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多元复合函数的求导法则复习：一元复合函数的求导法则即：函数的导数等于“链”上变化率之积。yux一、求导法则情形Ⅰ

中间变量均为一元函数设则函数的导数这种导数称为全导数则推广:的导数例1.设

求全导数解:情形Ⅱ中间变量是多元函数的情形.

设则复合函数的偏导数设

则的偏导数

推广:例2.设解:求常采用下面记号：在多元复合函数求导中，为方便起见，解例3设其中f具有二阶连续偏导数，求：注意：仍然是复合函数！∵f有二阶连续偏导数，

∴解例4设其中f具有二阶连续偏导数，求：例4设求∵f有二阶连续偏导数，∴情形Ⅲ

中间变量既有一元函数，又有多元函数。则函数

设zuvwxyxy解：zuvwxyxy例5.设

求zuvwxyxy例5.设求例5

求设另解：题设函数可看作由复合而成，利用情形Ⅱ中的公式可得同样结果或者先式两边取对数，后求得偏导数多元复合函数求导法则：(1)复合函数对某自变量的变化率等于若干项乘积之和;(2)和式中的项数=

中间变量的个数;(3)每一项均为因变量对中间变量的变化率对这个自变量的变化率.乘以中间变量注:

变化率即为偏导数(或导数)例如而则的导数再如,注意:这里表示固定

y对x

求导,表示固定

v对x求导与不同,例6.设

求解：例7.设解：

f具有二阶连续偏导数，求二、多元复合函数的全微分法则(1)设则(2)设，而则可证可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

其全微分表达形式都一样,这一性质叫做全微分形式不变性。1.全微分形式不变性设u,v是某些自变量的多元函数，则有（C为常数）；证明(3),由全微分形式不变性，有2.全微分运算法则例8.设，求一阶偏导数.解：即设例9.解：即求全微分。思考与练习

1.设f

具有二阶连续偏导数,求解:令则

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