2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册二十一　棱柱、棱锥、棱台

二十一棱柱、棱锥、棱台(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)下面图形中,为棱锥的是()A.①③ B.③④ C.①②④ D.①②【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥.2.(5分)具备下列条件的多面体是棱台的是()A.两底面是相似多边形的多面体B.侧面是梯形的多面体C.两底面平行的多面体D.两底面平行,侧棱延长后交于一点的多面体【解析】选D.由棱台的定义可知,棱台的两底面平行,侧棱延长后交于一点.3.(5分)下列关于棱柱的说法中,错误的是()A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱,5个侧面,侧面为平行四边形【解析】选C.显然A正确;面数最少的棱柱是三棱柱,它有五个面,故B正确;当棱柱是斜棱柱时,则侧面不全是全等的平行四边形,故C错误;D正确.4.(5分)在如图所示的长方体中,以O,A,B,C,D为顶点所构成的几何体是()A.三棱锥 B.四棱锥C.三棱柱 D.四棱柱【解析】选B.此几何体有一个面ABCD为四边形,其余各面OAD,OAB,OCD,OBC为有一个公共顶点的三角形,所以此几何体是四棱锥.5.(5分)(多选)对如图所示的几何体描述正确的是()A.这是一个六面体B.这是一个四棱台C.这是一个四棱柱D.此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到【解析】选ACD.因为这个几何体有六个面,这是个六面体,所以A正确;因为这个几何体的侧棱延长后不能交于同一点,所以这不是个四棱台,B错误;如果把这个几何体的前面或后面作为底面就会发现这是一个四棱柱,故C正确;如图所示,此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到,故D正确.6.(5分)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是__________(写出所有正确结论的序号).

①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】在如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,若所取四点共面,则只能是正方体的表面或对角面,即正方形或矩形,所以①正确,②错误;棱锥A-BDA1符合③,所以③正确;棱锥A1-BDC1符合④,所以④正确;棱锥A-A1B1C1符合⑤,所以⑤正确.答案:①③④⑤7.(5分)下列几何体中,__________是棱柱.(仅填相应序号)

【解析】结合棱柱的定义可知①③④是棱柱.答案:①③④8.(5分)在下面的四个平面图形中,是四面体的展开图的为__________.(填序号)

【解析】由于③④中的图组不成四面体,只有①②可以.答案:①②9.(5分)用平行于棱柱侧棱的平面去截棱柱,所得截面是__________.

【解析】从截面与棱柱上、下底面的交线来看,交线必平行且相等,从而截面为平行四边形.答案:平行四边形10.(10分)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么?【解析】(1)是棱柱,是四棱柱,因为在长方体中相对的两个面是平行的,其余的每个面都是矩形(四边形),且每相邻的两个矩形的公共边都平行,符合棱柱的结构特征,所以是棱柱.(2)各部分几何体都是棱柱,分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.【综合应用练】11.(5分)(多选)如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,下列说法正确的是()A.点H与点C重合 B.点D,M,R重合C.点B与点Q重合 D.点A与点S重合【解析】选BD.将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记,若记面NPGF为“下”,面PSRN为“后”,则面PQHG,MNFE,EFCB,DEBA分别为“右”“左”“前”“上”.按各面的标记折成正方体,则点D,M,R重合,点G,C重合,点B,H重合,点A,S,Q重合.故BD正确,AC错误.12.(5分)以下四个命题真命题为()A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B.底面是矩形的平行六面体是长方体C.直四棱柱不一定是直平行六面体D.由五个面围成的多面体只能是四棱锥或三棱柱【解析】选C.对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),A是假命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,B是假命题;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故不一定是直平行六面体,C是真命题;五个面围成的多面体还可能是三棱台,D是假命题.13.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为__________.

【解析】将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即为所求.如图,AC1=25.答案:2514.(10分)如图,四边形AA1B1B为矩形,AA1=3,CC1=2,CC1∥AA1,CC1∥BB1,这个几何体是棱柱吗?若是棱柱,指出是几棱柱;若不是棱柱,作出一个过点C1的截面,截去一部分,使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱,并指出截去的几何体的名称.【解析】因为这个几何体中没有两个互相平行的面,所以这个几何体不是棱柱.如图,在AA1上取点E,使AE=2,在BB1上取点F,使BF=2,连接C1E,EF,C1F,则过点C1,E,F的截面将原几何体分成两部分,其中一部分是三棱柱ABC-EFC1,其侧棱长为2;另一部分是四棱锥C1-EA1B1F,即截去的几何体是四棱锥.15.(10分)如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?【解析】(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=12a2,S△DPF=S△DPE=12×2a·a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-12a2-a2-a2=3【补偿训练】如图,正方形ABCD的边长为a,E,F,G