2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册专题突破练四

专题突破练四(时间:45分钟分值:50分)1.(5分)下列命题正确的是()A.如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行B.过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行C.如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线,则该直线与平面平行【解析】选B.不在平面内的直线还可以与平面相交,故A错误;一条直线与平面平行,那么这条直线与平面内的直线平行或异面,故C错误;直线也可能在平面内,故D错误.2.(5分)在三棱锥A-BCD中,点E,F分别在AB,CB上.若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系为()A.平行 B.相交C.AC⊂平面DEF D.不能确定【解析】选A.因为AE∶EB=CF∶FB=2∶5,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AC∥平面DEF.3.(5分)已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G,H分别是棱AD,BB',B'C',DD'的中点,从E,F,G,H中任取两点确定的直线中,与平面AB'D'平行的有()A.0条 B.2条 C.4条 D.6条【解析】选D.连接EG,EH,FG,EF,GH(图略),因为EH∥FG,且EH=FG,所以E,F,G,H四点共面.由EG∥AB',EH∥AD',EG∩EH=E,AB'∩AD'=A,可得平面EFGH与平面AB'D'平行,所以平面EFGH内的每条直线都符合条件.4.(5分)如图所示,向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH所在四边形的面积为定值;③棱A1D1始终与水面所在平面平行;④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由题图知,显然①是正确的,②是错误的;对于③,因为A1D1∥BC,BC∥FG,所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,FG⊂平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以③是正确的;对于④,因为水是定量的(定体积V),所以S△BEF·BC=V,即12BE·BF·BC=所以BE·BF=2VBC(定值),即④5.(5分)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列四组平面中彼此平行的有()A.平面A1BC1与平面AD1CB.平面BDC1与平面B1D1AC.平面BDA1与平面B1D1CD.平面ACD1与平面A1C1D【解析】选ABC.对于A选项,A1B∥D1C,A1B⊄平面AD1C,D1C⊂平面AD1C,则A1B∥平面AD1C,同理可证,A1C1∥平面AD1C,因为A1B∩A1C1=A1,A1B⊂平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,所以平面A1BC1∥平面AD1C,故A正确;对于B选项,AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,则AD1∥平面BDC1,同理可证,AB1∥平面BDC1,因为AD1∩AB1=A,AD1⊂平面B1D1A,AB1⊂平面B1D1A,所以平面BDC1∥平面B1D1A,故B正确;对于C选项,BD∥B1D1,BD⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,则BD∥平面B1D1C,同理可证,A1B∥平面B1D1C,因为A1B∩BD=B,A1B⊂平面BDA1,BD⊂平面BDA1,所以平面BDA1∥平面B1D1C,故C正确;对于D选项,设A1D∩AD1=E,则E∈平面ACD1且E∈平面A1C1D,设D1C∩C1D=F,则F∈平面ACD1且F∈平面A1C1D,所以平面ACD1∩平面A1C1D=EF,所以两个平面相交,故D错误.6.(5分)如图所示,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF=__________.

【解析】取BC的中点D,连接ED与FD(图略),因为E,F分别是SC和AB的中点,D点为BC的中点,所以ED∥SB,FD∥AC,而SB⊥AC,SB=AC=2,则△EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1,即EF=2.答案:27.(5分)如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,则AC的长为________cm.

【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以ABBC=DMMN=因为AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,所以2BC=43,解得BC=所以AC=AB+BC=2+32=72答案:78.(5分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件:________时,SC∥平面EBD.

【解析】连接AC交BD于点O,连接OE,因为SC∥平面EBD,SC⊂平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,所以SC∥OE.又因为底面ABCD为平行四边形,点O为对角线AC与BD的交点,故点O为AC的中点,所以E为SA的中点,故当E满足条件:SE=AE时,SC∥平面EBD.答案:SE=AE(答案表述不唯一)9.(10分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.(1)求证:EF∥平面BDD1B1;(2)设G为棱CD上的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1.【证明】(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM,如图,因为E,F分别是BC,CM的中点,则有EF∥BM,又因为EF⊄平面BDD1B1,BM⊂平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.(2)取C