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文档简介

2025届安徽省蒙城县一中高三下学期第三次四校联考数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数满足,则的最小值为()A. B. C. D.2.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.3.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.4.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?()A. B. C. D.5.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是6.函数在上的最大值和最小值分别为()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-27.“是函数在区间内单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.9.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD,在点E,F处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A处,通过击打母球,使其依次撞击点E,F处的目标球,最后停在点C处,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该正方形的边长为()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm10.已知向量,若,则实数的值为()A. B. C. D.11.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.12.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数的最大值为3,的图象与y轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为2,则14.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金;随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.15.已知变量(m>0),且,若恒成立,则m的最大值________.16.已知函数在处的切线与直线平行,则为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点,已知当l的斜率为时,.(1)求抛物线C的方程;(2)设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.18.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.19.(12分)如图,三棱锥中,(1)证明:面面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,(Ⅰ)证明;AC⊥BP;(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.22.(10分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

所求的分母特征,利用变形构造,再等价变形,利用基本不等式求最值.【详解】解:因为满足,则,当且仅当时取等号,故选:.本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.2.A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.3.B【解析】

根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解:∵f(x)为偶函数;∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故选B.本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.4.D【解析】

设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.故选:D.本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.5.D【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.6.B【解析】

由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.7.C【解析】,令解得当,的图像如下图当,的图像如下图由上两图可知,是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念,以及函数图像的画法.8.A【解析】试题分析:由题意,得,解得,故选A.考点:函数的定义域.9.D【解析】

过点做正方形边的垂线,如图,设,利用直线三角形中的边角关系,将用表示出来,根据,列方程求出,进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线,如图,设,则,,则,因为,则,整理化简得,又,得,.即该正方形的边长为.故选:D.本题考查直角三角形中的边角关系,关键是要构造直角三角形,是中档题.10.D【解析】

由两向量垂直可得,整理后可知,将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解:,,即,将和代入,得出,所以.故选:D.本题考查了向量的数量积,考查了向量的坐标运算.对于向量问题,若已知垂直,通常可得到两个向量的数量积为0,继而结合条件进行化简、整理.11.C【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.12.C【解析】

对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】,由题意,得,解得,则的周期为4,且,所以.考点:三角函数的图像与性质.14.20.2【解析】

分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列,根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a,b∈{1,2,1,4,5},则p(ξ1=a),其ξ1分布列为:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分别为:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案为:2,0.2.此题考查随机变量及其分布,关键在于准确求出随机变量取值的概率,根据公式准确计算期望和方差.15.【解析】

在不等式两边同时取对数,然后构造函数f(x)=,求函数的导数,研究函数的单调性即可得到结论.【详解】不等式两边同时取对数得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,设f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),则函数f(x)在(0,m)上为增函数,函数的导数,由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函数f(x)的最大增区间为(0,e),则m的最大值为e故答案为:e本题考查函数单调性与导数之间的应用,根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数,是解决本题的关键16.【解析】

根据题意得出,由此可得出实数的值.【详解】,,直线的斜率为,由于函数在处的切线与直线平行,则.故答案为:.本题考查利用函数的切线与直线平行求参数,解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.;【解析】

根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合,即可求出抛物线C的方程;设,的中点为,把直线l方程与抛物线方程联立,利用判别式求出的取值范围,利用韦达定理求出,进而求出的中垂线方程,即可求得在轴上的截距的表达式,然后根据的取值范围求解即可.【详解】由题意可知,直线l的方程为,与抛物线方程方程联立可得,,设,由韦达定理可得,,因为,,所以,解得,所以抛物线C的方程为;设,的中点为,由,消去可得,所以判别式,解得或,由韦达定理可得,,所以的中垂线方程为,令则,因为或,所以即为所求.本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力;属于中档题.18.(1)见解析;(2)【解析】

(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设中点为,连接、,为等边三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,为的中位线,,平面,平面,平面,、为平面内二相交直线,平面平面,平面DMN,平面;(2)设中点为,连接、为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,、、共线,,,,,平面平面.平面平面平面,交线为,平面平面.设,则在中,由余弦定理,得:又,,,,,为中点,,建立直角坐标系(如图),则,,,.,,设平面的法向量为,则,,取,则,,平面的法向量为,,二面角为锐角,二面角的余弦值大小为.本题考查面面平行证明线面平行,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力和空间想象能力,是中档题.19.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取中点,连结,证明平面得到答案.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,为平面的一个法向量,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(1)取中点,连结,,,,,为直角,,平面,平面,∴面面.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,可取为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为.则,其中,,不妨取,则..为锐二面角,∴二面角的余弦值为.本题考查了面面垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.(1);(2)证明见解析.【解析】

(1),分,,三种情况推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到证明.【详解】(1)由,得.当时,方程的,因此在区间上恒为负数.所以时,,函数在区间上单调递减.又,所以函数在区间上恒成立;当时,方程有两个不等实根,且满足,所以函数的导函数在区间上大于零,函数在区间上单增,又,所以函数在区间上恒大于零,不满足题意;当时,在区间上,函数在区间上恒为正数,所以在区间上恒为正数,不满足题意;综上可知:若时,不等式恒成立,的最小值为.(2)由第(1)知:若时,.若,则,即成立.将换成,得成立,即,以此类推,得,,上述各式相加,得,又,所以.本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题,考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力,是一道难题.21.(Ⅰ)见解析(Ⅱ).【解析】

(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;(II)以为原点建立坐标系,求出平面的法向量,通过计算与的夹角得出与平面所成角.【详解】(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,∵AB=BC,PA=PC,∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,∴AC⊥平面PBM,∵BP⊂平面PBM,∴AC⊥

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