空间向量与立体几何动态问题（四大题型）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

特训11空间向量与立体几何动态问题(四大题型)

探索性问题：

(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把

“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.

⑵对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.

最值或取值范围问题：

在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是：

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解.

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数

的最值.

题型归纳

目录：

♦题型01：立体几何中的探索性问题

♦题型02：空间位置关系的判定

♦题型03：轨迹问题

♦题型04：最值、取值范围问题

♦题型01：立体几何中的探索性问题

例1如图，在三棱柱/8C-44C中，四边形44为正方形，四边形A4CC为菱形，且/44C=60。,

平面平面/B44,点。为棱84的中点.

(1)求证：AAX1CD；

(2)棱4G(除两端点外)上是否存在点“，使得二面角2-的余弦值为妪，若存在，请求出察

534

的值；若不存在，请说明理由.

答案(1)证明见解析

(2)存在，的值为;或:

分析(1)结合题意添加辅助线，先证明么4,平面。CO,进而得到N4J-CD；

(2)根据题目中的已知条件找到两两垂直的三条棱，然后建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，假

设点M存在，设出点M的坐标，求出该二面角的两个平面的法向量，结合空间向量的夹角公式列出方程，

解方程即可.

解析(1)证明：取44的中点。，连接C4、CO、OD,

■,-AC=AAl,且乙M。=60。，.•.△44C为等边三角形，得441J_OC,

•.•四边形月4为正方形，且。、。分别是/4、的中点，

AAX1OD,

■.■OC^}OD=O,OC,0。匚平面。。£>,：./4_1平面0。八，

•.•<20<=平面。。。，.・.44_18；

(2)•.•平面44CC平面且平面4<GCn平面/台44=4<,OClAAt,OCu平面44。。，

.•.OC_L平面48耳4，。。匚平面48月4，，。。_10£),

以。为坐标原点，分别以。4、OD、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

不妨设/8=2,则8(1,2,0),4(7,0,0),G(-2,0,73),(-1,2,0),

则丽=(0,2,0),4G=(-l,0,V3),M=(l,2,-6),oq=(-2,0,73),福=(2,2,0),

设点=（x”％zj为平面44。的一个法向量,

«1-451=2%=

取Z1=l得神=("0,1)；

4•4G=-%1+A/3ZJ=0

假设棱4G上（除端点外）存在点M满足题意，

令不?=比用0<2<1）,得M（2-2,24石-⑨I）,

设%=（%/2/2）为平面84凶的一个法向量,

n•AB=2X+2y=0

则由1--2---X--,22/、,

〃2,A.yM=(4—1jx2+2Ay2+(,3-J34)z2.=0

、

1+2

取工2=1，得〃2=LT

k

经检验2=1或2=:时，二面角8-4初-4的平面角均为锐角,

28

综上,器的值法或"

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用向量共线定理设场;=彳场（。<2<1）,再用几表示出两个平

面的法向量，得到方程，解出即可.

方法归纳：（1）对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方

程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.

（2）对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.

♦题型02：空间位置关系的判定

例2（多选）如图几何体是由正方形NBCD沿直线42旋转90。得到的，已知点G是圆弧行的中点，点//

是圆弧而上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）

BE

A.存在点使得CH，平面5QG

B.不存在点/7,使得平面/HE〃平面5Z）G

C.存在点H,使得直线①7与平面3QG的所成角的余弦值为近

3

D.不存在点“，使得平面3DG与平面CE8的夹角的余弦值为g

答案ACD

分析将图形补全为一个正方体/DMF-8CNE,设4。=2,以点A为坐标原点，AD、AF、48所在的直

线分别为X、V、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.

解析由题意可将图形补全为一个正方体/DWF-3CNE,如图所示：

不妨设40=2,以点A为坐标原点，40、AF、48所在的直线分别为X、丁、z轴建立空间直角坐标系,

则/（0,0,0）、8（0,0,2）、。（2,0,2）、。（2,0,0）、£（0,2,2）、F（0,2,0）,G（后，行,2）,

设点“（2cosa,2sina,0）,其中OWa,

对于A选项，假设存在点H,使得S_L平面5QG,CH=（2cos6Z_2,2sin^,-2）,

55=(-2,0,2),^G=(V2,V2,0),

CH,DB=4—4cosa—4=0/曰jsina=1

CH•BG=2^2(cosa-1)+2^2sina=0寸［cosa=0

TTTV

因为0414彳，则。=”，即当点〃与点尸重合时，平面8DG,A对;

22

对于B选项，由A选项可知，平面BDG的一个法向量为元=(2,-2,2),

假设存在点八使得平面/麻〃平面8DG,则C尸，/〃，CF1AE,

FC-AH=4cos«-4sin«=0无兀

贝叫-------，可得tana=1,又因为OVaV7,解得a=：,

尸。4&=-4+4=024

即当点〃为而的中点时，面〃平面BDG,B错；

对于C选项，若存在点“，使得直线与平面3DG的所成角的余弦值为立，

3

则直线£8与平面BDG的所成角的正弦值为J=殍，

EH=(2cosa,2sin6if-2,-2),

I——>—dl^/Z-Fcl14cosa-4sina|

所以，cosEH/C=_/=『-------------J

|EH|-|FC|J4cos2a+4(sina-l)+4-2^/3

|cosa-sina|也e一,1

=—L=-/==——,整理可得35出2。-45由。+3=0,

J3.j3-2sina3

jr

因为函数〃a)=3sin2a-4sina+3在ae0,-时的图象是连续的，

且/(0)=3>0,/图=-4+3=-1<0,

所以，存在使得〃4)=0,

所以，存在点“，使得直线E”与平面BQG的所成角的余弦值为正，C对；

3

对于D选项，设平面CE"的法向量为五=(x,y,z),

CE=(-2,2,0),CH=(2cosa-2,2sina,-2),

n-CE=-2x+2y=Q

则一,、.,

n-CH=2x(cosa-l)+2ysma-2z=0

取x=l,可得为=(l,l,sincr+cos6Z-l),

假设存在点H,使得平面3DG与平面的夹角的余弦值为;,

I一—H万2|sina+cosa-l|1

则cosn,FC\=-~~i=Jr=/।------!-----二—,

同^2+(sina+coscr-1)2x2^33

可得(sina+cos6r-l)2=1,即sina+cosa-1=±1,

可得sina+cosa=0或sina+cosa=2,

71„,71,71,3兀„,V2.(7兀11,

因为CtG0,—，贝|—Wa+—V——,贝I—<sm6Z+—<1,

4442I4)4

所以，sincr+cos6Z=V2sina+—)e[l,回,

14

兀、

故当aw0,—时，方程sina+cosa=0和sina+cosa=2均无解，

综上所述，不存在点“，平面BDG与平面CE"的夹角的余弦值为:，D对.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可

确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度〃，从而不必作出线面角，则线面

h

角6满足sin9=）（/为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设々为直线/的方向向量，■为平面的法向量，则线面角。的

正弦值为sin。=|cos伍，砌.

方法归纳：解决空间位置关系的动点问题

⑴应用“位置关系定理”转化.

⑵建立“坐标系”计算.

♦题型03：轨迹问题

例3（1）如图，在棱长为1的正方体43。-4片GA中，尸为棱的中点，。为正方形88CC内一动点

（含边界），则下列说法中正确的是

①若A。//平面4尸。，则动点0的轨迹是一条线段

②存在。点，使得平面4尸。

③当且仅当Q点落在棱CG上某点处时，三棱锥。-4PD的体积最大

④若=手，那么。点的轨迹长度为♦万

答案①③④

分析作出过点〃与平面4尸。平行的正方体的截面判断①；建立空间直角坐标系，求出平面4尸。的法向

量判断②；设出点。的坐标，求出点。到平面4尸。最大距离判断③；确定点。的轨迹计算判断④作答.

解析在正方体/Be。-44GA中，取4。,。。的中点£,F,连。尸，瓦C,如图，

奥\EFUB\CUA\D,4。U平面4尸。，斯a平面4尸。，则有瓦7/平面4尸。，

因点尸为棱84的中点，有PFIIBG〃A\D\,PF=BG=g,即有//斤口为平行四边形，

则。尸〃4尸，而4Pu平面4尸。，(Z平面&PD,有。///平面4尸。，

DxFoEF=F,RF,EFu平面REF,因此，平面。潜尸//平面吊尸。，因0©//平面4?。，

则D.Qu平面DtEF，又点。在平面BCCR,平面D.EFA平面BCC.B,=EF,即点0的轨迹为线段EF,①

正确；

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(1，0,0)，。(0,0，1)，尸(1，11)，设031,6)36€[0,1]),

—►—►1—►

4。=(-1,0,1),A]P=(0,1，5),。1。=(a,l,b),设平面AXPD的一个法向量〃=(x,y,z),

n-A,D=-x+z=01,

-...一\h

则—I八，令y=T,得〃=(2,—l,2),若2。，平面4尸。，则9。►//〃，即7CL=-7=2，

n-AxP=y+—z=02-I2

。=6=-2任[0内，所以不存在0点，使得2。，平面4P。，②不正确;

因△4PD的面积为定值，当且仅当点Q到平面4尸。的距离最大时，三棱锥。-4尸。的体积最大,

___1175.«I23

40=("1,1,6),点0到平面4尸。的距离d」*匕；|a+6-彳而04。+642,则当a+b=O时，

1«132

“max=1，

而a,6e[0,l],即。=b=o,因此点。(0,1,0)与点G重合时，三棱锥尸。的体积最大，③正确；

因2G，平面3耳GC，c©u平面84GC，则因此c©=J叫。?一℃；=档)—=*

显然点。的轨迹是以G为圆心，半径为正，所含圆心角为W的扇形弧，弧长为也乃，④正确.

故答案为：①③④

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

方法归纳：解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

♦题型04：最值、范围问题

例4如图，在直三棱柱N8C-4耳G中，△/BC为边长为2的正三角形，"4=3,。为/C中点，点E在棱

CC,上,且CE=ACC,,0<2<1.

(2)设Q为底面4耳C的中心，求直线CQ与平面8DE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时2的

值.

答案（1）证明见解析

⑵最大值为等’此时

分析（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可.

（2）求出直线对应的方向向量和平面对应的法向量，将线面角用向量坐标表示进而求最值.

解析（1）取4G的中点，，连接。2，

因为三棱柱NBC-44G为直棱柱，且△NBC为正三角形,

所以以。氏。c,。，所在直线分别为x轴，了轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系,

根据已知条件得

D(0,0,0),5(73,0,0),A,(0,-1,3),C(0,1,0),Q(0,1,3),

22

当;1=一时，CE=-CC,.•.£(0,1,2),

33X

=(0,2,-1),55=(V3,0,0),DE=(0,1,2),

■.■AlE-DB=Q,A^-DE=0+2-2=Q,

A^ELDB,A^ELDE,即AtE.LDB,A.ELDE,

又DBcDE=D,而BD,DEu平面BDE,，同石，平面BOE.

(2)由(1)知与(退,0,3),^(0,1,32)(0<A<l),DE=(0,1,3A)

•.•。为△/4G的中心，芋0,3),CO]=(芋-1,3)

设平面BOE的法向量E=（xj,z）,则

n-DB=y/3x=Q

令z=l,则7=(0,—341)

n-DE=y+3Az=0

设直线与平面所成角为e,则

|32+3|3|32+3|

sin0=|cos<CO[,n>|=

'1+l+9-V922+l31，9〃+1

V930

sin"

31

即直线CQ与平面3DE所成角正弦的最大值为Y"，此时X的值为:

319

方法归纳：在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解.

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最

值.

例5三棱锥P/5C中，PA,PB,尸C两两垂直，尸/=尸3=2。=&，点。为平面/8。内的动点，且满足

PQ=6记直线P。与直线的所成角为巴贝Usine的取值范围为.

答案囹

分析根据已知条件先确定出。在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量

夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的正弦值的取值范围.

解析因为尸4尸民尸C两两垂直，且PA=PB=PC,所以由全等三角形可知/8=/C=8C,

所以三棱锥为正三棱锥，记尸在底面N8C内的投影为。，

所以A8=/C=8C=>JPA2+PB2=273，

JR___________

因为/Ocos3(T=；-,所以/。=2,所以PO=d(AP2-AO。=亚,

因为尸。=石，所以O0=尸2=i,所以0的轨迹是以。为圆心半径为1的圆,

取中点。，连接C。，可知经过点。，建立如下图所示的空间直角坐标系:

设°（cosa,sina,0）,Z（l,一0，后0）,尸（0,0,0）,

所以PQ=（cosa,sin%-后[AB=（0,2>/3,0）,

r-r-nr~T~D2A/3sinaV3.

以cos<PQ、A.B>=—产———sinex,

2g.石3

所以cos。=|cos<PQ,AB>|=-^-|sina|,

所以sin©=Jl-cos?0=Jl-；sin2a,且sin2ae[0,l],

1,

所以e

故答案为:

【点睛】思路点睛：异面直线所成角的余弦值的向量求法：

（1）先分别求解出两条异面直线的一个方向向量；

（2）计算出两个方向向量夹角的余弦值；

（3）根据方向向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成角的余弦值求解出结果.

模拟精练

一、单选题

1.（2023•辽宁•模拟预测）已知空间向量字及工两两夹角均为60。,且同第=1,「|=2.若向量不满足

x-{x+a^=x-b,y-（y+a^=y-c,则卜一|的最小值是（）

A.1一立B."C.0D.

222

【答案】c

【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出,

之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可.

取一三棱锥O-43C,OA=a,OB=b,OC=c,

>ZAOB=ZAOC=ZBOC=60°,OA=OB=1,OC=2,所以AB=1,

AC=BC=y/OB2+OC2-2OB-OC-cos60°=Jl+4-2=6，

设4X=x,AY=y,

因为x-(x+a)=x%,所以A¥・(A¥+0/-03)=0,即衣.废=0，

所以X在以43为直径的球上，球半径为。，设球心为。，

又由亍•(3+3=3•"同理可知丫在以/C为直径的球上，球半径为亨，设球心为E,

球心距=立，所以两球相交，即X点与y点可以重合，

2

又FT=I衣一方卜内,

所以FT.=网.=o.

IImmIImin

故选：C.

2.(2024•安徽马鞍山•三模)已知点A,B,C,D,P,。都在同一个球面上，/BCD为正方形，若直

线尸。经过球心，且P0工平面N3CZ).则异面直线尸/,3所成的角最小为()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】设球的半径为R(R>0),记23。中心为。，依题意可得尸。过点。且尸。的中点为球心，设球心

为G,建立空间直角坐标，设。/=厂(厂>0),G(0,0,/)(-R</<R),利用空间向量法表示出COSP4QB，求

出cos秒,班的最大值，即可得到.

【解析】设球的半径为a(尺>0),记23CD中心为

因为/BCD为正方形，直线尸。经过球心，且P。」平面/BCD,

所以尸。过点。且尸。的中点为球心，设球心为G,

以。为原点，OB、OC、。尸分别为x,y,z轴正半轴，建立空间直角坐标系O-斗,

^OA=OB=OC=OD=r(r>0),G(0,0,3-R<t<R),

则N(0,f,0),S(r,0,0),尸(0,0,&+f),Q(0,0,Rr),

所以沙=(O,f,_RT),QB=(r,0,t-R),

所以莎•诬=_«+R)«_7?)=R2—产,

所以网=J/+(R+f)2,网=62+(RT)2,

y.OG2+OB2=R2,即〃+产=之，

-zr-;PA-QBR~—1~

所以cosPA,QB=|__=/,~~I,

M-M&+刖)7/+(5

R2-t2JR-

当且仅当i时等号成立，

2Ry/R2-t22R

设直线P/,所成的角为口,贝!Jcosa=kosP4Q@V；,

又0°WaV90",所以％^=60°.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题解答是建立空间直角坐标，利用空间向量法求出cos刀,画的最大值.

3.（2020•浙江嘉兴•二模）将边长为1的正方形43CZ）沿对角线2。翻折，使得二面角/-8。-C的平面角

的大小为7T:，若点£,厂分别是线段NC和8。上的动点，则—丽—•—丽——的取值范围为（）

A.[T。]B.[-11]

C.[--,0]D.

224

【答案】B

【分析】设。点为AD中点，连接/。，CO,由题意可证得乙4OC=60。，作/PLOC,EQ||AP,利用向

量的基本运算可得BE，。7=30-CT7,再通过建立平面直角坐标系，设。（刃,用），机41］，尸

（0<77<1）,求出苑，CF,利用向量数量积的坐标表示可求出而.而=一"2一〃+1,借助加+〃的范围，即

可得解.

【解析】设。点为区0中点，连接力。，co,

由题意可知NO_LAD,CO1BD,所以N/OC=60。,

作4P_LOC,则P为OC中点作EQII/P,

则EQ_L平面BCD,

所以南•丽=（前+班）•丽=丽•丽,

如图建立平面直角坐标系：

则3(1,0),c(l,l),

设°(m,加)，,F(n,\-n),(0<M<1),

所以，=CF=（〃一1,一〃）,

则屁•而=而存=—m一〃+1,

3

因为一«加+几W2,

4

—,—►r11

所以BECFs-1,-,

_4_

故选：B.

【点睛】本题考查平面图形的翻折，考查二面角，向量的基本运算以及向量数量积的坐标表示，考查学生

的推理能力和计算能力，难度较大.

4.（2022•浙江杭州•模拟预测）如图，已知矩形N3C。的对角线交于点E,43=x,8C=l,将△NBD沿BD

翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得N21CE,贝”的取值范围是（）

A.0<x<V3B.0<x<V2

C.0<x<1D.0<x<-s/6

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，表示出翻折后的位置4（。,6,C）,利用向量垂直，数量积为零，找出关系式

bx=\-a,进而求得,=2（1-a）,再利用极限位置求得。的最小值，即可求得答案。

［解析】如图示，设4处为AABD沿BD翻折后的位置，

以。为坐标原点，D4DC分别为xy轴，过点。作平面N2CD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

1Y

则/(l,0,0),8(l,x,0),C(,0,x,0),E(5Q,0),设4(4,6,c),

由于14。=1,故/+/+C2=1,

->---->--->1X

而34=(a-l,b-x,c),DA1=(a,b,c),CE=0),

由于，故则54=a(a-l)+6(b-x)+o2=0,

即bx=1-Q；

又由在翻折过程中存在某个位置，便得不妨假设84,

---------►——1x

贝|]34.磁=5（°_1）_53—外=0,即/一法+4—1=0，

即尤2=+1-a=2（1-a）,

当将AABD翻折到如图AA'BD位置时，“'BD位于平面ABCD内，

不妨假设此时34_LCE,设垂足为G

作//1AD的延长线，垂足为凡此时在x轴负半轴上方向上，。尸的长最大，。取最小值，

由于48/'。=90°,故EG〃/'。，

所以NBEG=ZBDA'=ABDA，而ZBEG=ZAED,

故NAED=NBDA=NEDA,又AE=AD,

故△4ED为正三角形，则/£D/=60；./Aa4'=NFZM=60°,

而/力=1,故0尸=g，则心-g,

故x2=2（1—G）<3,x>0,则xWV3，

故x的取值范围是（0,后],

故选：A

【点睛】本题考查了空间的垂直关系，综合性较强，解答时要充分发挥空间想象力，明确空间的点线面的

位置关系，解答时涉及到空间坐标系的建立以及空间向量的应用，还要注意极限位置的利用，有较大难度.

5.（2024•全国•模拟预测）如图，已知矩形/BCD中，£为线段CD上一动点（不含端点），记

NAED=a,现将ANDE沿直线/£翻折到的位置，记直线CP与直线NE所成的角为《，则（）

-------------IB------------

A.cosa>cosPB.cosa<cos/7C.cos。>sin#D.sina<cosfi

【答案】B

【分析】

腔|+Mcosa

利用空间向量夹角余弦公式和向量数量积公式得到cos£=I।一）——，由三角形三边关系得到

CP

cos/?>cosa,求出答案.

【解析】

+EP・EA

AB选项,C6S。=

国•同一冏.|词一|叫词

耳•归4cosa+|£P|.归4cos(|。目+归尸。•归《cosa(|。目+归尸|cosa

==

因为I词+同>同，所以耳芈1所以cos£>cosa,A错误，B正确;

JT_

由于y=cosx在xe0,-上单调递减，故£<<z,不确定cosa,sin6和sine,cos4的大小关系，CD错误.

故选：B.

6.（2023・四川遂宁•三模）如图，正方体/BCD-44GA的棱长为2,线段耳〃上有两个动点E,尸（E在F

的左边），且EF=6..下列说法不正确的是（）

A.当E运动时，二面角E-A8-C的最小值为45。

B.当瓦尸运动时，三棱锥体积2-/斯不变

C.当E,尸运动时，存在点E,F使得4E//BF

D.当E,尸运动时，二面角C-跖为定值

【答案】C

【分析】对A：建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断；对

B：利用棱锥体积公式，即可求得三棱锥的体积，即可判断.对C：由反证法判断；对D：平面EE8即为平

面瓦，平面CE尸即为平面CAR,从而得出二面角C-Eb为定值.

【解析】对A：建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,2,0),3(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),2(2,0,2).

因为E,尸在3a上，且用。=2亚，EF=y[2,

可设E«,2T,2)(1W2),则尸("l,3-f,2),

则方=(f-2,V,2),丽=«-l,l-f,2),

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),

——.AB-m=0

又-2,0,0,所以一

AE-ih=0

取y=2,则机=(0,2,f),

平面/8C的法向量为"=(0,0,1),所以cos伍,0='；+4.

ma八m-n—t.1

设二面角E-/2-C的平面角为凡则6为锐角，故一丽一不有一J1，

因为1W2,y在［L2］上单调递减，

所以亚J1+3MB故且WcosOV走，

Vt252

当且仅当"2时，cosd取得最大值且，即。取最小值45。，故A说法正确.

2

对B：因为25助=3*即*84=：*0*2=&,点/到平面瓦切4的距离为亚，

所以体积为%TEF=%-B/=gx亚*^=g,即体积为定值，故B说法正确.

对C：若AE//BF,则4昆4,2四点共面，与48和3a是异面直线矛盾，故C说法错误.

对D：连接CD”C4，CE,平面E/鸣即为平面3OR4,而平面CE尸即为平面。乌口，故当瓦尸运动时，二

面角C-EF-8的大小保持不变，故D说法正确.

7.（2023•全国•模拟预测）如图，在棱长为1的正方体N8CD-44GA中，P为棱台用的中点，。为正方

形gqqc内一动点（含边界）,则下列说法中不正确的是（）

A.若，0〃平面4尸。，则动点。的轨迹是一条线段

B.存在。点，使得〃。工平面

c.当且仅当0点落在棱CQ上某点处时，三棱锥。-4尸〃的体积最大

D.若2。=，，那么。点的轨迹长度为亨万

【答案】B

【分析】取4。,cq中点E,尸，证明〃斯//平面得动点轨迹判断A,建立如图所示的空间直角坐

标系，求出平面4尸。的一个法向量，由而与此法向量平行确定0点位置，判断B,利用空间向量法求得

。到到平面4PD距离的最大值，确定0点位置判断C,利用勾股定理确定。点轨迹，得轨迹长度判断D.

【解析】选项A,分别取中点瓦尸，连接尸，斯，尸尸，由尸尸与3心，4。平行且相等得

平行四边形4比4,所以〃尸//4尸,

①平面4。2，4尸u平面4。p,所以口尸//平面&OP,

连接及C,EFHB{C,B。/AD,所以E尸//4Q,同理£F//平面NQP,

EFcD[F=F,££2/<=平面"£r，所以平面///平面/。尸，

当。eE尸时，〃Qu平面2跖，所以D©//平面/Q尸，即。点轨迹是线段EF,A正确;

选项B,以A为原点，24AG，。，所在直线分别为x/,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

4(1,0,0),D(0,0,l),P(l,l,|),设。(x,l,z)(0<x,z<l),

40=(-1,0,1),4?=(0,1,1),丽=(x,i,z),

设加=(a,b,c)是平面AXPD的一个法向量,

m'A}D=-a+c=0

则一一►1,取。=1,则加=(1,一不1),

m-A,P=b7-\■—c=02

12

若D©_L平面4尸。，则。。〃小，所以存在;LeR,使得。。=几加，

x=2

1=--,解得x=z=-2e[0,1],因此正方形乌内(含边界)不存在点。，使得平面&PD,B

z=A

错;

选项c,△4如面积为定值，当且仅当点。到平面4尸。的距离最大时，三棱锥。-4尸。的体积最大,

40=0—1,1,z),

4。•加23

Q到平面AXPD的距离为d=x+z—0<x+z<2,

加32

323.

OWx+zWj时，d=1[/—(%+z)],当x+z=O时，d有最大值1,

3231

2(x+zV2时，</=y[(x+z)——],x+z=2时，d有最大值

综上，x+z=O时，d取得最大值1,故。与G重合时，d取得最大值，三棱锥。-4尸。的体积最大，c正

确;

选项D,4G，平面B8CC，CQU平面D]CJC]。,

所以GQ=JD©2一RC：力,所以。点轨迹是以G为圆心，也为半径的圆弧，圆心角是g,轨迹长度

222

为=乂2兀X立二=立二兀，D正确.

424

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过2且与平面4尸。平行的平面

D\EF,由体积公式，在正方形8BCC内的点。到平面4P。的距离最大，则三棱锥。体积最大.

8.（2023・陕西咸阳・模拟预测）如图，点尸是棱长为2的正方体/3C。-44GA的表面上一个动点，则以

下不正确的是（）

A.当P在平面2CG用上运动时，四棱锥尸-44QQ的体积不变

TTTT

B.当尸在线段/C上运动时，与4G所成角的取值范围是y,-

C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为兀+4行

D.若尸是44的中点，当P在底面42C。上运动，且满足尸尸〃平面片CA时，尸尸长度的最小值是

【答案】D

【分析】由底面正方形力。94的面积不变，点尸到平面4QQ的距离不变，可判定A正确；

以。为原点，建立空间直角坐标系，设P(x,2-x,0),则印=(招2-孤-2),猛=(-2,2,0),结合向量的夹角

公式，可判定B正确；

由直线/尸与平面/BCD所成的角为45°,作尸河，平面/3C。，得到点尸的轨迹，可判定C正确；

设尸(加，加,0),求得平面C42的一个法向量为£=得至啊=j2(f+6,可判定D错误.

【解析】对于A中：底面正方形的面积不变，点尸到平面幺4。。的距离为正方体棱长，

所以四棱锥尸-44QQ的体积不变，所以A选项正确；

对于B中：以。为原点，ZMDC,。，所在的直线分别为x轴、了轴和z轴，建立空间直角坐标系，可得

4(2,0,2)，2(0,0,2)，G(0,2,2),

设P(x,2-x,0),0<xS2,则取=(x,2-x,-2),福=(-2,2,0),

八/—F\印,而|x-l|

设直线2P与4a所成角为巴贝“COS0=COS(D[P,A]C)=.11—]---------,

\/J(—l)2+3

因为04卜_1区1,当上一1|=0时，可得cos9=0,所以6=5；

当0小小1时,

JTTT

所以异面直线。声与4G所成角的取值范围是y,-,所以B正确;

对于C中：因为直线4P与平面/BCD所成的角为45°,

若点尸在平面DCCn和平面8CC4内,

因为48国6=45。,40/。=45。最大，不成立；

在平面内，点尸的轨迹是ADl=2V2；

在平面ABB{AX内，点尸的轨迹是AB]=2亚；

在平面4月。2时，作PM_L平面/BCD,如图所示，

因为NP/M=45°,所以=又因为PM=48,所以4M=/8,所以&P=/3,

所以点尸的轨迹是以4点为圆心，以2为半径的四分之一圆,

所以点尸的轨迹的长度为]x27ix2=7T,

综上，点尸的轨迹的总长度为兀+4啦，所以C正确；

对于D中，由4(2,2,2),0(0,0,2),C(0,2,0),尸(2,1,2),

设P(m,77,0),0<m<2,0<w<2,

则西=(2,0,2),西二(0,-2,2),丽=(加—2,〃—1,—2)

_元•西=-2b+c=0

设平面CBR的一个法向量为〃=Qb,c),贝!!_—J，

nCB[=2。+2c=0

取Q=l,可得6=-1,C=-1,所以几=(1,-1,-1),

因为尸尸//平面耳CD,所以而工=(次—2)—(〃—1)+2=0,可得〃="+1,

所以厘卜7(m-2)2+(/i-l)2+4=,2加2-4加+8=j2(m-iy+6>娓,

当x=l时，等号成立，所以D错误.

【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法:

1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；

2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、

性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有

解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

二、多选题

9.（2024・贵州贵阳•模拟预测）在正三棱柱4BC-4BC中，招=441=1,点尸满足丽=彳前+〃函，

其中2e[0,1],〃e[0,1],则（）

A.当；1=1时，/尸+尸4最小值为及

B.当〃=1时，三棱锥P-48C的体积为定值

C.当2=1,〃=；时，平面平面4/8

D.若NP=1,则P的轨迹长度为:

【答案】BCD

【分析】当2=1时，点p在上，把平面/CC/与平面3CG耳展在一个平面上，可判定A错误；当〃=1

时，得到点尸在用G上，证得4。，平面2CC4,求得三棱柱尸-48C的体积定值，可判定B正确；当

几=1,〃=；时，得到点尸为CG的中点，取/综48的中点E,尸，证得平面43月4,得到/用尸，平面

AAB,可判定C正确；由点P满足方=2就+〃函，得到点P在矩形8CG4内，取8C的中点证得

AHL平面8CG耳，得到aH,求得得出以点尸的轨迹，可判定D正确.

【解析】对于A中，当2=1时，丽=瑟+〃函，可得点P在C。上，

以CG为轴，把平面NCG4与平面3CG瓦展在一个平面上，如图所示，

连接期交CG于点尸，此时AP+PB、最小值为.+BB；=小，所以A错误;

A\GBi

对于B中，当〃=1时，BP=ABC+BB,,可得点尸在4G上，

取4G的中点。，在等边△44G中，可得4。，4。，且4。=g,

因为8片，平面N£C1,且4〃u平面4BC，所以4D_L8瓦，

又因为qGn=及且BXCX,BB,u平面BCCA,所以4。_L平面BCCXBX,

即&D为三棱锥4-P8C的高，

所以三棱锥P-4BC的体积为七一取=〃，Bc=；5.&0=；*3、,=*为定值，所以B正确;

对于C中，当X=l,〃=；时，丽=元+；西，可得点尸为C£的中点,

如图所示，取/月的中点及尸，分别连接PE,跖,C万，

可得EF//PC且EF=PC,所以MCP为平行四边形，所以