2025年中考数学几何模型综合训练专题26相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型解读与提分精练（学生版）

专题26相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型

梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何

中的一个重要定理。

塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，

后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。

使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、

三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理..................................................................................................1

模型2.塞瓦（定理）模型..............................................................................................................................4

...................................................................................................................................................8

模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理

梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，

AFBDCE

那么1。其中：这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形。

FBDCEA

注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线

后用平行线分线段成比例和相似来解决。

1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、

AFBDCE

E点，那么1。其中：这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形。

FBDCEA

图1图2

证明：证明：如图2，过点A作AGBC，交DF的延长线于点G，易证：AGF∽BDF，AGE∽CDE，

AFAGCECDAFBDCEAGBDCD

∴，；1．

FBBDEAAGFBDCEABDDCAG

2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三

AFBDCE

点，如果1，则F、D、E三点共线．

FBDCEA

AFBDCP

证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由梅涅劳斯定理的定理得1。

FBDCPA

AFBDCECPCECPCECPCE

∵1，∴，∴，∴。

FBDCEAPAEAPACPEACEACAC

∴CP=CE；即P与E重合，∴D、E、F三点共线。

例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，AD是VABC的中线，E是AD的中点，则

AF:FC．

例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中）VABC中，D为BC中点，E为AD中点，直线BE交AC于F，求证：

AC3AF．

例3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1．求AG:GH:AB．

例4.（24-25重庆九年级校考期中）如图，等边ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝

BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积△为．

例5.如图，CD、BE、AF分别为△ABC（△ABC不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、

BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．

例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定

理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与ABC的三边AB,BC,CA或它们的延长线交于F、D、E三点，

AFBDCE

那么一定有1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：

FBDCEA

AFAGCECD

证明：如图2，过点A作AGBC，交DF的延长线于点G，则有，，

FBBDEAAG

AFBDCEAGBDCD

∴AGF∽BDF，AGE∽CDE，1．

FBDCEABDDCAG

请用上述定理的证明方法解决以下问题：

BXCZAY

（1）如图3，ABC三边CB,AB,AC的延长线分别交直线l于X,Y,Z三点，证明：1．

XCZAYB

请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边ABC的边长为3，点D为BC的中点，

点F在AB上，且BF2AF,CF与AD交于点E，试求AE的长．（3）如图5，ABC的面积为4，F为AB中

点，延长BC至D，使CDBC，连接FD交AC于E，求四边形BCEF的面积．

模型2.塞瓦（定理）模型

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，

AFBDCE

如图3，则1。△

FBDCEA

注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平

行线分线段成比例和相似来解决。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，

AFBDCE

如图3，则1。△

FBDCEA

CBDOAE

塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在ADC中，割线BOE∴1①

BDOAEC

BCDOAF△BDCEAF

在ABD中，割线COF，∴1②，由②÷①：即得：1。

CDOAFBDCEAFB

△BDSABDSBODBDSSSCESAFS

法2：∵；∴ABDBODAOB①；同理：BOC②；AOC③；

DCSACDSCODDCSACDSCODSAOCEASAOBFBSBOC

AFBDCESSS

由①×②×③得：AOCAOBBOC1。

FBDCEASBOCSAOCSAOB

BDCEAF

塞瓦定理的逆定理：如果有三点F、D、E分别在ABC的三．边．AB、BC、CA上，且满足1，

DCEAFB

△

那么AD、BE、CF三线交于一点。

塞瓦定理的逆定理证明：设AD、BE交于点O，联结CO并延长交AB于F'；

AF'BDCEAF'AFABAB

根据塞瓦定理：1。∴，∴，

F'BDCEAF'BFBF'BFB

∴F'BFB，∴F'与F重合，即证。

注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必

交于一点；三角形三条高线交于一点等。

例1.如图，设M为ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，

求证：EF//BC。△

例2.如图，在锐角ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交

AC、AB于E、F，求△证：∠EDH=∠FDH。

例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，

KFKG

直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.

LFLG

例4.已知：ABC内角平分线AD、BE、CF与对边分别交于点D、E、F。

求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）

例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：

塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大

的水利工程师，数学家．

定理内容：如图1，塞瓦定理是指在ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则

BDCEAF

1．

DCEABF

数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三

线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．

任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若ABC为等

边三角形（图3），AB12，AE4，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出BOF的面积．

AF1

1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，AD是VABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，若，

FD4

AE

则为（）

AC

1111

A．B．C．D．

891011

2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图，D、E、F内分正ABC的三边AB、BC、AC均为1:2两

部分，AD、BE、CF相交成的PQR的面积是ABC的面积的（）

1111

A．B．C．D．

10987

3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，VABC中，D,E是BC边上的点，且BD:DE:EC3:2:1，P是

AC边上的点，且AP:PC2:1，BP分别交AD,AE于M,N，则BM:MN:NP等于（）

A．3:2:1B．5:3:1C．25:12:5D．51:24:10

4．（2024广东校考一模）如图，AB为O的直径，C为O上一点，O的切线BD交AC的延长线于点D，

E为BD的中点，CE交AB的延长线于点F．若AC4，OBBF，则BD的长为．

5．（24-25·江苏·九年级期中）如图，ABC的面积为10，D、E分别是AC，AB上的点，且ADCD,

AE:BE=2:1．连接BD,CE交于点F,连接AF并延长交BC于点H．则四边形BEFH的面积为．

6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图，△ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1，CE：

S

EA=n：1，AD与BE交于F，求ABF的值。

SABC

BPCQAR

7．如图：P，Q，R分别是ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：1．

PCQARB

△

8.如图，在ABC中，F、E分别在边AB、AC上，且FE//BC,设BE与CF交于点G，求证：AG通过

BC的中点△M.

A

FE

G

B

MC

9.已知：锐角ABC三边上的高线AD、BE、CF与对边分别交于点D、E、F。求证：三角形三条高

线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）

10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．

梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅

涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，

三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．

如图1，直线l交线段AB于点F，交线段AC于点E，交BC延长线于点D，可截得六条线段

FA、FB、EA、EC、DC、DB，则这六条线段满足FABDCEFBDCAE，下面是该定理的一部分证明

FAPD

过程：证明：如图2，过点A作AP∥FD，交BC延长线于点P，则有（依据），…

FBBD

(1)上述过程中的“依据”指的是；(2)请将该定理的证明过程补充完整．

11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理

梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一

AFBDCE

条直线与ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有1．

FBDCEA

下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：

AFAG

证明：如图（2），过点A作AG//BC，交DF的延长线于点G，则有．

FBBD

任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；

（2）如图（3），在ABC中，ABAC13，BC10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF2AF，

CF与AD交于点E，则AE________．

12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》

一书，塞瓦定理是指如图1，在ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则

BDCEAF

1．下面是该定理△的部分证明过程：

DCEAFB

如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．

AFANANAO

∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得NOA∽△COD．∴②．

BFBCDCDO

△

任务一：(1)请分别写出与MOA，MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；

△△

任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于△点F，连接BE并延长，交AC于点G．小

明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：

16，请你直接写出ECG与EAG面积的比．

△△

13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在ABC中，D是AC边上的一点，过点D的直线分别与AB、BC

的延长线交于点M、N．

AM1CN

问题引入：若点D是AC的中点，，求的值；如图2，可以过点C作CP//AB，交MN于点P；

BM3BN

如图3，也可以过点A作AQ//MN，交BN延长线于点Q．

AMBNDC

探索研究：（1）如图4，若点D为AC上任意一点，求证：1．

BMCNDA

AF1BD2APAE

拓展应用：（2）如图5，P是ABC内任意一点，,，则_______，____．

BF2CD3DPEC

14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的

对应线段成比例．

【初步体验】（1）如图1，在VABC中，点D在AB上，DE∥BC．若AD1，AE2，DB1.5，则EC，

AE

；（2）已知，如图1，在VABC中，且DE∥BC．求证：△ADE∽△ABC．

AC

证明：过点E作AB的平行线交BC于点F．………………

请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）

和上面的基本事实，补充上面的证明过程；

【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与VABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于D、F、E点，那

AEBDCF

是否为定值？若是；若不是，请说明理由；

ECDAFB

（4）如图3，在VABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1，则AG:GH:AB．

15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．

梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅

涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，

三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．

如图1，直线l交线段AB于点F，交线段AC于点E，交BC延长线于点D，可截得六条线段FA、FB、EA、

EC、DC、DB，则这六条线段满足FABDCEFBCDAE．

下面是该定理的一部分证明过程：

证明：如图2，过点A作AP∥FD，交BC延长线于点P

FAPD

则有（依据），…

FBBD

(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．

AE

(3)在图1中，若点F是AB的中点，BC2CD，则的值为________；

EC

FA

(4)在图1中，若FEmED，BCnCD，则的值为________．

FB

16．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开

了如下探究：如图①，VABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接BE、CD、线段BE、CD交于

点