北航离散数学试题及答案

北航离散数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∩B的结果是：

A.{2,3}

B.{1,2,3}

C.{2,3,4}

D.{1,2,3,4}

2.在关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}中，下列哪个是R的逆关系？

A.{(1,2),(2,3),(3,4)}

B.{(2,1),(3,2),(4,3)}

C.{(1,2),(3,4),(2,3)}

D.{(1,3),(2,4),(3,2)}

3.一个图G的邻接矩阵是一个方阵，其中第i行第j列的元素表示：

A.G中顶点i和顶点j之间的边数

B.G中顶点i到顶点j的最短路径长度

C.G中顶点i和顶点j之间的距离

D.G中顶点i和顶点j之间是否存在边

4.在二叉树中，度为0的节点称为：

A.叶子节点

B.内部节点

C.根节点

D.子节点

5.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∪B的结果是：

A.{1,2,3}

B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}

D.{}

6.在关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}中，下列哪个是R的自反关系？

A.{(1,1),(2,2),(3,3)}

B.{(1,2),(2,3),(3,4)}

C.{(2,1),(3,2),(4,3)}

D.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

7.一个有向图G的邻接矩阵是一个方阵，其中第i行第j列的元素表示：

A.G中顶点i到顶点j的边数

B.G中顶点i到顶点j的最短路径长度

C.G中顶点i和顶点j之间的距离

D.G中顶点i和顶点j之间是否存在边

8.在二叉树中，度为1的节点称为：

A.叶子节点

B.内部节点

C.根节点

D.子节点

9.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A-B的结果是：

A.{1,2,3}

B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}

D.{}

10.在关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}中，下列哪个是R的反自反关系？

A.{(1,1),(2,2),(3,3)}

B.{(1,2),(2,3),(3,4)}

C.{(2,1),(3,2),(4,3)}

D.{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

二、填空题（每题2分，共20分）

1.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∩B=__________，A∪B=__________，A-B=__________。

2.在关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}中，R的逆关系是__________，R的自反关系是__________，R的反自反关系是__________。

3.在二叉树中，度为0的节点称为__________，度为1的节点称为__________，度为2的节点称为__________。

4.有向图G的邻接矩阵是一个方阵，其中第i行第j列的元素表示__________。

5.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A×B=__________。

三、简答题（每题10分，共30分）

1.简述集合的概念及其性质。

2.简述关系的概念及其性质。

3.简述图的概念及其性质。

四、应用题（每题15分，共30分）

1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={2,3,4,5,6}，求A与B的笛卡尔积A×B，并列举出A×B中的前5个元素。

2.设关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1，并判断R是否为对称关系。

五、证明题（每题15分，共30分）

1.证明：对于任意集合A，A的补集A'与A的并集A∪A'等于全集U。

2.证明：在一个有向图中，如果存在一条从顶点i到顶点j的路径，那么一定存在一条从顶点j到顶点i的路径。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.设有向图G的邻接矩阵如下：

```

0100

1010

0101

0010

```

（1）请画出图G的图形表示。

（2）求图G的度序列。

（3）判断图G是否为连通图，并说明理由。

2.设有二叉树T，其节点度序列为1,2,3,4，请画出满足该度序列的二叉树T，并计算T的节点总数。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.A.解析：集合A和B的交集包含A和B共有的元素，即{2,3}。

2.B.解析：关系R的逆关系是将R中的所有元素顺序颠倒。

3.A.解析：邻接矩阵的第i行第j列表示顶点i和顶点j之间是否有边。

4.A.解析：度为0的节点没有子节点，因此称为叶子节点。

5.C.解析：集合A和B的并集包含A和B的所有元素，即{1,2,3,4}。

6.A.解析：自反关系要求关系中包含所有元素对自身的关系。

7.A.解析：邻接矩阵的第i行第j列表示顶点i到顶点j的边数。

8.B.解析：度为1的节点有一个子节点，因此称为内部节点。

9.A.解析：集合A减去B的结果是A中不属于B的元素，即{1}。

10.A.解析：反自反关系要求关系中不包含任何元素对自身的关系。

二、填空题答案及解析思路：

1.A∩B={2,3}，A∪B={1,2,3,4,5,6}，A-B={1}。

2.R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}，R自反关系是空集，R反自反关系是{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}。

3.度为0的节点称为叶子节点，度为1的节点称为内部节点，度为2的节点称为子节点。

4.有向图G的邻接矩阵的第i行第j列的元素表示顶点i到顶点j的边数。

5.A×B={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)}。

三、简答题答案及解析思路：

1.集合是由若干确定的元素组成的整体，具有确定性、互异性和无序性。集合的性质包括封闭性、交换律、结合律、幂等律、补集律等。

2.关系是两个集合的元素之间的一种对应关系，可以用一个有序对集合来表示。关系的性质包括自反性、对称性、传递性等。

3.图是由顶点和边组成的集合，顶点表示实体，边表示实体之间的关系。图的性质包括连通性、路径、环等。

四、应用题答案及解析思路：

1.A×B={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5)}。前5个元素为{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2)}。

2.R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}，R不是对称关系，因为没有{(2,3),(3,2)}在R中。

五、证明题答案及解析思路：

1.证明：对于任意集合A，A的补集A'与A的并集A∪A'等于全集U。

证明过程如下：

（1）对于任意元素x∈U，如果x∈A，那么x∈A∪A'；如果x∉A，那么x∈A'，因此x∈A∪A'。所以A∪A'=U。

（2）对于任意元素x∈U，如果x∈A，那么x∉A'；如果x∉A，那么x∈A'。所以A∪A'=A。

因此，A的补集A'与A的并集A∪A'等于全集U。

2.证明：在一个有向图中，如果存在一条从顶点i到顶点j的路径，那么一定存在一条从顶点j到顶点i的路径。

证明过程如下：

假设存在一条从顶点i到顶点j的路径，路径上的顶点序列为i=v1,v2,...,vk,j，其中vi是顶点序列上的顶点，k是顶点的数量。

我们可以构造一条从顶点j到顶点i的路径，路径上的顶点序列为j=vk,vk-1,...,v1,i。这条路径是原始路径的逆序，因此存在从顶点j到顶点i的路径。

六、综合题答案及解析思路：

1.（1）根据邻接矩阵，画出图G的图形表示如下：

```

1---2---3-