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文档简介

函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法1.定义:(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点;极大值与极小值

统称为极值。2.极值必要条件

定理1设x0是f(x)的极值点,则注(1):定理的逆不成立,即驻点和不可导点不一定是极值点;(2):极值的嫌疑点为“驻点”和“不可导点”。定理1

(极值第一判别法)

3.极值充分条件(1)如在x0左侧附近(2)如在x0左侧附近(3)如在x0左右两侧附近例1.求

的极值.解:1)求导数2)求极值嫌疑点:驻点为3)列表判别是极小值点,其极小值为注:驻点不一定是极值点。定理2(极值第二判别法)

设则是极大值;则是极小值.则不能确定是否为极值(改用一阶导数列表法。)存在,定理2(极值第二判别法)则在点取极大值;证:(1)存在由第一判别法知例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.

(不记录)例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别。函数的极小值为:试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:由题意应有又取得极大值为例3求出该极值,并指出它是极大。二、最大值与最小值问题1.闭区间[a,b]上连续函数

f(x)的最大值与最小值求函数最值的方法:(1)求在内的极值嫌疑点(2)计算:(3)比较上述各数的大小,其中最大的就是所求的最大值,最小的就是所求的最小值。分析:最值点在端点在内必为极值点必为极值嫌疑点例4.求在[-1,3]上的最大、最小值.(1)求在内的极值嫌疑点(2)计算:(3)比较上述各数的大小,其中最大的就是所求的最大值,最小的就是所求的最小值。解:令(舍去)2.只有唯一极值点函数的最值【理论】任何区间(开、闭、半开闭、有限、无穷)上的连续函数如果只有一个极值点x0,则(1)若x0是极小值点,则x0是函数在该区间上的最小值点;(2)若x0是极大值点,则x0是函数在该区间上的最大值点;例5.求函数在何处取得最小值。3.实际应用问题中的最值例6.设有盖圆柱体容积V是常数,应如何安排圆柱体的高和底面半径,才能使表面积最小?h、r,则设高、底半径为解:表面积r令h例7.从半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成漏斗,解:

问留下扇形的中心角取多大,做成的漏斗的容积最大?RR设漏斗底圆半径为,

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