2024高考数学二轮复习分层特训卷热点问题专练八平面向量文

PAGEPAGE1热点(八)平面对量1．(平面对量基本定理)设D为△ABC的边BC的延长线上一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：C解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C.2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x＝()A．9B．6C．5D．3答案：B解析：因为向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.3．(向量的模)已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，则|a－b|等于()A．1B．3C．1或3D．|λ|答案：C解析：由a＝λb可知a∥b，即a与b的夹角为0或π，|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos0＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1，或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cosπ＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|＝1＋4＋4＝9，∴|a－b|＝1或3，故选C.4．(数量积的应用)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C．－1D．0答案：D解析：向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，可得2cos2θ－1＝0，故cos2θ＝2cos2θ－1＝0，故选D.5．(向量的线性运算)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案：D解析：在△ABD中，BD＝eq\f(1,2)AB＝1.又BC＝3，所以BD＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵O为AD的中点，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，∴λ＋μ＝eq\f(2,3)，故选D.6．(共线定理的推广＋角平分线性质)在△AOB中，G为AB边上一点，OG是∠AOB的平分线，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，m∈R，则eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案：C解析：如图所示，△AOB中，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，由平面对量的基本定理得eq\f(2,5)＋m＝1，解得m＝eq\f(3,5)，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(|\o(BG,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,5)，又OG是∠AOB的平分线，∴eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))|,|\o(BG,\s\up6(→))|)，∴eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,2).故选C.7．(向量的夹角)已知向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝1，则向量b与a－b的夹角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(5π,6)答案：B解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·因此cos〈b，a－b〉＝eq\f(b·a－b,|b||a－b|)＝eq\f(－b2,\r(b2)\r(a－b2))＝－eq\f(|b|,\r(a2＋b2))＝－eq\f(1,2).所以向量b与a－b的夹角为eq\f(2π,3)，故选B.8．(数量积的应用)已知向量a＝(eq\r(2)，－eq\r(2))，b＝(cosα，sinα)，则|a－b|的最大值为()A．1B.eq\r(5)C．3D．9答案：C解析：因为|a－b|＝eq\r(\r(2)－cosα2＋－\r(2)－sinα2)＝eq\r(5＋2\r(2)sinα－cosα)＝eq\r(5＋4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))，所以当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝1时，|a－b|取得最大值，最大值为eq\r(5＋4)＝3，故选C.9．(数量积的应用)在△ABC中，设|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，则动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．重心D．外心答案：D解析：|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→)))＝0⇒eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝0，设E为BC的中心，则eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(ME,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))＝0⇒eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))⇒ME为BC的垂直平分线，∴M的轨迹必过△ABC的外心，故选D.10．(向量运算与函数)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，若点E为边CD上的动点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的最小值为()A.eq\f(21,16)B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16)D．3答案：A解析：连接BD，AC，由AB⊥BC，AD⊥CD，得∠BCD＝60°，易证△ACD≌△ACB，所以CD＝BC，所以△BCD为等边三角形，易知BD＝eq\r(3).设eq\o(DE,\s\up6(→))＝teq\o(DC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋eq\o(DE,\s\up6(→))2＝eq\f(3,2)＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))2＝3t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(3,2)(0≤t≤1)．所以当t＝eq\f(1,4)时，上式取得最大值eq\f(21,16)，故选A.11．(数量积的定义)在正三角形ABC中，AB＝2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，且AD与BE相交于点O，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,2)答案：B解析：如图．因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以D是BC的中点，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，λ>0，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AC,\s\up6(→))，因为B，O，E三点共线，所以存在实数μ，使得eq\o(AO,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(1－μ)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＝μ，,\f(1,2)λ＝\f(1,3)1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,4)，))所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝－eq\f(3,16)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,16)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝－eq\f(3,16)×22－eq\f(1,8)×2×2×cos60°＋eq\f(1,16)×22＝－eq\f(3,4)，故选B.12．[2024·浙江卷](向量的综合应用)已知a，b，e是平面对量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为eq\f(π,3)，向量b满意b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.eq\r(3)－1B.eq\r(3)＋1C．2D．2－eq\r(3)答案：A解析：解法一∵b2－4e·b＋3＝0，∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度．要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为eq\r(3)－1.故选A.解法二设O为坐标原点，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为eq\f(π,3)，所以不妨令点A在射线y＝eq\r(3)x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故选A.解法三由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故选A.13．(向量的模)已知向量a，b满意a＝(1，－1)，a＋b＝(3,1)，则|b|＝________.答案：2eq\r(2)解析：依题意b＝(a＋b)－a＝(3,1)－(1，－1)＝(2,2)，故|b|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).14．(数量积)设a，b是相互垂直的单位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，则实数λ的值是________．答案：－2解析：依题意，有|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，又(λa＋b)⊥(a＋2b)，所以(λa＋b)·(a＋2b)＝