2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册四十四　总体离散程度的估计

四十四总体离散程度的估计(时间:45分钟分值:80分)【基础全面练】1.(5分)甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛,平均每场得分都是16分,标准差分别为3.5和4.62,则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中,发挥更稳定的是()A.甲 B.乙C.甲、乙相同 D.不能确定【解析】选A.因甲、乙平均每场得分相同,都是16分,而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62,即甲每场比赛的得分波动较乙的小,甲发挥更稳定.2.(5分)(2024·宁波高一期中)一个射击运动员打靶6次的环数为9,5,7,6,8,7,下列结论不正确的是()A.这组数据的平均数为7B.这组数据的众数为7C.这组数据的中位数为7D.这组数据的方差为7【解析】选D.9,5,7,6,8,7这组数据从小到大排列为5,6,7,7,8,9,所以众数为7,中位数为7,平均数为5+6+7+7+8+96方差为(5−7=533.(5分)甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示,且这6次成绩的平均分分别为x甲,x乙,标准差分别为s甲,s乙,则(A.x甲<x乙,s甲<sB.x甲<x乙,s甲>C.x甲>x乙,s甲<sD.x甲>x乙,s甲>【解析】选C.由题图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都远高于乙同学,可知x甲>x乙,观察题图发现甲同学的成绩比乙同学稳定,故s甲<s4.(5分)在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如表:班级人数平均分数方差甲20x2乙30x3其中x甲=x乙,则两个班数学成绩的方差为(A.3 B.2 C.2.6 D.2.5【解析】选C.由题意可知两个班的数学成绩平均数为x=x甲=x则两个班数学成绩的方差为s2=2020+30[2+(x甲-x)2]+3020+30[3+(x乙-x)2]=2020+30×2+5.(5分)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数是10,方差是4,则2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1,2x6+1的方差是()A.16 B.14 C.12 D.11【解析】选A.由题意得数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x4+1,2x5+1,2x6+1的平均数为x=(2x2(x1+所以方差为s2=16×[(2x1-20)2+(2x2-20)2+…+(2x6-20)2]=16×4×[(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x6-10)2]=4×4×66.(5分)(多选)某分层随机抽样中,有关数据如下:项目样本量平均数方差第1层4542第2层3581第3层1063则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)()A.第1,2层所有数据的平均数为5.75B.第1,2层所有数据的方差约为1.50C.第1,2,3层所有数据的平均数约为7.68D.第1,2,3层所有数据的方差约为5.23【解析】选AD.第1,2层所有数据的平均数为x1,2=4545+35×4+3545+35×8=5.第1,2层所有数据的方差为s1,22=4545+35×[2+(4-5.75)2]+3545+35×[1+(8-5.75)2]=5第1,2,3层所有数据的平均数约为x=4590×4+3590×8+1090×6=529≈5第1,2,3层所有数据的方差约为s2=4590×2+4-5292+3590×1+8-5292+1090×3+6-5292≈5.23,D正确.7.(5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差为________.

【解析】因为平均数x=10+6+8+5+65所以方差s2=15×[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=165=3.答案:3.28.(5分)已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为2,则xy=________.

【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,得x+y=20,又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=(2)2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,故(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,解得xy=96.答案:969.(5分)为了调查公司员工的健康状况,用分层随机抽样的方法抽取样本,若样本中有20名男员工,30名女员工,且男员工的平均体重为70kg,标准差为4,女员工的平均体重为50kg,标准差为6,则所抽取样本的方差为________.

【解析】由题意知,样本的平均数x=20×70+30×5020+30故样本的方差s2=2020+30[42+(70-58)2]+3020+30[62+(50-58)2答案:124【补偿训练】某班40名学生平均分成两组,两组学生某次考试成绩情况如表所示:组别平均数标准差第一组904第二组806求全班这次考试成绩的平均数和标准差.【解析】根据题意,有x=90×20+80×2040=85,s2=2040[42+(90-85)2]+2040[62所以s=51.10.(10分)某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.【解析】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x高=3×58+5×40+2×383+5+2=45(年龄的方差为s高2=110×[3×(58-45)2+5×(40-45)2所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为x=5050+10×38+1050+10×45=2356该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是s2=5050+102+38-23562+1050+1073+45-23562=74336≈20.64.【综合应用练】11.(5分)(多选)(2024·渝中高一检测)在跳水比赛中,裁判给分计算运动员成绩规则如下:有7位裁判,对某选手一次跳水的给分均不相同,去掉一个最高分和一个最低分后,下列说法正确的是()A.剩下5位裁判给分的平均值一定变大B.剩下5位裁判给分的极差一定变小C.剩下5位裁判给分的中位数一定变大D.剩下5位裁判给分的方差一定变小【解析】选BD.设7位裁判对每位选手给分分别为x1<x2<…<x7,A:若7位裁判分别给分为1~7分,则原来的平均值和去掉一个最高分和一个最低分后的平均值都是4,不变,A错误;B:由x7>x6,x2>x1⇒x7+x2>x6+x1,所以x7-x1>x6-x2,故B正确;C:去掉一个最高分和一个最低分前的中位数是x4,去掉一个最高分和一个最低分后的中位数是x4,故C错误;D:由题意,极差变小,数据更稳定,所以方差变小,故D正确.12.(5分)甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为()A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1【解析】选B.比较题中三个频率分布直方图知,甲为“双峰”直方图,两端数据最多,最分散,方差最大;乙为“单峰”直方图,数据最集中,方差最小;丙为“单峰”直方图,但数据分布相对均匀,方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.13.(5分)某学校共有学生2000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为x=3,方差为s2=1.966,其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为x1=2.7,x2=3.1,x3=3.3,又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为s12=1,s【解析】由题意可得,1.966=8002000×[1+(2.7-3)2]+6002000×[2+(3.1-3)2]+6002000×[s32+(3.3-3)2答案:314.(10分)(2024·兰州高一检测)滨海盐碱地是我国盐碱地的主要类型之一,如何利用更有效的方法改造这些宝贵的土地资源,成为摆在我们面前的世界级难题.对盐碱的治理方法,研究人员在长期的实践中获得了两种成本差异不大,且能降低滨海盐碱地30~60cm土壤层可溶性盐含量的技术,为了对比两种技术治理盐碱的效果,科研人员在同一区域采集了12个土壤样本,平均分成A,B两组,测得A组土壤可溶性盐含量数据样本平均数x1=0.82,方差sx12=0.0293,B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数x2=0.83,方差sx22=0.1697.用技术1对A组土壤进行可溶性盐改良试验,A组y10.660.680.690.710.720.74B组y20.460.480.490.490.510.54改良后A组、B组土壤可溶性盐含量数据样本平均数分别为y1和y2,样本方差分别记为sy(1)求y1,y2,sy(2)应用技术1与技术2对土壤进行可溶性盐改良试验后,土壤可溶性盐含量是否有显著降低?(若xi-yi>2sxi2+sy【解析】(1)y1=16(0.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74)=0sy12=16[(0.66-0.70)2+(0.68-0.70)2+(0.69-0.70)2+(0.71-0.70)2+(0.72-0.70)2+(0.74-0.70)y2=16(0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.54)=0sy22=16[(0.46-0.495)2+(0.48-0.495)2+(0.49-0.495)2+(0.49-0.495)2+(