2024-2025学年同步试题 数学 必修第二册单元形成性评价（二）（第七章）

单元形成性评价(二)(第七章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知复数z=2+i(i为虚数单位),则|z|=()A.5 B.2 C.3 D.1【解析】选A.由复数z=2+i得,|z|=22+1=2.若复数z=i(9i-1),则z的虚部为()A.-i B.-1 C.-9 D.1【解析】选B.依题意得z=i(9i-1)=9i2-i=-9-i,则z的虚部为-1.3.(2024·广州高一检测)在复平面内,复数1-2i与-1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=()A.1 B.5 C.2 D.29【解析】选D.由复数的几何意义知:=(1,-2),=(-1,3),=-=(-2,5),所以||=(-2)2+52=29.4.(2024·泉州高一检测)已知复数z=2-i1-3i+i7A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.z=2-i1-3i+i7=(2-i)(1+3i)(1-3i)(1+3i)5.(2024·绍兴高一检测)已知i是虚数单位,a∈R,则“a2=1”是“(a+i)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当(a+i)2=2i时,即a2-1+2ai=2i,得a2-1=0而a2=1时,a=±1,所以“a2=1”是“(a+i)2=2i”的必要不充分条件.6.如图,在复平面内,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i【解析】选D.由题图得,=+,所以对应的复数为1+2i-2+i=-1+3i,所以点C对应的复数为-1+3i.7.已知复数方程x2+2x+a=0(a∈R)其中的一个复数根为-1+2i,另一个复数根为z,则|z+a|=()A.2 B.5 C.22 D.25【解析】选D.方法一:将x=-1+2i代入方程中得(-1+2i)2+2(-1+2i)+a=0,化简得-5+a=0,解得a=5,故方程为x2+2x+5=0,由求根公式解得x=-2±故z=-1-2i,故|z+a|=|4-2i|=25.方法二:由一元二次方程根与系数的关系知(-1+2i)+故|z+a|=|4-2i|=25.8.(2024·郑州高一检测)已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为()A.1 B.3 C.3 D.5【解析】选A.设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+3i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知,点Z到点(0,-3)和(0,1)的距离相等,所以在复平面内点Z的轨迹为y=-1,又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,所以问题转化为y=-1上的动点Z到定点(-1,-2)距离的最小值,当Z为(-1,-1)时,到定点(-1,-2)的距离最小,最小值为1,所以|z+1+2i|的最小值为1.二、多选题(每小题6分,共18分,全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分)9.下列说法中错误的是()A.2+3i>1+2iB.虚轴上的点表示的数都是纯虚数C.若一个数是实数,则其虚部不存在D.若z=1i,则z3【解析】选ABC.两个不全为实数的复数不能比较大小,故A错误,符合题意;原点也在虚轴上,表示实数0,故B错误,符合题意;实数的虚部为0,故C错误,符合题意;D中z3+1=1i310.(2024·合肥高一检测)下面四个命题中的真命题为()A.若复数z∈R,则z∈RB.复数z∈R的充要条件是z=zC.对任意复数z,w都有z+w=zD.若复数z=a+i(a∈R),且|z|=2,则a=1【解析】选ABC.对于A,设z=a+bi(a,b∈R),若复数z∈R,即b=0,则z=z∈R,正确;对于B,设z=a+bi(a,b∈R),若z=z⇔a+bi=a-bi⇔b=0,所以复数z∈R的充要条件是z=z,正确;对于C,设z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R),则z+w=(a+c)+(b+d)i,所以z+w=(a+c)-(b+d)i,而z+w=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+即有z+w=z+对于D,若复数z=a+i(a∈R),且|z|=2,所以a2+12=211.已知z是复数,z是其共轭复数,则下列命题中正确的是()A.z2=|z|2B.若|z|=1,则|z-1-i|的最大值为2+1C.若z=(1-2i)2,则复平面内z对应的点位于第二象限D.若1-3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则q=-9【解析】选BC.对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|2=a2+b2,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,z2≠|z|2,A错误;对于B,由|z|=1知,在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上,|z-1-i|可看作该单位圆上的点到点(1,1)的距离,则距离最大值为2+1,B正确;对于C,z=(1-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,则复平面内z对应的点位于第二象限,C正确;对于D,依题意,(1-3i)2+p(1-3i)+q=0,整理得(p+q-8)+(-3p-6)i=0,而p,q∈R,因此p+q-8=0-3三、填空题(每小题5分,共15分)12.若复数1+ai2-i【解析】因为1+ai2-i=(1+ai)(2+i答案:213.将x2+2x+5在复数范围内因式分解为____________________.

【解析】令x2+2x+5=0,Δ=4-20=-16=16i2,所以x=-2±4i2=-1±2i,即x2+2x+5=(x+1-2i)(x答案:(x+1-2i)(x+1+2i)【补偿训练】若2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n等于________.

【解析】因为2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根,所以(2+i)2+m(2+i)+n=0,所以2m+n+3+(4+m)i=0,由复数相等可得2m+n+3=0,4+m答案:114.已知复数z1,z2满足|z1|=1,|z2|=5,则|z1-z2|的取值范围是________.

【解析】方法一:设z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则易得z1,z2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心,1和5为半径的圆,易得|z1-z2|的最小值为4,最大值为6,故|z1-z2|的取值范围是[4,6].方法二:因为||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|,所以|1-5|≤|z1-z2|≤|1+5|,即4≤|z1-z2|≤6,则|z1-z2|的取值范围是[4,6].答案:[4,6]四、解答题(共77分)15.(13分)设x∈R,若复数z=log12(x2-3)+i·log2(x+3)在复平面内的对应点在第三象限,求x【解析】因为复数z=log12(x2-3)+i·log2(所以log12所以x2-3>1即实数x的取值范围为(-3,-2).16.(15分)已知复数z1=m-2i,复数z2=1-ni,其中i是虚数单位,m,n为实数.(1)若m=1,n=-1,求|z1+z2|的值;(2)若z1=z22,求m,n【解析】(1)当m=1,n=-1时,z1=1-2i,z2=1+i,所以z1+z2=(1-2i)+(1+i)=2-i,所以|z1+z2|=22+(-(2)若z1=z22,则m-2i=(1-ni)2,所以m-2i=(1-n2)-2ni,所以m17.(15分)(2023·淮安高一检测)设复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-i,i为虚数单位.(1)若z1·z2为纯虚数,求a的值;(2)若z1+2z2为实数,求z1z2【解析】(1)因为z1·z2=(2+ai)(1-i)=(2+a)+(a-2)i,若z1·z2为纯虚数,则2+a=0a-(2)因为z1+2z2=2+ai+2-2i=4+(a-2)i,若z1+2z2为实数,则a-2=0,解得a=2,即z1=2+2i,方法一:因为z1z2=2+2i1-i=方法二:可得z1z2=|z1|18.(17分)已知复数z的模为1,求|z-1-2i|的最大值和最小值.【解析】因为复数z的模为1,所以z在复平面内的对应点是以原点为圆心,1为半径的圆.而|z-1-2i|=|z-(1+2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1,2)的距离,如图.所以|z-1-2i|min=|AB|=|OA|-|OB|=5-1,|z-1-2i|max=|AC|=|OA|+|OC|=5+1.19.(17分)(2024·上海高一检测)已知关于x的实系数一元二次方程2x2+kx+26=0有两个虚数根x1和x2,且|x