2025年中考数学几何模型综合训练专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练（教师版）

专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型

将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的

思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型

和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长

度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造

桥）再也不是问题！

..............................................................................................................................................................................1

模型1.将军遛马模型...........................................................................................................................1

模型2.将军造桥（过桥）模型............................................................................................................6

.........................................................................................................................................11

模型1.将军遛马模型

将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，

在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）；

图1-1图1-2

将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移

PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，

再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

图1-1图1-2

将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交

直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，

根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，

再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。

例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E

在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________

【答案】10

【分析】作DM∥AC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，

推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在

RtBDM中，根据勾股定理计算即可．

【△详解】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，

∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，

根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°

∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，

∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在RtBDM中，BM＝1232＝10

△

∴DE+BF的最小值为10．故答案为10．

【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的

关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．

例21．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两个动点，且

始终保持BFBE1，连接AE、CF，则AECF的最小值为（）

A．22B．3C．25D．251

【答案】B

【分析】过点A作AH∥BD,使AHEF，易得四边形AEFH为平行四边形，得到AEHF，进而得到

AECFHFCFCH，得到C,F,H三点共线时，AECF有最小值即为CH的长，利用勾股定理进行

求解即可．

【详解】解：过点A作AH∥BD,使AHEFBFBE1，则：四边形AEFH为平行四边形，

∴AEHF，∴AECFHFCFCH，∴当C,F,H三点共线时，AECF有最小值即为CH的长，

∵四边形ABCD为正方形，∴ACBD，ABBC2，ABC90，

∴AC22，AHAC，∴CHAC2AH23，即：AECF的最小值为3．故选B．

【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，

进行线段的转化．

例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将△ABD沿射线BD的方

向平移得到△ABD，分别连接AC，AD，BC，则ACBC的最小值为（）

A．1B．2C．3D．2

【答案】C

【分析】根据菱形的性质得到AB1，ABD30，根据平移的性质得到ABAB1，AB∥AB，推出

四边形ABCD是平行四边形，得到ADBC，于是得到ACBC的最小值ACAD的最小值，根据平

移的性质得到点A在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于

A，则CE的长度即为ACBC的最小值，求得DECD，得到EDCE30，于是得到结论

【详解】解：在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，ABCD1，ABD30，

将△ABD沿射线BD的方向平移得到△ABD，ABAB1，AB∥AB，

四边形ABCD是菱形，ABCD，ABCD，BAD120，

ABCD，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形，

ADBC，ACBC的最小值ACAD的最小值，

点A在过点A且平行于BD的定直线上，

作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A，则CE的长度即为ACBC的最小值，

在Rt△AHD中，AADADB30，AD1，

11

ADE60，DHEHAD，∴DE1，DECD，

22

CDEEDBCDB9030120，EDCE30，作DGEC，

∵DECD1∴CE2CG过点D作DGEC垂足为G

CGCG3

在Rt△CGD中，DCE30∴cosDCG

CD12

33

CGCE2CG23．故选：C．

22

【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，

求得ACBC的最小值ACAD的最小值是解题的关键．

例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点(点E靠近点A)，

且EF22，当BEBF的最小值为210时，AB的长为．

【答案】4

【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移BF至

GE，则BFGE，连接BG,BD，得出四边形GEFB是平行四边形，则BG∥AC，BGEF22，根据

题意可得GO210，在RtGBD中，勾股定理求得BD，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，平移BF至GE，则BFGE，连接BG,BD,

∴四边形GEFB是平行四边形，∴BG∥AC，BGEF22，∵ACBD，∴BDBG

∵在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点

∴BEED∴BEBFBEGEBEDEGO210

22

在RtGBD中，BDGD2GB22102242

2

∴ABBD4故答案为：4．

2

模型2.将军造桥（过桥）模型

将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建

造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。

图2-1图2-2

将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，

∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，

∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。

再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。

例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，YABCD中，AB3，AD2，DAB60，DFAB，BECD；

垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AGGHCH的最小值为______．

【答案】72

【分析】过点E作EI∥AD交AB于点I，连接HI．易求出AF1，DF3，DEGHBF2．易证四

边形AGHI为平行四边形，得出AGHI，即说明当HICH最小时，AGGHCH最小．由当点I，H，

7

C三点共线时，HICH最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出HI，即得出CI7，

2

即可得出答案．

【详解】解：如图，过点E作EI∥AD交AB于点I，连接HI．

1

∵YABCD中，DAB60，DFAB，∴ADF30，∴AFAD1，

2

∴BFABAF2，DFAD2AF23．∵DFAB，BECD，∴GF∥BH．

∵GH∥AB，∴四边形GHBF为平行四边形，∴GHBF2．同理可得出BFDE2．

∵AB∥DE，AD∥EI，∴四边形ADEI为平行四边形，

∴AIDE2GH，∴四边形AGHI为平行四边形，

∴AGHI，∴AGGHCHHI2CH，∴当HICH最小时，AGGHCH最小．

∵当点I，H，C三点共线时，HICH最小，∴此时AGGHCH最小，如图，

113

∵AD∥EI，∴BC∥EI．∵CE∥BI∴四边形BCEI为平行四边形，∴BHBEDF，CI2HI，

222

7

∵AB3，AI2，∴BI1，∴HIBH2BI2，∴CI7，

2

∴AGGHCH的最小值为CIGH72．故答案为：72．

【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之

间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，HICH最小，即此时AGGHCH

最小是解题关键．

例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在Rt△ABC中，ACB90,BAC30,AB23．如果在三角

形内部有一条动线段MN∥AC，且MN1，则AMBNCN的最小值为________．

【答案】13

【分析】在AC上取一点A，使得AAMN1，连接AN，如图所示，首先证明

AMBNCNANBNCN，将△NCB绕点C顺时针旋转60得到GCT，连接NG，过点T作THAC

交AC的延长线于H，证明ANCNBNANNGGTAT，求出AT可得结论．

【详解】解：在AC上取一点A，使得AAMN1，连接AN，如图所示：

AAMN，AA∥MN，四边形AMNA是平行四边形，AMAN，AMBNCNANBNCN，

将△NCB绕点C顺时针旋转60得到GCT，连接NG，过点T作THAC交AC的延长线于H，如图所示：

CNCG，NCG60，△NCG是等边三角形，CNNG，ANCNBNANNGGT，

ANNGGTAT，ACB90，BAC30，AB23，

1

BCCTAB3，AC3BC3，CACAAA312，

2

133

ACH90，BCT60，TCH30，THC90，THCT，CH3TH，

222

22

3773

AHACCH2，22，

ATAHTH13

2222

AMBNCN13，AMBNCN的最小值为13，故答案为：13．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋

转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF2，

将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH．

(1)①四边形ECHF的形状为_____________；

②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CECF的值为_____________．

(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存

的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在

支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1

和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河

岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即APPQQMMNNB和

的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为1503米、250米，

且与线段AB所夹的锐角分别为60、30．

【答案】(1)①平行四边形；②6．(2)1002731503250米

【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的

性质，平移的性质：

（1）①根据平行的性质得到CH∥EF，CHEF2，据此可证明四边形ECHF是平行四边形；②由正方

形的性质得到ACDBDC45，ADCD4，ADC90，由勾股定理得AC42，由平行线的性

质得到∠DCH∠BDC45，则ACH90，由勾股定理得到AH6，再由正方形的性质和平行四边形

的性质得到AFCF，CEFH，则CECFFHAFAH6；

（2）如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移1503米得到A，连接AQ，将点B沿着垂直

于支流2的河岸的方向平移250米得到B，连接BM，则四边形APQA和四边形BBMN都是平行四边形，

可得AQAP，BMBN，则当A、Q、M、B四点共线时，AQQMBM最小，即此时

APPQQMMNNB最小；如图所示，分别延长AA、BB交于H，则∠BAH30，∠ABH60，进

1

而得到H90，则BHAB1000米，AH10003米，进一步得到AH8503米，BH750米，

2

则ABBH2AH2100273米，即可得到APPQQMMNNB的最小值为

1002731503250米．

【详解】（1）解：①由平行的性质可得CH∥EF，CHEF2，

∴四边形ECHF是平行四边形，故答案为：平行四边形；

②∵四边形ABCD是正方形，∴ACDBDC45，ADCD4，ADC90，

∴ACAD2CD242，

∵CH∥EF，∴∠DCH∠BDC45，∴ACH90，∴AHAC2CH26，

由正方形的对称性可得AFCF，由平行四边形的性质可得CEFH，

∴CECFFHAFAH6，故答案为：6；

（2）解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移1503米得到A，连接AQ，将点B沿着

垂直于支流2的河岸的方向平移250米得到B，连接BM，

∴四边形APQA和四边形BBMN都是平行四边形，∴AQAP，BMBN，

∴APPQQMMNNBAQQMBM1503250，

∴当A、Q、M、B四点共线时，AQQMBM最小，即此时APPQQMMNNB最小；

如图所示，分别延长AA、BB交于H，

∵支流1和支流2与线段AB所夹的锐角分别为60、30，

1

∴∠BAH30，∠ABH60，∴H90，∴BHAB1000米，

2

∴AHAB2BH210003米，∴AH8503米，BH750米，

∴ABBH2AH2100273米，∴APPQQMMNNB的最小值为1002731503250米．

1．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为23，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，

且EF＝2，连接AE、AF，则AEF周长的最小值是（）

△

A．4B．4+3C．2+23D．6

【答案】D

【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最

小值即可．

【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长

最小．

∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，

∵菱形ABCD的边长为23，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝23，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，

2

在Rt△CAH中，CH＝AC2AH223224∴AE+AF的最小值4，

∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．

【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．

2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10

千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为

靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为()

A．213B．1+35C．3+37D．85

【答案】A

【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河

岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，

即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．

【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直

于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．

根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．

∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RTABC中，ACAB2BC26，

△2

在RTAB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝AC2BC213千米；故选A．

△

【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需

要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往

往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．

3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，A2,0，B0,2，C是OB的中点，点D在第二象限，

且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PHOA于H，Q是点B关于点A的对称点，则

BPPHHQ的最小值为．

【答案】6

【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考

常见题型．连接CH，根据A、B的坐标先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PHOCBC1，

再证明四边形PBCH是平行四边形，则BPCH，在BPPHHQ中，PH1是定值，所以只要CHHQ的

值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CHHQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．

【详解】解：如图，连接CH，A(2,0)，B(0,2)，OB2，OA2，

C是OB的中点，BCOC1，PHOCOHDCO90，四边形PHOC是矩形，PHOCBC1，

PH∥BC，四边形PBCH是平行四边形，BPCH，BPPHHQCHHQ1，

要使CHHQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，

22

点Q是点B关于点A的对称点，Q(4,2)，又点C(0,1)，根据勾股定理可得CQ04125，

此时，BPPHHQCHHQPHCQ1516，即BPPHHQ的最小值，6；故答案为：6

4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中点，线段EF在边AB

上左右滑动；若EF1，则GECF的最小值为____________．

【答案】32

【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，

此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出

HG'的长，即可求解．

【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取

EF=1，此时GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，

∵CH=EF=1，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，

∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，

∴HGDH2DG2323232，即GECF的最小值为32．故答案为：32

【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，

F位置是解题关键．

5．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上

运动，若⊙O的周长为2，MN1，则AMN周长的最小值是．

【答案】51/15

【分析】过点C作CA∥BD，令CAMN1；可推出四边形MCAN为平行四边形，有ANCM；根据

CVAMNAMMNANANAN1AA1可知当AACA时，AMN周长有最小值.

【详解】解：过点C作CA∥BD，令CAMN1

∵⊙O的周长为2，∴⊙O的半径为1∴BDAC2

∵CA∥BD且CAMN1∴四边形MCAN为平行四边形

∴ANCM由正方形的对称性可得：CMAM∴ANAM

∴CVAMNAMMNANANAN1AA1故：当AACA时，AMN周长有最小值

此时：AAAC2CA25∴AMN周长的最小值是51故答案为：51

【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当AACA时，AMN周长有最小

值是解题关键．

6．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中将ABD沿射线BD平移，

得到EGF，连接EC、GC．求ECGC的最小值为______．

【答案】45

【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均

为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当

点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．

【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，

∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，

∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，

又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，

此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=428245，

即EC+GC的最小值为45，故答案为：45．

【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将

两条线段的和转化为同一条线段求解．

7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，CBD30，ABEF，

DF

点G是边BC的中点．当GEAF取最小值时，的值为．

BE

【答案】2

1

【分析】取CD的中点H，连接FH．根据点G是边BC上的中点，则GH∥BD,GHBD，推出四边形EGHF

2

是平行四边形，所以EGFH，因此GEAFFHAF，当A、F、H三点在同一直线上时，FHAF最

小，即GEAFFHAFAH，由AD∥BC，GH∥BD推出VGBE∽VADF，代入计算得出答案．

【详解】解：如图，取CD的中点H，连接FH．

1

∵点G是边BC上的中点，∴GH是△BCD的中位线，∴GH∥BD,GHBD．

2

1

∵ABCD是矩形，CBD30，∴C90，ABCD，ADBC∴CDBD，∴GHCD，

2

∵ABEF，∴EFGH，∴四边形EGHF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，

∴EGFH，∴GEAFFHAFAH，∴当A、F、H三点在同一直线上时，GEAF最小，

∵AD∥BC，GH∥BD，∴ADFGBE,AFEGEF，∴AFDGEB，

DFADBC

∴VGBE∽VADF，∴2，故答案为：2．

BEBGBG

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，三角形中位线，平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，

相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中，证明VGBE∽VADF是解题的关键．

8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB12，AD6，E是AB边上一动点，过点E作

对角线AC的垂线，分别交AC于点O、交直线CD于点F，则点E在运动过程中，AFFEEC的最小值

是．

【答案】1535/3515

【分析】过点B作BM∥EF交DC于M，过点A作AN∥EF，使ANEF，连接NE，NC，推出AFEC

的最小值为NC的长度，FE为定值，再分别求出NC、FE的长度即可．

【详解】解：过点B作BM∥EF交DC于M，过点A作AN∥EF，使ANEF，连接NE，NC，如下图，

∴四边形ANEF是平行四边形，∴ANEF，AFNE，∴AFECNEECNC，

即AFCE取最小值为NC的长度，∵四边形ABCD是矩形，AB12，AD6，

∴ADBC6，ABCD12，AB∥CD,AD∥BC，DABC90，

∴ACAB2BC212262=65，∵AB∥CD，BM∥EF，

∴四边形EFMB是平行四边形，∴BMEF，∴BMEFAN，

∵EFAC，∴BMAC，ANAC，∴CAN90，

∴MBCACB90ACBACD，∴MBCACD，

CMBCCM6

又∵DABC90，∴BCM∽CDA,∴，即，解得CM3，

ADDC612

22

∴BMBC2CM2623235ANEF，∴CNAC2AN2653515，

∵AFFEECNCEF，∴AFFEEC1535，即AFFEEC的最小值为1535．

故答案为：1535．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、

三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．

9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为

2，MN1，则（1）O的直径长为；（2）AMN周长的最小值是．

【答案】224

BD2

【分析】（1）根据正方形ABCD内接于O，得到BD是O，根据2，解得BD22,BD22

4

（舍去），解得即可．

（2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，连接AC，交BD于点O，连接MC，则AMCM，

过点C作CGBD,CGMN1，连接NG，则四边形MNGC是平行四边形，继而得到AMCMNG，

继而得到AMANANNG，结合ANNGAG，故当A、G、N三点共线时，AMAN取得最小值，

得到AMN周长的最小值．

BD2

【详解】（1）∵正方形ABCD内接于O，∴BD是O的直径，∴2，

4

解得BD22,BD22（舍去），故答案为：22．

（2）根据正方形的性质，得到点A与点C是对称点，ACBD,ACBD22，

连接AC，交BD于点O，连接MC，则AMCM，

过点C作CGBD,CGMN1，连接NG,AG，则四边形MNGC是平行四边形，

∴AMCMNG，∴AMANANNG，∵ANNGAG，

故当A、G、N三点共线时，AMAN取得最小值，得到AMN周长的最小值．

∵CGBD,CGMN1，∴ACG90，∴AGAC2CG23，

故AMN周长的最小值为4．故答案为：4．

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式的应用，圆的性

质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用是解题的关键．

2

10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx4x3与y轴交于点A，与x轴的一

个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD2，则四边形ABCD周长的最小值

为．

【答案】2102

【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正

确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点A的坐标和B1，0，M3，0，再证明四边形CDNM是平行四边形，

得出DNCM，结合两点之间线段最短，故四边形ABCD的周长是ABCD102AN，运用两点距离

公式列式计算，得出AN10，代入计算即可作答．

2

【详解】解：∵抛物线yx4x3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，

，，2

∴当x0时y3，∴点A的坐标是03，当y0时，则0x4x3，∴x11，x23，

设抛物线与x轴的另外一个交点为M，∴B1，0，M3，0，∴对称轴x2；则AB321210

过点M作MNx轴，且NMCD2，

∵MNx轴，线段CD在对称轴上，∴MN∥CD

∵NMCD2∴四边形CDNM是平行四边形∴DNCM

连接AN与对称轴x2相交于一点，即为点D的位置，再连接BC，CM

∵B1，0，M3，0，对称轴x2，线段CD在对称轴上，

∴BCCM∴DNBC此时四边形ABCD周长有最小值

即ABCDBCAD102CBAD102AN

2

∵NM2，M3，0，∴N3，2则AN323210则102AN102102102

∴四边形ABCD周长的最小值为2102故答案为：2102

1

11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上

2

1

运动，PQ，有下列结论：①CP与QD可能相等；②AQD与BCP可能相似；③四边形PCDQ面积

2

31337

的最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3，其中，正确结论的序号为.

162

【答案】/

【分析】①②③根据③三②角形三边之间的关系得AQADQD，进而得APQD，同理得BPPCBC，即

BPPCAB，进而得PCAP，由此得CP与QD不可能相等．

②假设AQD与BCP相似，设AQx，利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出x的值，再与x的

取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；

③过P作PEBC于E，过D作DFAB于F，过C点作CGAB于G点，利用函数求四边形面积的最

33

大值．设AQx，可表示出PE2.5x，DF，可用函数表示出SPBC，S△ADQ，再根据

24

S四边形PCDQSABCSPBCSADQ，依据0x2.5，即可得到四边形面积的最大值；

1

④作D点关于直线AB的对称点D，作DDAB，且DD，连接CD交AB于P点，将P点沿射线

1121222

1

PA平移得Q点，连接DQ、D1Q、AD1，则可得四边形DDPQ是平行四边形．进而可得则四边形PCDQ

212

的周长CDPQQDPC3CD2，此时四边形PCDQ的周长最小，计算出D2AC90，根据勾股定

理即可求出CD2的值，进而可得四边形PCDQ周长的最小值，即可得解．

1

【详解】①在AQD中，AQADQD，ADPQ，AQPQQD，即APQD，

2

1

当Q点与A点重合时APQD，APQD．

2

在BCP中，BPPCBC，BCAB，BPPCAB，BPPCAPBP，PCAP，

当P点与B点重合时PCAP3，PCAP．综上，当Q点与A点重合时，PCAPQD；

当P点与B点重合时，PCAPQD；当P、Q不与A、B重合时PCAPQD．

∴CP与QD不可能相等，故①错误．

11

②设AQx，PQ，AB3，BP3x2.5x，0x2.5．假设AQD与BCP相似，

22

1

ADAQ2

AB，，2x，整理得，2x5x30，解得：x11，x21.5，

BPBC

2.5x3

0x2.5，∴x1或1.5都符合题意，∴AQD与BCP可能相似，故②正确．

③如图，过P作PEBC于E，过D作DFAB于F，过C点作CGAB于G点．

1

设AQx，则BP3x2.5x，0x2.5．

2

311333

B60，PEPBsin602.5x，SBCPE32.5x2.5x．

2PBC2224

11331133

A60，AD，DFADsin60，SAQDFxx．

2224ADQ2248

333

ABC中，ABBC3，B=60，CGCBsin603，

22

11339393333

SABCG3，S四边形PCDQSABCSPBCSADQ2.5xx

ABC2224448

5333

x，∵S随x的增大而增大，∴当x取最大值2.5时，S的值最大，

88

5333313，故正确．

S最大2.5③

8816

1

④如图，作D点关于直线AB的对称点D，作DDAB，且DD，连接CD交AB于P点，将P点

1121222

1

沿射线PA平移得Q点，连接DQ、D1Q、AD1，

2

1

则ADAD，QDQD，且四边形DDPQ是平行四边形，PDQDQD，

1211221

则四边形PCDQ的周长CDPQQDPC2.50.5PD2PC3CD2，

此时四边形