新课标2025版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第1讲数学文化学案理新人教A版

PAGE1-第1讲数学文化函数中的数学文化题[典型例题]中国传统文化中许多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于随意一个圆O，其“太极函数”有多数个；②函数f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y＝sinx可以同时是多数个圆的“太极函数”；④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题为()A．①③ B．①③④C．②③ D．①④【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于随意一个圆O，其“太极函数”有多数个，故①正确；函数f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))的图象如图1所示，故其不行能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y＝sinx图象的对称中心上，则正弦函数y＝sinx是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y＝sinx可以同时是多数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数y＝f(x)是“太极函数”时，图象不肯定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A．【答案】Aeq\a\vs4\al()中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮丽．它是我们华夏先祖的才智结晶，它是中国传统文化的傲慢象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练](2024·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的eq\f(1,2)，第2关所收税金为剩余持金的eq\f(1,3)，第3关所收税金为剩余持金的eq\f(1,4)，第4关所收税金为剩余持金的eq\f(1,5)，第5关所收税金为剩余持金的eq\f(1,6)，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为()A．eq\f(1,36)斤 B．eq\f(1,30)斤C．eq\f(1,25)斤 D．eq\f(1,20)斤解析：选C．设此人持金x斤，依据题意知第1关所收税金为eq\f(x,2)斤；第2关所收税金为eq\f(x,6)斤；第3关所收税金为eq\f(x,12)斤；第4关所收税金为eq\f(x,20)斤；第5关所收税金为eq\f(x,30)斤．易知eq\f(x,2)＋eq\f(x,6)＋eq\f(x,12)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,30)＝1，解得x＝eq\f(6,5).则第5关所收税金为eq\f(1,25)斤．故选C．数列中的数学文化题[典型例题](1)(2024·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是匀称改变的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，则i＝()A．4 B．5C．6 D．7(2)(2024·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度渐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律接着行走7天，则它这14天内所走的总路程为()A．eq\f(175,32)里 B．1050里C．eq\f(22575,32)里 D．2100里【解析】(1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝2，,a9＋a10＝4))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝2，,2a1＋17d＝4))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(15,16)，,d＝\f(1,8).))所以该金箠的总重量M＝10×eq\f(15,16)＋eq\f(10×9,2)×eq\f(1,8)＝15.因为48ai＝5M，所以有48[eq\f(15,16)＋(i－1)×eq\f(1,8)]＝75，解得i＝6，故选C．(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为eq\f(1,2)，则有eq\f(a1[1－(\f(1,2))7],1－\f(1,2))＝700，则a1＝eq\f(350×128,127)，则eq\f(a1[1－(\f(1,2))14],1－\f(1,2))＝eq\f(22575,32)(里)．故选C．【答案】(1)C(2)Ceq\a\vs4\al()(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，驾驭等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式．[对点训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为()A．eq\f(7,6)钱 B．eq\f(5,6)钱C．eq\f(2,3)钱 D．1钱解析：选D．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d、a－d、a、a＋d、a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱，故选D．2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主子要求赔偿五斗粟．羊主子说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主子说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主子各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主子比羊主子多赔偿()A．eq\f(50,7)斗粟 B．eq\f(10,7)斗粟C．eq\f(15,7)斗粟 D．eq\f(20,7)斗粟解：选C．法一：设羊、马、牛主子赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝eq\f(5,7)，故a3＝eq\f(20,7)，a3－a1＝eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7)，故选C．法二：羊、马、牛主子赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主子应赔偿5×eq\f(4,7)＝eq\f(20,7)(斗)，羊主子应赔偿5×eq\f(1,7)＝eq\f(5,7)(斗)，故牛主子比羊主子多赔偿了eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7)(斗)，故选C．三角函数中的数学文化题[典型例题]《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与闻名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))，现有周长为2eq\r(2)＋eq\r(5)的△ABC满意sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(2)－1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(5),4)【解析】由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(eq\r(2)－1)∶eq\r(5)∶(eq\r(2)＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(eq\r(2)－1)x，b＝eq\r(5)x，c＝(eq\r(2)＋1)x，由题意得(eq\r(2)－1)x＋eq\r(5)x＋(eq\r(2)＋1)x＝(2eq\r(2)＋eq\r(5))x＝2eq\r(2)＋eq\r(5)，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((\r(2)＋1)2(\r(2)－1)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋2\r(2)＋3－2\r(2)－5,2)))\s\up12(2))))＝eq\f(\r(3),4)，故选B．【答案】Beq\a\vs4\al()我国南宋数学家秦九韶发觉的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝eq\r(p(p－a)(p－b)(p－c))，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A版《必修5》教材对此有特地介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解实力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练](2024·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建立建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，阻碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52m．若该小区内某居民在距离楼底27m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为xm．如图，依据题意可得，tan∠DCA＝eq\f(27,x)，tan∠DCB＝eq\f(45－27,x)＝eq\f(18,x)，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝eq\f(\f(27,x)＋\f(18,x),1－\f(27,x)·\f(18,x))＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54m.答案：54立体几何中的数学文化题[典型例题](1)(2024·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的宏大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158 B．162C．182 D．324(2)(2024·郑州其次次质量预料)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深化的探讨，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为2eq\r(2)，则该几何体外接球的表面积为________．【解析】(1)如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27.因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B．(2)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A­BCD所示，其中AB＝2eq\r(2)，BC＝CD＝eq\r(2)，易知长方体的外接球即三棱锥A­BCD的外接球，设外接球的直径为2R，所以4R2＝(2eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＝8＋2＋2＝12，则R2＝3，因此外接球的表面积S＝4πR2＝12π.【答案】(1)B(2)12πeq\a\vs4\al()立体几何中的数学文化题一般以我国古代发觉的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．[对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝eq\f(1,12)×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为()A．3 B．3.1C．3.14 D．3.2解析：选A．设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得体积为V＝πr2h.由题意知V＝eq\f(1,12)×(2πr)2×h，所以πr2h＝eq\f(1,12)×(2πr)2×h，解得π＝3.故选A．2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形态一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V＝eq\f(1,3)πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分别表示上、下底面的半径，h为高)()A．2寸 B．3寸C．4寸 D．5寸解析：选A．由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为eq\f(1,2)×(12＋6)＝9(寸)，则盆中水的体积为eq\f(1,3)π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为eq\f(342π,π×122)≈2(寸)，故选A．算法中的数学文化题[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发觉当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限靠近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是闻名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．12 B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创建了绚丽的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝()A．19 B．31C．51 D．63【解析】(1)依据程序框图执行，n＝6，S＝3sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，不满意条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin30°＝3，不满意条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满意条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B．(2)依据程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C．【答案】(1)B(2)Ceq\a\vs4\al()辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人奇妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不行半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，随意给定两个正整数，推断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行其次步；其次步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．接着这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，假如输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6C．7 D．30解析：选C．a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b不满意都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，输出的kb＝6，n＝7.概率中的数学文化题[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场竞赛，田忌获胜的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成改变根源的哲理，呈现了一种相互转化，相对统一的形式美．依据太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)【解析】(1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场竞赛，对阵状况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗状况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故选A．(2)函数y＝3sineq\f(π,6)x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18).故选B．【答案】(1)A(2)Beq\a\vs4\al()(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的惊慌心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新奇，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,11) B．eq\f(2,11)C．eq\f(3,55) D．eq\f(4,55)解析：选C．不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有Ceq\o\al(2,11)＝55种不同的选法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为eq\f(3,55)，故选C．2．(2024·广州市综合检测(一))刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限靠近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a，b∈N*，b<a)，则圆周率的近似值为()A．eq\f(b,a) B．eq\f(a,b)C．eq\f(3a,b) D．eq\f(3b,a)解析：选C．依题意可得eq\f(360°,12)＝30°，则正十二边形的面积为12×eq\f(1,2)×2×2×sin30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二边形内，依据几何概型可得eq\f(12,4π)＝eq\f(b,a)，则π＝eq\f(3a,b)，选C．一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就始终运用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支相互协作，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历()A．己亥年 B．己巳年C．己卯年 D．戊辰年解析：选B．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应当尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应当余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2049－3＝2046，2046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2049－3＝2046，2046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形态的物体垛积．设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c×d个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s＝eq\f(n,6)[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋eq\f(n,6)(c－a)，其中a是上底长，b是上底宽，c是下底长，d是下底宽，n为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中全部小球的个数为()A．83 B．84C．85 D．86解析：选C．由三视图知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝eq\f(n,6)[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋eq\f(n,6)(c－a)得s＝85，故选C．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从其次天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人其次天至少走了()A．96里 B．48里C．72里 D．24里解析：选A．依据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为eq\f(1,2)的等比数列．设第一天走a1里，则其次天走a2＝eq\f(1,2)a1(里)．易知eq\f(a1[1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)],1－\f(1,2))≥378，则a1≥192.则其次天至少走96里．故选A．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某探讨性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的安排方法种数是()A．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2)) B．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2),Ceq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3))C．eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)) D．Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5)解析：选A．先将14种计算方法分为三组，方法有eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))种，再安排给3个人，方法有eq\f(Ceq\o\al(4,14)Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)种．故选A．5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是依据日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长改变如图所示，相邻两个节气晷长的改变量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A．五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸解析：选B．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是()A．eq\f(π,15) B．eq\f(2π,5)C．eq\f(2π,15) D．eq\f(4π,15)解析：选C．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r，则eq\f(1,2)×5×12＝eq\f(1,2)(5＋12＋13)r，解得r＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P＝eq\f(4π,\f(1,2)×5×12)＝eq\f(2π,15).故选C．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴实的相识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语说明为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x元、y元、z元，设计如图所示的程序框图，则输出的x，y，z的值分别是()A．eq\f(1300,9)，600，eq\f(1120,3) B．1200，500，300C．1100，400，600 D．300，500，1200解析：选B．依据程序框图得：①y＝300，z＝eq\f(460,3)，x＝eq\f(6400,9)，i＝1，满意i<3；②y＝400，z＝eq\f(680,3)，x＝eq\f(8600,9)，i＝2，满意i<3；③y＝500，z＝300，x＝1200，i＝3，不满意i<3；故输出的x＝1200，y＝500，z＝300.故选B．9．(2024·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽视不计，取eq\r(3)≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A．20 B．27C．54 D．64解析：选B．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为eq\r(3)－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为eq\f((\r(3)－1)2,4)＝1－eq\f(\r(3),2)，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－eq\f(\r(3),2))≈27，故选B．10．《算数书》竹简于上世纪八十年头在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它事实上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f(7,264)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A．eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C．eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)解析：选A．依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝eq\f(1,3)πr2h≈eq\f(7,264)L2h＝eq\f(7,264)(2πr)2h，化简得π≈eq\f(22,7).故选A．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为()A．eq\f(39,2) B．eq\f(75,2)C．39 D．eq\f(601,8)解析：选B．设下底面的长为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)≤x<9))，则下底面的宽为eq\f(18－2x,2)＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝eq\f(1,6)×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋eq\f(17x,2)＋eq\f(39,2)，故当x＝eq\f(9,2)时，体积取得最大值，最大值为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,2)×eq\f(17,2)＋eq\f(39,2)＝eq\f(75,2).故选B．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析：选A．如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD.因为PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR为△PBD中BD边上的高．设AB＝BD＝CD＝1，则eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，故选A．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家探讨过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为eq\f(n(n＋1),2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形数N(n，4)＝n2；五边形数N(n，5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六边形数N(n，6)＝2n2－n；……可