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第三章圆6直线和圆位置关系第2课时切线判定、三角形内切圆1/14课前预习1.以下说法不正确是 ()A.与圆只有一个交点直线是圆切线B.经过半径外端,且垂直于这条半径直线是圆切线C.与圆心距离等于这个圆半径直线是圆切线D.垂直于半径直线是圆切线D2/142.如图X3-6-8,AB是⊙O直径,以下条件中不能判定直线AT是⊙O切线是 ()A.AB=4,AT=3,BT=5 B.∠B=45°,AB=ATC.∠B=55°,∠TAC=55° D.∠ATC=∠B3.如图X3-6-9,⊙O是△ABC内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE等于 ()A.70° B.110° C.120° D.130°DB3/14名师导学新知
1切线判定定理
定理:过半径外端且垂直于这条半径直线是圆切线.
条件:如图X3-6-10,OA是⊙O半径,直线l经过点A,且l⊥OA.
结论:l是⊙O切线.4/14
注意:(1)切线必须满足两个条件:①经过半径外端;②垂直于这条半径,不然就不是圆切线.
(2)切线判定定理实际上是从“圆心到直线距离等于半径时,直线和圆相切”这个结论直接得出来.
(3)在判定一条直线为圆切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线垂线段,证实该线段长等于半径,可简单地说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点半径,证实该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂直”.5/14【例1】已知:如图X3-6-11,在△ABC中,CB=CA,以BC为直径⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.判断DE与⊙O位置关系,并证实你结论.
解析连接CD,OD.依据圆周角定理可得CD⊥AB,依据等腰三角形三线合一性质得出AD=BD,依据三角形中位线定理得出OD∥AC,证得DE⊥DO,即可证得结论.6/14解DE与⊙O相切.证实以下:连接CD,如图X3-6-12.∵BC是⊙O直径,∴∠BDC=90°.∴CD⊥AB.又∵AC=BC,∴AD=BD.连接OD,如图X3-6-12,则DO是△ABC中位线.∴DO∥AC.又∵DE⊥AC,∴DE⊥DO.∴DE是⊙O切线.7/14举一反三如图X3-6-13,△ABD是⊙O内接三角形,E是弦BD中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与⊙O相交于点F,与BC相交于点C.求证:BC是⊙O切线.8/14证实:连接OB,如答图X3-6-2所表示.∵E是弦BD中点,∴BE=DE,OE⊥BD,
∴∠BOE=∠A,∠OBE+∠BOE=90°.∵∠DBC=∠A,∴∠BOE=∠DBC.∴∠OBE+∠DBC=90°.∴∠OBC=90°,即BC⊥OB.∴BC是⊙O切线.9/14新知2三角形内切圆
1.三角形内切圆:与三角形三边都相切圆叫做三角形内切圆.三角形内心:三角形内切圆圆心是三角形三条角平分线交点,叫做三角形内心.
2.三角形内心性质:
(1)三角形内心到三角形三边距离相等,等于三角形内切圆半径.
(2)三角形内心与顶点连线平分这个内角.10/14【例2】已知:如图X3-6-14,⊙O是Rt△ABC中内切圆,切点分别为D,E,F,且∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm.求⊙O半径是多少cm.
解析设⊙O半径是rcm,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,依据勾股定理求出AB,依据三角形面积公式得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB,代入即可求出⊙O半径r.11/14
解设⊙O半径是rcm,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,如图X3-6-15所表示.∵⊙O为△ABC内切圆,切点是D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,OD=OE=OF=r.∵AC=6cm,BC=8cm,由勾股定理,得AB=10cm.依据三角形面积公式,得
S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB.
解得r=2(cm).即⊙O半
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