2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系分层演练理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)>2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).2．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有且只有四条解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k(x－eq\f(1,2))，代入抛物线y2＝2x得，k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k＝±eq\r(2).所以这样的直线有两条．3．(2024·安徽皖南八校联考)若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．1或2解析：选C.由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3＝0的距离为eq\f(3,\r(a2＋b2))＞eq\r(3)，所以a2＋b2＜3.又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜eq\r(3)，|b|＜eq\r(3)，由椭圆的方程知其长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)，所以P(a，b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的公共点有2个，故选C.4．(2024·江西九江模拟)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，若|AF|＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则λ的值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．3解析：选D.设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝4eq\r(2)，直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq\r(2))，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)（x－2），))解得B(1，－2eq\r(2))，所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.5．(2024·江西五市八校模拟)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－eq\f(\r(3),2)，则eq\f(a,b)的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(2\r(3),3)C．－eq\f(9\r(3),2) D．－eq\f(2\r(3),27)解析：选A.由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝0①，axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝0②，由①－②得a(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝－b(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))．即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以eq\f(y1＋y2,x1＋x2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(a,b)，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(2y0,2x0)＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－eq\f(\r(3),2)，又知kAB＝－1，所以－eq\f(\r(3),2)×(－1)＝－eq\f(a,b)，所以eq\f(a,b)＝－eq\f(\r(3),2)，故选A.6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则eq\f(|AF|,|BF|)的值等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为y－0＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，即y＝eq\r(3)x－eq\f(\r(3),2)p，联立抛物线方程，消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，则x1＝eq\f(3,2)p，x2＝eq\f(1,6)p，则eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\f(3,2)p＋\f(1,2)p,\f(1,2)p＋\f(1,6)p)＝3.答案：37．(2024·洛阳市第一次统一考试)已知双曲线E：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，则l的方程为____________．解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),4)－\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1,\f(xeq\o\al(2,2),4)－\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1))，两式相减得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),4)＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,2)×eq\f(x1＋x2,y1＋y2).又线段AB的中点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，因此x1＋x2＝2×eq\f(1,2)＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,4)，即直线AB的斜率为－eq\f(1,4)，直线l的方程为y＋1＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋8y＋7＝0.答案：2x＋8y＋7＝08．(2024·福建四地六校模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝6，若AB的垂直平分线交x轴于P点，则P点的坐标为____________．解析：由抛物线y2＝4x，得p＝2，易知直线l的斜率存在，设经过点F的直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，利用抛物线定义得，x1＋x2＝|AB|－p＝6－2＝4，即2＋eq\f(4,k2)＝4，所以k＝±eq\r(2)，因为AB中点坐标为(2，k)，所以AB的垂直平分线方程为y－k＝－eq\f(1,k)·(x－2)，令y＝0，得x＝4，即P点的坐标为(4，0)．答案：(4，0)9．已知点Q是抛物线C1：y2＝2px(p>0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y＝2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB的长．解：由Q(1，－6)在抛物线y2＝2px上，可得p＝18，所以抛物线C1的方程为y2＝36x.设抛物线C2的切线方程为y＋6＝k(x－1)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋6＝k（x－1），,y＝2x2，))消去y，得2x2－kx＋k＋6＝0，Δ＝k2－8k－48.由于直线与抛物线C2相切，故Δ＝0，解得k＝－4或k＝12.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋6＝－4（x－1），,y2＝36x，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－3))；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋6＝12（x－1），,y2＝36x，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，9)).所以直线AB的方程为12x－2y－9＝0，弦AB的长为2eq\r(37).10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l0交C于P，Q两点，且△PQF2的周长为8eq\r(2).(1)求椭圆C的方程；(2)圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2＝eq\f(25,4)与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证∠ANM＝∠BNM.解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．因为离心率为eq\f(\r(2),2)，所以eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2.又△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，所以4a＝8eq\r(2)，即a＝2eq\r(2)，b＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)证明：把y＝0代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2＝eq\f(25,4)，解得x＝1或x＝4，即点M(1，0)，N(4，0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM＝∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,2x2＋y2＝8，))消去y，得(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2,k2＋2)，x1x2＝eq\f(k2－8,k2＋2).因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，所以kAN＋kBN＝eq\f(y1,x1－4)＋eq\f(y2,x2－4)＝eq\f(k（x1－1）,x1－4)＋eq\f(k（x2－1）,x2－4)＝eq\f(k[（x1－1）（x2－4）＋（x2－1）（x1－4）],（x1－4）（x2－4）).因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝eq\f(2（k2－8）,k2＋2)－eq\f(10k2,k2＋2)＋8＝eq\f(2（k2－8）－10k2＋8（k2＋2）,k2＋2)＝0，所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM.综上所述，∠ANM＝∠BNM.1．(2024·河北石家庄二中模拟)已知直线l1与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，且AB中点M的横坐标为b，纵坐标不为0，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为()A.eq\f(1＋\r(5),2) B.eq\r(\f(1＋\r(5),2))C.eq\f(1＋\r(3),2) D.eq\r(\f(1＋\r(3),2))解析：选B.由题意知直线l1与l2的斜率存在且都不为0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(b，yM)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1))，得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)－eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)＝0.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y1－y2,x1－x2)＝kl1＝－\f(1,kl2)＝\f(c－b,yM)，,x1＋x2＝2b，,y1＋y2＝2yM，))则可得a2＝bc，即a4＝(c2－a2)c2，有e4－e2－1＝0，得e2＝eq\f(1＋\r(5),2)，所以e＝eq\r(\f(1＋\r(5),2)).2．(2024·贵州贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为()A．2eq\r(2) B．2C．4 D．3eq\r(2)解析：选A.因为l与圆相切，所以原点到直线的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝1，所以m2＝1＋k2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2－y2＝1))得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4m2k2＋4（1－k2）（m2＋1）＝4（m2＋1－k2）＝8＞0，,x1x2＝\f(1＋m2,k2－1)＜0，))所以k2＜1，所以－1＜k＜1，由于x1＋x2＝eq\f(2mk,1－k2)，所以x2－x1＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(2\r(2),|1－k2|)＝eq\f(2\r(2),1－k2)，因为0≤k2＜1，所以当k2＝0时，x2－x1取最小值2eq\r(2).故选A.3．(2024·北京模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，椭圆的短轴端点与双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围．解：(1)由题意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，所以a2＝eq\f(4,3)b2.因为双曲线eq\f(y2,2)－x2＝1的焦点坐标为(0，±eq\r(3))，所以b＝eq\r(3)，所以a2＝4，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4，当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,3x2＋4y2＝12))⇒(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0，由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)．因为y1＋y2＝－eq\f(24m,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(36,3m2＋4)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝eq\f(116,3m2＋4)－4，因为m2>4，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(13,4))).综上所述，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(13,4))).4．(2024·福建省一般中学质量检查)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上异于长轴端点的动点，∠F1PF2的角平分线交x轴于点M.当P在x轴上的射影为F2时，M恰为OF2的中点．(1)求C的方程；(2)过点F2引PF2的垂线交直线l：x＝2于点Q，试推断除点P外，直线PQ与C是否有其他公共点？说明理由．解：(1)设|F1F2|＝2c，则c2＝a2－1，不妨设P在x轴上方(如图)．当P在x轴上的射影为F2时，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(1,a)))，F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，0))，F2(c，0)，所以直线PF1的方程为x－2acy＋c＝0.因为|OF2|＝2|OM|，所以|OM|＝|MF2|＝eq\f(c,2)，所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，0)).则点M到直线PF1的距离为d＝eq\f(|\f(c,2)＋c|,\r(1＋4a2c2))＝eq\f(3c,2\r(1＋4a2c2)).因为PM平分