；

（2）如图所示，连接OA，OD，根据等边对等角得到∠ABC∠ACB∠DAC，由圆周角定理得到

∠AOD2∠ABC2∠DAC，再由OAOD，得到OADODA，利用三角形内角和定理证明

DACOAD90，即OAC90，由此即可证明AC是O的切线；

（3）如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，先求出BC30，

11

再由三线合一定理得到BMCMBC3，AMBC，解直角三角形求出AB23，则BGAB3，

22

再解RtBGF得到BF2，则FM1；由P是四边形AEBD的外接圆，可得点P一定在AB的垂直平分线

上，故当MP⊥GF时，PM有最小值，据此求解即可．

【详解】（1）证明：由旋转的性质可得AEAD，∠DAE，

∴BACDAE，

∴BACBADDAEBAD，即BAECAD，

又∵ABAC，

∴△ABE≌△ACDSAS，

∴AEBADC，

∵ADCADB180，

∴AEBADB180，

∴A、B、D、E四点共圆；

（2）证明：如图所示，连接OA，OD，

∵ABAC，ADCD，

∴∠ABC∠ACB∠DAC，

∵O是四边形AEBD的外接圆，

∴AOD2ABC，

∴∠AOD2∠ABC2∠DAC，

∵OAOD，

∴OADODA，

∵OADODAAOD180，

∴2∠DAC2∠OAD180，

∴DACOAD90，即OAC90，

∴OAAC，

又∵OA是O的半径，

∴AC是O的切线；

（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，

∵ABAC，BAC120，

∴BC30，

∵点M是边BC的中点，

1

∴BMCMBC3，AMBC，

2

BM

∴AB23，

cosB

1

∴BGAB3，

2

BG

在RtBGF中，BF2，

cosB

∴FM1，

∵P是四边形AEBD的外接圆，

∴点P一定在AB的垂直平分线上，

∴点P在直线GF上，

∴当MP⊥GF时，PM有最小值，

∵∠PFM∠BFG90∠B60，

3

∴在Rt△MPF中，PMMFsin∠PFM，

2

3

∴圆心P与点M距离的最小值为．

2

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外

接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2023·河北秦皇岛·一模）在VABC中，B45，AB6．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使BC

的长唯一，其中正确的是（）

甲：AC4；

乙：AC8；

丙：VABC的外接圆半径为4

A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．乙和丙

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键．

根据题意画出图形，使B45，AB6，点C在射线BE上，作ADBE于点D，根据等腰直角三角形的

性质可得AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断甲乙；由AD和AB的长，结合该三角形外接圆的半

径长，即可判断该外接圆的圆心可以在AB的上、下两侧，即可判断丙．

【详解】解：如图，B45，AB6，点C在射线BE上，作ADBE于点D，

2

ADBDAB32，

2

324，

不存在AC4的VABC，故甲不符合题意；

AB6，AD32，AC8，

而AC6，

存在AC8的VABC，使得BC的长唯一成立，如上图中的点C即是，故乙符合题意；

AD324，AB68，

当VABC的外接圆半径为4时，

如图，

B45，

AOC90，

AC42，

4324268，

存在两个C使VABC的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在AB的上、下两侧，故丙不符合题意；

综上所述，只有乙符合题意．

故选：B．

2．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的VABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于

1

BC长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CDAD，B25，

2

则下列结论中错误的是()

A．ACD65B．ACB90

C．CAD50D．点D是VABC的外心

【答案】C

【分析】本题考查的是作图-基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，

三角形的外心的定义；由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BNCN，BC，故可得出

CDA的度数，根据CDAD可知DCACAD，故可得出CAD的度数，进而可得出结论．

【详解】解：由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，

BDCD，BBCD，

B25，

BBCD25，

CDA252550．

CDAD，

18050

ACDCAD65，

2

A正确，C错误；

CDAD，BDCD，

CDADBD，

点D为ABC的外心，故D正确；

ACD65，BCD25，

ACB652590，故B正确．

故选：C．

1

3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在VABC中，已知BC42，cosA，D是BC的中点，点O是VABC

3

的外接圆圆心，则OD（）

2

A．2B．2C．1D．

2

【答案】C

【分析】本题考查了三角形外接圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，连接OB，OC，

1

以OB为半径作VABC的外接圆，由等腰三角形的性质可得ODBC，BDCDBC22，

2

11

BODCODBOC，进而由圆周角定理可得BODA，即得cosBOD，得到OB3OD，再

23

22

利用勾股定理得到3ODOD222，解之即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．

【详解】解：连接OB，OC，以OB为半径作VABC的外接圆，

∵O是VABC的外接圆，

∴OBOC，

∵D是BC的中点，BC42，

11

∴ODBC，BDCDBC22，BODCODBOC，

22

∵BOC2A，

∴BODA，

1

∵cosA，

3

1

∴cosBOD，

3

OD

在RtBOD中，cosBOD，

OB

OD1

∴，

OB3

∴OB3OD，

∵OB2OD2BD2，

22

∴3ODOD222，

解得OD1，

故选：C．

4．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片ABCD的中心O刚好是ABM的外心，则AMB（）

A．135B．125C．115D．105

【答案】A

【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得A,M,B,C是四点共圆，再利用

圆内接四边形的性质即可求解

【详解】解：如图所示，连接AC，

∵正方形纸片ABCD的中心O刚好是ABM的外心，且O是VABC的外心，

∴A,M,B,C是四点共圆，

∴ACBAMB180

∴AMB18045135，

故选：A．

5．（2024·山东淄博·二模）如图，在VABC中，BAC60，ADBC于点D，且AD4，则VABC面积的

最小值为．

【答案】163

3

【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作VABC的外接圆O，连接OA，OB，

OC，过点O作OEBC于点E，根据圆周角定理可得BOC120，则OBCOCB30，设O的

11331

半径为r，则OEOBr，BEOBr，根据OAOEAD得出r+r³4，求得半径的范围，

22222

进而根据三角形的面积公式即可求解．

【详解】作VABC的外接圆O，连接OA，OB，OC，过点O作OEBC于点E，

BAC60，

BOC120，

OBOC，

OBCOCB30，

1133

设O的半径为r，则OEOBr，BEOBr，

2222

BC3r，

OAOEAD，

1

r+r³4，

2

8

解得：r，

3

83

BC，

3

1183163

SBCAD4，

ABC2233

163

VABC的面积的最小值为，

3

163

故答案为：.

3

6．（2023·广东湛江·模拟预测）如图，已知VABC．

(1)用直尺和圆规作VABC的外接圆O；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)若AB2，ACB45，求O的半径．

【答案】(1)图见解析

(2)O的半径为1

【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，连接OA．以O为圆心，OA为半径作O即可；

（2）由圆周角定理求出AOB90，然后利用勾股定理求解即可．

【详解】（1）解：如图，O即为所求．

（2）解：连接OB．

由题意得，OAOBr，

∵ABAB，ACB45，

∴AOB90．

在RtAOB中，OA2OB2AB2，

∵AB＝2，

∴OAOB1，

∴O的半径为1．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题．

7．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）如图1，已知点A为线段BC外一点，连接AB，AC，且BAC45，

BC6，求VABC面积的最大值；

（2）如图2，某城市有一个废旧机车工厂，现在想利用这个废旧机车工厂改造为机车主题公园，其中AP为

原有机车的铁轨，长500m，计划保留放置各种年代的机车头作为网红留念打卡地标．AP两侧为面积相等

的现代与未来两个主题活动区，要求BAC120，点P为BC的中点，按照设计要求，求出符合条件的VABC

的最大面积．

【答案】（1）VABC面积的最大值为929；（2）VABC面积的最大值为2500003m2

【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心、等边三角形性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握外心

性质是解答本题的关键．

（1）以BC为一条弦作O，且BAC45，连接OB、OC，当ADBC且过点O时，VABC面积最大，

根据已知数据和勾股定理求出最大面积即可；

（2）延长AP到M，使APMP，连接MC，作AMC的外接圆O，连接AO，MO，连接PO并延长，

交O于点H，当点C与点H重合时，AMC的面积最大，解直角三角形，求得PH，即可得到最大面积．

【详解】解：（1）如图1，作VABC的外接圆O，当点A运动到ADBC时，VABC的高达到最大值，VABC

面积最大，延长AO交BC于点D，

BAC45，

BOC90，

BC6，

1

OBOC32，ODBC3，

2

11

．

SABCBCAD6323929

22

答：VABC面积的最大值为929；

（2）如图2，延长AP到M，使APMP，连接MC，

∵点P为BC的中点，

∴BPCP，

∵APBMPC，

∴ABP≌CPMSAS，

∴BAPCMP，S△APCS△APBS△APCS△MCP，

∴SABCSAMC，

∵BAC120，

∴BAPPAC120，

∴CMPPAC120，

∴ACM60°，作AMC的外接圆O，

连接AO，MO，连接PO并延长，交O于点H，

当点C与点H重合时，AMC的面积最大，

1

此时AHPAHM30，

2

AP500

∴PH5003m，

tan30tan30

11

∴AMC面积的最大值AMPH500250032500003m2，

22

2

即SABC最大2500003m．

题型四：直线与圆的位置关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2022·四川凉山·中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两

点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析

(2)6

1

(3)yx2

2

【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；

（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，

MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；

（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所

以OB=8，C（4，0），在RtBOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=45，在RtBCD中，∠BCD=90°，

由勾股定理，即可求得CD△，在RtCPD和在RtMPD中，由勾股定理，求得CP=2△，PD=4，从而得出点D

坐标，然后用待定系数法求出直线△CD解析式即△可．

【详解】（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下：

连接CM，如图，

∵MC=MA，

∴∠MCA=∠MAC，

∵AC平分∠OAM，

∴∠MAC=∠OAC，

∴∠MCA=∠OAC，

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，

∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，

∴⊙M与x轴相切；

（2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N，

由（1）知，∠MCO=90°，

∵MN⊥AB于N，

∴∠MNO=90°，AB=2AN，

又∵∠CON=90°，

∴四边形OCMN是矩形，

∴MN=OC，ON=CM=5，

∵OA+OC=6，

设AN=x，

∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，

在RtMNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得

x2+(1△+x)2=52，

解得：x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），

∴AN=3，

∴AB=2AN=6；

（3）解：如图，连接BC，CM，过点D作