2025年中考数学一轮知识梳理考前突破01规律探究（3大必考题型）60题（原卷版）

考前突破01规律探究（3大必考题型）60题题型一：数式规律探究题型二：图形规律探究题型三：点坐标的规律探究题型一：数式规律探究【中考母题学方法】1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（

）A． B．为偶数 C． D．2．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：第1个：第2个：第3个：第4个：按照以上规律，第个等式为．3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则，．【中考模拟即学即练】4．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．……11

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1……则展开式中所有项的系数和是．（结果用指数幂表示）5．（2024·重庆江津·二模）一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之差为2，百位数字与十位数字之差为2，则称这个数为“双喜数”．对于一个“双喜数”，记．例，因为，所以6314是“双喜数”，．则；若一个四位自然数是“双喜数”，且是整数，则满足条件的的最大值为．6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．

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…………

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当代数式的值为8时，则的值为．7．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作等腰直角三角形，…同样的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形，，，，…，，则第个等腰直角三角形的面积为．8．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为0．且满足|−|．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是；如果将一个“双顺数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数，并且规定：．若是整数，则符合条件的M的最小值是．9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则．10．（2023·辽宁锦州·三模）设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点O，的面积记为；如图②，将边、分别3等分，、相交于点O，的面积记为；……，依此类推，则．题型二：图形规律探究【中考母题学方法】11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202512．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（

）A．90 B．91 C．92 D．9313．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（

）A． B． C． D．14．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有个火柴棒．

15．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为（用含n的代数式表示）．16．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【中考模拟即学即练】17．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（

）块A．28 B．30 C．34 D．3628．（2025·湖南娄底·一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍根．19．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有个“”．（用含n的代数式表示）题型三：点坐标的规律探究【中考母题学方法】20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（

）

A． B． C． D．21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点1,0中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（

）A． B． C．0 D．122．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（

）A． B． C． D．23．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是．

24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为．

25．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．(1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）；(2)当时，______（用含n的代数式表示）．【中考模拟即学即练】26．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点1,0，第2次运动到点，第3次运动到点2,1…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（

）A． B． C． D．27．（2024·山东威海·二模）如图，矩形为台球桌面示意图．小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（

）

A． B． C． D．28．（2024·新疆喀什·二模）如图，正方形的顶点，，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按照这样的规律，点的纵坐标为（

）A． B． C． D．29．（2024·河南商丘·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，，过点A作交半圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（

）A． B．C． D．30．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（

）A． B． C． D．31．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（

）

A． B． C． D．32．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（

）A． B． C． D．33．（2024·甘肃武威·三模）如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是（）A． B．C． D．34．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为，第2次碰到矩形的边时对应点的坐标为……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（

）A．1,4 B． C． D．35．（2024·河南南阳·三模）如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为（

）A． B．C． D．36．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点；则根据图示规律点A2025的坐标为（

）A． B． C． D．37．（2024·山东泰安·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，根据所给图形，可以依次求出点，，，…，则图中点的坐标是（

）A． B．C． D．38．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，点P在菱形的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（

）A． B． C． D．39．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为1，2，3，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为．

40．（2024·四川内江·一模）如图，直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为；再过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为，以此类推．那么的长为．41．（2024·河南信阳·三模）将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点，…的位置上，则点的横坐标为．42．（2024·四川内江·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为．43．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接AB，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为．44．（2024·山东东营·模拟预测）含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点…，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是45．（2024·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是．46．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为，第2个点的坐标为，第3个点的坐标为……根据这个规律，第2024个点的坐标为．47．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如0,1，，0,2，，2,3，，0,3，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是．48．（2024·山东东营·二模）在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，则的坐标为．49．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，则的坐标为．50．（2024·山东淄博·二模）如图，四边形，，，，…，都是正方形，对角线，，，，…，都在x轴上（n是整数，且），点，，，，…，在反比例函数的图象上．若已知正方形的面积为2，则点的坐标为．51．（2024·山东泰安·二模）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为1,0，点的坐标为，则点的坐标为．52．（2024·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系内，动点M第1次从点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，第6次运动到，第7次运动到……依此规律，第2024次运动到的坐标是．53．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为1,0．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为．54．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的坐标是．

55．（202