2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册十八　复数的几何意义

十八复数的几何意义(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】选C.|z|=(-1)22.(5分)(2024·曲靖高一检测)在复平面内,复数3+2i,-2+3i对应的向量分别是,,其中O是坐标原点,则向量对应的复数为()A.1+i B.5-iC.5-3i D.-5+i【解析】选D.由题设得,=(3,2),=(-2,3),则=-=(-5,1),所以向量对应的复数为-5+i.3.(5分)(2024·重庆高一检测)设复数z=4-3i,则复数z的共轭复数的模为()A.7 B.1 C.5 D.25【解析】选C.复数z=4-3i,则z=4+3i,所以|z|=42+4.(5分)已知复数z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=()A.5 B.5 C.3 D.3【解析】选A.由题意得A(6,-5),B(-2,3),则线段AB的中点C的坐标为(2,-1),其对应的复数z=2-i,则|z|=(-1)25.(5分)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的集合是()A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆【解析】选A.因为|z|2-2|z|-3=0,所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3,所以复数z对应的点Z的集合是以原点为圆心,3为半径的一个圆.6.(5分)(多选)下面是关于复数z=1+i(i为虚数单位)的四个命题,其中正确的是()A.|z|=2B.z对应的点在第一象限C.z的虚部为iD.z的共轭复数为-1+i【解析】选AB.因为复数z=1+i,所以|z|=2,故A正确;因为z对应的点(1,1)在第一象限,故B正确;因为z的虚部为1,故C错误;因为z的共轭复数为1-i,故D错误.7.(5分)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,则点D对应的复数为____________.

【解析】依题意,因为A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,所以A(1,3),B(2,-1),C(-3,1).因为ABCD是平行四边形,所以=.设D(x,y),则(1,-4)=(-3-x,1-y),故-3-x所以D(-4,5),则点D对应的复数为-4+5i.答案:-4+5i8.(5分)若复数z在复平面内对应的点在第二象限,|z|=5,z在复平面内对应的点在函数y=43x的图象上,则z=__________【解析】由题意设z=3t+4ti(t∈R),则z=3t-4ti.因为|z|=5,所以9t2+16t2=25,所以t2=1.又z在复平面内对应的点在第二象限,所以t<0,所以t=-1,所以z=-3+4i.答案:-3+4i9.(5分)若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点位于虚轴上,则实数m的取值集合为__________.

【解析】因为m为实数,且复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点(m2-m-2,m2-3m+2)位于虚轴上,所以m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.答案:{-1,2}10.(10分)在复平面内,O是原点,向量对应的复数为2+i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量对应的复数;(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.【解析】(1)设向量对应的复数为z1=x1+y1i(x1,y1∈R),则点B的坐标为(x1,y1).由题意可知,点A的坐标为(2,1).根据对称性可知,x1=2,y1=-1,故z1=2-i.(2)设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则点C的坐标为(x2,y2).由对称性可知,x2=-2,y2=-1,故z2=-2-i.【综合应用练】11.(5分)(2024·烟台高一检测)已知i为虚数单位,x,y∈R,若复数z=x+yi,z1=2+i,z1的共轭复数为z1,且z=z1,则x+y=(A.3 B.-1 C.1 D.-3【解析】选C.z1=2+i,则z1=2-i=x+yi,则x=2,y=-1,x+y=112.(5分)(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列命题正确的是()A.z不可能为纯虚数B.若z的共轭复数为z,且z=z,则z是实数C.若z=|z|,则z是实数D.|z|可以等于1【解析】选BC.当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=a-bi,因此b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=12得a2+b2=14,又a+b=1,b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于113.(5分)在复平面内,把复数3-3i对应的向量按顺时针方向旋转π3,则所得向量对应的复数是__________【解析】复数对应的点的坐标为(3,-3),对应的向量按顺时针方向旋转π3,则对应的点的坐标为(0,-23),所得向量对应的复数为-23i答案:-23i14.(10分)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,求复数z.【解析】由题意设点Z的坐标为(a,b)(a<0),因为||=|z|=2,与实轴正方向的夹角为120°,则a2+b2=4解得a=-1,b=±3,即点Z的坐标为(-1,3)或(-1,-3),所以z=-1+3i或z=-1-3i.15.(10分)(1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值;(2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0<a<2,0<b<2,求复数z对应的点的集合形成的图形的面积.【解析】(1)因为z=x+(2x+1)i(x∈R),所以|z|=x2+=5(x+2当且仅当x=-25所以当x=-25时,|z|取得最小值5(2)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面上的对应点的坐标为(a,b),因为|z|≥1,0<a<2,0<b<2,所以a2+b2≥1,0<a<2,0<b<2,所以复数z对应的点的集合形成的图形如图中的阴影部分(不包括x,y轴上的点):所以复数z对应的点的集合形成的图形的面积S=2×2-π4=4-π【补偿训练】设z∈C,且满足下列条件,求在复平面内