2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十五　正弦、余弦定理的综合应用

十五正弦、余弦定理的综合应用(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·黄冈高一检测)在△ABC中,a=3,b=32,C=60°,则S△ABC=(A.23 B.32 C.3 D.【解析】选D.在△ABC中,a=3,b=32,C=60°,则S△ABC=12absinC=12×3×32×2.(5分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a,则ba=(A.23 B.22 C.3 D.2【解析】选D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=2sinA,即sinB=2sinA,所以ba=23.(5分)(2024·长沙高一检测)如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为()A.53 B.56 C.62 D.10【解析】选B.在△ADC中,cos∠ADC=102+62-1422×10×6=-12,因为0<∠ADC<π,所以∠ADC=2π3,所以∠ADB=π3,在4.(5分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a2-c2=3b,且sinB=8cosAsinC,则b=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选B.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,sinB=8cosAsinC,则sin(A+C)=8cosAsinC,整理得sinAcosC=7cosAsinC,利用正弦定理和余弦定理得a×a2+b2-c22ab=7c×b2+c2-a22bc,整理得4a2=3b2+4c2,故4(a2-c2)=3b5.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b-3asinA=bcos2A,a=1,且AC边上的中线BM=32,则c=(A.3 B.7C.1或2 D.2或3【解析】选C.因为b-3asinA=bcos2A,所以sinB-3sin2A=sinB(1-2sin2A),所以3sin2A=2sinBsin2A,因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以sinB=32,所以cosB=12或-12,因为BM是AC边上的中线,所以=12(+),两边平方得,||2=14(+)2=14(||2+2·+||2),即34=14(c2+2cacosB+a当cosB=12时,34=14(c2+c+1),即c2解得c=1或-2(舍去);当cosB=-12时,34=14(c2-c+1),即c2解得c=2或-1(舍去),综上所述,c=1或2.6.(5分)(多选)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=32b=3,B=2C,则下列结论正确的是(A.sinC=63 B.a=C.a=c D.S△ABC=22【解析】选AB.因为B=2C,所以sinB=sin2C=2sinCcosC,由正弦定理知,bsinB=因为c=32b,所以cosC=33,sinC=1-由余弦定理知,c2=a2+b2-2ab·cosC,所以9=a2+(23)2-2a·(2即a2-4a+3=0,解得a=3或a=1,若a=3,则A=C=π4,此时cosC=2与题意不符,所以a=1=c3S△ABC=12ab·sinC=12×1×23×63=7.(5分)(2024·南京高一检测)在△ABC中,AB=2,AC=3,cosA=23,则其外接圆的面积为________【解析】根据题意,由0<A<π,cosA=23,得sinA=1-(又根据余弦定理得BC2=AB2+AC2-2|AB||AC|cosA=4+9-2×2×3×23所以BC=5,则2R=BCsinA=5×35=3,解得R=32,所以△ABC外接圆面积为S=πR答案:9π8.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=27,b=4,A=120°,则△ABC的面积为________.

【解析】因为a=27,b=4,A=120°,c>0,又cosA=b2+c2-a22bc,所以cos120°=-12=42+c2-(2答案:23【补偿训练】(2024·福州高一检测)△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若C=2π3,c=7,a=2,则△ABC的面积为____________【解析】由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab所以S△ABC=12absinC=12×2×1×32答案:39.(5分)(2024·聊城高一检测)古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三边长表示三角形的面积的公式,即已知三角形的三条边长分别为a,b,c则它的面积为S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则△ABC的面积为__________.

【解析】因为△ABC的周长是18,且p=12(a+b+c),所以p因为sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,根据正弦定理可知,a∶b∶c=2∶3∶4,又△ABC的周长是18,所以a=4,b=6,c=8,所以S=p=9×(9-答案:31510.(10分)(2024·厦门高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2cosB+abcosA=2c.(1)求a;(2)若A=2π3,且△ABC的周长为2+5,求△ABC的面积【解析】(1)由题设a(acosB+bcosA)=2c,由正弦定理有a(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC,所以asin(A+B)=2sinC,而A+B=π-C,故asinC=2sinC,又sinC>0,所以a=2.(2)由(1)及已知,有cosA=b2+c2-可得b2+c2+bc=4,又a+b+c=2+5,即b+c=5,所以(b+c)2-bc=5-bc=4⇒bc=1,故S△ABC=12bcsinA=3【综合应用练】11.(5分)(2024·呼和浩特高一检测)在△ABC中,AD为∠A的平分线,D在线段BC上,若|AB|=2,|AD|=|AC|=1,则|BD|=()A.22 B.2 C.2 D.【解析】选B.如图所示:依题意设∠BAD=∠CAD=θ,由S△ABC=S△ABD+S△ADC可得12|AB||AC|sin2θ=12|AB||AD|sinθ+12|AC||AD即sin2θ=sinθ+12sinθ=32sin即2sinθcosθ=32sinθ,显然sinθ可得cosθ=34在△ABD中,由余弦定理可得cosθ=|AB|2+|解得|BD|=2.12.(5分)(多选)(2024·丽江高一检测)在△ABC中,cosC2=255,BC=1,ACA.sinC=4B.△ABC的面积为2C.△ABC的周长为6+23D.AB边上的中线长为22【解析】选ABD.A:由cosC2=2得cosC=2cos2C2-1=2×2552-1=3由sinC>0,得sinC=1-cos2C=B:由选项A知sinC=45,所以S△ABC=12AC·BCsinC=12C:由选项A知cosC=35,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=26-10×3由AB>0,得AB=25.所以△ABC的周长为6+25,故C错误;D:由选项C知AB=25,如图,取AB的中点D,连接CD,则AD=BD=5,在△ABC中,由余弦定理,得cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=20+1-252×25×1=-55,在△DBC中,由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BD·BCcos13.(5分)(2024·攀枝花高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c22a-3c【解析】由a2+b2-c22由余弦定理得bcosC-3csinB=a,由正弦定理得sinBcosC-3sinCsinB=sinA,因为A=π-(B+C),即sinBcosC-3sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,即-3sinCsinB=cosBsinC,因为sinC≠0,则tanB=sinBcosB因为B∈(0,π),故B=5π6答案:5π14.(10分)(2024·郑州高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点D是AC边的中点,且2asinC+bsinB+3csinA=(a+c)(sinA+sinC).(1)求角B的大小;(2)若a=3,BD=132,求边c的值【解析】(1)由题意及正弦定理知2ac+b2+3ac=(a+c)2,所以b2=a2+c2-3ac,所以cosB=a2+c因为0<B<π,所以B=π6(2)因为点D是AC边的中点,=12(+),两边同时平方可得,4=++2||||cosB,因为a=||=3,BD=132,cosB=32所以4×134=c2+(3)2+2c×即c2+3c-10=0,解得c=-5(舍)或c=2.故边c的值是2.15.(10分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.【解析】(1)因为A+B=3C,A+B+C=π,所以C=π4,B=3C-又因为2sin(A-C)=sinB,所以2sinAcosC-2cosAsinC=sin3π4-A,所以2sinAcosC-2cosAsinC=s