2025新人教版七年级数学下册教案教学设计8.2 立方根（有反思）

第八章实数8．2立方根1．通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根．2．能用有理数估计一个无理数的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力．3．经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力．4．体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯．重点：会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根．难点：求千以内的完全立方数的立方根．一、导入新课情境导入请问图片中展示的物品是什么？若这个魔方的体积为216cm2，思考如何求此魔方的棱长．（1）它的形状有什么特点？（魔方是个正方体，各棱长相等）（2）在这个问题中，涉及到什么计算问题？（根据体积求棱长）（3）你能找出一个数，使它的立方等于216吗？（6）二、合作探究探究点一：立方根的定义和性质算一算：23＝8；（－2）3＝－8；0.53＝0.125;（－0.5）3＝－0.125；（eq\f(2,3)）3＝eq\f(8,27)；（－eq\f(2,3)）3＝－eq\f(8,27)；03＝0．思考1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗？思考2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗？思考3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗？思考4：开立方与立方是什么关系？要点归纳：定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根．开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方．开立方与立方互为逆运算．填一填：根据开立方与立方互为逆运算填空．（1）∵23＝8，∴8的立方根是2；（2）∵（0.4）3＝0.064，∴0.064的立方根是0.4；（3）∵（0）3＝0，∴0的立方根是0；（4）∵（－2）3＝－8，∴－8的立方根是－2；（5）∵（－eq\f(2,3)）3＝－eq\f(8,27)，∴－eq\f(8,27)的立方根是－eq\f(2,3)．根据上述填空，你能发现正数、0、负数的立方根各有什么特点？要点归纳：性质1：正数的立方根是正数；性质2：负数的立方根是负数；性质3：0的立方根是0.类比推理：类似于平方根，一个数a的立方根记为“eq\r(3,a)”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．求下列各数的立方根．（1）－27；（2）3eq\f(3,8)；（3）0.216；（4）－5.解：（1）－3.（2）eq\f(3,2).（3）0.6.（4）eq\r(3,－5).计算：eq\r(3,27)＋eq\r(,4)－eq\r(3,－1)＝6．探究点二：互为相反数的两个数的立方根的关系计算：（1）∵eq\r(3,－8)＝－2，eq\r(3,8)＝2，∴eq\r(3,－8)＝－eq\r(3,8).（2）∵eq\r(3,－27)＝－3，eq\r(3,27)＝3，∴eq\r(3,－27)＝－eq\r(3,27).（3）∵eq\r(3,－43)＝－4，eq\r(3,43)＝4，∴eq\r(3,－43)＝－eq\r(3,43).思考：（1）各题中被开方数有什么关系？（互为相反数）（2）这些数的立方根有什么关系？（互为相反数）（3）根据计算结果，可以得到什么初步结论？（互为相反数的两个数的立方根互为相反数）讨论：（1）eq\r(3,a)表示a的立方根，那么（eq\r(3,a)）3等于什么？eq\r(3,a3)等于什么？（a，a）（2）eq\r(3,－a)与－eq\r(3,a)有什么关系？（相等）要点归纳：结论1：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”结果相等，都等于原数，即（eq\r(3,a)）3＝eq\r(3,a3)＝a.结论2：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即eq\r(3,－a)＝－eq\r(3,a).若eq\r(3,2y－1)与eq\r(3,1－3x)的值互为相反数，则eq\f(x,y)的值为eq\f(2,3)．探究点三：利用计算器求立方根用计算器计算：（1）eq\r(3,1331)＝11，eq\r(3,343)＝7，eq\r(3,0.512)＝0.8．（2）eq\r(3,0.000216)＝0.06，eq\r(3,0.216)＝0.6，eq\r(3,216)＝6，eq\r(3,216000)＝60．观察题（2）中的式子，你能发现什么规律？总结：被开方数的小数点向左（或向右）移动3n位，其立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动n位，反之，也成立．（n为正整数）若eq\r(3,0.3)≈0.6694，则eq\r(3,300)≈6.694．变式：已知eq\r(3,n)≈1.26，eq\r(3,m)≈12.6，用含n的式子表示m，则m＝1000n．三、当堂检测1．27的立方根为（B）A．±3B．3C．－3D．92．下列说法正确的是（D）A．正数有2个立方根B.－8的立方根是±2C．负数没有立方根D．－1的立方根是－13．将一块体积为64cm3的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（A）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm（其他课堂拓展题，见配套PPT）四、课堂小结【板书设计】立方根eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(定义,性质,用计算器计算))由魔方引入立方根，这样的课程设置能提升学生的探究欲望，激发