高等数学（经济类）第5版课件：多元函数微积分学

第一节空间解析几何初步多元函数微积分学

第一节

空间直角坐标系ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念

Ⅰ2.点的直角坐标坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);

坐标面:

例1.指明点在何卦限内，并作出该点。解：第三卦限xyzo3.空间两点距离点与点例2.在z轴上求与两点解:设该点为解得故所求点为及等距离的点.

空间曲面及其方程

定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,故所求方程为例1.

求球心在当M0在原点时,球面方程为解:即依题意半径为

R

的球面方程

设球面上任一点为表示上(下)半球面.例2.

研究方程解:配方得此方程表示:说明:三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是怎样的曲面.表示半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.

一、平面的方程平面的方程:

二、柱面引例(不记)分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,当平行于z轴直线L沿曲线C移动一周，便得该曲面形状。在空间过此点作曲面对任意

z,平行z

轴的直线

L,表示圆柱面(记笔记)在圆C上任取一点

所以直线L位于该曲面上定义2.平行定直线L并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l

叫做母线.

L一般地,在三维空间平行于

z

轴;柱面,准线为xoy

面上的曲线F(x,y)=0母线母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线表示抛物柱面,例如:xyzo柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;准线xoz

面上的曲线H(z,x)=0母线准线yoz面上的曲线G(y,z)=0.母线

例.

画出曲面的图形。（2）x+z=1（1）z=y2oxyoxyoxy(3)椭圆柱面平面抛物柱面斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面例.（认识）指出下列方程的图形:

推广第二节

一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数的概念1．邻域一、平面点集n维空间注称为点的去心邻域。2．区域(1)内点、外点、边界点与边界设有点集

E及一点P，

若存在点

P

的某邻域U(P)，使得U(P)

E,

若存在点

P的某邻域U(P)，使得

U(P)∩E=,

若点P

的任一邻域

U(P)内既含属于

E的点，又含不则称P为E的内点；属于E的点,则称

P为

E的边界点；则称P为E的外点;E的边界点的全体称为E的边界。例如：上任一点都是边界点

边界为圆周的边界为圆周及圆周的边界为

(3)开集、闭集

若点集

E

的点都是内点，则称

E

为开集；

若E的边界包含在E内,则称

E

为闭集；例如：开集为闭集

(4)连通集D若集

D

中任意两点都可用一完全属于

D的折线相连,则称

D

是连通集;．．

是开集，但不是连通集是连通集

(5)(开)区域、闭区域D

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

连通的开集称为开区域,简称区域;．．例如，（开）区域闭区域

为有界闭区域；为无界开区域．例如，（6）有界点集、无界点集若平面点集E可包含于原点的某个邻域内，则称E为有界点集；否则，称E为无界点集．

以后区域可简单地表示成

二、多元函数的概念两个自变量的函数称为二元函数，一般记为1．多元函数的概念同理，三个自变量的函数称为三元函数，一般记为二元及二元以上的函数称为多元函数。，例如例1设求：解：。例2求的定义域．解所求定义域为2.二元函数的图形二元函数的图形通常是一张空间曲面，例如：定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面。当点无限趋近于点时，由于记或的值无限接近于常数A，则称A是当点趋向于点时的极限，记为三、多元函数的极限因此有定义2.设函数f(x,y)的定义域为D，边界点,则称A为函数P0是D的内点或若存在常数A,当都有

对任意正数

,总存在正数,时的极限，记作例3.证明证:故总有

要证

只要取注：

若点以两种不同方式趋于时，趋于两个不同值，或当点以某种的极限不存在，方式趋于时，则不存在。

例4证明不存在.证故不存在。四、多元函数的连续性定义3如果函数

在

D上的每一点都连续，则称函数在

D上连续，或者称是

D上的连续函数。定义4例5讨论在(0,0)的连续性．解其值随k的不同而变化，因为因此，在点(0,0)处不连续。故极限不存在．定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续．注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。例6求解原式=例7解4．有界闭区域上连续函数的性质

有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值．

有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值。（2）最值性（3）介值性（1）有界性有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界．思考题解答不能！例如：取但是，不存在.因为若取若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于A，能否断定？备用题设求解令

第三节偏导数一、偏导数的定义及计算法二、高阶偏导数以前：一元函数

y=f(x)在点x0处的导数

一、偏导数的定义及计算法现在：中的y固定于得一元函数y0处,这个一元函数在将x0

处的导数，称为二元

在点

处对的偏导数

1．函数在点(x0,y0)处的偏导数（一）偏导数的定义定义1.,点存在,则称此极限为如果对z=f(x,y)在点(x0,y0)对

x

的偏导数，记为如果存在,

则称此极限为z=f(x,y)在点(x0,y0)对

y

的偏导数,记作或同样地注定义2函数对x的偏导(函)数，或记作其中2．函数的偏导数函数对y的偏导(函)数，或记作其中（二）偏导数的计算法1．偏导函数的计算法（以前的公式与方法）对z=f(x,y)求只要把y看作常量，z对x求导.求只要把x看作常量，z对y求导.2．点处偏导数的计算法方法一（一般方法）：先求偏导函数，再将点的坐标代入．先化成一元函数，再求导数值．方法二：。方法三（用于求分段函数在分段点处的偏导数）：直接按偏导数的定义求。解例1

设 ，求解例2设

求解例3

设其中可导，求例4.设求解解例5

设，求例6解设求对称地（三）偏导数存在与连续的关系偏导数存在连续例如：在点处偏导数存在，但不连续．（见本节例6及上节例4）又如,但fx(0,0)及fy(0,0)不存在.在(0,0)处连续,（四）偏导数的几何意义在几何上表示曲面与平面的交线在点处的切线Tx对x轴的斜率．同理表示切线Ty对y轴的斜率.二、高阶偏导数1.高阶偏导数的定义不记定义函数z=f(x,y)的一阶偏导数的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.n-1阶偏导数的偏导数，……称为函数z=f(x,y)

的n阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。2.二阶偏导数的记号对于z=f(x,y)记作：记作：记作：记作：纯偏导混合偏导说明1

z=f(x,y)的三阶偏导数说明2二元以上多元函数的高阶偏导数也有类似的记号及意义.3.

求高阶偏导数举例解例7

设求发现这是否为一般规律？否！定理的混合偏导数及在点(x,y)处连续，如果z=f(x,y)那末注1若式(*)成立,就说混合偏导数与求偏导次序无关。注2式(*)并不总成立.解例8

设求内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续在混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)

解例1.设求解例2

设求例3

设求解：第四节全微分*二、全微分在数值计算中的应用应用

一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义定义

如果在点的全增量可以表示为其中A,B不依赖于而仅与有关，则称可微(分),在点即即:在点称为的全微分，而记为注10函数在点的全微分记为20函数若在区域D内每点处都可微，则称这函数在D内可微分。二、可微的必要条件定理1那么函数在(x,y)处在点可微分,如果函数(1)必连续.(2)

偏导数且全微分为必存在，【简言之，可微一定连续及可偏导】证(2)①∵z=f(x,y)在点处可微，∴其中在①式中令得如果在点(x,y)可微分，处且在点处则在点存在，同理可得于是，故因此，注10通常记于是，当函数可微时，

计算公式

反例:函数易知

偏导数存在,函数不一定可微!因该函数在点(0,0)不可微.在(0,0)处不连续(见8.1中例4),由定理1知,三、可微的充分条件定理2的偏导数、在点则该函数在点可微分．若函数连续，【简言之，偏导数连续一定可微】注重要关系：一元函数(不记)多元函数连续可导可微偏导数连续可微连续可偏导推广:

三元函数的全微分为:

解∴例1设求dz(2,1).解例2

设求du内容小结1.微分定义:2.重要关系:

偏导数连续可微连续可偏导答案:

第四节已知备用题第五节多元复合函数的求导法则复习：一元复合函数的求导法则即：函数的导数等于“链”上变化率之积。yux一、求导法则情形Ⅰ

中间变量均为一元函数设则函数的导数这种导数称为全导数则推广:的导数例1.设

求全导数解:情形Ⅱ中间变量是多元函数的情形.

设则复合函数的偏导数设

则的偏导数

推广:例2.设解:求常采用下面记号：在多元复合函数求导中，为方便起见，解例3设其中f具有二阶连续偏导数，求：注意：仍然是复合函数！∵f有二阶连续偏导数，

∴解例4设其中f具有二阶连续偏导数，求：例4设求∵f有二阶连续偏导数，∴情形Ⅲ

中间变量既有一元函数，又有多元函数。则函数

设zuvwxyxy解：zuvwxyxy例5.设

求zuvwxyxy例5.设求例5

求设另解：题设函数可看作由复合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同样结果或者先式两边取对数，后求得偏导数多元复合函数求导法则：(1)复合函数对某自变量的变化率等于若干项乘积之和;(2)和式中的项数=

中间变量的个数;(3)每一项均为因变量对中间变量的变化率对这个自变量的变化率.乘以中间变量注:

变化率即为偏导数(或导数)例如而则的导数再如,注意:这里表示固定

y对x

求导,表示固定

v对x求导与不同,例6.设

求解：例7.设解：

f具有二阶连续偏导数，求二、多元复合函数的全微分法则(1)设则(2)设，而则可证可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

其全微分表达形式都一样,这一性质叫做全微分形式不变性。1.全微分形式不变性设u,v是某些自变量的多元函数，则有（C为常数）；证明(3),由全微分形式不变性，有2.全微分运算法则例8.设，求一阶偏导数.解：即设例9.解：即求全微分。思考与练习

1.设f

具有二阶连续偏导数,求解:令则

2.已知求解:由两边对

x

求导,得

第六节隐函数的求导公式一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数1．一元隐函数的求导公式一、一个方程的情形设由二元方程确定了一元函数则两边对

x求导得：证：将代入得：所以：即：例1求导数设解（新方法）另解（老方法）方程两边同时对x求导，得：（注意：y不是常数，是x的函数）所以：2．二元隐函数的求导公式设由三元方程确定了二元函数则 两边对x求偏导得：同样可得推导：∴当时，有解（新方法）例2.设求代入原方程，得z=2另解（老方法）两边对x求偏导（注意:y是常数,z是x的函数）例2.设求故：两边对y求偏导（注意:x是常数,z是y的函数）解例3.设由方程确定,其中f证明：具有连续导数，记…求隐函数一阶导数（或偏导数）的新方法的步骤：1.原方程（或恒等变形后的方程）移项，使一边为零，另一边记为F;求F的偏导数，利用公式求出隐函数的导数（或偏导数）。解令则例4设求二、方程组的情形1．一元隐函数的求导确定了一元函数方程组取微分:解得：则有求例5.设求解：解之得等式两边取微分，得2．二元隐函数的求导方程组确定了两个二元函数求u和v

的偏导数。取微分:解得：则有解：解之得例6.设求确定了u=f(x,y),v=h(x,y),等式两边取微分，得例6.u=f(x,y),v=h(x,y).备用题1.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x

求导,得(99考研)

解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去

可得第七节多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值一、多元函数的极值定义则称函数在点(x0,y0)例1.在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.称为函数z=f(x,y)的某邻域内有

1．二元函数极值的定义若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值(或极小值).的极大值点[或极小值点].2．极值的必要条件注10

方程组的解称为f(x,y)的驻点．20

30

极值嫌疑点：【简言之：可偏导函数的极值点必是驻点】驻点不一定是极值点.定理1在点有偏导数，且在处有极值，则必有设驻点、偏导数不存在的点.（例如z=xy,驻点(0,0)不是极值点)．定理2的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令若函数

3．极值的充分条件则（1）当是极值，时为极大值；时，可能是极值,且当时为极小值；（2）当时，不是极值，（3）当时，也可能不是极值，需另作讨论。在点当

即解得驻点

第二步：求第三步：求A、B、C，的符号，判定f(x0,y0)是否为极值。对每个驻点由求f(x,y)的驻点第一步：4．求二元函数z=f(x,y)极值的步骤：例2.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(3,2),(3,-2)第二步解的极值.求二阶偏导数

例2.求驻点:在点(3,2)

处点（3，2）不是极值点;的极值.

第三步在点(3,-2)处为极大值.的符号，判别。定(3,-2)(3,2),二、应用问题中的多元函数的最值在实际问题中，而f(x,y)在D

内只有唯一驻点，所求的最值点．

如果f(x,y)在D内的最值存在，那么该驻点就是例3解

距离平方之和由得驻点在xoy面上求一点,使它到x=0,y=0,x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小.所以,当所求点为时,u最小.

•P(x,y)Eyx三、条件极值1.条件极值概念无条件极值.例如：（1）求的极值.

条件极值.（2）例如:求在条件下的极值.2.条件极值的求法

拉格朗日乘数法

步骤：

求在条件下极值①作拉格朗日函数②解方程组得③判别是否就是所求极值点.（应用题不必判别）

注求在条件下条件极值的拉格朗日乘数法:得（2）解方程组是极大（小）值（3）判别例4某厂生产两种产品的日产量为x和y(件),利润函数为z=6x-x2+16y–4y2(元),每件产品均需消耗某种原料2公斤,现有原料12公斤,问两种产品各生产多少件时,利润最大?解2x+2y=12,约束条件:即x+y=6,

令解方程组得故当x=3.8,y=2.2时,利润最大.

注:利润L=收益R

成本C-内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法

设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.

备用题备用题

.求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则三个三角形面积分别为设拉氏函数

解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为

求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.二、多元函数的最值（3）计算上述各点的函数值比较大小，其中最大、最小者即为最大、最小值。1．求连续函数在有界闭区域

D

上的最值的方法

解由（1）先求函数f(x,y)在D内部的驻点：例3

求二元函数在闭区域上的最大值与最小值.得D内驻点例3

求二元函数在闭区域上的最大值与最小值.在边界上，在边界和上（2）再考虑在D的边界上的值，由,得的驻点：

（3）计算上述各点的函数值比较大小三、二重积分的性质第八节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算

二重积分的概念与性质

解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.

1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“取近似”在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体

4)“取极限”令

二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,

引例中曲顶柱体体积:如果在D上可积,也常记作二重积分记作这时直线来划分区域D,此面积元素可用平行坐标轴的

因二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.

三、二重积分的性质(k为常数)

为D的面积,则

特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为

,则有

7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭

为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此

区域D上例1.

比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上

例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项

例3.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D

8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶在D上在闭区域上连续,域D关于则则性时,仍有类似结果.在第一象限部分,则有

x轴对称,四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的

同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算

例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为

内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法

被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:

2.

设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有

3.计算解:

4.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.

第二节作业备用题1.估计的值,其解:被积函数D的面积的最大值的最小值

中D为2.判断的正负.解：当时，故又当时，于是

第九节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分

二重积分的计算法

一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则若D为Y–型区域则

当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于

说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时