今年中考数学试题及答案

今年中考数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[X]分，共[X]分）

1.若\(a^2+b^2=5\)，\(ac+bd=0\)，则\(c^2+d^2\)的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图象开口向上，且\(f(1)=2\)，\(f(-1)=4\)，\(f(0)=1\)，则\(a\)的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.在等腰三角形\(ABC\)中，\(AB=AC\)，\(BC=4\)，\(AD\)是\(BC\)的中垂线，\(AD=2\)，则\(AB\)的长为（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空题（每题[X]分，共[X]分）

4.若\(a,b,c\)是等差数列，且\(a+b+c=15\)，\(abc=27\)，则\(c\)的值为_______。

5.已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_3=6\)，\(S_5=48\)，则\(\{a_n\}\)的公比\(q\)为_______。

6.在直角坐标系中，点\(A(2,3)\)，点\(B(-1,-1)\)，则线段\(AB\)的中点坐标为_______。

三、解答题（每题[X]分，共[X]分）

7.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x-3y=5\\

4x+5y=1

\end{cases}

\]

8.已知函数\(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)，求\(f(x)\)的定义域。

9.在直角坐标系中，已知点\(A(1,2)\)，点\(B(m,n)\)，\(AB\)的斜率为\(-1\)，求点\(B\)的坐标。

四、解答题（每题[X]分，共[X]分）

10.已知函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点\(A(1,4)\)，\(B(-1,0)\)，\(C(2,1)\)，求\(a,b,c\)的值。

11.在等边三角形\(ABC\)中，\(AB=AC=BC\)，\(D\)是\(BC\)的中点，\(E\)是\(AD\)的三等分点，\(DE\)与\(AB\)相交于点\(F\)，求\(BF\)的长度。

12.已知函数\(f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}\)，求\(f(x)\)的反函数。

五、证明题（每题[X]分，共[X]分）

13.证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

14.证明：若\(a,b,c\)是等差数列，\(a^2,b^2,c^2\)是等比数列，则\(a^2+b^2+c^2\)是等差数列。

15.证明：对于任意实数\(x\)，都有\(x^2+1\geq2x\)。

六、综合题（每题[X]分，共[X]分）

16.在平面直角坐标系中，点\(A(2,3)\)，点\(B(-1,-1)\)，点\(C\)在直线\(y=x\)上，且\(AC=2BC\)，求点\(C\)的坐标。

17.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=3^n-1\)，求\(a_n\)的通项公式。

18.已知函数\(f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x+1}\)，求\(f(x)\)的单调区间和极值。

试卷答案如下：

一、选择题

1.解析：\(a^2+b^2=5\)，\(ac+bd=0\)，可以推出\(c^2+d^2=(ac+bd)^2=0^2=0\)。故答案为C。

2.解析：由\(f(1)=2\)，\(f(-1)=4\)，\(f(0)=1\)，可以列出方程组

\[

\begin{cases}

a+b+c=2\\

a-b+c=4\\

c=1

\end{cases}

\]

解得\(a=2\)，\(b=-1\)，\(c=1\)。故答案为B。

3.解析：由等腰三角形的性质，\(AD\)是\(BC\)的中垂线，\(AD=2\)，可知\(AB=AC=2\times2=4\)。故答案为B。

二、填空题

4.解析：由等差数列的性质，\(a+b+c=15\)，\(abc=27\)，可设\(a=3-d\)，\(b=3\)，\(c=3+d\)，代入得到\(d^2=1\)，\(d=\pm1\)，所以\(c=4\)或\(c=2\)。故答案为2或4。

5.解析：由等比数列的性质，\(S_3=6\)，\(S_5=48\)，可得

\[

\begin{cases}

a+ar+ar^2=6\\

a+ar+ar^2+ar^3+ar^4=48

\end{cases}

\]

解得\(a=1\)，\(r=2\)。故答案为2。

6.解析：线段\(AB\)的中点坐标为\(\left(\frac{2-1}{2},\frac{3-1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},1\right)\)。故答案为\(\left(\frac{1}{2},1\right)\)。

三、解答题

7.解析：将方程组化为增广矩阵，进行行变换

\[

\begin{pmatrix}

2&-3&|&5\\

4&5&|&1

\end{pmatrix}

\]

\[

\begin{pmatrix}

1&-\frac{3}{2}&|&\frac{5}{2}\\

0&\frac{11}{2}&|&-\frac{9}{2}

\end{pmatrix}

\]

\[

\begin{pmatrix}

1&-\frac{3}{2}&|&\frac{5}{2}\\

0&1&|&-\frac{9}{11}

\end{pmatrix}

\]

\[

\begin{pmatrix}

1&0&|&\frac{16}{11}\\

0&1&|&-\frac{9}{11}

\end{pmatrix}

\]

得\(x=\frac{16}{11}\)，\(y=-\frac{9}{11}\)。故答案为\(x=\frac{16}{11}\)，\(y=-\frac{9}{11}\)。

8.解析：由\(4-x^2\geq0\)，得\(-2\leqx\leq2\)，所以\(f(x)\)的定义域为\([-2,2]\)。故答案为\([-2,2]\)。

9.解析：由\(AB\)的斜率为\(-1\)，得\(m+2=-1(n-3)\)，解得\(m=-2\)，\(n=5\)。故答案为\((-2,5)\)。

四、解答题

10.解析：将点\(A,B,C\)的坐标代入函数\(y=ax^2+bx+c\)，得

\[

\begin{cases}

a+b+c=4\\

a-b+c=0\\

4a+2b+c=1

\end{cases}

\]

解得\(a=-1\)，\(b=1\)，\(c=4\)。故答案为\(a=-1\)，\(b=1\)，\(c=4\)。

11.解析：由等边三角形的性质，\(AD=DC=2\)，\(AE=\frac{2}{3}AD=\frac{4}{3}\)，\(AF=\frac{1}{3}AD=\frac{2}{3}\)，在\(\triangleADF\)中，\(AF=\frac{2}{3}AD=\frac{4}{3}\)，\(DF=2-AF=\frac{2}{3}\)，由勾股定理得\(BF=\sqrt{AF^2+DF^2}=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\)。故答案为\(\frac{2\sqrt{5}}{3}\)。

12.解析：将\(f(x)\)的表达式\(y=\frac{x^2-4x+3}{x-1}\)中的\(y\)和\(x\)交换，得\(x=\frac{y^2-4y+3}{y-1}\)，化简得\(x=y+3\)。故答案为\(y=x+3\)。

五、证明题

13.解析：在直角三角形\(ABC\)中，设\(D\)为斜边\(AB\)的中点，连接\(CD\)，则\(CD\)是斜边\(AB\)的中线。由中位线定理得\(CD=\frac{1}{2}AB\)，所以\(CD=\frac{1}{2}AC\)。又因为\(CD\)是高，所以\(CD=\frac{1}{2}AB\)，得证。

14.解析：设等差数列的公差为\(d\)，则\(a=a_1\)，\(b=a_1+d\)，\(c=a_1+2d\)，代入等比数列的通项公式\(b^2=ac\)，得

\[

(a_1+d)^2=(a_1)(a_1+2d)

\]

化简得\(d^2=a_1d\)，所以\(d=0\)或\(d=1\)。若\(d=0\)，则\(a_1=b=c\)，所以\(a^2+b^2+c^2=3a_1^2\)，是等差数列；若\(d=1\)，则\(a^2+b^2+c^2=3a_1^2+3a_1\)，是等差数列。得证。

15.解析：将不等式\(x^2+1\geq2x\)转化为\((x-1)^2\geq0\)，因为平方数总是非负的，所以不等式成立。得证。

六、综合题

16.解析：设点\(C\)的坐标为\((x,x)\)，由\(AC=2BC\)，得\((x-2)^2+(x+1)^2=2[(x+1)^2+(x+1)^2]\)，化简得\(x=-1\)，所以点\(C\)的坐标为\((-1,-1)\)。故答案为\((-1,-1)\)。

17.解析：由\(S_n=3^n-1\)，得\(a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2\cdot3^{n-1}\)，所以\(a_n\)的通项公式为\(2\cdot3^{n-1}\)。故答案为