江苏省扬州市高邮市2024-2025学年九年级上册1月期末数学学情检测试题（附答案）

江苏省扬州市高邮市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学学情检测试题一、单选题1．下列说法正确的是（）A．打开电视，正在播放新闻节目是必然事件B．抛一枚硬币，正面朝上的概率为，表示每抛两次就有一次正面朝上C．抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为D．任意画一个三角形，它的内角和等于2．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（

）A． B．2 C． D．3．某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示：决赛成绩/分人数/名则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（

）A．， B．， C．， D．，4．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（）A．6.4 B．7 C．7.2 D．86．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2+2 C．y＝﹣2（x﹣1）2+2 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1第5题第7题7．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（）A．6 B．9﹣ C． D．25﹣38．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＞0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2二、填空题9．已知，则．10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围．11．某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据：容量/L232527293133人数/人4352332为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为L．12．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为 米．13．若实数a，b满足a+b2＝1，则a2+4b2的最小值是．14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是．15．已知点A（4，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）上．则y1，y2，y3的大小关系为．16．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若∠BEF＝2∠ACO，则m的值为．第16题三、解答题17．解方程：(1)；(2)．18．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．19．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分进行统计：七年级：86，94，79，84，71，90，76，83，90，87．八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79．整理如下：年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b6.6根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．21．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）22．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长．23．如图，公园原有一块长方形空地，长是宽的2倍，从这块空地上划出“”型区域栽种鲜花，原空地的宽减少了，长减少了，剩余空地的面积是原空地面积的一半，求原空地的长和宽．24．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．25．为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉．如图，矩形地ABCD一面靠墙（墙的长度为12m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的矩形．已知栅栏的总长度为27m．（1）若矩形地ABCD的面积为42m2，求AB的长；（2）当AB边为多少时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是多少？26．【提出问题】如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 27．如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，P点为劣弧上一个动点，且、．

(1)的度数为°；(2)如图2，连结，取中点，则的最大值为；(3)如图3，连接、、、．若平分交于点，求的长；(4)如图4，连接、，当点运动时（不与、两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．答案1-5CCCAD6-8CCB9．10．k＜1且k≠011．2912.313.114.15.y15.y1＜y2＜y316./217.(1)，；(2)，．18.解：（1）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）由表格可知，共有12种等可能的结果．（2）由表格可知，小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为＝．19.解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b＝87，A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；故85，87，七；（2）×200+×200＝220（人），答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．20.（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．21.解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，则AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，则AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米），答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．22.解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：连接OE，OC，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴∠COE＝∠BOE，∵OC＝OB，∴OE⊥BC，∵BC∥EF，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，∵OE＝OB，∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，即：OE2+152＝（OE+9）2，解得：OE＝8，∴⊙O的半径为8；∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠OEF＝90°，∴∠BEF＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO，∴∠BEF＝∠BAE，∵∠F＝∠F，∴△EBF∽△AEF，∴，∴AEBE，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162，解得：BE，∴AE，∵BC∥EF，∴，即，∴AD．23.原空地的长为，宽为24.（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．25.解：设AB的长为xm，则BC的长为（27﹣3x）m，根据题意得：（27﹣3x）x＝42，解得x＝2或x＝7，当x＝2时，27﹣3x＝21＞12，不合题意，舍去，当x＝7时，27﹣3x＝6＜12，符合题意，∴x＝7，答：AB的长为7m；（2）设矩形的面积为Sm2，则S＝（27﹣3x）x＝﹣3x2+27x＝﹣3（x﹣9x）＝﹣3（x﹣）2+，∵BC＝27﹣3x≤12，∴x≥5，∵﹣3＜0，∴当x＝5时，S有最大值，最大值为60，∴当AB边为5时，矩形地ABCD的面积最大，最大面积是60m2．26.解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，