云南高二数学试题及答案

云南高二数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共30分）

1.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，则$f(2)$的值为（）

A.7B.9C.11D.13

2.若$\triangleABC$的三个内角$A$、$B$、$C$满足$A+B+C=180^\circ$，且$\sinA+\sinB+\sinC=4$，则$\cosA+\cosB+\cosC$的值为（）

A.2B.4C.6D.8

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，则数列的前$n$项和$S_n$为（）

A.$S_n=3^n-2^n$B.$S_n=3^n+2^n-1$

C.$S_n=3^n-2^n+1$D.$S_n=3^n-2^n-1$

4.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹为（）

A.$x=0$B.$y=0$C.$x^2+y^2=1$D.$x^2-y^2=1$

5.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，则数列的前$n$项和$S_n$为（）

A.$S_n=\frac{n(2+3n)}{2}$B.$S_n=\frac{n(2+3n-1)}{2}$

C.$S_n=\frac{n(2+3n+1)}{2}$D.$S_n=\frac{n(2+3n-2)}{2}$

二、填空题（每题5分，共25分）

1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$，则$f(0)$的值为______。

2.若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，且$A$、$B$都是锐角，则$\sin(A+B)$的值为______。

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则数列的前$n$项和$S_n$为______。

4.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为______。

5.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，则数列的第10项$a_{10}$的值为______。

三、解答题（每题15分，共45分）

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求函数$f(x)$的对称轴方程。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公差$d=2$，求该数列的前$n$项和$S_n$。

3.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，求函数$f(x)$的值域。

4.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，求$z$在复平面上的轨迹方程。

四、解答题（每题15分，共45分）

5.已知数列$\{a_n\}$满足递推关系式$a_{n+1}=2a_n-1$，且$a_1=1$，求：

(1)数列$\{a_n\}$的通项公式；

(2)数列的前$n$项和$S_n$。

6.已知函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，其中$x>0$，求：

(1)函数$f(x)$的单调区间；

(2)函数$f(x)$的极值。

五、证明题（每题15分，共30分）

7.证明：若$\triangleABC$中，$a^2+b^2=c^2$，则$\sinA=\sinB$。

8.证明：对于任意实数$x$，都有$(x+1)^2\geq4x$。

六、应用题（每题15分，共30分）

9.某工厂生产一种产品，每生产一个单位产品需要成本$C$元，其中$C$与生产的产品数量$n$之间的关系为$C=10n+500$。假设产品售价为每单位$P$元，求：

(1)当$n=100$时，总利润$L$与售价$P$之间的关系；

(2)求使总利润$L$最大的售价$P$。

10.某班级有学生50人，其中男生人数是女生人数的$\frac{2}{3}$，求该班级男生和女生的人数。

试卷答案如下：

一、选择题

1.答案：A

解析思路：将$x=2$代入函数$f(x)$中，得到$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4\cdot2+1=8-12+8+1=7$。

2.答案：B

解析思路：由三角形的内角和定理知$A+B+C=180^\circ$，则$\sin(A+B+C)=\sin180^\circ=0$。根据正弦的和角公式，$\sin(A+B+C)=\sinA\cosB+\cosA\sinB+\sinC\cosC$，代入已知条件$\sinA+\sinB+\sinC=4$，得到$\sinA\cosB+\cosA\sinB+\sinC\cosC=0$。由于$A$、$B$、$C$是锐角，$\cosC>0$，所以$\sinA\cosB+\cosA\sinB=-\sinC\cosC$。又因为$\sinC=\sqrt{1-\cos^2C}$，所以$\sinA\cosB+\cosA\sinB=-\sqrt{1-\cos^2C}\cosC$。由于$\cosB=\frac{4}{5}$，代入上式得到$\sinA\cdot\frac{4}{5}+\cosA\cdot\frac{3}{5}=-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}\cdot\frac{4}{5}$，解得$\sinA=\frac{3}{5}$。同理，$\cosA=\frac{4}{5}$，所以$\cosA+\cosB+\cosC=\frac{4}{5}+\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=4$。

3.答案：B

解析思路：由数列的递推关系$a_{n+1}=3a_n-2^n$，可以推出$a_n=3^{n-1}-2^{n-1}$，所以数列的前$n$项和$S_n=(3^0-2^0)+(3^1-2^1)+\ldots+(3^{n-1}-2^{n-1})$。这是一个等比数列和一个等差数列的和，可以分别求和后再相减。

4.答案：A

解析思路：由$|z-1|=|z+1|$，可以得到$(z-1)(\bar{z}-1)=(z+1)(\bar{z}+1)$，即$z\bar{z}-z-\bar{z}+1=z\bar{z}+z+\bar{z}+1$，化简得$-2z-2\bar{z}=0$，即$z+\bar{z}=0$。由于$z=a+bi$，$\bar{z}=a-bi$，所以$2a=0$，即$a=0$。因此$z$在复平面上的轨迹是$y=0$。

5.答案：D

解析思路：等差数列的前$n$项和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$a_n=a_1+(n-1)d$。将$a_1=2$和$d=3$代入，得到$S_n=\frac{n(2+2+(n-1)\cdot3)}{2}=\frac{n(2+2+3n-3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$。

二、填空题

1.答案：1

解析思路：直接代入$x=0$，得到$f(0)=\frac{1}{0}+\frac{1}{1-0}=1$。

2.答案：$\frac{3}{5}$

解析思路：由$\sinA=\frac{3}{5}$，可知$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{4}{5}$。同理，$\cosB=\frac{4}{5}$，则$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{3}{5}$。由$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$，代入$\sinA$和$\cosB$的值，得到$\sin(A+B)=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25}$。

3.答案：$S_n=3^n-2^n+1$

解析思路：由数列的递推关系$a_{n+1}=3a_n-2^n$，可以推出$a_n=3^{n-1}-2^{n-1}$，所以数列的前$n$项和$S_n=(3^0-2^0)+(3^1-2^1)+\ldots+(3^{n-1}-2^{n-1})$。这是一个等比数列和一个等差数列的和，可以分别求和后再相减。

4.答案：$x^2+y^2=1$

解析思路：由$|z-1|=|z+1|$，可以得到$(z-1)(\bar{z}-1)=(z+1)(\bar{z}+1)$，即$z\bar{z}-z-\bar{z}+1=z\bar{z}+z+\bar{z}+1$，化简得$-2z-2\bar{z}=0$，即$z+\bar{z}=0$。由于$z=a+bi$，$\bar{z}=a-bi$，所以$2a=0$，即$a=0$。因此$z$在复平面上的轨迹是$y=0$，即$x^2+y^2=0$。

5.答案：$a_{10}=3+9d=3+9\cdot2=21$

解析思路：等差数列的第$n$项$a_n=a_1+(n-1)d$，将$a_1=3$和$d=2$代入，得到$a_{10}=3+9\cdot2=3+18=21$。

三、解答题

1.答案：

(1)对称轴方程为$x=1$；

(2)解析思路：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的导数为$f'(x)=3x^2-6x+4$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。由于$f''(x)=6x-6$，当$x=1$时，$f''(1)=0$，不是极值点；当$x=\frac{2}{3}$时，$f''\left(\frac{2}{3}\right)=0$，也不是极值点。因此，对称轴方程为$x=1$。

2.答案：

(1)$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+1+(n-1)\cdot2)}{2}=\frac{n(2+2n-2)}{2}=n^2$；

(2)解析思路：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=1$和$d=2$，得到$S_n=\frac{n(1+1+(n-1)\cdot2)}{2}=\frac{n(2+2n-2)}{2}=n^2$。

3.答案：

(1)单调递增区间为$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(-1,1)$；

(2)解析思路：函数$f(x)=\sinx+\cosx$的导数为$f'(x)=\cosx-\sinx$。令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{\pi}{4}+k\pi$，$k$为整数。由于$f'(x)$在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上为正，在$(-1,1)$上为负，所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上单调递增，在$(-1,1)$上单调递减。由于$f(x)$的周期为$2\pi$，所以值域为$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。

4.答案：

(1)轨迹方程为$x^2+y^2=1$；

(2)解析思路：由$|z-1|=|z+1|$，可以得到$(z-1)(\bar{z}-1)=(z+1)(\bar{z}+1)$，即$z\bar{z}-z-\bar{z}+1=z\bar{z}+z+\bar{z}+1$，化简得$-2z-2\bar{z}=0$，即$z+\bar{z}=0$。由于$z=a+bi$，$\bar{z}=a-bi$，所以$2a=0$，即$a=0$。因此$z$在复平面上的轨迹是$y=0$，即$x^2+y^2=0$。

四、解答题

5.答案：

(1)通项公式为$a_n=2^n-1$；

(2)解析思路：由递推关系$a_{n+1}=2a_n-1$，代入$a_1=1$，得到$a_2=2a_1-1=2\cdot1-1=1$，$a_3=2a_2-1=2\cdot1-1=1$，以此类推，可以发现$a_n$始终为1，因此通项公式为$a_n=2^n-1$。

6.答案：

(1)单调递增区间为$(0,+\infty)$，单调递减区间为$(0,+\infty)$；

(2)解析思路：函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$的导数为$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{4}$。由于$f'(x)$在$(0,+\infty)$上始终为正，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。由于$f(x)$的周期为$2\pi$，所以值域为$(-\infty,+\infty)$。

五、证明题

7.答案：

(1)证明：由余弦定理知$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入$a^2+b^2=c^2$得到$2ab\cosC=0$。由于$a$和$b$都大于0，所以$\cosC=0$，即$C=90^\circ$。因此$\sinC=\sin90^\circ=1$，同理$\sinA=\sinB=1$。

8.答案：

(1)证明：由均值不等式知$\frac{x+1}{2}\geq\sqrt{x}$，两边平方得$\left(\frac{x+1}{2