2025年中考数学一轮知识梳理考前突破04圆的相关证明与计算（2大必考题型）解析版

考前突破04圆的相关证明与计算（2大必考题型）

题型一：圆的基本性质的证明与计算

题型二：与切线有关的证明与计算

题型一：圆的基本性质的证明与计算

【中考母题学方法】

1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

【答案】(1)3

(2)见解析

1

【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出OBCOCB180BOC，结合

2

BOC2BCE，可得出OBCBCE90，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

1

（2）法一：过O作OFBD于F，利用垂径定理等可得出BFBDOE，然后利用HL定理证明

2

RtCEO≌RtOFB，得出COEOBF，然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接AD，证明CEO∽ADB，得出COEABD，然后利用平行线的判定即可得证

【详解】（1）解∶∵OCOB，

1

∴OBCOCB180BOC，

2

∵BOC2BCE，

1

∴OBC1802BCE90BCE，即OBCBCE90，

2

∴OEC90，

∴OC2OE2CE2，

22

∴OC2OC15，

解得OC3，

即O的半径为3；

（2）证明：法一：过O作OFBD于F，

1

∴BFBD，

2

∵BD2OE

∴OEBF，

又OCOB，OECBFO90，

∴RtCEO≌RtOFBHL，

∴COEOBF，

∴BD∥OC；

法二：连接AD，

∵是直径，

∴�A�DB90，

22

∴ADAB2BD22OC2OE2OC2OE22CE，

OCCEOE1

∴，

ABADBD2

∴CEO∽ADB，

∴COEABD，

∴BD∥OC．

【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全

等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．

2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

【答案】(1)3

(2)见解析

1

【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出OBCOCB180BOC，结合

2

BOC2BCE，可得出OBCBCE90，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

1

（2）法一：过O作OFBD于F，利用垂径定理等可得出BFBDOE，然后利用HL定理证明

2

RtCEO≌RtOFB，得出COEOBF，然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接AD，证明CEO∽ADB，得出COEABD，然后利用平行线的判定即可得证

【详解】（1）解∶∵OCOB，

1

∴OBCOCB180BOC，

2

∵BOC2BCE，

1

∴OBC1802BCE90BCE，即OBCBCE90，

2

∴OEC90，

∴OC2OE2CE2，

22

∴OC2OC15，

解得OC3，

即O的半径为3；

（2）证明：法一：过O作OFBD于F，

1

∴BFBD，

2

∵BD2OE

∴OEBF，

又OCOB，OECBFO90，

∴RtCEO≌RtOFBHL，

∴COEOBF，

∴BD∥OC；

法二：连接AD，

∵是直径，

∴�A�DB90，

22

∴ADAB2BD22OC2OE2OC2OE22CE，

OCCEOE1

∴，

ABADBD2

∴CEO∽ADB，

∴COEABD，

∴BD∥OC．

【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全

等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．

3．（2024·安徽·中考真题）如图，O是VABC的外接圆，D是直径AB上一点，ACD的平分线交AB于点

E，交O于另一点F，FAFE．

(1)求证：CDAB；

(2)设FMAB，垂足为M，若OMOE1，求AC的长．

【答案】(1)见详解

(2)42．

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解

题的关键．

（1）由等边对等角得出FAEAEF，由同弧所对的圆周角相等得出FAEBCE，由对顶角相等得出

AEFCEB，等量代换得出CEBBCE，由角平分线的定义可得出ACEDCE，由直径所对的

圆周角等于90可得出ACB90，即可得出CEBDCEBCEACEACB90，即

CDE90．

（2）由（1）知，CEBBCE，根据等边对等角得出BEBC，根据等腰三角形三线合一的性质可得出

MA，AE的值，进一步求出OA，BE，再利用勾股定理即可求出AC．

【详解】（1）证明：∵FAFE，

∴FAEAEF，

又FAE与BCE都是BF所对的圆周角，

∴FAEBCE，

∵AEFCEB，

∴CEBBCE，

∵CE平分ACD，

∴ACEDCE，

∵AB是直径，

∴ACB90，

∴CEBDCEBCEACEACB90，

故CDE90，

即CDAB．

（2）由（1）知，CEBBCE，

∴BEBC，

又FAFE，FMAB，

∴MAMEMOOE2，AE4，

∴圆的半径OAOBAEOE3，

∴BEBCOBOE2，

在VABC中．

AB2OA6，BC2

∴ACAB2BC2622242

即AC的长为42．

2

4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，VABC中，AB42，D为AB中点，BACBCD，cosADC，

4

O是ACD的外接圆．

(1)求BC的长；

(2)求O的半径．

【答案】(1)BC4

47

(2)O的半径为

7

【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．

BCBA

（1）易证BAC∽BCD，得到，即可解答；

BDBC

（2）过点A作AECD，垂足为E，连接CO，并延长交O于F，连接AF，在Rt△AED中，通过解直

ACAB

角三角形得到DE1，AE7，由BAC∽BCD得到2．设CDx，则AC2x，CEx1，

CDBC

在RtACE中，根据勾股定理构造方程，求得CD2，AC22，由AFCADC得到

sinAFCsinADC，根据正弦的定义即可求解．

【详解】（1）解：BACBCD，BB，

BAC∽BCD．

BCBA

，即BC2ABBD

BDBC

AB42，D为AB中点，

1

BDADAB22，

2

∴BC2ABBD422216

BC4．

（2）解：过点A作AECD，垂足为E，连接CO，并延长交O于F，连接AF，

DE2

在Rt△AED中，cosCDA．

AD4

又AD22，

∴DE1．

∴在Rt△AED中，AEAD2DE27．

△BAC∽△BCD，

ACAB

2．

CDBC

设CDx，则AC2x，CECDDEx1．

∵在RtACE中，AC2CE2AE2，

222

2xx17，即x22x80，

解得x12，x24（舍去）．

CD2，AC22．

∵，

ACAC

AFCADC．

为O的直径，

𝐶CAF90．

ACAE14

sinAFCsinCDA．

CFAD4

8747

CF，即O的半径为．

77

5．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与O相切于点A，AB是O的直径，点C，D在l上，且位于点

A两侧，连接BC，BD，分别与O交于点E，F，连接EF，AF．

(1)求证：BAFCDB；

(2)若O的半径r6，AD9，AC12，求EF的长．

【答案】(1)见解析

422

(2)EF．

5

【分析】（1）利用切线和直径的性质求得BADBFA90，再利用等角的余角相等即可证明

BAFCDB；

（2）先求得AB12AC，BD15，证明VABC和ABE是等腰直角三角形，求得AE的长，再证明

BEF∽BDC，据此求解即可．

【详解】（1）证明：∵直线l与O相切于点A，

∴BAD90，

∴BDAABD90，

∵AB是O的直径，

∴BFA90，

∴BAFABD90，

∴BAFCDB；

（2）解：∵r6，

∴AB2r12AC，BDAB2AD21229215，

∵直线l与O相切于点A，

∴BAC90，

∴VABC是等腰直角三角形，

∴ABCACB45，

∵AB是O的直径，

∴BEA90，

∴ABE也是等腰直角三角形，

∴AEBEABcos4562，

∵BFBF，

∴BEFBAF，

∵BAFCDB，

∴BEFBDC，

∴BEF∽BDC，

BEEF62EF

∴，即，

BDCD15129

422

∴EF．

5

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知

识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

6．（2024·新疆·中考真题）如图，在O中，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，ADBD．

(1)求证：△ACD∽△ECB；

(2)若AC3,BC1，求CE的长．

【答案】(1)见解析

3

(2)2

4

【分析】（1）利用圆周角定理可得出ACDBCE，ADCABC，然后根据相似三角形的判定即可得

证；

AE

（2）利用勾股定理可求出AB，AD，利用等面积法求出3，可求出BE，然后利用（1）中△ACD∽△ECB

BE

求解即可．

【详解】（1）证明：∵ADBD，

∴ACDBCE，

又ADCABC，

∴△ACD∽△ECB；

（2）解：∵AB是O的直径，

∴ACBADB90，

∵AC3,BC1，

∴ABAC2BC210，

∵ADBD，

∴ADBD，

∵AD2BD2AB210，

∴AD5，

∵ACDBCE，

∴E到AC、BC的距离相等，

设E到AC的距离为h，C到AB的距离为m，

11

SAChAEm

∴ACE22，

S11

BCEBChBEm

22

AEAC

∴3，

BEBC

11

∴BEAB10，

134

∵△ACD∽△ECB，

35

ACAD

∴，即EC1，

ECEB10

4

3

∴CE2．

4

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这

些性质是解题的关键．

7．（2024·贵州·中考真题）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，PC与半圆

相切于点C，与OF的延长线相交�于�点D，AC与OF相交于点E，DCDE．𝐴

(1)写出图中一个与DEC相等的角：______；

(2)求证：ODAB；

(3)若OA2OE，DF2，求PB的长．

【答案】(1)DCE（答案不唯一）

16

(2)

3

16

(3)

3

【分析】（1）利用等边对等角可得出DCEDEC，即可求解；

（2）连接OC，利用切线的性质可得出DCEACO90，利用等边对等角和对顶角的性质可得出

AOEDCE，等量代换得出AEOCAO90，然后利用三角形内角和定理求出AOE90，即可得

证；

（3）设OE2，则可求AOOFBO2x，EFx，OD2x2，DCDE2x，在Rt△ODC中，利用

222OPOC

勾股定理得出22xx22x，求出x的值，利用tanD可求出OP，即可求解．

ODCD

【详解】（1）解：∵DCDE，

∴DCEDEC，

故答案为：DCE（答案不唯一）；

（2）证明：连接OC，

，

∵PC是切线，

∴OCCD，即DCEACO90，

∵OAOC，

∴OACACO，

∵DCEDEC，AEODEC，

∴AEOCAO90，

∴AOE90，

∴ODAB；

（3）解：设OEx，则AOOFBO2x，

∴EFOFOEx，ODOFDF2x2，

∴DCDEDFEF2x，

在Rt△ODC中，OD2CD2OC2，

222

∴22xx22x，

解得x14，x20（舍去）

∴OD10，CD6，OC8，

OPOC

∵tanD，

ODCD

OP8

∴，

106

40

解得OP，

3

16

∴BPOPOB．

3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用

以上知识是解题的关键．

8．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与O相切于点D，AB为O的直径，过点A作AEl于点E，

延长AB交直线l于点C．

(1)求证：AD平分CAE；

(2)如果BC1，DC3，求O的半径．

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得出ODl，结合题意可证OD∥AE，即得出DAEADO，

再根据等边对等角可得出DAOADO，即得出DAODAE，即AD平分CAE；

（2）设O的半径为r，则OCOBBCr1，ODr．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即

可．

【详解】（1）证明：如图，连接OD．

∵直线l与O相切于点D，

∴ODl．

∵AEl，

∴OD∥AE，

∴DAEADO．

∵OAOD，

∴DAOADO，

∴DAODAE，即AD平分CAE；

（2）解：设O的半径为r，则OCOBBCr1，ODr．

在Rt△OCD中，OD2CD2OC2，

2

∴r232r1，

解得：r4，

∴O的半径为4．

【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判

定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．

9．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，ABBD，O为△ABD的外接圆，BE为O的切线，

AC为O的直径，连接DC并延长交BE于点E．

(1)求证：DEBE；

(2)若AB56，BE5，求O的半径．

【答案】(1)见解析

(2)35

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，易证BO垂直平分AD，圆周角定理，切线的性质，推出

四边形BHDE为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知DHBE5，勾股定理求出BH的长，设O的半径为r，在Rt△AOH中，利用勾股定

理进行求解即可．

【详解】（1）证明：连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，

∵ABBD，OAOD，

∴BO垂直平分AD，

∴BHAD，AHDH，

∵BE为O的切线，

∴HBBE，

∵AC为O的直径，

∴ADC90，

∴四边形BHDE为矩形，

∴DEBE；

（2）由（1）知四边形BHDE为矩形，BHAD，AHDH，

∴AHDHBE5，

∴BHAB2AH255，

设O的半径为r，则：OAOBr,OHBHOB55r，

22

在Rt△AOH中，由勾股定理，得：r2555r，

解得：r35；

即：O的半径为35．

【中考模拟即学即练】

10．（2025·山东临沂·一模）如图，O为VABC的外接圆，直径ADBC于E，过点A作O的切线

AF与ABC的平分线交于点F，BF交AC于点G，交AD于点H，交O于点M，连接AM．

(1)求证：ACB2ABF；

(2)若tanAMB2，BC2，求CG的长．

【答案】(1)见解析

(2)CG1045

【分析】（1）证明BECE，AEBAEC90，可得AEB≌AECSAS，可得

ABCACB，结合

BF平分ABC可得结论；

AE

（2）求解BECE1，结合tanAMBtanACB2，可得

ABAC5，证明AF∥BC，可得

CE

FFBCABF，ABACAF5，证明△AGF∽△CGB，结合相似三角形的性质可得答案．

【详解】（1）证明：∵AD为O的直径，ADBC，

∴BECE，AEBAEC90，

又∵AEAE，

∴AEB≌AECSAS，

∴

ABCACB，

又∵BF平分ABC，

∴2ABFABCACB．

（2）解：∵BC2，由（1）得BECE，

∴BECE1，

又∵AMBACB，

AE

∴在RtACE中，tanAMBtanACB2

CE

∴AE2，

ACAE2CE25，

∴

ABAC5，

又∵AF是O的切线，

∴DAAF即DAF90，

又∵AEC90，

∴AF∥BC，

∴FFBCABF，

∴ABACAF5，

∵AF∥BC，

∴△AGF∽△CGB，

AGAF

∴，

CGBC

5CG5

∴，

CG2

解得：CG1045．

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，勾股定理的应用，相似

三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．

11．（2024·广东·模拟预测）综合运用

如图所示，圆内接四边形ABCD中，点B平分CAD，CA平分BCD．

(1)求证：CDE2ECD．

1

(2)若cosCBA，求证：BDC4CBD．

2

(3)求证：BC2AB2CAAD．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

1

【分析】（1）由点B平分，可知BCDCDE，由CA平分BCD，可知ECDBCEBCD，

CAD2

即可证明结论；

（2）结合题意可知CBA60，BDCBCD，BDCBCD2BCA，设CBDx，BCAy，则

ABDACDy，BACBDC2y，结合BCABAC3y180CBA120，求得y40，再求得

CBDCBADBA20，即可证明结论；

（3）如图，过点B作BHAC，在HC上取点F，使FHAH，连接BF，则BFBA，可知

BCDBDCBAFBFA，得FBACBD，可证CBF≌DBASAS，得CFAD，可知

2222

BH2BC2CH2AB2AH2，根据BCABCHAHCHAHCHAH即可证明结论．

【详解】（1）证明：∵点B平分CAD，

∴BCBD，则BCBD，

∴BCDCDE，

∵CA平分BCD，

1

∴ECDBCEBCD，

2

∴CDEBCD2ECD；

1

（2）证明：∵cosCBA，

2

∴CBA60，

∵点B平分CAD，

∴BCBD，则BCBD，

∴BDCBCD．

∵CA平分BCD，

1

∴BCAACDBCD，则BDCBCD2BCA，

2

设CBDx，BCAy，则ABDACDy，BACBDC2y，

∴CBA60

∴BCABAC3y180CBA120，则y40，

∴CBDCBADBA20．

∵BCDBDC2y80，

∴BDC4CBD．

（3）如图，过点B作BHAC，在HC上取点F，使FHAH，连接BF，则BFBA．

∴BAFBFA．

∵点B平分CAD，

∴BCBD，则BCBD，

∴BCDBDCBAFBFA．

∴FBACBD，

BCBD

在VCBF和DBA中，CBFDBA

BFBA

∴CBF≌DBASAS．

∴CFAD．

∴BH2BC2CH2AB2AH2，

∴BC2AB2CH2AH2CHAHCHAHCACHFHCACFCAAD．

【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角

形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．

12．（2024·湖北·模拟预测）如图，在O中，弦AB，CD相交于点M，且ABCD．

(1)求证：ADBC；

(2)连接OM，BD，若BD是O的直径，AB2AD8，求OM的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)OM5

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，

（1）由ABCD，推出ABCD，推出ADBC；

（2）根据圆周角定理得出BAD90，因为AB2AD8，所以得出AD4，BD45，再得出

ABDBDC，运用勾股定理列式得出DM5，运用等腰三角形的三线合一得出OMBD，再结合勾股

定理内容，即可作答．

【详解】（1）证明：ABCD，

ABCD，

ABACCDAC，

ADBC；

（2）解：如图，BD是O的直径，

BAD90，

AB2AD8，

AD4，

∴在Rt△ABD中，由勾股定理得BDAD2AB2428245，

ODOB25，

设AMx，则BM8x，

∵ADBC，

ABDBDC，

DMBM8x，

在Rt△ADM中，由勾股定理得42x2(8x)2，

解得x3，

DM5，

DMBM，ODOB，

OMBD，

在RtODM中由勾股定理得OMDM2DO225205．

13．（2024·贵州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于O，ABAC，ABDCBE，BE交O于点F，

D，C，E三点共线．

(1)图中与AD相等的是_______；

(2)求证：BE∥AD；

1

(3)若AD6，cosE，求CE的长．

3

【答案】(1)FC

(2)见解析

(3)CE4

【分析】（1）根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，求出结果即可；

（2）由ABDCBE得ABCDBE，根据等边对等角得∠ABCACB，则ACBDBE，由圆周

角定理得到ÐACB=ÐADB，则DBEADB，即可得到结论；

（3）连接FC，过点F作FNCE于点N，证明FCEE，得出FEFC，根据等腰三角形的性质求

NE1EN1

出CE2NE，根据cosE，得出，求出EN2，最后求出结果即可．

FE363

【详解】（1）解：∵ABDCBE，

∴ADFC；

（2）证明：ABDCBE，

ABCDBE，

ABAC，

ABCACB，

DBEACB，

ADBACB，

DBEADB，

∴BE∥AD．

（3）解：如图，连接FC，过点F作FNCE于点N，

ABCDBE，BDEBAC，

EACB．

DBEACB，

EDBE．

四边形DBFC内接于O，

DBEDCF180，

FCEDCF180，

FCEDBE，

FCEE，

FEFC，

FNCE，

CE2NE，

ABDCBE，

ADFC，

EFFCAD6，

NE1

cosE，

FE3

EN1

，

63

EN2，

CE4．

【点睛】此题考查了锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出

辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．

14．（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是O的两条弦，AC与BD相交于点E，ABCD．

(1)求证：ACBD；

(2)连接BC，作直线EO，求证：EOBC．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容

是解题的关键．

（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出ABADCDAD，进而可得ACBD；

（2）因为ABCD，所以ABCD，即ACBDBC．结合OBOC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，

即可作答．

【详解】（1）证明：∵ABCD，

∴ABCD，

∴ABADCDAD，

即BDAC，

∴ACBD；

（2）证明：连接OB、OC，

∵ABCD，

∴ABCD，

∴ACBDBC，

∴EBEC，

∵OBOC，

∴E、O都在BC的垂直平分线上，

∴EOBC．

15．（2024·贵州黔东南·二模）如图，O是VABC的外接圆，且ACBC，过点B作BEAC，垂足为

点E，延长BE交O于点D，连接AD，CD，CO，并延长CO交BD于点F．

(1)写出图中一个与ACD相等的角∶；

(2)求证∶CDCF；

(3)若BC10，BE6，求O的半径．

【答案】(1)ACDABD（答案不唯一）

(2)见解析

510

(3)O的半径为

3

【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；

（1）根据圆周角可得ACDABD；

（2）延长CF交AB于M，根据垂径定理的推论可得ACFBCF，CMAB，即可由BEAC得到

ACFABD，进而得到ACDABDACFBCF，由三线合一即可得到CDCF；

1

（3）连OA，由勾股定理求得CE8，进而依次得到AE2，AB210，AMAB10，再求出CM，

2

最后在Rt△AOM中利用勾股定理求半径即可．

【详解】（1）由圆周角可得：ACDABD，

故答案为：ABD（答案不唯一）；

（2）延长CF交AB于M，

∵ACBC，延长CO交BD于点F

1

∴ACFBCF，CMAB，AMAB

2

∵BEAC，

∴BECAMC90，

∴ACFABD90CAB，

∴ACDABDACFBCF，

∵BEAC，

∴CEDCEF90，

∴CED≌CEF，

∴CDCF；

（3）连OA，

∵BC10，BE6，

∴CEBC2CE28，ACBC10

∴AEACCE2，

∴ABAE2BE2210，

1

∴AMAB10

2

∴CMAC2AM2310，

∴OMCMOA310OA

Rt△AOM中，OM2AM2OA2，

22

∴310OA10OA2

510

解得OA，

3

510

∴O的半径为．

3

16．（2024·天津红桥·一模）已知AB与O相切于点B，直线AO与O相交于C，D两点(AOAC)，E为

BD的中点，连接OE并延长，交AB的延长线于点F．

(1)如图①，若E为OF的中点，求A的大小；

(2)如图②，连接BD与OF相交于点G，求证：∠D∠F．

【答案】(1)30

(2)见解答

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．

（1）连接OB，如图①，先根据切线的性质得到OBF90，再利用余弦的定义求出BOF60，接着

根据圆心角、弧、弦的关系得到DOEBOE60，所以AOB60，然后利用互余得到A的度数；

（2）连接OB，如图②，根据垂径定理得到OEBD，再利用等角的余角相等得到OBDF，加上

OBDD，从而得到∠D∠F．

【详解】（1）解：连接OB，如图①，

AB与O相切于点B，

OBAF，

OBF90，

E为OF的中点，

OEEF，

OF2OB，

OB1

在Rt△OBF中，cosBOF，

OF2

BOF60，

点E为BD的中点，

DOEBOE60，

AOB60，

A906030；

（2）证明：连接OB，如图②，

点E为BD的中点，

OEBD，

OGB90，

OBDBOF90，

又BOFF90，

OBDF，

OBOD，

OBDD，

DF．

17．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知O的内接VABC为等边三角形，连接顶点C与圆心O，并延

长交AB于点D，交O于点E，连接EA，EB．

(1)图中与ACD全等的三角形是，图中度数为30的角有个；

(2)求证：△AED∽△CEB；

(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．

【答案】(1)△BCD，4

(2)见解析

(3)四边形OAEB为菱形，见解析

【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及圆周角定理、等边三角形的性质以及菱形的判定等知识点．

（1）根据外接圆的定义得出CD是三角形ABC的中线，再根据等边三角形的性质证明ACD≌BCD(SAS)即

可；

（2）根据外接圆的定义和等边三角形的性质得出CEAB，在根据圆周角定理证明13即可得证；

（3）根据30角直角三角形的性质得出四边形OAEB的四边相等即可判断其形状．

【详解】（1）ABC为等边三角形，

ACBC，CABCBDACB60

圆O是VABC的外接圆，

1

CDAB，12ACB30，ADBD，

2

ACD≌BCD(SAS)；

根据圆周角可得123430

故答案为：△BCD，4；

（2）已知OO是等边三角形ABC的外接圆，

点O是等边三角形ABC的外心，

CEAB，1230．

ADEBDC90，

CE是直径，

CAE90，

由圆周角定理可知，23，

13，

△ADE∽△CDA；

（3）四边形OAEB为菱形．

证明：CAE90，130，

1

AECE，

2

1

同理可证，BECE，

2

OAOBAEBE，

四边形OAEB为菱形．

18．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，△ABD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，C为优弧ABD的中点，连接

AC,CD,OC，延长AC,DB交于点E．

(1)求证：ACODCO．

(2)求证：BABE．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查垂径定理的推论、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、平

行线的性质等知识，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键．

（1）延长CO交AD于F，先根据垂径定理的推论得到CF垂直平分AD，进而ACCD，然后根据等腰三

角形的三线合一性质可得结论；

（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明CF∥DE，然后根据平行线的性质和等腰三角形的判定与性质可

证得结论．

【详解】（1）证明：延长CO交AD于F，

∵C为优弧ABD的中点，

∴CFAD，AFDF，即CF垂直平分AD，

∴ACCD，

∴ACODCO；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴ADB90AFC，

∴CF∥DE，

∴EACO，

又∵OAOC，

∴BAEACO，

∴BAEE，

∴BABE．

19．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OCAB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接

AE，AC，BC．

(1)求证：BACE；

(2)若AB8，DC2，CE310，求CF的长．

【答案】(1)见解析

210

(2)CF

3

【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．

（1）由垂径定理，得ADBD，ACBC，由圆周角定理，得BACE；

ACCF210

（2）可证ACF∽ECA得；RtADC中，勾股定理求得AC25，于是CF．

ECCA3

【详解】（1）证明：∵OCAB，OC是O的半径，

∴ADBD，ACBC（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）

∴BACE（同弧或等弧所对的圆周角相等）；

（2）解：∵BACE，

又∵ACFECA，

∴ACF∽ECA，

ACCF

∴（相似三角形对应边成比例），

ECCA

∵AB8，

∴ADBD4，

在RtADC中ADC90，AD4，CD2，

∴ACAD2DC2422225，

25CF

即，

31025

210

∴CF．

3

20．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF的中点，

连接CF交OB于点G，连接BC．

(1)求证：GEBE；

(2)若AG6，BG4，求CD的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)8

【分析】（1）利用ASA证明△CEG≌△CEB，即可得到GEBE；

1

（2）连接OC，求出直径AB的长，即得半径OCOB5，求出OG，由（1）知GEBEBG2，再

2

求出OE，利用勾股定理求出CE，根据垂径定理即可求出CD．

【详解】（1）证明：∵D是BF的中点，

∴FCDBCD，即GCEBCE，

∵CDAB，

∴CEGCEB90，

又∵CECE，

∴CEG≌CEBASA，

∴GEBE；

（2）解：如图，连接OC，

∵AG6，BG4，

∴AB6410，

1

∴OCOBAB5，

2

∴OGOBBG541，

1

由（1）知GEBEBG2，

2

∴OEOGGE123，

∴CEOC2OE24，

∵直径ABCD，

∴CD2CE248．

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆的基本性

质、三角形全等的判定定理是解题的关键．

21．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以AC为直径的O上，ADC的平分线交O于点B，连接

BA，EC，EA，过点E作EHAC，垂足为H，交AD于点F．

(1)求证：AE2AFAD；

25

(2)若sinABD，AB5，求S△BOG．

5

【答案】(1)见解析

25

(2)

12

【分析】（1）连接ED，根据直角三角形中两锐角互余得出EAHAEH90，根据直径所对的圆周角是直

角得出AEC90，根据直角三角形中两锐角互余得出EAHACE90，根据等角的余角相等得出

ACEAEH，根据同弧所对的圆周角相等得出ADEAEH，根据有两个角对应相等的两个三角形是

相似三角形得出EAF∽DAE，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明AE2AF·AD；

（2）连接OB，过点G作GKAD，垂足为K，过点G作GMCD，垂足为M，根据直径所对的圆周角

是直角得出ADC90，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出

AOB2ADB90，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出GKGM，根据等腰直角三角形的

52

性质和特殊角的三角函数值求出OAOBOC，AC52，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的

2

15252

圆周角相等求出AD210，CD10，根据三角形的面积求出GCAC，OG，即可求出

336

S△BOG．

【详解】（1）证明：连接ED，

EHAC，

EAHAEH90，

AC是直径，

AEC90，

EAHACE90，

ACEAEH，

ADEAEH，

又EAFDAE，

△EAF∽△DAE，

AEAF

，

ADAE

AE2AF·AD；

（2）解：如图，连接OB，过点G作GKAD，垂足为K，过点G作GMCD，垂足为M，

AC是直径，

ADC90，

又QBD平分ADC，ABAB，

AOB2ADB90，GKGM，

在等腰直角VAOB中，AB5，

52

OAOBOC，

2

AC2OA52，

25

sinABD，ABDACD，

5

ADAD25

sinACD，

AC525

AD210，则CD10，

11

SAG·CD·sinACD，SCG·CD·sinACD

AGD2DCC2

SAG

AGD，

SBCGGC

1

AD·GK

AGADAG

2，即2，

1

CD·GMGCCDGC

2

152

GCAC，

33

525252

OGOCGC，

236

11525225

SOG·OB．

BOG226212

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是

直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性质等，正确做出辅助线，通

过三角形的面积求出CG是解题的关键．

22．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为5的O的直径，C是ABD的中点，连接交于点E，连

接AC，AD，OC．𝐴𝐶𝐴

(1)求证：OCAD．

(2)若BE1，求的长．

(3)如图2，作CF𝐶AB于点H，交于点F，射线交的延长线于点G，若OH1，求AG的长．

【答案】(1)证明见解析𝐶𝐴𝐶

157

(2)

4

(3)56

【分析】（1）根据题意得出CACD，即可证明CACD，得到CO垂直平分，即可证明结论．

𝐶

（2）延长CO交于点P，连结，证明DBE∽COE，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即可；