2025年中考数学一轮知识梳理考前突破04圆的相关证明与计算（2大必考题型）原卷版

考前突破04圆的相关证明与计算（2大必考题型）

题型一：圆的基本性质的证明与计算

题型二：与切线有关的证明与计算

题型一：圆的基本性质的证明与计算

【中考母题学方法】

1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

3．（2024·安徽·中考真题）如图，O是VABC的外接圆，D是直径AB上一点，ACD的平分线交AB于点

E，交O于另一点F，FAFE．

(1)求证：CDAB；

(2)设FMAB，垂足为M，若OMOE1，求AC的长．

2

4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，VABC中，AB42，D为AB中点，BACBCD，cosADC，

4

O是ACD的外接圆．

(1)求BC的长；

(2)求O的半径．

5．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与O相切于点A，AB是O的直径，点C，D在l上，且位于点

A两侧，连接BC，BD，分别与O交于点E，F，连接EF，AF．

(1)求证：BAFCDB；

(2)若O的半径r6，AD9，AC12，求EF的长．

6．（2024·新疆·中考真题）如图，在O中，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，ADBD．

(1)求证：△ACD∽△ECB；

(2)若AC3,BC1，求CE的长．

7．（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，PC与半圆

相切于点C，与OF的延长线相交�于�点D，AC与OF相交于点E，DCDE．𝐴

(1)写出图中一个与DEC相等的角：______；

(2)求证：ODAB；

(3)若OA2OE，DF2，求PB的长．

8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与O相切于点D，AB为O的直径，过点A作AEl于点E，

延长AB交直线l于点C．

(1)求证：AD平分CAE；

(2)如果BC1，DC3，求O的半径．

9．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，ABBD，O为△ABD的外接圆，BE为O的切线，

AC为O的直径，连接DC并延长交BE于点E．

(1)求证：DEBE；

(2)若AB56，BE5，求O的半径．

【中考模拟即学即练】

10．（2025·山东临沂·一模）如图，O为VABC的外接圆，直径ADBC于E，过点A作O的切线

AF与ABC的平分线交于点F，BF交AC于点G，交AD于点H，交O于点M，连接AM．

(1)求证：ACB2ABF；

(2)若tanAMB2，BC2，求CG的长．

11．（2024·广东·模拟预测）综合运用

如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分BCD．

(1)求证：CDE2ECD．

1

(2)若cosCBA，求证：BDC4CBD．

2

(3)求证：BC2AB2CAAD．

12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在O中，弦AB，CD相交于点M，且ABCD．

(1)求证：ADBC；

(2)连接OM，BD，若BD是O的直径，AB2AD8，求OM的长．

13．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于O，ABAC，ABDCBE，BE交O于点F，

D，C，E三点共线．

(1)图中与AD相等的是_______；

(2)求证：BE∥AD；

1

(3)若AD6，cosE，求CE的长．

3

14．（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是O的两条弦，AC与BD相交于点E，ABCD．

(1)求证：ACBD；

(2)连接BC，作直线EO，求证：EOBC．

15．（2024·贵州黔东南·二模）如图，O是VABC的外接圆，且ACBC，过点B作BEAC，垂足为

点E，延长BE交O于点D，连接AD，CD，CO，并延长CO交BD于点F．

(1)写出图中一个与ACD相等的角∶；

(2)求证∶CDCF；

(3)若BC10，BE6，求O的半径．

16．（2024·天津红桥·一模）已知AB与O相切于点B，直线AO与O相交于C，D两点(AOAC)，E为

BD的中点，连接OE并延长，交AB的延长线于点F．

(1)如图①，若E为OF的中点，求A的大小；

(2)如图②，连接BD与OF相交于点G，求证：∠D∠F．

17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知O的内接VABC为等边三角形，连接顶点C与圆心O，并延

长交AB于点D，交O于点E，连接EA，EB．

(1)图中与ACD全等的三角形是，图中度数为30的角有个；

(2)求证：△AED∽△CEB；

(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．

18．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，△ABD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，C为优弧ABD的中点，连接

AC,CD,OC，延长AC,DB交于点E．

(1)求证：ACODCO．

(2)求证：BABE．

19．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OCAB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接

AE，AC，BC．

(1)求证：BACE；

(2)若AB8，DC2，CE310，求CF的长．

20．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF的中点，

连接CF交OB于点G，连接BC．

(1)求证：GEBE；

(2)若AG6，BG4，求CD的长．

21．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以AC为直径的O上，ADC的平分线交O于点B，连接

BA，EC，EA，过点E作EHAC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE2AFAD；

25

(2)若sinABD，AB5，求S△BOG．

5

22．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为5的O的直径，C是ABD的中点，连接交于点E，连

接AC，AD，OC．𝐴𝐶𝐴

(1)求证：OCAD．

(2)若BE1，求的长．

(3)如图2，作CF𝐶AB于点H，交于点F，射线交的延长线于点G，若OH1，求AG的长．

𝐶𝐴𝐶

23．（2024·贵州黔东南·一模）如图，AB为O的弦，CD为O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，

BC，BD，过点B作BFAC于点F．

(1)求证：ABFBCD；

(2)当BCDACD时，求证：ABCD；

(3)在（2）的条件下，若AB6，ÐABD=22.5°，求图中阴影部分的面积．

24．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：AB为O的直径，弦CD交AB于点H，点F为弧AC上一点，连接

DF交AB于点E，交AC于点G，AEFBACACF．

(1)如图1，求证：ABCD；

(2)如图2，在（1）的条件下，连接BD，当ACD2ACF，AE4，BD6时，求AG的长．

25．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

26．（2024·湖北十堰·一模）如图，在VABC中，以AB为直径作O，交BC于点D，过O作OE∥BC交O

于点E，连接AE,BE,AD．

(1)求证∶ABECBE；

(2)若C45，CAE15，求ABC的度数；

SBDF2

(3)若DF1，，求AE的长．

SAOE3

27．（2024·湖南·模拟预测）如图（1）所示，已知在VABC中，ABAC，O在边AB上，点F为边OB中

点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．

(1)如果OGDG，求证：四边形CEGD为平行四边形；

(2)如图（2）所示，连接OE，如果BAC90,OFEDOE,AO8，求边OB的长；

OG

(3)连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AOOF，求的值．

OD

题型二：与切线有关的证明与计算

【中考母题学方法】

1．（2024·广西·中考真题）如图，已知O是VABC的外接圆，ABAC．点D，E分别是BC，AC的中点，

连接DE并延长至点F，使DEEF，连接AF．

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)求证：AF与O相切；

3

(3)若tanBAC，BC12，求O的半径．

4

2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，VABC中，ACB90，ACBC，O经过B，C两点，与斜边

AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．

(1)求证：EF是O的切线；

1

(2)若BM42，tanBCD，求OM的长．

2

3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，VABC中，ACB90，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC

为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．

(1)求证：ABC2ACD；

(2)若AC8，BC6，求O的半径．

4．（2024·四川广元·中考真题）如图，在VABC中，ACBC，ACB90，O经过A、C两点，交AB于

点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．

(1)求证：DE为O的切线；

(2)若AC4，tanCFD2，求O的半径．

5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在VABC中，以AB为直径的O交BC于点D,DEAC，垂

足为E．O的两条弦FB,FD相交于点F,DAEBFD．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若C30,CD23，求扇形OBD的面积．

6．（2024·四川·中考真题）如图，为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于

点D．连接OA，OC．𝐴

(1)求证：是⊙O的切线；

(2)若OA�3�，BD2，求OCD的面积．

7．（2024·辽宁·中考真题）如图，O是VABC的外接圆，AB是O的直径，点D在BC上，ACBD，E

在BA的延长线上，CEACAD．

(1)如图1，求证：CE是O的切线；

(2)如图2，若CEA2DAB，OA8，求BD的长．

8．（2024·山东济宁·中考真题）如图，VABC内接于O，D是BC上一点，ADAC．E是O外一点，

BAECAD,ADEACB，连接BE．

(1)若AB8，求AE的长；

(2)求证：EB是O的切线．

9．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，VABC内接于O，AB为O的直径，点D为O上一点，BCBD，

延长BA至E，使得ADECBA．

(1)求证：ED是O的切线；

1

(2)若BO4,tanCBA，求ED的长．

2

10．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，点D在O外，延长DC，

AB相交于点E，过点D作DFAB于点F，交AC于点G，DGDC．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE8，求DF的长．

11．（2024·四川雅安·中考真题）如图，AB是O的直径，点C是O上的一点，点P是BA延长线上的一

点，连接AC，PCAB．

(1)求证：PC是O的切线；

1

(2)若sinB，求证：ACAP；

2

(3)若CDAB于D，PA4，BD6，求AD的长．

12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，VABC内接于O，点D为BC的中点，连接AD、BD，BE平分ABC

交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．

(1)求证：DF是O的切线．

(2)求证：BDED．

(3)若DE5，CF4，求AB的长．

13．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在O中，AB是直径，CD是弦，且ABCD，垂足为E，AB20，

CD12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使FCD2B．

(1)求证：CF是O的切线；

(2)求EF的长．

14．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，O是VABC的外接圆，AD是O的直径，F是AD延长线上一

点，连接CD，CF，且DCFCAD．

(1)求证：CF是O的切线；

3

(2)若AD10，cosB，求FD的长．

5

15．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是O的直径，C，D是O上两点，连接AC，BC，CO平分ACD，

CEDB，交DB延长线于点E．

(1)求证：CE是O的切线；

3

(2)若O的半径为5，sinD，求BD的长．

5

16．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，ADAC，ADCBAD，延长AD至点E，

使AEAC，延长BA至点F，连结EF，使AFEADC．

(1)若AFE60，CD为直径，求ABD的度数．

(2)求证：①EF∥BC；②EFBD．

17．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知VABC内接于O，AB是O的直径，BAC的平分线交O

于点D，过点D作DEAC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．

(1)求证：DE是O的切线；

1

(2)若CE1，sinBAD，求O的直径．

3

18．（2024·山东济南·中考真题）如图，AB,CD为O的直径，点E在BD上，连接AE,DE，点G在BD的

延长线上，ABAG,EADEDB45．

(1)求证：AG与O相切；

1

(2)若BG45,sinDAE，求DE的长．

3

19．（2024·内蒙古·中考真题）如图，ACD内接于O，直径交于点G，过点D作射线DF，使得

ADFACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC�．�𝐶

(1)求证：DF是O的切线；

8

(2)若CDCG，BE3CE3．

3

①求的长；

②求��O的半径．

20．（2023·四川资阳·中考真题）如图，已知O的圆心O在VABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，

且与边BC相切于点D，连结DE．

(1)若BABD，求证：AB是O的切线；

(2)若CD4，CE2，求O的半径．

21．（2024·山东日照·中考真题）如图1，AB为O的直径，AB12,C是O上异于A,B的任一点，连接

AC,BC，过点A作射线ADAC,D为射线AD上一点，连接CD．

【特例感知】

（1）若BC6．则AC_______．

（2）若点C,D在直线AB同侧，且ADCB，求证：四边形ABCD是平行四边形；

【深入探究】

若在点C运动过程中，始终有tanADC3，连接OD．

（3）如图2，当CD与O相切时，求OD的长度；

（4）求OD长度的取值范围．

22．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，C120．点E在射线BC上运动（不与点B，

点C重合），AEB关于AE的轴对称图形为△AEF．

(1)当BAF30时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；

(2)若AB663，O为△AEF的外接圆，设O的半径为r．

①求r的取值范围；

②连接FD，直线FD能否与O相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由．

【中考模拟即学即练】

23．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形ABCD中，DABABC90，点O是AB的中点，

COD90，以AB为直径作半圆O．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)若OC与O的交点M是OC的中点，O的半径为2，求CD的长．

24．（2024·河北·模拟预测）如图1，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC8，延长CA至点D，使AD8，

连接BD，以AD为直径的☉O绕点A顺时针旋转．

(1)如图2，☉O旋转°时，☉O与AC第一次相切．

(2)在（1）的条件下，判断☉O与BD的位置关系并加以证明．

(3)如图3，若☉O与BC相切于点M，与CA相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．

25．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，AB为O的直径，点E，F是O上异于A，B的两点，延长AF，BE

1

相交于点D，在AD的延长线上取点C，连接BC，已知BDCAFE，CBDCAB，

2

(1)求证：BC是O的切线；

(2)若O的半径为2，CD6，求AF的长．

26．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知为O的直径，D为O上一点，C为BA延长线上一点，连接，

过点O作OFAD于点E，交于点�F�，且满足ADCAOF．𝐶

𝐶

(1)求证：直线是O的切线；

1𝐶

(2)若sinC，BD8，求EF的长．

3

27．（2024·云南昆明·一模）如图，O与等边VABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D

作DFBC于点F．

(1)求证：DF是O的切线；

(2)连接EF，当EF是O的切线时，求O的半径r与等边VABC的边长a之间的数量关系．

28．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，AO平分BAD．点O在AC上，以点O为圆心，OA

为半径，作O与BC相切于点B，BO延长线交O于点E，交于点F，连接AE，．

𝐶��

(1)求证：是O的切线；

(2)若AE�D�E8，求AF的长．

29．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半径为10cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C

的直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，点E是BC的中点，OE6cm．

(1)求证：CD是O的切线；

(2)求AD的长．

30．（2025·湖北黄石·一模）如图，VABC内接于O，AB为直径，作OD