2025年中考数学几何模型综合训练专题36最值模型之逆等线模型解读与提分精练（教师版）

专题36最值模型之逆等线模型

最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各

类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试

题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）.............................................................................1

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）.....................................................................................6

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）.....................................................................................9

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）...................................................................12

模型5.最值模型-加权逆等线模型...............................................................................................................15

.................................................................................................................................................20

模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）

逆等线：ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。

△

逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。

条件：如图，在ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求

CD+BE的最小值△。

证明思路：①AD在ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出ADC≌△CEF(SAS)；证出EF=CD；

△

④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；

⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。

例1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在等边三角形VABC中，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运

动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设xAD，

yAECD，y与x的函数图象如图，图象过点0，4，则图象最低点的纵坐标是（）

A．21B．2C．231D．23

【答案】D

【分析】结合函数图像，当x0时，y4，求得等边三角形的边长，证明ADC≌BEA，得出

yAECE2AE，当AEBC时，AE最小，勾股定理即可求解．

【详解】当x0时，yAECDABAC4，∵三角形ABC是等边三角形，∴ABBC2,

∵ADBE,DACEBA60,ACBA，∴ADC≌BEA，

2

213

∴yAECE2AE，当AEBC时，AE最小，最小值为ABABAB3，

22

∴y的最小值为23，即图象最低点的纵坐标是23，故选：D．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键．

例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D、E分别是AB、

AC上两动点，且AD=CE，连接CD、BE，CD+BE△最小值为．

【答案】97

【分析】过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，由题意易得∠HAD=∠BCE，进而可证HAD≌△BCE，

则有CD+BE=CD+HD，当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，当点C、D、H三点共线△时即为最小，连

接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度

113

为CD+BE的最小值，然后可得HAM≌CBM，则有MNAF2,BNNFBF，

222

9

CNCFNF，然后问题可求解．

2

【详解】解：由题意可得如图所示：

过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，

∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，

∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，

∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作

AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，

∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴AFAB2BF24，

∵AH//BC，∴HAMB，∵HMACMB，

51

∴HAM≌CBM（AAS），∴AMBM，HMCMHC，

22

113

∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴MNAF2,BNNFBF，

222

997

∴CNCFNF，∴在RtMNC中，CMMN2CN2，

22

△

∴CH2CM97，∴CD+BE的最小值为97；故答案为97．

【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之

间线段最短进行求解即可．

例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，AB3，AC4，BAC90，D，E

分别是边AB，AC上的动点，且BDAE，则CDBE的最小值为．

【答案】58

【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过B作BNAB，

使BNAB3，连接DN，CN，作NMAC交CA延长线于点M，证明四边形AMNB是正方形，由勾股

定理得CNMN2CM2327258，然后证明BAE≌NBDSAS，当N，D，C三点共线时，

CDBE有最小值58，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】过B作BNAB，使BNAB3，连接DN，CN，作NMAC交CA延长线于点M，

∴AMNMABABN90，∴四边形AMNB是矩形，∴BNAB，

∴四边形AMNB是正方形，∴AMMN3，∴CM7，∴CNMN2CM2327258，

∵BDAE，BAENBD90，ABBN，∴BAE≌NBDSAS，

∴BDBE，∴NDDCCN，即CDBECN，

当N，D，C三点共线时，CDBE有最小值58，故答案为：58．

例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在VABC中，ABC45，BAC75，AC2，点E与

点D分别在射线BC与射线AD上，且ADBE，则AEBD的最小值为，AEED的最小值为．

【答案】326

【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当D在BM上时，BDAE

取得最小值，如图所示，过点M作MNAB交BA的延长线于点N，进而勾股定理即可求解；对于AEED，

构造等边三角形，进而即可求解．

【详解】如图所示，过A作AFBC交BC的于F，

∵ABC45，BAC75，∴ACB180457560∴CAF30，ABCBAF45，

1

∵AC2，∴CFAC1，AFBFAC2CF23∴ABAF2BF26

2

如图所示，作MAD45且AMAB，连接DM，BM，∵ABAM,ABEMAD45,BEAD

∴ABE≌MADSAS∴AEDM∴BDAEBDDMBM，

当D在BM上时，BDAE取得最小值，如图所示，过点M作MNAB交BA的延长线于点N，

∵BAD75，DAM45∴NAM60，AMN30∵ABAM∴ABM30

1632

∵AMAB6在Rt△ANM中，ANAM，∴MN3AN

222

∴BM2MN32，即AEBD的最小值为32；

如图所示，作A关于BM的对称点J，连接AJ,BJ,MJ,则

∵ABAM,BAM120ABAM则ABMJBM30∴ABJ60，

∵对称，∴BABJ∴ABJ,AMJ都是等边三角形，连接EJ,DJ，

∵ABE≌MAD，∴BAEAMD，则EAJDMJ，

又∵AJJM,AEMD∴EAJ≌DMJ∴EJADJM，EJDJ

∴EJDAJM60∴△EDJ是等边三角形，∴AEEDAEEJAJ

∴当E在AJ上时，AEEDAJ，如图所示

此时AEED取得最小值，最小值AJAB6故答案为：32，6．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段

最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．

模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）

条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。

证明思路：①CE在BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出BEC≌△GFB(SAS)；证出EB=FG；

△

④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。

例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝

CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝△

A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°

【答案】B

【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF

在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点△F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值

最小，求出此时∠AFB＝105°．

【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，

∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，

∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，

∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，

此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B．

【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当

BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．

例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形VABC中，BAC50，ABAC，BDAC于D，M，N

分别是线段BD，BC上的动点，BMCN，当AMAN最小时，MAD．

【答案】12.5

【分析】在BC下方作CNA，使CNA≌BMA，连接AA，则AMAN最小值为AA，此时A、N、A三点

180105

在同一直线上，推出AACA37.5，所以BAM37.5，即可得到

2

MADBACBAM5037.512.5．

【详解】解：在BC下方作CNA，使CNA≌BMA，连接AA．

则NCAMBA，AMAN．∴AMANANANAA，

即AMAN最小值为AA，此时A、N、A三点在同一直线上．

∵BAC50，ABAC，∴ACBABC65，

∵BDAC，∴ABD905040，∴NCA40，∴ACA6540105，

180105

∴AACA37.5，∴BAM37.5，

2

∴MADBACBAM5037.512.5，故答案为：12.5．

【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑

线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰ABC中，BAC100，BD平分ABC，点N为BD上一点，点

M为BC上一点，且BNMC，若当AMAN的最小值为4时，AB的长度是．

【答案】4

180BAC

【分析】由等腰ABC中，BAC100，可得ABCACB40，由BD平分ABC，可

2

1

得ABDABC20，如图，作BCEABD20，使CEAB，连接EM，则

2

ACEACBBCE60，证明CEM≌BANSAS，则MEAN，CEAB，AMANAMME，

可知当A、M、E三点共线时，AMAN最小，即AE4，证明△ACE是等边三角形，则ACAE4，进

而可求AB．

180BAC

【详解】解：∵等腰ABC中，BAC100，∴ABCACB40，

2

1

∵BD平分ABC，∴ABDABC20，如图，作BCEABD20，使CEAB，连接EM，

2

∴ACEACBBCE60，∵CEAB，BCEABD，MCBN，

∴CEM≌BANSAS，∴MEAN，CEAB，∴AMANAMME，

∴当A、M、E三点共线时，AMAN最小，即AE4，

∵CEAC，ACE60，∴△ACE是等边三角形，∴ACAE4，∴AB4，故答案为：4．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质

等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是

解题的关键．

模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）

条件：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，

求CD+CE的最小值。

证明思路：①BE在BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出BEC≌△ADF(SAS)；证出CE=FD；

△

④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；

⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。

例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，RtABC中，ACB90，B30，D，E为AB边上的

两个动点，且ADBE，连接CD，CE，若AC2，则CDCE的最小值为．

【答案】4

【分析】过点A，B分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M，连接MC，ME，先证ACB≌MBC，得

ABMC，再证CAD≌MBE，得CDME，进而得出CDCEMECE，当C，E，M三点不共线时，

MECEMC；当C，E，M三点共线时，MECEMC，然后根据直角三角形中，30的角所对的直

角边等于斜边的一半求出AB的值，从而得出结果．

【详解】过点A，B分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M，连接MC，ME，

ACB90，MAAC，AM∥CB，MBBCAC∥MB，ACMB，CABMBA，

BCCB，ACBMBC90，ACB≌MBC，ABMC，

ADBE，CAD≌MBE，CDME，CDCEMECE，

当C，E，M三点不共线时，MECEMC；当C，E，M三点共线时，MECEMC．

CDCE的最小值是MC的长，B30，ACB90，AB2AC，

AC2，AB4，MCAB4，CDCE的最小值是4．故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助

线找出恰当的全等三角形是解本题的关键．

例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接

BE和BF，若AECF，ACAB9，ACBC2，则BEBF的最小值是．

【答案】17

【分析】如图，连接DF，BD，由全等三角形判定（SAS）可以证得ABE≌CDF，得到DFBE，进而

得到BEBFBD，再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案．

【详解】解：如图，连接DF，BD，

四边形ABCD是矩形，AB∥CD，ABCD，ABC90，BAEDCF，

AECF，ABE≌CDFSAS，BEDF，BFDFBD，BEBFBD，

又AC，BD为矩形的对角线，ACBDBEBFAC，

ABC是直角三角形，ACAB9，ACBC2，AB2BC2AC2，

(AC9)2(AC2)2AC2移项得AC222AC850，

配方得AC222AC12112185，(AC11)236，解得AC17，或AC5

ACAB95，AC17，BEBF17，故答案为：17．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一

元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．

模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）

特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。

条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，

求AF+AE的最小值。

证明思路：①BE在ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；

△

②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；

③构造出ABE≌△GDF(SAS)；证出AE=FG；

△

④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；

⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两

条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。

例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形ABCD中，ABC60，AB4，E，F分别是边BC和

对角线BD上的动点，且BEDF，则AEAF的最小值为______．

【答案】42

【分析】在BC的下方作CBT30，截取BT，使得BTAD，连接ET，AT．证明△ADF≌△TBE(SAS)，

推出AFET，AEAFAEET，根据AEETAT求解即可．

【详解】解：如图，BC的下方作CBT30，截取BT，使得BTAD，连接ET，AT．

1

四边形ABCD是菱形，ABC60，ADCABC60，ADFADC30，

2

ADBT，ADFTBE30，DFBE，△ADF≌△TBE(SAS)，AFET，

ABTABCCBT603090，ABADBT2，

ATAB2BT2424242，AEAFAEET，

AEETAT，AEAF42，AEAF的最小值为42，故答案为42．

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB6，AD8，点E、F分别是边BC和对角线

BD上的例2．动点，且BEDF，则AEAF的最小值是．

【答案】2985

5

【分析】设点D关于BC的对称点为G，在BG上截取BHAD，连接EH，可证ADFHBE，从而

AFEH，那么AEAFAEEHAH，A、H都是固定点，过点H作HMAB于点M，结合相似三

角形和勾股定理即可求得，

【详解】如图，设点D关于BC的对称点为G，在BG上截取BHAD，连接EH，过点H作HMAB于

点M，

∵四边形ABCD是矩形，∴ABCD6，BCAD8，AD∥BC，∴ADFDBC，

∵DCCG，BCDG，∴BDBG，∴DBCCBG，∴ADFHBE，

∵DABH，DFBE，∴ADFHBE，∴AFEH，∴AEAFAEEHAH，

在Rt△BCD中，BD628210，∵HMAB，∴BHMGBDC90CBG∴BHMDBC，

BMMHBHBMMH824322454

∴，∴，∴BM，MH，∴AMABBM6，

CDBCDB68105555

22

22543229852985

在Rt△AMH中，AHAMMH，∴AEAF的最小值是．

5555

故答案为：2985．

5

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据AFEH把AEAF的最小值转

化为AEAFAEEHAH是关键．

例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形ABCD中，AB2，ABC120，点E，F分别在AB，CD上，

且DFBE，连接DE，AF，则DEAF的最小值为．

【答案】4

【分析】如图，连接CE，作D关于直线AB的对称点N，连接CN，BN，NE，DB，可得DENE，DKNK，

DNAB，证明四边形AECF为平行四边形，可得AFCE，则DEAFNECECN，当E,N,C三点

共线时，此时取等于号，DEAF最小，证明当E,N,C三点共线时，E,B重合，从而可得答案．

【详解】解：如图，连接CE，作D关于直线AB的对称点N，连接CN，BN，NE，DB，

∴DENE，DKNK，DNAB，∵菱形ABCD，∴ABCD，AB∥CD，AD∥BC，

∵DFBE，ABC120，∴AECF，DCBDAB60，

∴四边形AECF为平行四边形，∴AFCE，∴DEAFNECECN，

当E,N,C三点共线时，此时取等于号，DEAF最小，

∵菱形ABCD，ABC120，∴ABAD，ABD60，∴△ABD为等边三角形，∴ADBD，

∵DNAB，∴AKBK，∵DKNK，AKDBKN，∴ADK≌BNK，

∴NBKDAB60，BNAD2，∵ABC120，∴NBKABC180，

∴N,B,C三点共线，∴当E,N,C三点共线时，E,B重合，

∵BNBC2，∴CN4，即DEAF最小值为4．故答案为4

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，

作出合适的辅助线是解本题的关键．

模型5.最值模型-加权逆等线模型

条件：已知在VABC中，∠ACB=，AB=a，AC=b，点E、D是线段AB、BC上的动点，且满足BE=k×AD，

求AE+k×CD的最小值。

证明思路：①AD在ADC中，以BE为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；

△

②即过点B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=k×AC=kb。（构造一边一角，得相似）；

③构造出EBF≌△DAC(SAS)；证出EF=k×DC；

△

④AE+k×CD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF即为所求，此时，A、F、E三点共线；

⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函数求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。

例1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边VABC中，BC6，E，F分别是边AB、AC上

的动点，且满足CF2BE，则BF2CE的最小值为；

【答案】67

1

【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得DGBF，

2

1

BF2CE2(BFCE)2(DGCE)，因此转而求DGCE的最小值；过A作AMAC，且AMAD，

2

连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有MEDG，进而转化为求MECE的最小值，当点E在线

段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF2CE的最小值．

【详解】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，

11

∵VABC是等边三角形，CDBC，CGFGCF，

22

11

根据三角形中位线可得DGBF，∴BF2CE2(BFCE)2(DGCE)，

22

BF2CE的最小值转化为求DGCE的最小值，

在等边三角形ABC中，BC6，∴ABACBC6，BAC60，CD3，CAD30，

CF2BE，BECG，AEAG；过A作AMAC，且AMAD，连接ME、CE，

则MAE90BAC30CAD，AME≌ADGSAS，MEDG，

DGCEMECE，当点E在线段CM上时，MECE取得最小值，

且最小值为线段CM的长，AMADAC2CD233，

在Rt△AMC中，由勾股定理得：CMAM2AC237，

BF2CE的最小值2DGCE2MECE23767．故答案为：67．

【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

三角形中位线定理，把求BF2CE的最小值转化为求DGCE的最小值，进而转化为求MECE的最小值，

是本题的难点与关键所在．

例2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB5，BC6，E、F分别为BC、

CD上的动点，且BE2DF，则DE2AF的最小值为．

【答案】513

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长AB到H，使得BH2AD，

连接EH，DH，证明△ADF∽△HBE，得到HE2AF，则DE2AFDEHE，故当H、E、D三点共

线时，DEHE最小，即此时DE2AF最小，最小值即为DH的长，据此利用勾股定理求出DH的长即可

得到答案．

【详解】解：如图所示，延长AB到H，使得BH2AD，连接EH，DH，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC∠ADF∠HBE∠BAD90，ADBC6，

BEBHHEBE

∵BE2DF，BH2AD，∴2，∴△ADF∽△HBE，∴2，

DFADAFDF

∴HE2AF，∴DE2AFDEHE，

∴当H、E、D三点共线时，DEHE最小，即此时DE2AF最小，最小值即为DH的长，

在RtADH中，AD6，AHABBH52617，

∴DHAD2AH2513，∴DE2AF的最小值为513，故答案为：513．

例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，ABAD，AD4，ADB60，点E、F为

对角线BD上的动点，DE2BF，连接AE、CF，则AE2CF的最小值为．

【答案】47

【分析】如图，在直线DB的上方作BDT60，且使得DT2BC．过点T作THAD交AD的延长线

于H．首先利用相似三角形的性质证明ET2CF，解直角三角形求出AT，根据AE2CFAEET，推出

AE2CF47，即可解决问题．

【详解】解：如图，在直线DB的上方作BDT60，且使得DT2BC．

过点T作THAD交AD的延长线于H，连接ET、AT．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，ADBC4，∴ADBDBC60，∴CBFTDE，

BCBF1CFBC1

∵，∴VCBF∽△TDE，∴，∴ET2CF，

DTDE2ETDT2

∵TDH180606060，H90，DT2BC8，∴DHDTcos604，HT3DH43，

2

∴AHADDH8，∴ATAH2HT2824347，

∵AE2CFAEET，AEETAT，∴AE2CF47，∴AE2CF的最小值为47．故答案为：47．

【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的

判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．

例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB4，ABC60，点E，F分别是BD，CD上

1

的点，若BE2CF，则AFAE的最小值是．

2

【答案】25

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾

股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

1

根据题意构造相似三角形，作DCM30，取CMAB2，连接AC，AM，得到ABE∽MCF，进

2

11

而得出AFAEAFFM，当A,F,M三点共线时，AFFM的值最小，即AFAE的值最小，最后

22

利用勾股定理即可解出．

1

【详解】作DCM30，取CMAB2，连接AC，AM，如图所示，

2

在菱形ABCD中，ABC60ABEDCM30，

11

BE2CF,AB2CM，ABE∽MCF，AE2FM，AEFMAFAEAFFM，

22

1

当A,F,M三点共线时，AFFM的值最小，即AFAE的值最小，在菱形ABCD中，ABC60，

2

BCD120，VABC是等腰三角形，ACD60，ABAC4，ACM90，

在RtACM中，AC4,CM2，AMAC2CM2422225，故答案为：25．

1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F，连接BE

和BF，若AECF，ACAB4,ACBC2，则BEBF的最小值是（）

A．4B．10C．6D．20

【答案】B

【分析】如图，连接DF，BD，由全等三角形判定SAS可以证得△ABE≌△CDF，得到DFBE，进而得

到BEBFBD，再根据题意及勾股定理求出AC的值，即可得出答案．

【详解】解：如图，连接DF，BD，

四边形ABCD是矩形，AB∥CD，ABCD，ABC90，BAEDCF，

AECF，△ABE≌△CDFSAS，BEDF，

BFDFBD，BEBFBD，又AC，BD为矩形的对角线，

ACBDBEBFAC，

ABC是直角三角形，ACAB4,ACBC2，AB2BC2AC2，

(AC4)2(AC2)2AC2移项得AC212AC200，解得AC10，或AC2

ACBC2，则AC2不符合题意，AC10，BEBF10，故选B．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一

元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键．

2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，

且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时△，∠MBN的度数为（）

A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°

【答案】C

【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝

HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小△，求出此时∠MBN即可解决问题．

【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，

∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，

∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，

∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，

∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，

∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．

【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角

形解决问题．

3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是BC，CD边上的动

点，且BECF．（1）若BECF1，则AEAF；（2）AEAF的最小值为．

【答案】175/51745

【分析】（1）由正方形的性质可得ABBCCDAD4，DB90，从而得到DF3，由勾股定理

计算出AE、AF的长，即可得到答案；（2）连接DE，通过证明△ADF≌△DCE可得DEAF，作点A关

于BC的对称点A，连接BA、EA，则AEAE，从而得到AEAFAEDE，当D、E、A在同一直线

时，AEAF最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案．

【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，且边长为4，ABBCCDAD4，DB90，

BECF1，DFCDCF413，AEAB2BE2421217，

AFAD2DF242325，AEAF175，故答案为：175；

（2）连接DE，

，

四边形ABCD是正方形，且边长为4，ABBCCDAD4，DC90，

BECF，DCCFBCBE，DFCE，

ADDC

在△ADF和△DCE中，ADFDCE90，ADF≌DCESAS，DEAF，

DFCE

作点A关于BC的对称点A，连接BA、EA，则AEAE，

AEAFAEDE，当D、E、A在同一直线时，AEAF最小，

AA2AB8，在RtADA中，ADAD2AA2428245，

AEAF的最小值为：45，故答案为：45．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握

正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．

4．（2024·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，点D，E分别为AB，BC上的动点，

且AD＝BE，AB32．当AE＋CD的值最小时，CE的长为．

【答案】32

【分析】过点B作BFBC，且BFAC，连接AF，交BC于点E，过点A作AHBF，交FB的延长线

于点H，证明ACD≌BFESAS，得出CDEF，则AECDAEEFAF，即AECD的最小值即为

AF的长，此时点E与点E重合，由勾股定理及相似三角形的性质可得出答案．

【详解】过点B作BFBC，且BFAC，连接AF，交BC于点E，过点A作AHBF，交FB的延长

线于点H，如图所示：则EBF90，在等腰直角VABC中，BAC90，ABAC，

ACBF

在ACD和△BFE中，DACFBE，∴ACD≌BFESAS，∴CDEF，

ADBE

∴AECDAEEFAF，即AECD的最小值即为AF的长，此时点E与点E重合，

∵AB32，∴ACBFAB32，BC2AB6，

∵BAC90，∴ACBABC45，∴ABH45，∴HABHBA45，∴AHBH，

根据勾股定理得AH2BH2AB2，∴2AH218，∴AH3或AH3（舍去），

∴BHAH3，∴HFBHBF332，∵AHFEBF，EFBAFH，

EBFBEB32

∴EBF∽AHF，∴，即，解得BE632，

AHHF3332

∴CE663232，∴AECD取得最小值时，CE的长度为32．故答案为：32．

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形三条边的

关系，相似三角形的判定与性质；熟练掌握以上知识点是解题的关键．

5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形ABCD中，ABC60，E，F分别是AD，BD

上的动点，DEBF，连AF，CE，则AFCE的最小值为．

【答案】22

【分析】过点B作BMAB，使BMAB，连接MF，AM，得到ABM90，AF+MF³AM．根据

菱形的边长为2，得到AM22．证明ABCADC60．得到ABD30．得到

FBM60EDC．推出EDC≌FBMSAS．得到CEMF．得到AFCEAFMF．即得AFCE

的最小值为22．

【详解】解：如图，过点B作BMAB，使BMAB，连接MF，AM，则ABM90，AF+MF³AM．

∵菱形ABCD的边长为2，∴AM2AB22．ABCADC60，

1

∴ABDCBDABC30．∴FBMABMABD60．∴EDCFBM60．

2

DEBF

在△EDC和FBM中，EDCFBM，∴EDC≌FBMSAS．

DCBM

∴CEMF．∴AFCEAFMF．即AFCE22．

∴AFCE的最小值为22．故答案为：22．

【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，

线段最短，是解决问题的关键．